精品解析：广东深圳市龙津中学2026-2027学年第一学期高二期中考试数学试卷

2026—2027学年第一学期期中考试 高二年级数学学科 本卷满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 若二元二次方程表示圆，则实数可能的值为（     ） A. B. C. D. 3. 椭圆的离心率为（    ） A. B. C. D. 4. 设，已知直线：，：，若“”，则（ ） A. B. C. 或 D. 5. 已知，若，则点C的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 7. 已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，一条平行于轴的光线从点发出，经上的点反射后，再经上的另一点反射经过点射出，若，则点的横坐标为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或者错选不得分. 9. 曲线C：，下列结论正确的有（ ） A. 若，则曲线C的渐近线为 B. 若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C. 若曲线C表示椭圆，则 D. 若曲线C表示双曲线，则或 10. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 对，直线与圆一定相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在着个点到直线的距离为 11. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为3 C. D. 的面积为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 13. 已知动点在圆上，则的取值范围是_______. 14. 已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算过程. 15. 三角形的顶点是， 求： （1）边所在直线的方程． （2）边的垂直平分线的方程． 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆所截得弦长为6，求直线的方程. 17. 圆，过点作直线， （1）若直线为圆的切线，求直线的方程； （2）若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程. 18. 已知椭圆的右焦点为，长轴为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，且线段的中点为 ，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的斜率． 19. 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． （1）抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； （2）直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； （3）是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期期中考试 高二年级数学学科 本卷满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、单选题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量的定义可得直线的一个方向向量为，通过判断各选项中的向量与是否共线，可得正确选项. 【详解】由，得. 所以直线的斜率为. 所以直线的一个方向向量为. 对于A，，所以与共线，所以A正确； 对于B，，所以与不共线，所以B不正确； 对于C，，所以与不共线，所以C不正确； 对于D，，所以与不共线，所以D不正确. 故选：A. 2. 若二元二次方程表示圆，则实数可能的值为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为二元二次方程表示圆， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 3. 椭圆的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由离心率定义即可求解. 【详解】将原方程，整理得标准形式： ， 因此，，得； 根据椭圆关系，代入得，即， 离心率. 4. 设，已知直线：，：，若“”，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若“”，则，注意验证直线是否重合. 【详解】若“”，则，解得或， 当时，直线：即，：即，此时直线与重合； 当时，直线：，：，此时. 5. 已知，若，则点C的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由及双曲线的定义可知点C的轨迹是双曲线的左支， 设其标准方程为， 所以，解得， 所以点C的轨迹方程为． 6. 设点，，直线过点且与线段相交，则的斜率的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，，由两点斜率公式得； 已知，，同理得. 直线过定点，当绕点旋转时，若直线与线段相交， 结合图象分析可得：或，即或. 7. 已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 8. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线，一条平行于轴的光线从点发出，经上的点反射后，再经上的另一点反射经过点射出，若，则点的横坐标为（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的光学性质：平行于对称轴的光线经抛物线反射后必过焦点.结合抛物线的定义，将线段和转化为点到准线的距离，从而求解点的横坐标. 【详解】抛物线的焦点为，准线为. 由轴，，得，则， 利用抛物线定义转化线段和根据光学性质，反射光线必过焦点. 所以， 因为光线必过焦点，所以光线经抛物线反射后平行于轴射出， 由抛物线定义可知，， 已知，所以， 即， 化简得：. 故选：A 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或者错选不得分. 9. 曲线C：，下列结论正确的有（ ） A. 若，则曲线C的渐近线为 B. 若曲线C表示圆，则该圆的半径为 C. 若曲线C表示椭圆，则 D. 若曲线C表示双曲线，则或 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，根据双曲线的计算公式求解；B选项，根据圆的标准方程计算即可；C选项，根据椭圆的标准方程计算即可；D选项，根据双曲线的标准方程计算即可. 【详解】A选项，当时，，曲线的渐近线为：，所以A选项错误； B选项，若曲线C表示圆，则，解得，则曲线为，圆的半径为，所以B选项正确； C选项，曲线C表示椭圆，则，解得：且，所以C选项错误； D选项，曲线C表示双曲线，则，解得：或，所以D选项正确. 10. 已知直线，圆的圆心坐标为，则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 对，直线与圆一定相交 C. 直线被圆截得的最短弦长为 D. 当时，圆上存在着个点到直线的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据圆的一般方程可判断A选项；由直线方程可得直线恒过点，且点在圆内，可判断B选项；当直线与直线垂直时，弦长最小，此时，可得弦长，可判断C选项；根据点到直线距离与半径，可得，可判断D选项. 【详解】 A选项：圆，即，，由圆心为，得，解得，，A选项正确； 圆的方程为，圆心，半径， B选项：由直线，即恒过点，且，所以点在圆内，所以，直线与圆一定相交，B选项正确； C选项：由已知当直线与垂直时，弦长最小，，所以，，即，此时，所以弦长为，C选项错误； D选项：当时，，此时，所以圆上存在着个点到直线的距离为，D选项正确； 故选：ABD. 11. 如图，双曲线的左右焦点分别为，，过的直线l与其右支交于P，Q两点，已知且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线的离心率为3 C. D. 的面积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.结合等角条件证明三角形相似；B.由三角形相似得到线段比例，求解离心率；C.借助余弦定理求解；D.由三角形的面积公式求解. 【详解】对于 A，因为，且 （公共角）， 所以，A 正确； 对于B，双曲线 ，， 因为 ，联立得：，， 由，得， 则，，所以， 又，即，得，故 ，B 错误； 对于 C，在中， ，，， 由余弦定理得，C 正确； 对于 D， ， 因为，所以, 又因为，， 所以 的面积 ，D 正确. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 13. 已知动点在圆上，则的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【详解】由于是圆上的动点， 设，然后由直线与圆有公共点可得的范围， 是圆上的点，设，即，直线与圆有公共点， 则，所以， 所以的取值范围是 14. 已知分别为双曲线的左､右焦点，在上，其中在第一象限，在第二象限，直线过，且关于直线对称，则四边形的面积为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据双曲线上的点的对称性可得，结合双曲线的定义得，设，则，利用对称产生的直角三角形结合勾股定理列式求解的值，从而得四边形的面积. 【详解】如图，因为关于直线对称，设交与， 则，且， 由双曲线定义可得，所以， 在中，， 设，则， 在中，由得①， 在中，由得②， 解①②可得：， 所以， 于是可得四边形的面积为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算过程. 15. 三角形的顶点是， 求： （1）边所在直线的方程． （2）边的垂直平分线的方程． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）先求出直线的斜率，结合截距写出直线方程； （2）求出中点及斜率，由垂直关系得到垂直平分线斜率，再利用点斜式写出方程． 【详解】（1）因为，所以直线的斜率， 直线在轴上的截距，故直线的方程为，即． （2）取中点，则，由(1)， 设其垂直平分线斜率为，则，解得， 故直线的方程为:，即． 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线被圆所截得弦长为6，求直线的方程. 【答案】（1）; （2）或. 【解析】 【分析】（1）法一：求出的垂直平分线方程，求得直线和的交点可得圆心坐标，再求出半径可得圆的标准方程； 法二：设出圆的标准方程，利用待定系数法解出圆心坐标和半径，可得结果； 法三：设出圆的一般方程，求出未知数可得结果； （2）分类讨论直线的斜率是否存在，利用弦长公式列方程即可得出结果. 【小问1详解】 法一： 因为，且的中点为， 所以的垂直平分线方程为，即， 联立，解得， 故圆心的坐标为， 所以圆的半径， 所以圆的标准方程为. 法二： 设圆的方程为. 由已知得，解得， 所以圆的标准方程为. 法三： 设圆的一般方程为， 由已知得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程，即. 【小问2详解】 设圆心到所求直线的距离为， 由弦长公式得，故， ①当直线的斜率不存在时， 则，此时圆心到直线的距离为1，符合题意. ②当直线的斜率存在时， 设直线的方程为，即， 则，整理得，解得， 此时直线的方程为. 综上所述，所求直线的方程为或. 17. 圆，过点作直线， （1）若直线为圆的切线，求直线的方程； （2）若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程. 【答案】（1）或. （2）或 【解析】 【分析】（1）由条件讨论直线斜率存在和不存在两种情况，利用圆心到切线的距离等于半径，即可得到答案； （2）由题意结合三角形面积公式可得，所以圆心到直线的距离为，利用点到直线的距离公式可求得. 【小问1详解】 由圆，得其标准方程为， 所以圆心为，半径为. 当直线垂直于轴时，即满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线方程为，即， ，则直线方程为. 切线的方程为或. 【小问2详解】 由直线与圆相交于M，N两点，设C到直线距离为，则 ，当且仅当时等号成立， 所以圆心C到直线的距离，解之得或. 则直线的方程为或 18. 已知椭圆的右焦点为，长轴为. （1）求椭圆的方程； （2）设经过点的直线不与坐标轴垂直，直线与椭圆相交于点，且线段的中点为 ，经过坐标原点作射线与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求直线的斜率． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用已知建立方程组联立即可求解； （2）设出直线的方程以及点的坐标，然后与椭圆方程联立，利用韦达定理以及中点坐标公式求出点的坐标，再由向量的平行四边形法则求出点的坐标，代入椭圆方程即可求出直线的斜率. 【小问1详解】 由已知可得，解得， 所以椭圆的方程为; 【小问2详解】 由题意可知直线的斜率存在且不为0， 可设直线的方程为,, 联立方程,消去整理可得：， 则， 所以，所以点的坐标为， 在平行四边形中，有， 设点的坐标为，所以点的坐标为， 又因为点在椭圆上，所以， 解得， 所以直线的斜率为. 19. 已知抛物线：的焦点为．过点的直线与抛物线交于，两点，点在第一象限． （1）抛物线上一点到准线距离为4，求点到轴的距离； （2）直线与抛物线的另一个交点为，当时，求直线的方程； （3）是否存在定点，使得直线与斜率互为相反数，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用抛物线定义，抛物线上点到准线距离等于到焦点距离，先求出点横坐标，代入抛物线方程求纵坐标绝对值，即为点到轴距离； （2）设直线方程并联立抛物线，利用韦达定理得到坐标关系，写出直线方程，联立抛物线求出点坐标，利用距离公式列方程，求出参数，得到直线方程； （3）假设定点存在，利用斜率互为相反数的条件，结合韦达定理化简，根据等式对任意参数恒成立，令各项系数为，求出定点坐标． 【小问1详解】 抛物线：，，准线方程为． 设，抛物线上点到准线距离等于． 点到准线距离为，所以，得． 代入，得，． 所以点到轴的距离为． 【小问2详解】 设直线的方程为，，，，    联立，得，所以，． 设直线的方程为，联立，得， 所以，由，两式相除可得，所以， 所以，化简得，解得， 又因为点在第一象限，所以，则，代入到中， 所以，解得，所以直线的方程为． 【小问3详解】 假设存在这样的，设，， 所以， 即， 化简得， 即， 即对任意恒成立， 所以，解得， 所以假设成立，即存在． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $