广东省东莞市东莞中学2025-2026学年高二上学期第二次段考数学试题

2025-2026学年第一学期第二次段考高二数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D A B B B 6 D ABD AC ACD 题号 12 13 14 答案 8 2 5 25π 8.D【详解】易知圆C:(x-1)2+y+2)2=9的圆心为C(1,-2),半径r=3, 又(1-1)2+(0+2)2=4<9， 所以P(1,0)在圆内，因为CQ⊥AB,垂足为Q, 由垂径定理可知Q是AB的中点， 当直线1的斜率不存在时，直线1的方程为x=1, 易得此时圆心C与Q重合，不符合题意， 由CQ⊥AB可得CQ⊥PQ, 设点Q(x,y)，则C0=(x-1,y+2),P0=(x-1,y), 所以C0·P0=(x-1)2+y+2)y=0, 即(x-1)2++1)2=1, 故点Q的轨迹方程为(x-1)2+0y+1)2=1(除点(1，-2)外)， 圆心(1，-1)到直线x+y-2=0的距离为V2, 则点Q到直线x+y-2=0的最大距离为V2+1. 故选：D. 14.器/尝【详解】方法一：如图所示，AB是切点弦，连接P0交 AB于M,若圆C内的点不在任何切点弦上，则该点到圆C的圆心的距离 应小于OM,这些点构成了以原点为圆心，半径为OM的圆的内部. 连接0A,0B,由题意知0P|=5,I0A=IOB|=3,PB1=1PA= √10PI2-10A2=4, 则cos∠P0A=8别=号=18 所以OM=?则原点0到直线AB的距离为定值？， 高二数 故切点弦始终与圆x2+y2=器相切，在圆C内不与切点弦相交的区域面积为 25 方法二：如图所示，弦AB即为点P所对应的切点弦，设点P(m,n),则m2+n2=25,弦 AB所在直线方程为mx+ny=9. 因为原点到直线mx+y=9的距离为m=房=号 9 9 故圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为1” 5 故答案为：器 16。【详解】(1)在双曲线c:三-茶=1中，实轴长为2a=22,故a=V2…1分 焦点坐标分别为F1(-c,0),F2(c,0) 当L⊥x轴时，L的方程为x=c… …2分 x=C X1=C (X2=C 联立 一益=解得以=-减2=安所以令A(,笥，B(, 所以AB到=2g=V2,b=1-4分 所以双曲线的渐近线方程为y=±后，即x-Vy=0或x+Vy=0 …5分 (2)由(1)知：双曲线方程为号-y2=1:则c=V2+b=V3 所以焦点坐标分别为F(-V3,0),F2(V3,0)… …6分 因为直线的倾斜角为二，所以直线的斜率为k=1,故直线的方程为y=x一V3,…7分 【法一】 y=x-3 联立 -y2=1' x2 消去x得到y2-23y-1=0,…9分 解得y1=2+V3,y2=-2+V3,…11分 SARLAB=IF F2lly:-yal =V32+3+2-V3=4V3. 所以△F1AB的面积为4V5… …13分 案1/6 y=x-13 【法二】联 (-y2=11 消去y得到x2-4V3x+8=0…9分 解得： 五=2+23或=-2+23 y=2+V3y1=-2+V3 fy 即A(2+2W3,2+V3,B(-2+2V3,-2+V3) …10分 所以AB=V42+42=4W2,. …11分 F到直线的距离d=3-。-圆=V6 …12分 则aA=ABd=×4W2×V6=4W3 所以△FAB的面积为4V3… …13分 y=x-3 【法三】联立 -y2=1 消去y得到x2-4W3x+8=0…9分 则△=(-4W月2-4×8=16>0… …10分 设A(x1,y1),B(x2,y2 由韦达定理：x1+x2=4W3,x1x2=8 所以AB|=V-x2)2+0-y2)2=V1+1亚×√(4W3-4×8=4W2…11分 E到直线的距离d=上5-。-固=V6… …12分 V2 则Sa,AB=2 IABld=×4W2×V6=4W3 所以△F1AB的面积为4W3…13分 16.【详解】(1)【法一】设圆的方程为(x-a)2+y-b)2=r2,…1分 因为圆C经过A(0,-1)和B(2,1),且圆心在直线x-2y-1=0上， (0-a)2+(-1-b)2=r2 (a=1 所以(2-a)2+(1-b)2=r2，解得： b=0 …4分 a-2b-1=0 (r=V2 所以圆C的方程为：(x-1)2+y2=2. …5分 高二数学参 【法二】线段AB的中点T(1,0),直线AB的斜率k1=1二-卫=1 2-0 所以线段AB的中垂线的斜率k=一1…1分 所以线段AB的中垂线方程为y=-(x-1),即x+y-1=0…2分 联中1-0解利形二所以圆心c1,0…3分 所以半径r=ICA=V(1-0)2+(0+1)2=V2 …4分 所以圆C的方程为：(x一1)2+y2=2.…5分 【法三】因为线段AB的中点T(1,0),点T(1,0)在直线x-2y-1=0上…1分 而圆心C也在直线x-2y-1=0上，所以点C与点T重合，即圆心C(1,0)3分 所以半径r=ICA=V1-0)2+(0+1)z=V2 …4分 所以圆C的方程为：(x-1)2+y2=2.… …5分 (2)【法-】：ICM|=ICW=V2,且∠MCW90° :弦长MN|=√1CMI2+ICWI2=2, ……6分 所以圆心C到直线的距离d=r2_wN =1…7分 ①当斜率不存在时，的方程为x=2, …8分 此时圆心到直线的距离d=1,符合题意.…9分 ②当1斜率存在时，设为k,…10分 则l的方程为y-2=k(x-2),即kx-y+2-2k=0,…11分 圆心C到直线的距离d=-=1,解得k= √2+1 ,…13分 所以直线的方程为y-2=(x-2),即3x-4y+2=0.…14分 综上，L的方程为x=2或3x一4y+2=0.…15分 【法二】设M(x1,y1),N(x2,y2),因为LMCN=90°，所以CM⊥CN,即CM⊥C6分 因为过点(2,2) ①若直线的斜率不存在，则直线的方程为x=2 …7分 联a-十=2=子到-子即Me,02,-0 答案2/6 则CM=(1,1),cN=(1,-1) 所以CM.CN=1×1+1×(-1)=0, 因为C,CN+可，所以CM1C,符合题意…。 …8分 ②若直线的斜率存在，设为k,则的方程为y一2=k(x一2)…9分 联化* 消去y得：(1+k2)x2-(4k2-4k+2)x+(42-8k+3)=0 …10分 则△=(4k2-4k+2)2-4(1+k2)(4k2-8k+3)=4(k2+4k-2)>0 则k<-2-V6或k>-2+V6 …心00w000 …11分 则五1十x2=22,x2=败4的 1+k2 …12分 1+k2 因为点M,N在直线l上，所以y1=k(x1-2)+2,y2=k(x2-2)+2 则y1y2=[k(x1-2)+2][k(x2-2)+2]=k2x1x2+(2k-2k2)(x1+x2)+ (4k2-8k+4)=k2.2-8k3+(2k-2k2).42-+2+(4k2-8k+4) 1+k2 1+k2 所以yy2=k2一+4 1+k2 …13分 则CM=(x1-1,y1),CN=(x2-1,y2) 所以CM.CN=(x1-10(x2-1)+y1y2=x1x2-(1+x2)+1+y1y2=0 即-2+1+整-==0，解得k=身 1+k2 …14分 所以直线的方程为y-2=x-2),即3x-4y+2=0. 综上，l的方程为x=2或3x-4y+2=0. …15分 17.【详解】(1)在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD 因为BA,BCC平面ABCD,所以BB1⊥BA,BB1⊥BC 又因为BA⊥BC 以B为坐标原点，以BA,BC,BB1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立 如图所示空间直角坐标系 …2分 高二数学 因为AA1=AB=BC=2,CD=3 所以A(2,0,0),B(0,0,0),C(0,2,0),D(3,2,0),A1(2,0,2) 因为E为A1B的中点，所以E(1,0,1)…3分 分 因为能=所以F(后号) …4分 分 【法一】设平面AEF的法向量为元=(x1,y1,2),A正=(-1,0,1)，丽=(，号》 (x1=1 所以 元1A正∫ ·AE=-x1+Z1=0 元1EF1 承=++=0令=1，则2三1 (Z1=1 所以=(1，-1,1)5分 设平面A1FD的法向量为而=6x2,2),A0=(1,2,-2),A正=(-号，号，-引 X2=0 所以 1A1D72·A1D=x2+2y2-2z2=0 西1A1FA1正=-子+2-22=0 令y2=1,则y2=1 (22=1 所以吃=(0,1,1)…6分 因为元·2=1×0+(-1)×1+1×1=0，%，≠0 所以L… …7分 即平面A1FDL平面AEF…8分 【法二】正=(-1,0,0，丽=()，A正=（-子子，-) …5分 A正·AF=(-1)×(-)+0×号+1×(-)=0，A正，A1F≠0，所以A正1AF6分 AF=×(-)+×+×(-)=0,乎，A,≠可，所以丽1A正…7分 AE⊥A1F,EF⊥A1F) 则AE OEF=E ,A1F⊥平面AEF →平面A1FD⊥平面AEF…8分 AE,EFC平面AEF A1Fc平面A1FD 【法三】在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD,BCC平面ABCD BB1⊥BC,BA⊥BC BB1∩BA=B BC⊥平面ABB1A1 →AE⊥BC BB1,BAC平面ABB1A1 AEC平面ABB1A1 因为AA1=AB,点E为A1B的中点 (学参考答案3/6 AE⊥A1B,AE⊥BC A BnBC=B AE⊥平面A1BC →AE⊥A1F A1B,BCC平面A1BC A1Fc平面A1BC 因为EFc平面A1BC,所以AE⊥EF 因为AA1⊥平面ABCD,AB,ACc平面ABCD 所以AA1⊥AB,AA1⊥AC 因为AB=AA1=BC=2,所以AE=V2,AC=2W2 在Rt△A1AC中，A1C=2W3 所以cosAA1C=0=后=号 因为F为A1C的三等分点，所以A4,F=子V3 在AAFA1中，由余弦定理得：AF=VA1A2+A1F2-2A1A·A1F·c0SLAA1C= √4+号-2x2×子V3×盟-子6 3 则AP2+AP2=-号+4=AA,所以A,F1AF AF⊥A1F,AE⊥A1F） AF∩AE=A A1F⊥平面AEF →平面A,FD⊥平面AEF AE,AFC平面AEF A1FC平面A1FD (2)【若第(1)问用法三证明，需要在此问建系】 因为G,A,E,F四点共面，所以A正，AF,AG共面 因为G为线段A1D上的点， 所以设BG=BA+1A1D=(2,0,2)+(1,21,-2)=(2+1,2λ，2-2)，1∈[0,1]. 所以G(2+1,21,2-22),即AG=(1,21,2-2)… …9分 因为证=(-1,0,10，A=（←号号) 则存在唯一实数对(x,y),使得AG=xA正+yA …10分 即u,21,2-2)=（-x-y,y,x+y) 高二数学到 1=-x-y (X=-2 所以 2a=y 解得 y=2 1= 2-2=x+y 3 所以c(专)，则AG=(作专-) …11分 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD,BCC平面ABCD BB1⊥BC,BA⊥BC BB1∩BA=B BC1平面ABB1A1 →AE L BC BB1,BAC平面ABB1A1 AEC平面ABB1A1) 因为AA1=AB,点E为A1B的中点 AE⊥A1B,AE⊥BC ABnBC=B →AE⊥平面A1BC A1B,BCC平面A1BC 所以A正=(-1,0,1)是平面A1BC的一个法向量 …13分 设G到平面A,BC的距离为d,则d=西=后=厄 AE 所以G到平面A1BC的距离为V2 … …15分 18.【详解】(1)设P(x,y),因为A(-1,0),B(1,0),且PQ1AB,垂足为Q, 则Q点坐标为(x,0). 则IPQ|=Iyl,lAQ1=x+1,lBQ|=x-1,… …1分 已知PQI2=3引AQlBQl,即y2=3(x+1)(x-1)儿.…2分 因为Q在线段AB外，所以(x+1)(x-1)>0, 则y2=3(x2-1),整理可得曲线c的方程为x2-号=10≠0). …3分 (2)选择①作为条件 设M(x1,y1),N(x2,y2),则T(x1,-y1),其中x1+士1，x2≠±1. 因为直线TB和NA的斜率之和为0，故直线MB的斜率等于NA的斜率， 故=故（路）=(2)， 故品=哈兴=品故=故%=为 1-1 则M,W关于原点对称，故过原点，与题设矛盾，故不选①. 与答案4/6 【若选择①作为条件，第（2)问不给分】 选择②作为条件 （i)设M(x1y1),N(x2,y2),则T(x1,-y1). 显然的斜率不为零，否则有x2=一x1,y2=y1,:y=y1, …4分 此时k8kw=产品器=器=3， x-1 与直线TB和NB的斜率之积为6，矛盾.… …5分 (x =my +t, 故可设l:x=my+t,由 x2-=1 3 消去y可得(3m2-1)y2+6mty+3t2-3=0, …6分 依题意，3m2-1≠0且△=36m2t2-4(3m2-1)(3t2-3)=12(3m2+t2-1)>0, m*士号且3m2-1+2>0,… …7分 h1+y2=-,6mt 3m2-1yy2= 3t2-3 3m2-1 …8分 (x=my +t, 由 x2-兰=1得(3m2-1)x2+2tx-3m2-t2=0, 3 x1+x2=- 3m2-1,x1x3--3m2+t2 2t 3m2-19 …9分 直线TB和NB的斜率之积为6，.-12=6， x1-1X2-1 3(t2-1) 即y1y2 =一6， 3m2-1 x1x2-(x1+x2)+1 =-6,牛=2，解得t=3.…10分 此时△=12(3m2+8)>0恒成立，.l:x=my+3,过定点(3,0). …11分 (i)由(1)知，名+为=-3m= 6 3m2+9 24 -3m2-1,y1y2=3 m2-1 ①当3m2-1<0,即-号<m<号时，x>0,“M,N均在C的右 支，如图.…l2分 此时BM.BN=(x1-1)(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2 OB =-2+n总+1+=烈<0， 高二数学参 ∴.∠MBN是钝角，△BMN是钝角三角形.…I3分 ②当3m2-1>0.即m>导或m<-号时，名=兰<0， 3 ∴.M,N分别在C的两支.不妨设M在C的右支，则x1>1,如图.…14分 设R(3,0),则ME.M=(1-x1)(3-x1)+y=x好-4x1+3+ 3x-3=4x1(x1-1)>0, ∴LBMR∈(O,) …15分 :过点R,∠BMN=-∠BMR∈（径，） ∴.∠BMN是钝角，△BMN是钝角三角形.…16分 综上可知，△BMN不可能是锐角三角形.…17分 选择③作为条件， （i)设M(1,y1),N(x2,y2),则T(x1,-y1). 显然l的斜率不为零，否则x2=一x1,y2=y1,:y=y1,…4分 ,直线TB和NA的斜率之商为2，.丝=2 “x1-1x2+1 从而有兴=解得%=0，此时7，M重合，与题设矛盾、…5分 故可设l:x=my+t, (x my +t, x2-=1得3m2-0y2+6my+3t2-3=0,……-6 依题意，3m2-1≠0且△=36m2t2-4(3m2-1)(3t2-3)=12(3m2+t2-1)>0, m≠士且3m2-1+t2>0…7分 3 h+为=-3y%=二 3m2-11 …8分 (x my+t, 由{x2-号-1得(3m2-1)x2+2tx-3m2-t2=0, 2 1+x2三-2 3m2-1,七1x2=-3m2+t2 3m2-1’ …9分 因为直线TB和A的斜率之商为2所以是= x2+1 多考答案5/6易题不错，难题不慌，计算细心，卷面工整，高分拿下 2025-2026学年第一学期第二次段考 高二数学 完成时间：120分钟 满分：150分 编者语：几何是沉默的诗，每一条曲线都藏着宇宙的规律；情感是流动的几何，每一段心动 都能找到对应的轨迹。圆锥曲线有四种：圆的圆满、椭圆的迂回、双曲线的疏离、抛物线的 遥望，恰如人与人之间的感情，在不同的选择里，画出了截然不同的形状。接下来，请同学 们拿起手中的笔，勾勒属于你的专属图案吧。 一、单选题（每小题5分，共40分，请将答案填涂在答题卡相应位置） 1.已知向量à=(1,2,1)与b=(m,n,-3)共线，则m-n=( A.3 B.9 C.-3 D.-9 卫.顶点在坐标原点，焦点坐标为(0，)的抛物线的标准方程为（) A.y2=2x B.y2=x C.x2=y D.x2=2y 3.已知圆的一条直径的端点分别是A(1,0),B(-3,-4),则该圆的方程为( A.(x+1)2+y+2)2=8 B(x-1)2+(y-2)2=32 C.(x+1)2+y+2)2=32 D.(x-1)2+y-2)2=8 4.若直线L:2x+by+3=0过椭圆C:10x2+y2=10的一个焦点，则b等于（ A.1 B.±1 C.-1 D.±2 5. 已知双曲线C:答-若=1a>0)的两个焦点分别是R,R,焦距为10，A是双曲线c上的 点，且AF=7,则AF2的值为( ) A.14 B.13 C.13或1 D.14或1 6.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若点P到直线BC的距 离是到直线C,D,的距离的2倍，则动点P的轨迹所在的曲线是( ) D B A P D A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 高二 易题不错，难题不慌，计算细心，卷面工整，高分拿下 7.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，学 佼决定开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所 示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60时， 在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率 为e,则&=( A. B.V33-5 V3-2V2 D.V7-2W3 8.过点P(1,0)的直线交圆C:(x-1)2+0y+2)2=9于A,B两点，若CQ1AB,垂足为 Q,则点Q到直线x+y-2=0的最大距离为( A.V2-1 B.1 C.v2 D.V2+1 二、多选题（每小题有两个或三个正确答案，每小题全部选择正确得6分，部分选对得部分 分，错选或不选得0分，共18分，请将答案填涂在答题卡相应位置) 9.关于空间向量，以下说法正确的是() A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B.若两个非零向量a,的夹角(a,b)是钝角，则a.b<0 C.己知AB=(-1,2,0),平面a的法向量为m=(1,2,3),.则AB/Q D.已知向量组a,,是空间的一个基底，则a+五，+，d+也是空间的一个基底 10.已知圆O的半径为定长R,A是圆0所在平面内一个定点，P是圆0上任意一点，线段AP 的垂直平分线和直线OP相交于点Q,当点P在圆上运动时，关于点Q的轨迹，下列命题征确 的是( A若A是圆O内的一个定点（非点0）时，点Q的轨迹是椭圆 B.若A是圆O外的一个定点时，点Q的轨迹是双曲线的一支 C.若A与点O重合时，点Q的轨迹是圆 )若A是圆O上的一个定点时，点Q的轨迹不存在 [学1/3 易题不错，难题不慌，计算细心，卷面工整，高分拿下 11.双曲线具有光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线被双曲线反射后，反射光线的 反向延长线经过双曲线的另一焦点。已知双曲线c器-器=1(a>0,b>0)的离心率为号 左、右焦点分别为R(-c,0),R(c,0),点A(,2)是双曲线C上一点，P(xo.Yoo>3,%> 0)是双曲线C右支上一点，由点F2射出光线L1到点P,经点P反射出光线l2,PT平分LF1PF2, 交x轴于点T.下列结论正确的是( 6.双曲线c的方程为号-若=1 B.若PF1⊥PF2,则△PFF2的面积为14 C.点T的坐标为（品，） D.若x0=9,则|PF2引=12 三、填空题（每小题5分，共15分。请将答案填写在答题卡相应位置） 12、已知{d,i,}是空间的一个基底，向量AB=2-3,AC=d+,AD=b+,且 A,B,C,D四点共面，则入=一 13.已知双曲线E:若-器=1(a>0,b>0),倾斜角为45°的直线与双曲线相交于A,B两 点，AB的中点是M(4,1),则双曲线的离心率e= 14.过圆x2+y2=25上的一动点作圆C:x2+y2=9的两条切线，则圆C内不在任何切点弦 (两个切点之间的线段称为切点弦)上的点形成的区域的面积为一· 四、解答题（本大题共5小题，共77分。请将答案填写在答题卡相应位置） 15(13分)已知双曲线C:兰-若=1(a>0,b>0)的实轴长为2W2,左右焦点为B、 F2,直线经过点F2,且l与双曲线C交于A、B两点.当直线与x轴垂直时，AB引=V2. (1)求双曲线C的渐近线方程； (2)若直线的倾斜角为2，求△F1AB的面积. 高二数学 易题不错，难题不慌，计算细心，卷面工整，高分拿下 16(15分)已知圆C经过A(0,-1)和B(2,1),且圆心C在直线x-2y-1=0上. (1)求圆C的方程； (2)若直线过点(2,2)，与圆C交于M,N两点，∠MCN=90°，求直线的方程， 17(15分)如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB//CD,AB⊥BC,AA1=AB= BC=2,CD=3,E是A1B的中点，G是线段A1D上的一个动点，点F在A1C上，且满足 = AIC (1)证明：平面A1FD⊥平面AEF, (2)若G,A,E,F四点共面，求G到平面A1BC的距离. A B D F、 C E G B A C 2/3 易题不错，难题不慌，计算细心，卷面工整，高分拿下 18(17分)己知点A(-1,0),B(1,0),P是直线AB外的一个动点，PQ1AB,垂足为Q,且Q在 线段AB外，IPQI2=3引AQI·IBQ|,记点P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程： (2)若不过原点的直线l交C于M,N两点，M关于x轴的对称点为T,请再从条件①、②和③中 选择一个合适的作为已知，证明以下问题： (i)l过定点(3,0) (ii)△BMN不可能为锐角三角形， 条件：①直线TB和NA的斜率之和为0； ②直线TB和NB的斜率之积为6； ③直线TB和NA的斜率之商为2. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解 答，按第一个解答计分. 高二数 易题不错，难题不慌，计算细心，卷面工整，高分拿下 19(17分)如图，己知椭圆r的短轴长为4，焦点与双曲线足-=1的焦点重合.点 4-t t P(4,0),斜率为的直线L1与椭圆Γ交于A,B两点。 M N 4 B (1)求椭圆Γ的方程 (2)极点与极线是法国数学家吉拉德·迪沙格于1639年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲 线论稿》中正式阐述的.对于椭圆：兰+是=1，极点P,(o,0)(不是原点)对应的极线为 l,:+=1,若极点P在x轴上，过点P作椭圆r1的割线交椭圆r1于点A1,B1,求证： 对于lR,上任意一点H,均有kHA1+kHB,=2kHP。(当斜率均存在时)· (3)已知点Q是直线L1上的一点，且点Q的横坐标为2.连接PQ交y轴于点E.连接PA,PB分 别交椭圆T于M,N两点 ①设直线AB、MN分别交y轴于点D、点T,证明：点E为D、T的中点； ②证明直线：MN恒过定点，并求出定点的坐标. 学3/3