专题10一次函数与方程（组）.不等式及应用复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册
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内容正文：
专题10一次函数与方程（组）.不等式及应用复习讲义
1.理解一次函数与一元一次方程的联系，知道一次函数图像与横轴交点横坐标，就是对应一元一次方程的解，会用图像法解方程。
2.掌握一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图像交点的坐标，就是对应二元一次方程组的解，能结合图像求方程组的解。
3.理清一次函数与一元一次不等式的关系，会利用函数图像，直接写出不等式的解集，能对比图像判断函数值大小。
4.会区分图像法、代数计算法两种解题思路，能看懂图像信息，转化成方程、不等式问题求解。
5.能从实际情境中提取数量关系，建立一次函数模型，解决行程、利润、方案选择等实际应用题。
6.会结合自变量的实际取值范围，分析函数最值，对比不同方案选出最优方案。
7.分清代数解法和图像解法的优缺点，规避交点坐标看错、自变量范围忽略、不等号方向出错等常见问题。
题型
考察方向
难度
题型一
已知直线与坐标轴交点求方程的解
★
题型二
由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点
★
题型三
利用图象法解一元一次方程
★
题型四
由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
★★
题型五
根据两条直线的交点求不等式的解集
★★
题型六
两直线的交点与二元一次方程组的解
★★
题型七
图象法解二元一次方程组
★★
题型八
求直线围成的图形面积
★★★
题型九
分配方案问题
★★★
题型十
最大利润问题
★★★
题型十一
行程问题
★★★
题型十二
梯度计价问题
★★
题型十三
一次函数与几何综合
★★★
拔高题
8题
星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴
知识点01:一次函数与一元一次方程
1.形式对应
一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b
2.几何意义
方程 kx+b=0 的解 .⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。
3.结论
求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。
已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0。
.
知识点02:一次函数与一元一次不等式.
1.对应关系
kx+b>0 ⇔ y>0
kx+b<0 ⇔ y<0
kx+b≥0 ⇔ y≥0
kx+b≤0 ⇔ y≤0
2.几何意义
y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。
y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。
3.快速判断（k>0 为例）
直线从左到右上升
x>x0时，y>0
x<x0时，y<0
知识点03:一次函数与二元一次方程组
1.对应
二元一次方程组
⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2。
2.解的几何意义
方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。
3. 两直线位置与方程组解的关系（必考表格）
直线参数关系
图像位置
方程组解的情况
k1≠k2
两直线相交，有 1 个交点
方程组有唯一一组解
k1=k2，b1≠b2
两直线平行，无交点
方程组无解
k1=k2，b1=b2)
两直线完全重合，无数公共点
方程组有无数组解
知识点04:一次函数应用解题步骤（通用）
步骤序号
详细通用解题步骤
1
审题，梳理题目已知条件、所求问题，找出题目中的数量关系
2
设定自变量与因变量，用字母表示相关未知量
3
根据等量关系，列出一次函数解析式
4
结合实际场景中的限制条件，列出不等式，确定自变量的取值范围
5
根据问题要求，利用解析式、方程或不等式进行计算
6
结合实际意义检验结果，舍去不符合条件的值
7
整理过程，规范写出最终答案
知识点05:常见实际模型 + 核心公式（必背）
题型
核心等量关系 & 公式
分配方案问题
1. 总数量=各部分数量之和 2. 总费用=单项单价×对应数量
最大利润问题
1. 单件利润=售价−进价
2. 总利润=单件利润×销售量−固定成本
3.总利润=总收入−总成本
行程问题
1. 路程 =速度×时间：s=vt
2.总路程= 初始路程 + 行驶路程：s=vt+s0
3.相遇：两者路程和 = 两地总距离
4.追及：两者路程差 = 初始间距
工程问题
1.工作总量=工作效率 × 工作时间
2.合作工作量=甲工作量+乙工作量（常规设工作总量为单位1）
梯度计价（分段计费）
总费用=各分段费用之和
单段费用= 本段单价 × 本段用量
知识点06:高频易错点汇总
易错类型
错误表现
标准正确要求
混淆图像解集
解kx+b>0取 x 轴下方图像
>0取直线 x 轴上方，<0取下方
方程组图像理解错误
认为平行直线有解
k相等截距不等时两直线平行，方程组无解
实际问题漏取值范围
求出函数后不考虑人数、长度不能为负数
自变量必须符合现实意义，标注取值范围
最优方案不分类讨论
只看交点，不分大小区间判断方案
以交点为临界，分x<m、x=m、x>m三段分析
图像坐标含义读错
把纵轴数值当成自变量
横轴为x，纵轴为y，交点横坐标是方程解
忽略k≠0限制
列式不考虑一次函数系数不为 0
实际建模、参数求值时保证一次项系数不为 0
题型一：已知直线与坐标轴交点求方程的解
1．如图，直线过点，，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，运用数形结合的思想是解此题的关键．根据直线过点，即可得解．
【详解】解：直线过点，
关于的方程的解是．
故选：B．
2．一次函数（是常数，且）的图像如图所示，则方程的解为_______．
【答案】
【分析】结合图像，确定与x轴交点的坐标的横坐标，就是方程的解．
【详解】∵一次函数（是常数，且）的图像与x轴交点的坐标的横坐标为，
∴的解为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，正确理解二者的关系是解题的关键．
3．如图，直线（和是常数且）交轴、轴于点、，下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式等知识点，掌握数形结合是解题的关键．
根据一次函数的性质、一次函数与一元一次方程、一次函数与一元一次不等式以及函数的图象逐项判断即可．
【详解】解：如图：由函数图象可知直线（k和b是常数且）交x轴，y轴分别于点，．
∴方程的解是，即A选项错误，不符合题意；
由函数与的图象关于y轴对称，则函数的图象与x轴交点的横坐标为，所以方程的解是，即B选项错误，不符合题意；
由函数图象可知：当时，函数的图象在x轴的上方，不等式的解集是，即C选项正确，符合题意；
由函数图象可知：不等式的解集是，即D选项错误，不符合题意．
故选：C．
题型二：由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点
4．直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，根据一次函数与一元一次方程的关系即可求解，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵直线上有一点的坐标是，
∴当时，，
∴方程的解是，
故答案为：．
5．已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数的图象与一元一次方程之间的关系，正确理解一次函数的图象与一元一次方程之间的关系是解题的关键．由题意知函数的图象与x轴的交点坐标为，即得答案．
【详解】解：因为方程的解是，
所以函数的图象与x轴的交点坐标为，
所以C选项符合题意．
故选：C．
6．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______．
【答案】/
【分析】延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标．
【详解】解：如图所示，延长交x轴于点D，
∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，
∴设，由反射定律可知，
，
∴，
∵于，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，则将点，点代入得
，
∴，
∴直线为，
当时，，
∴点C坐标为．
题型三：利用图象法解一元一次方程
7．如图，直线和相交于点，关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据两个一次函数图象交点的横坐标就是对应的一元一次方程的解，直线与直线交于点，进而求出方程的解．
【详解】解：方程的解，对应直线与直线交点的横坐标，
由图象可知，两条直线相交于点，
即当时，与的值相等，
方程的解为．
8．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系.将方程变形为，可知方程的解即为两函数图像交点的横坐标．根据交点坐标即可得出答案．
【详解】解：由方程，移项得，
∵一次函数与的图像相交于点，
∴当时，成立，
∴关于��的方程的解是．
9．如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将点、的坐标代入一次函数中，即可得到一次函数解析式；利用一次函数图象上点的坐标和一次函数与一元一次方程的关系进行分析判断．
【详解】解：将点、的坐标代入一次函数中，
得，解得，
∴一次函数的解析式为：，
将点，代入得，解得，
∴，
由图象得：方程的解为．
题型四：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
10．如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了一次函数的图象与不等式的关系，正确理解函数图象是解题的关键．不等式即为轴下方的图象，根据图象直接解答．
【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴不等式的解集是．
11．如图，一次函数的图象经过A、B两点，则的解集是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图象可得，一次函数的图象与轴交于点，从而即可得出结果．
【详解】解：由图象可得，一次函数的图象与轴交于点，
故的解集是．
12．如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是________．
【答案】
【分析】先根据直线平移得出直线向右平移2个单位得到的函数解析式为，再求出直线与x轴的交点坐标为，最后得出关于x的不等式的解集是即可．
【详解】解：将直线向右平移2个单位得到的函数解析式为，
∵直线与x轴交于点，
∴将直线向右平移2个单位后与x轴的交点为，
即直线与x轴的交点坐标为，
∵当时，直线的图像在x轴的上方，
∴关于x的不等式的解集是．
题型五：根据两条直线的交点求不等式的解集
13．一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是________．
【答案】
【分析】明确一元一次不等式的几何意义：寻找一次函数的图象位于图象下方时对应的的取值范围．先确定两个一次函数图象的交点横坐标，因为交点处两个函数的函数值相等，所以交点横坐标是不等式解集的分界点．结合图象的增减性和相对位置，判断分界点左侧还是右侧满足的图象在图象下方，从而确定解集．
【详解】解：由图象可知，一次函数和的图象交点的横坐标为，一次函数随x的增大而减小，一次函数随x的增大而增大，
在交点右侧满足的图象在图象下方，
∴关于x的一元一次不等式的解集是．
14．如图，一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集是______________．
【答案】
【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点，
根据图象可知，当时，一次函数的图象在的图象的上方，
∴关于x的不等式的解集是：．
15．如图，直线与轴交于，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先利用待定系数法求得、的值，然后结合图象作答即可．
【详解】解：直线与轴交于，直线与直线交于点，
，
解得：，
由图象可知关于的不等式的解集是，．
题型六：两直线的交点与二元一次方程组的解
16．直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：联立两直线解析式，得，
解得，
∴直线与直线的交点坐标是．
17．一次函数（为常数）与的图象交于点，则关于、的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】两个一次函数图象的交点坐标即为对应二元一次方程组的解，先求交点横坐标即可得解．
【详解】解：∵点在的图象上，
∴，
解得，
∴两函数图象的交点坐标为，
∵方程组的解与两个一次函数图象的交点坐标相同，
∴方程组的解为．
18．以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图象．如图，二元一次方程组（为常数）中的两个二元一次方程的图象交于点P，则的值为_________．
【答案】
【分析】将代入，可求出点P的坐标，即可解答．
【详解】解：将代入，得
，
解得．
∴，
∴．
题型七：图象法解二元一次方程组
19．以方程的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为_________．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数与二元一次方程，关键是将方程转换成
将方程转换成，即可确定这条直线对应的一次函数表达式．
【详解】解：在方程中， 可得：，
∴这条直线对应的一次函数表达式为；
故答案为：．
20．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________．
【答案】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系，方程组的解即为两函数图象交点的坐标，观察图象找出交点坐标即可．
【详解】解：∵函数与的图象的交点坐标为，
∴关于x，y的二元一次方程组的解为．
21．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（ ）
A．点在的图象上 B．若，则
C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小
【答案】B
【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解．解题时要熟练掌握并能通过图象分析是关键．
【详解】解：由题意，对于A，当时，，
∴点在的图象上，故A正确，不合题意；
对于B，结合图象可得 若，则，
∴B错误，符合题意；
对于C，∵函数与直线的交点如图所示，
∴函数与直线的交点最多3个．
∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意；
对于D，结合图象可得，当时，随的增大而减小，
∴D正确，不合题意．
故选：B．
题型八：求直线围成的图形面积
22．已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积是( )
A．12 B．13 C．16 D．18
【答案】C
【分析】将点分别代入与求出m和n的值，再求出点B和点C的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：把点代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
∴，
把点代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，以及一次函数图象上点的坐标，直线围成的三角形面积，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤．
23．新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数．若一次函数过点，则一次函数与它的交换函数和y轴围成的三角形的面积为________．
【答案】4
【分析】本题考查了新定义以及一次函数的图象和性质，正确理解新定义是解题的关键．根据点在函数上，可求出k的值，进而得到原函数和交换函数的解析式．再求两函数与y轴的交点坐标及两函数的交点坐标，最后利用三角形面积公式计算面积．
【详解】解：∵一次函数过点，代入得，解得．
∴原函数为，其交换函数为．
，令时，，∴点．
，令时，，∴点．
联立方程，解得
∴点，
∴．
∵点A和点B在y轴上，线段的长度为．
因此，三角形面积为．
故答案为：4．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先求出点A、B、C的坐标，得出，，求出，设点D的坐标为，根据，求出m的值，即可得出答案．
【详解】解：连接，
把代入得：，
∴点B的坐标为，
把代入得：，
∴点A的坐标为，
把代入得：，
∴点C的坐标为，
∴，，
∴，
设点D的坐标为，则：
，
解得：，
，
∴点D的坐标为，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是设点D的坐标为，根据三角形面积列出关于m的方程，解方程．
题型九：分配方案问题
25．大剧院举办专场公益音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，并制定了两种优惠方案，方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；方案二：按总价的付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会，设学生人数为（人），付款总金额为（元）．则
（1）方案一中与的函数关系式为____________________，
方案二中与的函数关系式为____________________；
（2）如果学生人数为30人，方案__________更优惠．
【答案】
（且为整数）
（且为整数）
二
【分析】结合两种优惠方案的计费规则，分别建立总付款金额与学生人数的函数关系，代入学生人数30计算两个方案的付款金额，通过比较金额大小判断更优惠的方案．
【详解】解：∵方案一规则为购买1张成人票赠送1张学生票，4名老师需购买4张成人票，因此可免费获得4张学生票，
∴需要付费的学生人数为人，
∴总付款金额为成人票总费用加付费学生票的总费用，即，
化简得（且为整数）；
∵方案二规则为按总价的付款，无赠票优惠，
∴未打折的总金额为成人票总费用加全部学生票的总费用，即，
∴总付款金额为，
化简得（且为整数），
当学生人数时，
方案一的付款金额为元，方案二的付款金额为元，
∵，
∴方案二的付款金额更低，更优惠．
26．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：
甲种货车
乙种货车
载货量（吨/辆）
25
20
租金（元/辆）
2000
1800
请问：李老板最少要花掉租金（ ）．
A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元
【答案】B
【分析】设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，用x将y表示出来，进行判断即可．
【详解】解：设需要租用甲种货车x辆，则租用乙种货车辆，需要的费用为y元，根据题意得：
，
∵，
∴，
∴当时，y最小，最小值为：
（元），
即李老板最少要花掉租金16000元，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，列出一次函数的解析式是解题的关键．
27．A城有水果，B城有水果，现要把这些水果全部运往C，D两乡，C乡需要水果，D乡需要水果，设A城运往C乡的水果为x吨，运往C乡水果的总运费为元，运往D乡水果的总运费为元（要求所有运输量无0吨调配，均大于0且为整数）．运费如下表所示：
C乡（元/吨）
D乡（元/吨）
A城
20
25
B城
15
24
(1)分别求出，关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案；
(3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示）
【答案】(1)，；x的取值范围是，且x为整数
(2)最少总运费为10844元，运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运．
(3)最少总运费元，运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运．
【分析】（1）根据题意列式求解即可；
（2）列出W关于x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可；
（3）列出W关于x的函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：“运往乡的总运费”与两笔运费之和：
；
“运往乡的总运费”与两笔运费之和：
．
∵“所有运输量均大于0”，
∴且（自动满足），
∴，且为整数．
（2）解：．
∵，
∴随增大而增大，
∴取最小值1时最少，元．
∴运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运．
（3）解：单价变为元，总运费
．
∵，一次项系数，
∴随增大而减小，
∴取最大值219（保持）时最少：
（元）．
运输方案为：A城往C乡运，A城往D乡运，B城往C乡运，B城往D乡运．
题型十：最大利润问题
28．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________．
【答案】或
【分析】设，根据题意，得，解答即可．
本题考查了待定系数法求解析式，利润问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
【详解】解：设，
根据题意，得
解得，
故解析式为，
故或，
故答案为：或．
29．某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】B
【分析】先根据数量关系得到甲图书数量的取值范围，再列出总花费的一次函数解析式，根据一次函数增减性即可求出最小花费．
【详解】解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，总花费为元，
∵购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，
∴，
解得：，
∴，
∵为正整数，
∴的最小取值为，
甲种图书单价为元，乙种图书单价为元，
∴总花费，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当取最小值时，取得最小值，元，
∴本次购买本图书最少花费为1215元．
30．为了节能减排，某工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买盏甲型节能灯和盏乙型节能灯需要元；若购买盏甲型节能灯和盏乙型节能灯需要元．
(1)求盏甲型节能灯和盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)该工厂决定购买以上两种型号的节能灯共盏，且甲型节能灯的数量不超过乙型节能灯数量的倍，如何购买这两种型号节能灯使其总费用最少，最少费用是多少元？
【答案】(1)盏甲型节能灯的售价为元，盏乙型节能灯的售价为元
(2)购买甲型节能灯盏、乙型节能灯盏时总费用最少，最少费用是元
【分析】（1）设盏甲型节能灯的售价为元，盏乙型节能灯的售价为元，根据两种购买方案的总费用，列二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可得出两种节能灯的单价；
（2）设购买甲型节能灯盏，则购买乙型节能灯盏，总费用为元，根据（1）中结果，可得，根据甲型节能灯的数量不超过乙型节能灯数量的倍得出，根据一次函数的性质即可得出答案．
【详解】（1）解：设盏甲型节能灯的售价为元，盏乙型节能灯的售价为元，
∵购买盏甲型节能灯和盏乙型节能灯需要元；若购买盏甲型节能灯和盏乙型节能灯需要元，
∴，
解得，
∴盏甲型节能灯的售价为元，盏乙型节能灯的售价为元．
（2）解：设购买甲型节能灯盏，则购买乙型节能灯盏，总费用为元，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∵甲型节能灯的数量不超过乙型节能灯数量的倍，
∴，
解得，
∴当时，取得最小值，最小值为（元），
此时，，
∴购买甲型节能灯盏、乙型节能灯盏时总费用最少，最少费用是元．
题型十一：行程问题
31．已知某租车公司有A，B两种租车方案．A方案：先支付500元，再按每千米0.5元收费；B方案：直接按每千米1元收费．已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是________．
【答案】800千米
【分析】分别计算两种方案花费元时，对应的行驶里程；相同花费下，行驶里程更大的为最优租车方案，据此解答即可．
【详解】解：设小明的行驶里程是千米，需要的总花费是元，
由题意得：A方案：；当时，，解得；
B方案：；当时，；
∵小明使用的是最优租车方案，且，
∴小明选择的是B方案，他的行驶里程是800千米．
32．已知，、两地相距，上午时，亮亮从地步行到地，时芳芳从地出发骑自行车到地，亮亮和芳芳两人离地的距离（）与亮亮所用时间（）之间的函数关系如图所示，则芳芳到达地的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出亮亮的函数解析式，利用交点纵坐标求出相遇时间，再求出芳芳的函数解析式，令求出芳芳到达地的值，最后推算时刻．
【详解】解：设亮亮离地的距离（）与所用时间（）之间的函数关系为，
由图像可知，过点，
代入可得，
解得，
则，
当，解得
则两条直线的交点为，
设芳芳离地的距离（）与所用时间（）之间的函数关系为，
由图像可知，过点，，
可得，
解得，
则，
当芳芳到达地时，，
，
解得，
故芳芳到达地的时间为．
33．如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空：
(1)当t为0时，甲离A地______千米；
(2)甲的速度为______时，乙的速度为______时；
(3)当t为______时，甲、乙两人离A地距离相等；
(4)当时，乙离开A地的时间是______时．
【答案】(1)10
(2)2；4
(3)5
(4)7
【分析】（1）由图象可以得到当时间为0时，甲离A地的距离是多少；
（2）结合函数图象，根据“路程÷时间=速度”解答即可；
（3）由图象可以得到甲、乙两人离A地距离相等时的时间；
（4）设出对应的函数表达式，然后根据点在此函数的图象上，可以求得对应的函数表达式，然后令，可以求得相应的t的值，本题得以解决．
【详解】（1）解：由图象可知，当时间为0时，甲离A地10千米
（2）解：甲的速度为；乙的速度为；
（3）解：由图象可知，当时间等于5时，甲、乙两人离A地距离相等；
（4）解：设对应的函数表达式是，
∵点在此函数的图象上，
∴，
解得，，
即对应的函数表达式是：，
令时，，
解得．
题型十二：梯度计价问题
34．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________．
【答案】
【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可．
【详解】解：由题意得，
整理得，．
35．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：t）之间的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．若小王家某月用水8t，则当月水费为20元
B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为13t
C．若当月用水15t，则当月水费45元
D．若当月用水超过10t，则每多用1t水，当月水费就多4元
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再逐项判断，即可．
【详解】解：当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为，
把点代入得，解得：，
∴当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为，
当时，设当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为，把点、代入得：
，解得：，
即：当时，当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：）之间的函数关系式为，
当时，，即小王家某月用水，则当月水费为24元，故A选项错误；
当时，，解得：，
即小王家某月水费为45元，则当月用水量为，故B选项正确；C选项错误；
∵，
∴当月用水超过，则每多用水，当月水费就多5元，故D选项错误．
36．某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表：
购买数量
不超过的部分
超过的部分
单价（元/）
3
2
设顾客购买苹果的费用为元．
(1)分别写出当，时，与之间的关系式．
(2)小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？
【答案】(1)当时，；当时，
(2)10元
【分析】（1）根据分段计价的方式列关系式即可；
（2）分别求出两种购买方式所付的费用，再作差即可．
【详解】（1）解：当时，；
当时，．
（2）解：若小亮一次性购买苹果，所付的费用为（元），
若小亮分两次购买（每次购买苹果），所付的费用为（元），
（元），
即小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少元．
题型十三：一次函数与几何综合
37．直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上．若的面积为12，则点P的坐标为________．
【答案】或
【分析】先求出直线与坐标轴交点A、B的坐标，设出点P坐标，利用三角形面积公式列方程求解即可．
【详解】解：求A点坐标，令，代入得：，解得，
，
求B点坐标，令，代入得：，
，
设点P坐标为，P在x轴上，中，底边长为，高为点B到x轴的距离，
根据面积为，列方程得：，
化简得，解得或，
点P的坐标为或．
38．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出直线与坐标轴交点的坐标，再求出中点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可．
【详解】解：一次函数，
令，得，；
令，得，；
直线过原点且将分割为面积相等的两个三角形，
直线必经过线段的中点．
设的中点为，则点的坐标为，即．
设直线的解析式为．
将代入，得，解得．
直线的解析式为．
39．已知：直线交轴于点，交轴于点，点坐标为．
(1)求直线和的解析式；
(2)如图，点为线段上一点，连接，若，求点的坐标；
(3)如图，点在射线上，点在射线上，直线交轴于点，（点，不与点重合）设的面积为，的面积为，若，求的值．
【答案】(1)直线解析式为，的解析式为
(2)
(3)
【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可；
（2）过C作交的延长线于，过C作轴，过B作，过H作，
可证，则可得，求出直线的解析式，再求点坐标即可；
（3）过作交轴于，作轴，作轴，可求解析式，设，则可表达出解析式，进而可表示出两点横坐标，因为与同以为底，所以，则题目可解．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
∵直线交轴于点，交轴于点，代入得：
解得，
∴直线的解析式为；
设直线的解析式为
∵直线过点，点，代入得：
解得，
∴直线的解析式为；
（2）解：过C作交的延长线于，过C作轴，过B作，过H作，
∵，，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得：
解得，
∴直线的解析式为；
令得，，
解得，
∴；
（3）解：过作交轴于，作轴，作轴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵在中，，
∴，
解得，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得：
解得，
∴直线的解析式为；
设，
∵
∴直线的解析式为；
令得：
，
∴
令得：
，
∴
∵与同以为底，
∴．
解答题
40．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象相交于点．
(1)求点的坐标，并根据图象直接写出关于的不等式的解集；
(2)若点在函数的图象上，点在函数的图象上，连接，当时，求的值．
【答案】(1)，
(2)1或．
【分析】（1）求出两直线交点的横坐标和纵坐标即可得到点的坐标，根据图象即可求出关于的不等式的解集；
（2）分点在点上方和点在点下方两种情况进行解答即可．
【详解】（1）解：令，得，解得，
，
∴点的坐标为，
由图象可知，关于的不等式的解集为．
（2）解：将点代入，得，
将点代入，得，
①当点在点上方，即时，此时，
，解得；
②当点在点下方，即时，此时，
，解得．
综上，当时，的值为1或．
41．如图，直线分别与x轴、y轴交于点B和点A，直线分别与x轴、y轴交于点和点A．
(1)求点B坐标及直线的表达式；
(2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别交直线和直线于点M、点N，若，求出点P的坐标；
(3)是否存在等腰直角三角形，使直角顶点D在直线上，同时点E在直线上，如果存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；直线的表达式为
(2)
(3)或
【分析】（1）先分别求出点A、B的坐标，再把点A和点C的坐标分别代入，即可求出直线的表达式；
（2）设，则，，因此可得，根据，得，点P在线段上，即可求出点P的坐标；
（3）设，，过点D作轴于点M，过点E作于点N，证明，则，列式，，解得，进而可得点D的坐标；过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q，证明，则，列式，解得，进而可得点D的坐标．
【详解】（1）解：把代入得：，
把代入得：，解得，
，，
把，代入得：
，
解得：，
直线的表达式为；
（2）解：设，则，，
，
，
，
解得或，
∵点P在线段上，
；
（3）解：存在，理由如下：
直角顶点D在直线上，点E在直线上，
设，，
过点D作轴于点M，过点E作于点N，
若是等腰直角三角形，则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
解得：，
此时；
过点D作轴于点P，过点E作的延长线于点Q，
若是等腰直角三角形，则，
，
，
在和中，
，
，
，
解得，
此时；
综上所述，点D的坐标为：或．
42．如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与一次函数交于点．
(1)观察图象，直接写出的解集为______；
(2)若的值为，求不等式的解集；
(3)若不等式的解集是，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据一次函数与轴、轴分别交于点，，即可得到不等式的解集；
（2）当时，可得不等式：，解不等式即可求出解集；
（3）利用待定系数法求出一次函数的解析式为，根据不等式的解集是，即可求出点的横坐标为，把代入解析式即可求出点的坐标．
【详解】（1）解：一次函数与轴、轴分别交于点，，
不等式的解集为；
（2）解：当时，
可得不等式：，
解得：；
（3）解：由函数图象可知：在点的右侧，
不等式的解集是，
点的横坐标是，
一次函数与轴、轴分别交于点，，
∴，
解得：，
一次函数的解析式为，
当时，
可得：，
点的坐标是．
43．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)利用图象求方程的解；
(2)利用图象求不等式的解集；
(3)若，求的取值范围；
(4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)见解析．
【分析】（1）方程的解为函数的图象与的交点横坐标；
（2）不等式的解集为函数的图象在轴下方部分的取值范围；
（3）根据题意可得，即可得的取值范围；
（4）从形式、图象、本质关系进行分析说明即可．
【详解】（1）解：根据图象可得方程的解为．
（2）解：根据图象可得不等式的解集为．
（3）解：∵，，
∴，
∴．
（4）解：一元一次方程、一元一次不等式、一次函数的关系：
形式关联：一次函数解析式为，令，得到一元一次方程，令，得到一元一次不等式，令，得到；
图象角度：一元一次方程的解为一次函数的图象与轴交点的横坐标，一次函数图象在轴上方部分对应一元一次不等式的解集，一次函数图像在轴下方部分对应一元一次不等式的解集；
本质关系：方程是一次函数函数值为0的特殊情况，不等式是一次函数函数值大于或小于的取值范围，三者可以相互转化，可用一次函数图像直观解方程、解不等式．
44．为落实健康第一的教育理念，某校计划采购A、B两种型号健身器材共套．若采购A型健身器材2套，B型健身器材1套，共需元；若采购A型健身器材3套，B型健身器材2套，共需元．
(1)求A、B型健身器材每套各多少元？
(2)A型器材每月最多可供人次锻炼，B型器材每月最多可供人次锻炼．学校采购A、B两种器材总费用不超过元，且保证这套器材每月可接待锻炼总人次不少于人次．该校如何采购能使总费用最少？最少总费用是多少元？
【答案】(1)A型健身器材每套800元，B型健身器材每套1000元
(2)采购A型健身器材5套，B型健身器材5套，最少总费用9000元
【分析】（1）设A型健身器材每套x元，B型健身器材每套y元，根据“采购A型健身器材2套，B型健身器材1套，共需元；若采购A型健身器材3套，B型健身器材2套，共需元”列方程求解即可；
（2）设采购A型健身器材m套，求出m的范围，求出总费用的函数解析式，根据一次函数的性质作答即可．
【详解】（1）解：设A型健身器材每套x元，B型健身器材每套y元．
，
解得：;
答：A型健身器材每套800元，B型健身器材每套1000元．
（2）解：设采购A型健身器材m套，B型健身器材套．
解得：
∵m为整数，
∴或5，
设总费用为W元，
总费用，
因为-200<0
所以当m越大时，W越小，
所以当时，总费用最小．
此时．
答：采购A型健身器材5套，B型健身器材5套，最少总费用9000元．
45．某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元．
(1)分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价．
(2)某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍．
①该超市有哪几种进货方案？
②若该超市每袋A粽子售价为40元，每袋B粽子售价为55元，设购进A粽子袋，销售总利润元，请写出关于的函数关系式，并求出销售这100袋粽子能获得的最大利润，以及此时的进货方案．
【答案】(1)每袋A粽子进货价为30元，每袋B粽子进货价为40元
(2)①共有3种进货方案：
方案一：购进A粽子55袋，B粽子45袋；
方案二：购进A粽子56袋，B粽子44袋；
方案三：购进A粽子57袋，B粽子43袋
②（，且为整数）；
销售这100袋粽子的最大利润为1225元，此时进货方案为购进A粽子55袋，B粽子45袋
【分析】（1）设未知数，根据3袋A、2袋B总价170元，4袋A、5袋B总价320元列二元一次方程组求解；
（2）①设购进A粽子袋，则B粽子袋，根据总费用不超过3450元、A数量的3倍不超过B数量的4倍列出不等式组，求出整数解得到进货方案;
②先写出利润和的函数关系式，根据一次函数增减性，结合取值范围求最大利润．
【详解】（1）解：设每袋A粽子进货价为元，每袋B粽子进货价为元，
由题意得：
，
解得，
答：每袋A粽子进货价30元，每袋B粽子进货价40元．
（2）解：①设购进A粽子袋，则购进B粽子袋，
根据题意列不等式组：
，
解得，且为正整数，
可取，
方案1:，B粽子:袋；
方案2:，B粽子:袋；
方案3:，B粽子:袋．
②由题意:每袋A利润:元，每袋B利润:元，
，
，
随的增大而减小，
当取最小值时，取得最大值．
（元），
此时进货方案:购进A粽子袋，B粽子袋．
46．无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有、、三个快递网点，甲车由网点驶往网点，乙车由网点驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离B网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车的速度是 千米/时；
(2)求图象中线段的函数解析式．
(3)当两车距网点的路程之和是340千米时，直接写出乙车的行驶时间；
【答案】(1)70
(2)（）
(3)小时或 小时
【分析】（1）根据图像得到甲车走完全程 420 千米用时 6 小时，用路程除以时间算出甲车速度．
（2）先由图像算出乙车速度，求出乙车从 到 一共用时 9 小时，得到、两点坐标，代入一次函数一般式求出的解析式以及自变量范围．
（3）先写出甲、乙两车距离 网点路程的分段函数，分乙未过 、乙过 但甲未到 、甲已经到达 三种情况，根据路程之和等于 340 列方程，检验解是否在对应自变量取值范围，得到符合条件的行驶时间．
【详解】（1）解：∵ 甲车从 到 全程 420 千米，用时 6 小时
∴ 甲车速度 = （千米 / 时）
∴ 甲车的速度是 70 千米 / 时．
（2）解：∵ 由图象可知，乙车 2 小时行驶了 120 千米
∴ 乙车的速度为 （千米 / 时）
∵ 到 的距离是 120 千米，A 到 B 距离 420 千米
∴ 到 的距离为 千米
∴ 乙车从 到 行驶总时间为 （小时）
∴ 点坐标为，D 点坐标为
设线段 的函数解析式为
把， 代入解析式，得
，
解得 ．
∴ 线段 的函数解析式为 （）．
（3）解：由题意，先写出两个函数表达式
甲车距离 网点的路程：
，当时，甲车已经到达 点，，
乙车距离 网点的路程：
当时，
当时，
设乙车行驶小时后，两车距 网点的路程之和是 340 千米，分三种情况讨论：
① 当（乙车还没有经过 点）
，
，
，符合范围，保留．
② 当（乙车经过 点，甲车还没有到达 点）
，
不在范围内，舍去．
③ 当（甲车已经到达 点，，乙车继续向 行驶）
，
符合范围，保留．
答：乙车的行驶时间为小时或 小时．
47．如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为（），扫过的图形面积为（）．
(1)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
(2)当扫过的图形面积（）由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分和两种情况求出解析式；
（2）因为当时，，分别求出当扫过的图形面积（）为矩形面积的和当扫过的图形面积（）为矩形面积的的时间，即可求出点运动的时间．
【详解】（1）解：当点在上运动时，
，
，
，，
；
当点在上运动时，如下图所示，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
；
综上所述，；
（2）解：当时，，，
当时，，
当时，
可得：，
解得：；
当时，
可得：，
；
当扫过的图形面积（）由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了秒．
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专题10一次函数与方程（组）.不等式及应用复习讲义
1.理解一次函数与一元一次方程的联系，知道一次函数图像与横轴交点横坐标，就是对应一元一次方程的解，会用图像法解方程。
2.掌握一次函数与二元一次方程组的关系：两个一次函数图像交点的坐标，就是对应二元一次方程组的解，能结合图像求方程组的解。
3.理清一次函数与一元一次不等式的关系，会利用函数图像，直接写出不等式的解集，能对比图像判断函数值大小。
4.会区分图像法、代数计算法两种解题思路，能看懂图像信息，转化成方程、不等式问题求解。
5.能从实际情境中提取数量关系，建立一次函数模型，解决行程、利润、方案选择等实际应用题。
6.会结合自变量的实际取值范围，分析函数最值，对比不同方案选出最优方案。
7.分清代数解法和图像解法的优缺点，规避交点坐标看错、自变量范围忽略、不等号方向出错等常见问题。
题型
考察方向
难度
题型一
已知直线与坐标轴交点求方程的解
★
题型二
由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点
★
题型三
利用图象法解一元一次方程
★
题型四
由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
★★
题型五
根据两条直线的交点求不等式的解集
★★
题型六
两直线的交点与二元一次方程组的解
★★
题型七
图象法解二元一次方程组
★★
题型八
求直线围成的图形面积
★★★
题型九
分配方案问题
★★★
题型十
最大利润问题
★★★
题型十一
行程问题
★★★
题型十二
梯度计价问题
★★
题型十三
一次函数与几何综合
★★★
拔高题
8题
星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴
知识点01:一次函数与一元一次方程
1.形式对应
一元一次方程：kx+b=0 一次函数：y=kx+b
2.几何意义
方程 kx+b=0 的解 .⇔ 函数 y=kx+b 图像与 x 轴交点的横坐标。
3.结论
求方程 kx+b=0 的解 ⇔ 找直线与 x 轴交点。
已知直线与 x 轴交点 (x0,0)，则方程解为 x=x0。
.
知识点02:一次函数与一元一次不等式.
1.对应关系
kx+b>0 ⇔ y>0
kx+b<0 ⇔ y<0
kx+b≥0 ⇔ y≥0
kx+b≤0 ⇔ y≤0
2.几何意义
y>0：图像在 x 轴上方 部分对应的 x 取值范围。
y<0：图像在 x 轴下方 部分对应的 x 取值范围。
3.快速判断（k>0 为例）
直线从左到右上升
x>x0时，y>0
x<x0时，y<0
知识点03:一次函数与二元一次方程组
1.对应
二元一次方程组
⇔ 两条直线 l1:y=k1x+b1和 l2:y=k2x+b2。
2.解的几何意义
方程组的解 ⇔ 两条直线 交点坐标 (x,y)。
3. 两直线位置与方程组解的关系（必考表格）
直线参数关系
图像位置
方程组解的情况
k1≠k2
两直线相交，有 1 个交点
方程组有唯一一组解
k1=k2，b1≠b2
两直线平行，无交点
方程组无解
k1=k2，b1=b2)
两直线完全重合，无数公共点
方程组有无数组解
知识点04:一次函数应用解题步骤（通用）
步骤序号
详细通用解题步骤
1
审题，梳理题目已知条件、所求问题，找出题目中的数量关系
2
设定自变量与因变量，用字母表示相关未知量
3
根据等量关系，列出一次函数解析式
4
结合实际场景中的限制条件，列出不等式，确定自变量的取值范围
5
根据问题要求，利用解析式、方程或不等式进行计算
6
结合实际意义检验结果，舍去不符合条件的值
7
整理过程，规范写出最终答案
知识点05:常见实际模型 + 核心公式（必背）
题型
核心等量关系 & 公式
分配方案问题
1. 总数量=各部分数量之和 2. 总费用=单项单价×对应数量
最大利润问题
1. 单件利润=售价−进价
2. 总利润=单件利润×销售量−固定成本
3.总利润=总收入−总成本
行程问题
1. 路程 =速度×时间：s=vt
2.总路程= 初始路程 + 行驶路程：s=vt+s0
3.相遇：两者路程和 = 两地总距离
4.追及：两者路程差 = 初始间距
工程问题
1.工作总量=工作效率 × 工作时间
2.合作工作量=甲工作量+乙工作量（常规设工作总量为单位1）
梯度计价（分段计费）
总费用=各分段费用之和
单段费用= 本段单价 × 本段用量
知识点06:高频易错点汇总
易错类型
错误表现
标准正确要求
混淆图像解集
解kx+b>0取 x 轴下方图像
>0取直线 x 轴上方，<0取下方
方程组图像理解错误
认为平行直线有解
k相等截距不等时两直线平行，方程组无解
实际问题漏取值范围
求出函数后不考虑人数、长度不能为负数
自变量必须符合现实意义，标注取值范围
最优方案不分类讨论
只看交点，不分大小区间判断方案
以交点为临界，分x<m、x=m、x>m三段分析
图像坐标含义读错
把纵轴数值当成自变量
横轴为x，纵轴为y，交点横坐标是方程解
忽略k≠0限制
列式不考虑一次函数系数不为 0
实际建模、参数求值时保证一次项系数不为 0
题型一：已知直线与坐标轴交点求方程的解
1．如图，直线过点，，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
2．一次函数（是常数，且）的图像如图所示，则方程的解为_______．
3．如图，直线（和是常数且）交轴、轴于点、，下列结论正确的是（ ）
A．方程的解是 B．方程的解是
C．不等式的解集是 D．不等式的解集是
题型二：由一元一次方程的解判断直线与 x 轴的交点
4．直线上有一点的坐标是，则关于的方程的解是_______．
5．已知方程的解是，则函数的图象可能是（ ）
A． B．C．D．
6．如图，一束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点，则点C的坐标是______．
题型三：利用图象法解一元一次方程
7．如图，直线和相交于点，关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，若一次函数与相交于点，则关于的方程的解是______．
9．如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与直线的图象交于点，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
题型四：由直线与坐标轴的交点求不等式的解集
10．如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，一次函数的图象经过A、B两点，则的解集是（ ）．
A． B． C． D．
12．如图，直线分别交坐标轴于，两点，则关于x的不等式的解集是________．
题型五：根据两条直线的交点求不等式的解集
13．一次函数和的图象如图所示，则关于的一元一次不等式的解集是________．
14．如图，一次函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集是______________．
15．如图，直线与轴交于，直线与直线交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
题型六：两直线的交点与二元一次方程组的解
16．直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
17．一次函数（为常数）与的图象交于点，则关于、的方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
18．以二元一次方程的解为坐标的点的全体叫做这个二元一次方程的图象．如图，二元一次方程组（为常数）中的两个二元一次方程的图象交于点P，则的值为_________．
题型七：图象法解二元一次方程组
19．以方程的解为坐标的点组成的图象是一条直线，这条直线对应的一次函数表达式为_________．
20．在平面直角坐标系中，函数和的图象如图所示，那么关于x，y的二元一次方程组的解是________．
21．小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图像，如图所示，通过观察此图像，下列说法错误的是（ ）
A．点在的图象上 B．若，则
C．最多有三个实数根 D．当时，y随x的增大而减小
题型八：求直线围成的图形面积
22．已知一次函数与的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积是( )
A．12 B．13 C．16 D．18
23．新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数．若一次函数过点，则一次函数与它的交换函数和y轴围成的三角形的面积为________．
24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，若线段上的点D到直线的距离长为3，则点D的坐标为（ ）
A． B． C． D．
题型九：分配方案问题
25．大剧院举办专场公益音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，并制定了两种优惠方案，方案一：购买一张成人票赠送一张学生票；方案二：按总价的付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）学生听音乐会，设学生人数为（人），付款总金额为（元）．则
（1）方案一中与的函数关系式为____________________，
方案二中与的函数关系式为____________________；
（2）如果学生人数为30人，方案__________更优惠．
26．小李同学长大后当上了个体老板，一次他准备租用甲、乙两种货车将200吨货物运回眉山卖给厂家，两种货车的载货量和租金如下表所示：
甲种货车
乙种货车
载货量（吨/辆）
25
20
租金（元/辆）
2000
1800
请问：李老板最少要花掉租金（ ）．
A．15000元 B．16000元 C．18000元 D．20000元
27．A城有水果，B城有水果，现要把这些水果全部运往C，D两乡，C乡需要水果，D乡需要水果，设A城运往C乡的水果为x吨，运往C乡水果的总运费为元，运往D乡水果的总运费为元（要求所有运输量无0吨调配，均大于0且为整数）．运费如下表所示：
C乡（元/吨）
D乡（元/吨）
A城
20
25
B城
15
24
(1)分别求出，关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)怎样调度使得该过程的总运费最少，并求出最少的运输总费用以及对应的运输方案；
(3)由于从B城到D乡开辟了一条新的公路，使B城到D乡的运输费每吨减少了元，如何调度才能使总运费最少？最少的运输总费用是多少？（用含的式子表示）
题型十：最大利润问题
28．某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，经试销发现，销售量（个）与销售单价（元）之间满足如图所示的一次函数关系．若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润为600元，试写出利润与销售单价（元）之间的方程：___________．
29．某市图书馆在“全民阅读，处处书香”活动期间购买了甲、乙两种图书，共本．已知甲种图书每本元，乙种图书每本元．此时正逢图书供应商“优惠促销”活动，每本甲种图书打八折，每本乙种图书优惠元，且购买甲种图书的数量不少于乙种图书数量的倍，则本次购买这本图书最少花费（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
30．为了节能减排，某工厂决定将照明灯换成节能灯，若购买盏甲型节能灯和盏乙型节能灯需要元；若购买盏甲型节能灯和盏乙型节能灯需要元．
(1)求盏甲型节能灯和盏乙型节能灯的售价各是多少元；
(2)该工厂决定购买以上两种型号的节能灯共盏，且甲型节能灯的数量不超过乙型节能灯数量的倍，如何购买这两种型号节能灯使其总费用最少，最少费用是多少元？
题型十一：行程问题
31．已知某租车公司有A，B两种租车方案．A方案：先支付500元，再按每千米0.5元收费；B方案：直接按每千米1元收费．已知小明租车花费了800元，若他使用的是最优租车方案，则他的行驶里程是________．
32．已知，、两地相距，上午时，亮亮从地步行到地，时芳芳从地出发骑自行车到地，亮亮和芳芳两人离地的距离（）与亮亮所用时间（）之间的函数关系如图所示，则芳芳到达地的时间为（ ）
A． B． C． D．
33．如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空：
(1)当t为0时，甲离A地______千米；
(2)甲的速度为______时，乙的速度为______时；
(3)当t为______时，甲、乙两人离A地距离相等；
(4)当时，乙离开A地的时间是______时．
题型十二：梯度计价问题
34．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________．
35．为增强居民的节水意识，某市自来水公司实行以户为单位的阶梯水价收费制度．如图是该公司绘制的用户当月水费（单位：元）与当月用水量（单位：t）之间的函数图象，则下列说法正确的是（ ）
A．若小王家某月用水8t，则当月水费为20元
B．若小王家某月水费为45元，则当月用水量为13t
C．若当月用水15t，则当月水费45元
D．若当月用水超过10t，则每多用1t水，当月水费就多4元
36．某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表：
购买数量
不超过的部分
超过的部分
单价（元/）
3
2
设顾客购买苹果的费用为元．
(1)分别写出当，时，与之间的关系式．
(2)小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？
题型十三：一次函数与几何综合
37．直线与x轴、y轴分别交于点A、B，点P在x轴上．若的面积为12，则点P的坐标为________．
38．如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（ ）
A． B． C． D．
39．已知：直线交轴于点，交轴于点，点坐标为．
(1)求直线和的解析式；
(2)如图，点为线段上一点，连接，若，求点的坐标；
(3)如图，点在射线上，点在射线上，直线交轴于点，（点，不与点重合）设的面积为，的面积为，若，求的值．
解答题
40．如图，在平面直角坐标系中，一次函数与的图象相交于点．
(1)求点的坐标，并根据图象直接写出关于的不等式的解集；
(2)若点在函数的图象上，点在函数的图象上，连接，当时，求的值．
41．如图，直线分别与x轴、y轴交于点B和点A，直线分别与x轴、y轴交于点和点A．
(1)求点B坐标及直线的表达式；
(2)点P在线段上，过点P作x轴的垂线分别交直线和直线于点M、点N，若，求出点P的坐标；
(3)是否存在等腰直角三角形，使直角顶点D在直线上，同时点E在直线上，如果存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
42．如图，一次函数与轴、轴分别交于点，，与一次函数交于点．
(1)观察图象，直接写出的解集为______；
(2)若的值为，求不等式的解集；
(3)若不等式的解集是，求点的坐标．
43．函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)利用图象求方程的解；
(2)利用图象求不等式的解集；
(3)若，求的取值范围；
(4)请简要说明你对一元一次方程、一元一次不等式、一次函数之间的关系的理解．
44．为落实健康第一的教育理念，某校计划采购A、B两种型号健身器材共套．若采购A型健身器材2套，B型健身器材1套，共需元；若采购A型健身器材3套，B型健身器材2套，共需元．
(1)求A、B型健身器材每套各多少元？
(2)A型器材每月最多可供人次锻炼，B型器材每月最多可供人次锻炼．学校采购A、B两种器材总费用不超过元，且保证这套器材每月可接待锻炼总人次不少于人次．该校如何采购能使总费用最少？最少总费用是多少元？
45．某食品厂生产的A，B两种粽子深受广大消费者喜爱．已知3袋A粽子和2袋B粽子进货价为170元，4袋A粽子和5袋B粽子进货价为320元．
(1)分别求出每袋A粽子，B粽子的进货价．
(2)某超市计划用不超过3450元购进A粽子，B粽子共100袋，且A粽子数量的3倍不超过B粽子数量的4倍．
①该超市有哪几种进货方案？
②若该超市每袋A粽子售价为40元，每袋B粽子售价为55元，设购进A粽子袋，销售总利润元，请写出关于的函数关系式，并求出销售这100袋粽子能获得的最大利润，以及此时的进货方案．
46．无人快递车在我市的城市道路上已正式“上岗”．现有一条笔直的路上依次有、、三个快递网点，甲车由网点驶往网点，乙车由网点驶往网点，两车同时出发，匀速行驶．如图是甲、乙两车分别距离B网点的路程、（单位：千米）与乙车行驶时间（单位：小时）之间的函数图象，结合图象信息，解答下列问题：
(1)甲车的速度是 千米/时；
(2)求图象中线段的函数解析式．
(3)当两车距网点的路程之和是340千米时，直接写出乙车的行驶时间；
47．如图，在矩形中，，．动点从点出发，沿折线以的速度向终点运动．在运动过程中，连接．设点的运动时间为（），扫过的图形面积为（）．
(1)求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围．
(2)当扫过的图形面积（）由矩形面积的扩大到矩形面积的时，点运动了多长时间？
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