精品解析：河南省安阳市第一中学、新乡市第一中学、鹤壁市高中2027届高三上学期阶段性学情检测数学试卷

河南省三校联考高2027届检测数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设A，B，C是三个互不重合的点，则“”是“B为线段AC的中点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得， 则向量与，模长相等且方向相同， 又三点互不重合，所以三点共线，且是线段的中点，充分性成立， 若为线段的中点，则三点共线， ，且与方向相同， 即，也就是，必要性成立， 综上是为线段的中点的充要条件. 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 3. 桌上放着七本互不相同的杂志，其中五本是文学杂志，两本是科学杂志，将它们叠在一起，使得两本科学杂志不相邻，则不同的叠放方法种数为（ ） A. 1800 B. 3600 C. 4000 D. 4800 【答案】B 【解析】 【分析】先排列5本互不相同的文学杂志，再把2本科学杂志插入文学杂志形成的空隙中．由于两本科学杂志不能相邻，两本科学杂志必须放在不同的空隙中，用插空法计数即可． 【详解】先将5本互不相同的文学杂志排列，共有种排法． 5本文学杂志排好后，共形成6个空隙（包括两端）． 为使两本科学杂志不相邻，从6个空隙中选出2个不同的空隙，再将2本互不相同的科学杂志分别放入，有种方法． 所以不同的叠放方法共有种． 4. 某工厂抽检了个零件，并统计了零件的直径（单位：）的数据，得到如下表格： 直径 频数 由表可知这个零件的直径的中位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意得，样本容量，中位数即是样本从小到大排列的第个， 因为，， 所以中位数为. 5. ，，是互不相等的三个复数，且，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，由，确定，的取值，从而确定，，，再利用复数的运算，即可求解． 【详解】令，则， 则 ． 若，则． 由，可得或或． 当时，代入，解得，则或； 当时，代入，解得，则或； 当时，代入，无解． 因为，，是互不相等的三个复数，且， 所以，，是2，，，这四个复数中的三个． 若不取2，则； 若不取，则； 若不取，则； 若不取，则． 故的值可能为1，3，． 6. 过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】抛物线的焦点为准线方程为， 过点分别作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义：抛物线上任一点到焦点距离等于到准线距离， ， 设直线的倾斜角为， ，， ，， ，， 由题意得，，代入得：， ，两边约去：， ，，， ， 故. 7. 四棱台的各顶点都在球的球面上，其上、下底面分别是边长为和的正方形，高为3，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设点为下底面中心，为上底面中心， 由题意得，， 四棱台下底面中心到上底面的顶点距离， 而下底面中心到下底面各顶点的距离也为5， 故下底面中心为球心，外接球半径为5， 因此球的体积为， 8. 设函数，，且有最大值，无最小值，则（ ） A. 有最大值，且最大值为最大值的 B. 有最大值，且最大值为最大值的 C. 有最小值，且最小值为最大值的 D. 有最小值，且最小值为最大值的 【答案】C 【解析】 【分析】通过化简可得，，然后研究函数与函数的定义域和值域的关系即可得出答案． 【详解】易知的定义域为， 则， ， 令，则，，代入得， ，则， 由，得，所以与的值域相同， 已知有最大值，无最小值，不妨设最大值为，则，则， 所以，即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 函数有最大值 B. 至少有三个无理数，它们的和不是无理数 C. 存在一个四面体，它的每个面都是直角三角形 D. 任意两个全等三角形都可以拼接成一个四边形 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据存在量词的特点，并逐项判断各选项真假可得. 【详解】对于A，命题是存在量词命题， 由，得或， 所以函数的定义域为或； 而， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 所以当时，函数取得最大值，所以A正确. 对于B，命题是存在量词命题，如，所以B正确. 对于C，命题是存在量词命题， 如图所示，正方体中，四面体的每个面都是直角三角形， 所以C正确. 对于D，“任意两个全等三角形都可以拼接成一个四边形”是全称量词命题.所以D错误. 10. 已知函数的最小正周期为，在上的图象与直线从左到右交于，两点，与直线从左到右交于，两点，且四边形的面积小于，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】由最小正周期得．令，把转化为，分别求出图象与两条水平直线的交点横坐标．四边形为梯形，再由面积条件求的范围，并检验选项． 【详解】函数的最小正周期为． 当时，令，则． 当时，在上述范围内或，所以 当时，在上述范围内或． 又因为从左到右依次为，所以 于是，且，，两平行线间的距离为． 因此 由得． 四个选项中，与满足条件，因此C、D正确． 11. 若为曲线：上任意一点，直线（）与的交点为，，，，记，，，的横坐标之和为，横坐标之积为，则（ ） A. 的最大值为 B. C. 的最小值为 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用两圆的半径直接确定曲线上点纵坐标的最大值，判断选项A；把直线分别代入两圆方程，用韦达定理求横坐标之和，化简后结合判断范围，判断选项B；把横坐标之积换元为二次函数，求最小值并与选项数值比对，判断选项C；根据已知表达式列不等式，整理因式分解求解的范围，判断选项D． 【详解】由，得， 则或， 所以由圆：与圆：组成， 则的最大值为2，A正确； 直线过定点，由图可知， 当时，直线与圆有两个交点，与圆也有两个交点， 且这些交点没有重合， 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，， 将代入，得， 设该方程的两个根为，，则，， ，B正确； 设，则， 当时，取得最小值，且最小值为，C错误； 当时，，解得，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于原点对称，则的极大值点为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图象关于原点对称，判断出函数的奇偶性，从而利用函数奇偶性的性质求得，然后代入，对函数进行求导分析单调性，借助极值点的定义，即可求解． 【详解】已知函数的图象关于原点对称， 则函数为奇函数，在定义域内对任意，均满足． 由于， 则， 即在函数的定义域内对任意都成立，解得． 因为， 所以． 因为，解得，， 又有当时，，，，则，函数单调递增； 当时，，，，则，函数单调递减； 当时，，，，则，函数单调递增， 所以为函数的极大值点． 13. 已知为椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆性质写出顶点坐标，算出向量，由，求出；由椭圆的定义可知椭圆上任意一点满足，结合条件求解即可． 【详解】由椭圆性质可知，，，则，， 所以，解得， 联立，解得，所以． 14. 一盒内有4个白色小球、个蓝色小球、个黄色小球，现从这个盒内随机取球，每次取1个小球，取后不放回，不断地取球，直到盒内剩余小球为同一种颜色时停止．定义随机变量：若停止时，盒内剩余的小球全是白球，则；若停止时，盒内剩余的小球全是蓝球，则；若停止时，盒内剩余的小球全是黄球，则．根据定义可得的数学期望为________．（结果用含，的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用等价转化：盒内最后剩余小球的颜色等价于全部小球随机排列的最后一球颜色，直接得到三种情况的概率，再代入期望公式计算. 【详解】不放回取球直到剩余同色时，剩余的颜色等价于所有球随机排列中最后一个球的颜色： 若最后一个球是白球，则所有蓝球、黄球都出现在最后一个白球之前；当取完最后一个非白球时，剩余全为白球，停止； 反之，若停止时剩余白球，说明蓝、黄球已全部取完，白球仍有剩余，因此排列最后一个球必为白球. 因此，剩余某颜色的概率 = 该颜色球数 ÷ 总球数. 总球数为 ，对应概率为： 剩余白球（），， 剩余蓝球（），， 剩余黄球（），， 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知双曲线：的虚轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据虚轴长及离心率直接求解即可； （2）将直线与的方程联立，结合韦达定理得出的坐标，由两点之间距离公式即可求解． 【小问1详解】 依题意可得，， 解得，， 所以的方程为． 【小问2详解】 将代入，整理得， ． 设，，． 由韦达定理得， 则， ， 所以． 16. 如图，在四棱柱中，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）若底面，设平面与平面的夹角为，求． 【答案】（1）证明：连接．是四棱柱，，， ∴四边形是平行四边形，． 分别是，的中点，， ． 平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定及四棱柱的性质即可证明； （2）法一：建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量公式及二倍角公式即可求解；法二：由面面夹角的定义及二倍角公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：因为底面，，平面， 所以，， 设，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， ，． 设平面的法向量为， 则 取，则，，是平面的一个法向量． 易得平面的一个法向量为， ． 故． 法二：如图，过点作，垂足为．过点作，垂足为，连接，，． 由题得， 平面，平面． 平面，． ，，平面， ，∴平面与平面的夹角为． 设，易得，，，得． 在中，由，得， 得，． 故． 17. 在中，，，，点D，E分别在线段，上，且均不与线段端点重合． （1）若，求外接圆的半径． （2）设，的面积分别为，，且． （ⅰ）当时，求线段的长度的最小值； （ⅱ）对任意给定的，当的长度取得最小值时，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）2 （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理判定为直角三角形，求出，再利用正弦定理求外接圆半径. （2）（ⅰ）设，由面积关系求得，在中利用余弦定理及基本不等式求最值； （ⅱ）由（ⅰ）知最小时，将的面积表示为关于的二次函数，利用二次函数性质求最大值. 【小问1详解】 在中，因为，，， 所以，故，. 设外接圆半径为，在中，由正弦定理得， 因为，所以，解得. 故外接圆的半径为. 【小问2详解】 ，. 设，(). . 由，得，即. （ⅰ）当时，. 在中，由余弦定理得， 由基本不等式，得， 当且仅当时等号成立（满足且）. 所以，即线段长度的最小值为. （ⅱ）由（ⅰ）知，当且仅当时，等号成立， 所以对任意给定的，当的长度取得最小值时，， 由，得，又. 设的面积为，因为当取得最小值时，此时， 所以， 所以的面积： ， 因为，所以当时，取得最大值. 即面积的最大值为. 18. 小张进行投篮练习，他投篮次，每次投篮的命中率均为，且每次投篮命中与否相互独立． （1）设，，求小张至少投中1次的概率． （2）设，当在上变化时，小张恰好命中3次的概率为． （i）当取得最大值时，求对应的的值； （ii）比较与的大小． 参考数据：，． 【答案】（1） （2）（i）（ii） 【解析】 【分析】至少投中一次的对立事件是3次全部不中，先算全部不中概率，再用1去减求解； （i）写出恰好命中3次的概率，对求导，找到临界点求出最大值；（ii）构造，结合题目所给数据进行研究. 【小问1详解】 设小张至少投中1次为事件，则． 【小问2详解】 (ⅰ)当时，设小张投篮命中的次数为，则， 则， 所以， 则． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当取得最大值时，． (ⅱ)设， 则． 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以． ， ， 因为， 所以， 所以， 从而，则， 则，故． 19. 已知数列的各项均为整数，定义集合． （1）若的项数为100，且，证明：中的非零元素大于． （2）对任意正整数，证明：存在项数为的，使得1到的正整数在中各出现一次，且对于满足的任意正整数，，都是的真子集． （3）若为无穷数列，且每个整数都至少在中出现一次，证明：不存在，使得对于满足的任意正整数，，都是的真子集． 【答案】（1）因为，所以． 因为，所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列， 所以，则， 则， ， 所以中的非零元素大于． （2）取，其中，则1到的正整数在数列中各出现一次． 对于任意正整数，其中， 任取正整数，其中， 由，可得． 因此，可取，其中． （3）假设存在满足条件的无穷整数数列，令． 任取，由整数必在数列中出现，可得，故，从而．由，得． 若，则整数不能在第项及其后的各项中出现，故存在，使得， 从而，所以为有限集合． 由，可得，其中．若，则，与题设矛盾，故．取，由，，得．若，将数列的各项取相反数，所得数列仍包含每一个整数，且其对应的集合为，故真包含关系保持不变，而首个相邻差为，所以只需讨论的情形． 任取正整数，由，知．设为有限集合的最大元素，则．若，则，且，由，存在，使得，于是，这与是的最大元素矛盾，故． 因此，对于任意正整数，都有，所以数列递减，从而整数不会在数列中出现，与题设矛盾． 综上，不存在满足题意的无穷整数数列． 【解析】 【分析】（1）通过构造等差数列求出数列通项，确定 的元素构成，计算非零元素的具体值并放缩证明不等式；（2）构造递增自然数列，直接写出集合的具体形式，利用下标越大、集合最大元越小的性质，验证真包含关系；（3）反证法结合补集分析，先证明补集有限且严格递增，再推出数列严格递减，与 “全体整数都出现” 的条件矛盾. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省三校联考高2027届检测数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 设A，B，C是三个互不重合的点，则“”是“B为线段AC的中点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 桌上放着七本互不相同的杂志，其中五本是文学杂志，两本是科学杂志，将它们叠在一起，使得两本科学杂志不相邻，则不同的叠放方法种数为（ ） A. 1800 B. 3600 C. 4000 D. 4800 4. 某工厂抽检了个零件，并统计了零件的直径（单位：）的数据，得到如下表格： 直径 频数 由表可知这个零件的直径的中位数为（ ） A. B. C. D. 5. ，，是互不相等的三个复数，且，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 6. 过抛物线的焦点F作直线l，直线l交该抛物线于A，B两点（B在第一象限），且，若直线l的倾斜角为，则（ ） A. B. C. D. 7. 四棱台的各顶点都在球的球面上，其上、下底面分别是边长为和的正方形，高为3，则球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，，且有最大值，无最小值，则（ ） A. 有最大值，且最大值为最大值的 B. 有最大值，且最大值为最大值的 C. 有最小值，且最小值为最大值的 D. 有最小值，且最小值为最大值的 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题既是存在量词命题又是真命题的是（ ） A. 函数有最大值 B. 至少有三个无理数，它们的和不是无理数 C. 存在一个四面体，它的每个面都是直角三角形 D. 任意两个全等三角形都可以拼接成一个四边形 10. 已知函数的最小正周期为，在上的图象与直线从左到右交于，两点，与直线从左到右交于，两点，且四边形的面积小于，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 11. 若为曲线：上任意一点，直线（）与的交点为，，，，记，，，的横坐标之和为，横坐标之积为，则（ ） A. 的最大值为 B. C. 的最小值为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数的图象关于原点对称，则的极大值点为________． 13. 已知为椭圆：上一点，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，，则的值为________． 14. 一盒内有4个白色小球、个蓝色小球、个黄色小球，现从这个盒内随机取球，每次取1个小球，取后不放回，不断地取球，直到盒内剩余小球为同一种颜色时停止．定义随机变量：若停止时，盒内剩余的小球全是白球，则；若停止时，盒内剩余的小球全是蓝球，则；若停止时，盒内剩余的小球全是黄球，则．根据定义可得的数学期望为________．（结果用含，的代数式表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15. 已知双曲线：的虚轴长为2，离心率为． （1）求的方程； （2）若直线与交于，两点，线段的中点为，为坐标原点，求． 16. 如图，在四棱柱中，，，，分别是，，的中点． （1）证明：平面． （2）若底面，设平面与平面的夹角为，求． 17. 在中，，，，点D，E分别在线段，上，且均不与线段端点重合． （1）若，求外接圆的半径． （2）设，的面积分别为，，且． （ⅰ）当时，求线段的长度的最小值； （ⅱ）对任意给定的，当的长度取得最小值时，求的面积的最大值． 18. 小张进行投篮练习，他投篮次，每次投篮的命中率均为，且每次投篮命中与否相互独立． （1）设，，求小张至少投中1次的概率． （2）设，当在上变化时，小张恰好命中3次的概率为． （i）当取得最大值时，求对应的的值； （ii）比较与的大小． 参考数据：，． 19. 已知数列的各项均为整数，定义集合． （1）若的项数为100，且，证明：中的非零元素大于． （2）对任意正整数，证明：存在项数为的，使得1到的正整数在中各出现一次，且对于满足的任意正整数，，都是的真子集． （3）若为无穷数列，且每个整数都至少在中出现一次，证明：不存在，使得对于满足的任意正整数，，都是的真子集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $