精品解析：广东东莞市东莞中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

东莞中学2026-2027学年第一学期期中考试试题 高二数学 注意：本卷满分150分，时间120分钟．不准使用计算器． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线的倾斜角与斜率的关系求解． 【详解】直线的倾斜角为，则直线的斜率是：． 2. 若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，，，四点共面，且， 根据四点共面的充要条件知，解得. 3. 若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为焦距为，所以，即． 若椭圆的焦点在轴上， 由椭圆过点，则，则，此时，椭圆存在， 所以此时椭圆的标准方程； 若椭圆的焦点在轴上， 由椭圆过点，则，此时，椭圆不存在，舍去． 综上，椭圆的标准方程为． 4. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，则，，， 又是棱的中点，则， 所以 ． 5. 已知圆上的点到直线的距离为1的点恰有3个，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆上到直线距离为的点的个数，结合圆心到直线的距离公式列出方程，求解即得. 【详解】根据题意可知，圆心坐标为，半径为， 因为圆上点到直线的距离为1的点恰有个， 所以圆心到该直线的距离， 根据点到直线的距离公式可得：， 所以，即，解得. 6. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】可知曲线是以为圆心，以为半径的圆的右半部分，如下图所示， 当时，曲线与恰有两个交点， 当曲线与直线相切时，可得到直线的距离为， 即，因为，解得，所以. 7. 若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】法一：设点斜式方程，分别求出两坐标轴的交点坐标，表示出面积，分两种情况考虑，去掉绝对值，方程解的个数即对应直线的个数；法二：设截距式方程，由三角形面积为6，可得，即，分情况去掉绝对值，由判别式即可判断方程解的个数即直线的个数. 【详解】法一：由题意知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 设此直线与轴、轴的交点分别为，， 则点，的坐标分别为，， 因此面积为， 若，化简得，无解； 若，化简得，解得， 综上，直线的个数为2. 法二：过的直线与坐标轴围成三角形， 故的方程可设为，则，，即， 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又，无解； 当时，又，则，所以， 代入得， 化简整理得，又， 则方程有两个不相等的实数根，即对应的直线个数为2条. 8. 正方体的棱长为2，点是棱的中点，点是正方形内部或边界上一点，若点满足，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量根据垂直关系确定的轨迹，再计算最值即可. 【详解】 如图所示，建立空间直角坐标系，易知， 设，则， 因为，所以，即， 可知， 所以到直线距离为 ， 所以当时，点到直线的距离取得最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 直线过定点 D. 坐标原点到直线距离的最大值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】求出直线和的斜率，利用来判断是否垂直，即可判断选项A；先利用求出，再利用两平行直线间的距离公式求解直线的距离，即可判断选项B；将直线方程整理变形成，然后令即可求解直线所过定点，即可判断选项C；平面内点到动直线的最大距离即为该点与直线所过定点的距离，然后利用两点间距离公式求解，即可判断选项D. 【详解】选项A，，直线的斜率， 直线的斜率，此时， 此时直线与不垂直，A选项错误， 选项B，直线的斜率，直线的斜率， ，，得，整理得， 直线，之间的距离，B选项正确， 选项C，对变形整理得， ，得，故直线过定点，C选项正确， 选项D，记直线所过定点为，原点到直线的最大距离为， 此时，D选项错误. 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 直线与曲线一定有两个交点 C. 点在曲线上，的最小值是 D. 曲线：，则存在条直线与曲线,同时相切 【答案】ACD 【解析】 【分析】分象限去绝对值、再配方，把还原成四段相接的半圆弧.选项 A 用弧长公式求解，选项B 抓直线系所过定点并检验相切，选项C 把分式看成定点与动点连线的斜率，选项D 作出曲线的图像，按照象限分析. 【详解】当时，，圆心为，与轴分别交于，直线刚好过圆心，则在第一象限的图像为半圆. 同理可知曲线：的图像由四个半圆组成. 选项A，曲线所围成图形的周长为. 选项B，直线方程化简为，恒过定点. 当直线过点，且与第一象限的半圆相切时，与整个图像仅有一个交点，B错误. 选项C，点在曲线上，理解为过点 的直线斜率. 由图像可知，当直线与相切时，取得最小值. 设直线方程为，则，化简解得（1舍去）. 选项D，由图像可知，曲线：也分为四部分. 考虑第一象限，，当时，曲线的切线与曲线有两个交点，不存在公切线. 由曲线关于直线对称可知，当时，曲线的切线与曲线有两个交点，不存在公切线. 当时，曲线与曲线有公切线. 同理可知，曲线与曲线在每个象限仅有一个公切点，共有4条公切线. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点且与直线垂直的直线的一般式方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据两直线垂直，设所求直线为，再代入已知点即可求解. 【详解】已知所求直线与直线垂直，则设所求直线为， 代入点，得，解得，所以所求直线的一般式方程为. 13. 已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则_____． 【答案】##1.5 【解析】 【详解】，，又， 故，结合，可得， ，， 所以，， . 14. 已知向量，.定义.长方体中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，点M满足，平面经过点B，且AM⊥平面.若点N是平面上一点，且点N在长方体内或其表面上，则的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】建系后用定比分点求出；由" 平面且、都在内"得 ，用数量积为零得到的坐标满足；再结合长方体的坐标范围把化为只含的一次式，由的范围求得的范围. 【详解】由题意建系得、、、、、. 由得，所以，从而、. 设. 因为 平面，而、都在内，所以 ，即； 又，所以， 即，也就是. 又在长方体内部或表面上，所以、、. 于是. 把代入得. 由且、得，又，所以，故. 所以的取值范围为（当时；当取或时）. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，设，， （1）用向量，，表示与； （2）求异面直线与夹角的余弦． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】(1) 结合平行六面体的几何性质与空间向量的运算即可表示； (2)首先求与，再根据即可求余弦值. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 由（1）得 ， ， ， ， 所以异面直线与夹角的余弦为. 16. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）试求经过三点的圆的标准方程； （2）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 【答案】（1） （2）设轮船航线所在的直线为，则直线的方程为， 由（1）知圆心为， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，即轮船会驶入安全预警区， 直线与圆截得的弦长为 ， 行驶时长 小时，即在安全预警区内行驶时长为半小时. 【解析】 【分析】（1）先求出的坐标，设出圆的一般方程，由三点的坐标列出方程组即可求解； （2）设轮船航线所在的直线为，再由几何法得出直线与圆截得的弦长，进而得出安全预警区内行驶时长. 【小问1详解】 由题意得，，设圆的方程为 ， 因为该圆经过三点，所以，得到 ， 所以该圆的方程为， 化成标准方程为. 【小问2详解】 略. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：连接，交于点，连接， 点是的中点，点是的中点， 所以,平面,平面， 所以平面； （2） （3）存在，的长为或 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量数量积公式求解二面角； （3）假设棱存在一点使得，且，即可求出，利用向量的夹角公式列出关于的方程求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，则， 设平面的法向量， 则，令，则， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 ， ，设， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 整理得，所以，解得或， 当时，，当时，， 则的长为或. 18. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. （1）求垂心H的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）联立、边上高所在的直线方程，解方程组得到垂心的坐标. （2）利用垂心性质得以确定的斜率，再通过与边上高垂直求出的方程，联立与边上的高得点坐标，最后用点斜式写出的直线方程. （3）根据对称点的垂直关系与中点在对称轴上的性质列方程组求出的坐标，再根据两点求得直线方程. 【小问1详解】 如图所示：设的边上的高为，边上的高为，    设：，：，联立得， 解得，所以垂心； 【小问2详解】 由（1）， 由“三条高线交于一点”可得：，所以， 因为，设所在直线方程为，代入解得：， 所以所在直线方程：， 联立直线与的方程，可得，解得，所以， 所以所在直线方程：，整理后可得：. 【小问3详解】 设关于直线：的对称点，则有， 且的中点在上，所以， 整理得，解得，所以， 则反射光线的方程经过和点， 所以反射光线的方程为，即． 19. 已知圆过、，且圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于、，为坐标原点，直线、分别与直线相交于、，记的面积为，的面积为，求的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用圆心在轴设圆的标准方程，代入两点，列方程组求出圆心、半径； （2）利用弦长公式求出圆心到直线距离，分斜率存在、不存在两类讨论求直线方程； （3）由直径性质得，设斜率求出坐标，写出面积比值表达式，利用基本不等式求最大值． 【小问1详解】 由圆心在轴上，设圆的标准方程为， 因为圆过、， 所以，解得， 所以圆的标准方程为； 【小问2详解】 因为直线被圆截得的弦长为，所以圆心到直线的距离为， ①当直线的斜率不存在时，直线：与圆的交点为， 此时，直线被圆截得的弦长为，所以直线，满足题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得， 则直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或； 【小问3详解】 因为原点在圆：上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， 所以，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得或，所以点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得或，所以点的坐标为， 由题意可知，、， 所以，， 所以， 又，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东莞中学2026-2027学年第一学期期中考试试题 高二数学 注意：本卷满分150分，时间120分钟．不准使用计算器． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 2. 若，，，四点共面，为空间中任意一点，且，则（ ） A. B. C. D. 3. 若椭圆的焦点在坐标轴上，焦距为8，且过点，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆上的点到直线的距离为1的点恰有3个，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 直线与有两个不同的交点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若直线过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则直线的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 正方体的棱长为2，点是棱的中点，点是正方形内部或边界上一点，若点满足，则点到直线距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则直线，之间的距离为 C. 直线过定点 D. 坐标原点到直线距离的最大值为2 10. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（ ） A. B. 异面直线与所成角的余弦值为 C. D. 点到平面的距离为 11. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（ ） A. 曲线所围成图形的周长是 B. 直线与曲线一定有两个交点 C. 点在曲线上，的最小值是 D. 曲线：，则存在条直线与曲线,同时相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 经过点且与直线垂直的直线的一般式方程为_____． 13. 已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则_____． 14. 已知向量，.定义.长方体中，，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，点M满足，平面经过点B，且AM⊥平面.若点N是平面上一点，且点N在长方体内或其表面上，则的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，平行六面体的底面是菱形，且，，设，， （1）用向量，，表示与； （2）求异面直线与夹角的余弦． 16. 为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区．如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系． （1）试求经过三点的圆的标准方程； （2）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？ 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面是的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，说明理由. 18. 已知在中，边上的高所在的直线方程为，边上的高所在的直线方程为，点A的坐标为. （1）求垂心H的坐标； （2）求所在的直线方程； （3）若过点的入射光线经直线反射后过点，求反射光线的方程. 19. 已知圆过、，且圆心在轴上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于、，为坐标原点，直线、分别与直线相交于、，记的面积为，的面积为，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $