专题02全等三角形性质和判定及应用专题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题02全等三角形性质和判定及应用专题通关讲义 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF 则：对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:全等三角形证明题书写规范 1.格式统一使用三段论： ① 写出在哪两个三角形中； ② 按判定定理顺序列出三组相等条件（标注已知、公共边、公共角、对顶角等依据）； ③ 得出三角形全等结论，注明判定依据（SSS/SAS/ASA/AAS）。 2.条件书写顺序要与判定定理名称保持一致。 1、全等三角形对应元素识别错误 易错提醒：书写全等表达式时，字母必须按照对应顶点顺序排列；识别对应边、对应角不能只依靠图形视觉位置判断，优先依据全等记号确定对应关系，防止对应关系找错。 2、混淆全等三角形的性质与判定 易错提醒：性质是已知三角形全等，推导边、角相等；判定是利用边、角等量条件证明三角形全等；二者推理因果方向相反，书写证明过程不可颠倒逻辑。 3、误用SSA判定三角形全等 易错提醒：两边以及其中一边的对角对应相等（SSA）不能作为全等判定依据；满足该条件可以构造两种不同的三角形，证明题中禁止直接使用。 4、误用AAA判定三角形全等 易错提醒：三个内角对应相等（AAA）仅能够确定三角形形状一致，边长可以不相等，只能得到相似关系，不能判定三角形全等，不可用于证明。 5、证明全等遗漏图形隐含等量条件 易错提醒：公共边、公共角、对顶角属于图形自带的已知等量条件；审题时优先挖掘该类隐含条件，避免因缺少条件造成证明无法完成。 6、全等判定里边角位置不对应 易错提醒：选用ASA时，已知边必须为两组角的夹边；选用AAS时，已知边必须是其中一组内角的对边；边角位置不匹配时，不能套用对应判定定理。 7、周长、面积相等逆向推全等错误 易错提醒：全等三角形周长相等、面积相等；但周长相等或者面积相等的两个三角形不一定全等，不能反向由周长、面积相等推导三角形全等。 8、跳过全等证明直接使用对应边角结论 易错提醒：必须先完成三角形全等的完整证明，才可得到对应边、对应角相等；证明过程不能省略全等步骤，直接默认边角相等开展后续推理。 题型 考察方向 难度 题型一 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型二 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型三 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型四 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★ 题型五 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型六 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型七 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型八 三角形的稳定性及应用 ★ 题型九 用 HL 证全等（HL） ★★ 题型十 全等的性质和 HL 综合（HL） ★★★ 题型十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和 ★★★ 题型十二 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十三 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十四 倍长中线模型 ★★★★ 题型十五 垂线模型 ★★★★ 题型十六 全等三角形综合问题 ★★★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 尺规作图 —— 作三角形 1．根据下列给出的三角形的条件，一定画出唯一三角形的是（    ） A．三条边 B．三个角 C．两边一角 D．以上都可以 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定方法依次判断即可． 【详解】解：三条边对应相等的三角形是全等三角形， 一定画出唯一三角形， 故A选项符合题意； 三个角相等的两个三角形不一定全等， 三角形不唯一， 故B选项不符合题意； 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定相等， 三角形不唯一， 故C选项不符合题意； 综合B，C选项可知D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 2．已知线段，求作，使，，，下面作法的合理顺序为（    ） 分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点； 作直线，在上截取； 连接，则为所求作的三角形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作三角形，使三角形的三边等于已知边的作图步骤作答； 【详解】作三角形，使三角形的三边等于已知边，作图的顺序应该是： 作直线，在上截取； 分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点； 连接，则为所求作的三角形． 所以合理的顺序为： 故选：C． 【点睛】本题考查尺规作图，熟练掌握作三角形，使三角形的三边等于已知边的方法是关键． 3．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一；当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一，可确定取值范围． 【详解】解：若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则C点唯一即可， 当x＝d时，BC⊥AM，C点唯一； 当x>a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有一个交点， x=a时，以B为圆心，BC为半径的作弧，与射线AM只有两个交点，一个与A重合， 所以，当x≥a时，能构成△ABC的C点唯一， 故选为：A． 【点睛】本题考查了三角形的画法，根据题意准确作图并且能够分类讨论是解题关键． 题型二 用 SAS 证明三角形全等 4．几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，则证明运用的三角形全等的判定方法是（     ） A．定义 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得， ∴． 5．如图，于，，则的判定依据是________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 6．如图，已知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握利用“”来判定三角形全等是解题的关键．已知，即知，也就是已知两个三角形两边对应相等，只要添加夹角相等的相关条件即可． 【详解】， ， ，， ， ②正确； ， ， 根据②，即可判断， ④正确； 添加或，均不能满足“”， ①和③均错误； 可以利用的是②④． 故选：B． 题型三 全等的性质和 SAS 综合 7．如图①所示是我国古代建筑中常见的凉亭示意图，其顶部可看作如图②所示的，，点在上，．若的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴． 8．如图，在中，，，，射线，线段，其两端点，分别在射线和射线上移动，点从点开始移动，速度为，则当点运动______时，和全等． 【答案】或 【分析】点的运动时间为，由题意得，分两种情况：当时，，当时，，列方程求解即可． 【详解】解：点的运动时间为， 由题意得， 当时，， ， 解得； 当时，， ， 解得； 综上，则当点运动或时，和全等， 故答案为：或． 9．如图，在四边形中，是上的动点，过点作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定；延长至点，使，连接证明 ，根据全等三角形的性质以及线段的和的关系，可得，即可求解． 【详解】如图，延长至点，使，连接 ， ， 故选：C． 题型四 用 ASA（AAS）证明三角形全等 10．如图，在和中，，，则判定这两个三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等． 【详解】解：在和中， ． 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，将沿对角线翻折得到，边交轴于点．则点的坐标是___________． 【答案】 【分析】在矩形中，结合翻折可证，从而可设，在中，利用勾股定理求出线段的长度，即可求出点坐标． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，翻折问题等，设，运用勾股定理求出线段的长度是解题的关键． 【详解】解：∵矩形的顶点坐标分别是， ∴， 由翻折得， ∵， ∴， ∴， 设，， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，，，，图中全等的三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． 由，得到，即，再由，利用得出，由全等三角形的对应角，对应边相等得到，进而确定出． 【详解】解：图中全等三角形有 4 对，分别为， ， ， 即， 在和中， ， ； ∴， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 由，得到，即， 在和中， ， ， 故选：C． 题型五 全等的性质和 ASA（AAS）综合 13．如图，，，，垂足分别是，，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用证明，再根据全等三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， 根据现有条件无法证明， ∴四个选项中，只有D选项符合题意． 14．如图，在中，，，平分交于点，若的面积等于6，则________． 【答案】2 【分析】过点作交于点，证明得到，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点作交于点， 平分交于D， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ， ， ∴． 15．如图，在中，，，F是延长线上的一点，过点F作，交的延长线于点E，D是的中点，连接．若，，则的长是（   ） A．7 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，平行线的性质，勾股定理的应用，熟练掌握全等三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 延长交于点G，证明，可得，，然后在中，利用勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：延长交于点G， ∵， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴． 故选：B 题型六 用 SSS 证明三角形全等 16．如图，若，，则可判定的直接依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，， ∴． 17．雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定．证明，又由，，即可证明． 【详解】解：∵，点分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， 故选：C 18．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个． 【答案】4 【分析】运用可得与全等的三角形有个，即可求解． 【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 题型七 全等的性质和 SSS 综合 19．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ） A．60° B．65° C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，先证，得出，再根据三角形外角的性质求的度数． 【详解】解：，， ， ， ， 故选A． 20．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是__________． 【答案】/70度 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞，在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，根据图形分析利用手拉手模型解决是解题的关键．根据已知条件，分析和，易得，证明A，得出，再由全等三角形的判定和性质即可证明B、C． 【详解】解：在和中， ， ，故选项A不符合题意； ∴，， ∴，即， ∵， ∴，故选项B不符合题意； ∴， ∴，即，故选项C不符合题意； 无法证明，故选项D符合题意； 故选：D． 题型八 三角形的稳定性及应用 22．南澳大桥的斜拉索与桥面、桥塔之间构成许多个三角形，这样设计的数学依据是（     ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的内角和等于 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】A 【详解】解：斜拉索与桥面、桥塔构成三角形结构，设计依据是三角形具有稳定性． 23．如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【详解】解：小李在木门板上钉了一个加固板，门板上形成了三角形结构，这样做的道理是三角形具有稳定性． 24．如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的稳定性在生活中的应用，根据三角形的稳定性即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是三角形的稳定性， 故选：B． 题型九 用 HL 证全等（HL） 25．如图，，，，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形的判定方法有、、、和． 直接根据已知条件作答即可． 【详解】解：∵在和中， ， ∴． 故选：C． 26．如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线上．若，在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点和点，点到的距离为，点到的距离为，，则点到地面的距离为____________． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由题意可知，，，，通过定理可证明，得出，最后通过线段的和差求出的长即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，． 在和中， ， ． ， ， 即点到地面的距离为． 故答案为：． 27．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定及性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解题． 先根据，判断出． 【详解】解：滑梯、墙、地面正好构成直角三角形， 在和中， ， ， 故选：D 题型十 全等的性质和 HL 综合（HL） 28．如图，在Rt中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为（　　） A．6 B．12 C．6或12 D．6或12或18或24 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，准确分析动点在运动过程中三角形的变化进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况进行计算，一是，二是点与点重合，分别求解即可； 【详解】当时， 在与中， ， ； 当点运动到与点点重合时，， 在和中， ； 综上所述：长为或． 故选． 29．如图，在中，，是上一点，且，过点作交于点，连接，如果，则________． 【答案】3 【分析】首先利用“”证明，由全等三角形的性质可得，然后根据，即可获得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 30．如图，已知，以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交延长线于点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，熟记勾股定理与全等三角形的判定与性质是解题的关键． 由作图可知，证明，得出，据此解答． 【详解】解：∵以点C为圆心，为半径画弧交于点D，再以点D为圆心，为半径画弧交延长线于点E， ∴， 又∵， ∴与都是直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， 故选：B． 题型十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和 31．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了角的大小比较．构造全等三角形，让与两个角的顶点重合，即可解答． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴， ∵在的内部， ∴． 故选：C． 32．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 【答案】/90度 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，先证明得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图， 在和中 ， ， ， ， ， 故答案为：． 33．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角的和差等知识点，根据网格发现全等三角形以及相等的角是解题的关键． 根据网格提供的信息，结合全等三角形的判定与性质、角的和差以及等量代换逐个判断即可． 【详解】解： 由图形可知：，则，即①正确； 由图形可知：，则， ∴，即②正确； 由，但，则与不全等， ∴，故③错误； 由图形可知：，则，即④正确． 综上，正确的有3个． 故选B． 题型十二 添加条件使三角形全等 34．如图，与相交于点，，添加下列哪一个条件后，仍不能使的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定条件“” “”解答即可． 【详解】解：由题意可知在和中，，， 选项A.添加，构成“” 不能使； 选项B.添加，构成“” 能使； 选项C.添加，可得，即，构成“”能使； 选项D.添加，构成“” 能使． 35．如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 【答案】 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴要利用“”判定 ， 需添加斜边相等的条件，即 ． 36．如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先由推出，结合已知，逐一判断各选项添加的条件是否符合全等三角形的判定定理，找出无法证明全等的选项． 【详解】解：∵， ∴，即， A、添加，结合，符合，可证，不符合题意； B、添加，结合，符合，可证，不符合题意； C、添加，结合，符合，可证，不符合题意； D、添加，此时是，无法判定，符合题意． 故选：D． 题型十三 灵活选用判定方法证全等 37．已知的六个元素如图，则甲、乙、丙三个三角形中和属于全等的图形是（   ）． A．甲、乙 B．乙、丙 C．只有乙 D．只有丙 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握相关知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理，结合图形，依次判断甲、乙、丙是否和已知图形全等，即可求解． 【详解】解：甲和已知图形有一条边相等，且边的对角相等，不能判定两个三角形全等； 乙和已知图形有两条边相等，且夹角相等，能判定两个三角形全等； 丙图和已知图形有两个角相等，一条边相等，能判定两个三角形全等； 综上所述，乙、丙和属于全等的图形． 故选：B． 38．如图，中，，于，于，和交于点，连接，则图中有____对全等的直角三角形．    【答案】 【分析】根据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质定理解答． 【详解】解：高、交于点， ， 图中的全等的直角三角形有： 在与中， ， ≌， ， ， ， ， ； 在与中， ， ≌， 在与中， ， ≌； 在与中， ， ≌共有对． 故答案为：． 【点睛】此题考查了直角三角形全等的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，解题的关键是熟记直角三角形全等的判定定理及其应用． 39．在如图所示的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】分别以为公共边或以为公共边，找出与有一条公共边且全等的所有格点三角形即可． 【详解】解：如图，以为公共边且与全等的三角形是； 以为公共边且与全等的三角形有； 此外，没有以为公共边且满足条件的三角形， ∴与有一条公共边且全等的格点三角形有4个． 题型十四 倍长中线模型 40．如图，AD为的中线，，则AD的长可能是（    ） A．0.5 B．2 C．2.5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型—倍长中线模型及三角形三边关系的应用．倍长，构造，推出，再利用三角形三边关系求解即可． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 观察四个选项，B选项符合题意， 故选：B． 41．中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】通过倍长中线构造全等三角形，将已知边和中线的倍放到同一个三角形中，利用三角形三边关系求解中线的取值范围． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接，可得， ∵是的中线， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， 在中，根据三角形三边关系可得， 代入得， 化简得，即． 42．如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形的构成条件，解题的关键是熟练掌握全等三角形中倍长中线模型的应用．由，得，由是边的中点，得，从而可得，即得，，，在中，，即得即，，即可求解． 【详解】解：， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，，即， ， ， 只有选项B符合要求， 故选：B. 题型十五 垂线模型 43．如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识点，截取，连接；过点D作，垂足为E，证可推出为等腰直角三角形；点D在射线上运动，当时，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，截取，连接；过点D作，垂足为E； 可得等腰直角三角形； ∵ ∴ ∵ ∴ 则：， ∴， 即 即为等腰直角三角形 ∴ ∵点F为定点 ∴点D在射线上运动 当时，最小， 在等腰直角中：， ∴， 故答案为：． 44．如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，根据等腰直角三角形构造一线三垂直模型证明全等，再求坐标即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，过作交于，交于，则， ∴轴， ∴，， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴，，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 45．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 过点作于点，则，先证明得到，，则有，进而推出，得到，再利用线段的和差即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型十六 全等三角形综合问题 46．如图，在的方格纸中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，我们称这样的三角形为格点三角形．那么方格纸中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与它全等的格点三角形，统计数量． 【详解】解：如图： 共5个三角形符合， 故选：C． 47．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 【答案】 3 7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是根据题意确定点的位置． （1）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据题意画出图形，然后根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：当点在点左侧时，即点在线段上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：3； （2）当点在延长线上，时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点的运动速度为个单位/秒， ∴运动时间（秒）； 故答案为：． 48．如图，是锐角，点在上，，点是边上一动点，点到直线的距离为，当时，的形状、大小唯一确定，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，点到直线的距离，分三种情况讨论即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：当时，，由“”判定的形状、大小唯一确定； 当时，点的位置有两个，有两个； 当时，的形状、大小唯一确定； ∴的取值范围是或， 故选：． 49．已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（     ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】若，点运动路程为，点运动路程为，据此可判断①；求出此时点P和点Q的路程，根据二者的运动时间相同建立方程求解即可判断②；可证明，则可推出，进而得到，据此可判断③；若与全等，则或，据此建立方程组求解即可判断④． 【详解】解：若，点运动路程为，点运动路程为， 点运动路程始终是点运动路程的2倍，故①的说法正确； 若两点同时到达点，点运动路程为6，点运动路程为， ， ，故②的说法正确； 若，如图， 此时，， ∴， ∵， ∴与不全等， ∴， ， ∴， ， ， 与不垂直，故③的说法不正确； 如图， 由题意得：， 若与全等，则或， 或． 或． 或，故④的说法正确． 综上，正确说法有：①②④． 解答题 1．已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 【答案】见解析 【分析】画射线，以的顶点为圆心，任意长为半径画弧，交的两边于点，；以相同长度为半径，B为圆心画弧，交于点F，以F为圆心，为半径画弧，两弧交于点E，作射线；以B为圆心，a为半径画弧交射线于点C，以B为圆心，c为半径画弧交射线于点A，连接即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 2．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：． (2)求证：平分． 【答案】(1)证明：在和中， ， ． (2)证明：， ． ， ， ． 在和中， ， ， ， 平分． 【分析】（1）根据全等三角形的判定即可求解． （2）由（1）可得，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】（1）略 （2）略 3．阅读内容，完成解答． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲： ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得__________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙： ①在水池外过点作的垂线，在上取点、，使得． ②过作的垂线，使点、、在同一条直线上． ③测量的长即可． (1)甲的方案中，横线上的内容是__________，涉及到的全等判定依据是__________（用字母表示）； (2)判断乙方案是否可行． 【答案】(1)；（答案不唯一） (2)乙的方案可行 【分析】（1）根据全等三角形的判定方法，结合已知条件添加即可； （2）由，，得，然后通过“”证明即可． 【详解】（1）解：添加，理由， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可； 或添加，理由， 在和中， ， ∴， ∴， ∴测量的长即可． （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 因此测量出的长度，即可得出池塘两端、的距离． 故乙的方案可行． 4．如图，已知，，． (1)试说明：． (2)设与交于点，连接，在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形（不包含（1）中的全等三角形）． 【答案】(1)解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ (2)；；； 【分析】（1）由两边加上公共角得，结合已知两组等边可利用判定； （2）由已知条件可利用判定，可得，，由（1）全等得到，进而利用等式性质得，结合对顶角利用判定，可得，，结合已知两组等边可利用分别判定，． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 在和中， ， ∴； ∴，， ∵ ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴，， 在和中， ， ∴； 在和中， ， ∴． 5．如图，在四边形中，，，过点D分别作交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：连接， 在和中， ， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）连接，根据证明即可得出结论； （2）根据证明，由全等三角形的性质可得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 【答案】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 在与中， ， ∴， 即． 【分析】利用证明即可． 【详解】略 7．倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． (1)若，则的取值范围是_______． (2)如图②，已知和中， ，连接 是的中点，连接，求证： ． 【答案】(1) (2)证明：如图，延长至点F，使得，连接． 是的中点， ． 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ． 【分析】（1）如图①，证明，再由三角形的三边关系求解即可； （2）延长至点F，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，即可得证． 【详解】（1）解：如图①， ∵是边上的中线， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； （2）略 8．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 【答案】 （1）证明：∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）50； （3） 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算，熟记三角形全等的判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的对应边相等得到； （2）根据全等三角形的性质得到，，，，根据梯形和三角形的面积公式计算，得到答案； （3）过点作于，过点作交的延长线于，推导出， ，即可证明，得到，再根据全等三角形的性质推导出进而求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】证明：（1）略 （2）解：由（1）中模型可知，，， ∴，，，， 则； （3）解：过点作于，过点作交的延长线于， 由（1）中模型可知，，， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程：_________； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； (2)①；②1或 (3)或 【分析】（1）只需要证明，即可证明； （2）①根据路程等于速度乘以时间可得答案；②求出的长，则可得到的长，再求出的长，最后根据三角形的面积公式建立方程求解即可； （3）分两种情况：当点P在线段上时，点F在的延长线上时，当点P在的延长线上时，点F在线段上时，根据全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：①由题意得，点的运动路程为； ②∵，， ∴， 由（1）得，， ∴，； ∵， ∴， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴或； （3）解：由（2）得， ∴； 如图所示，当点P在线段上时，点F在的延长线上时， ∵， ∴ 又∵， ∴此时只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 如图所示，当点P在的延长线上时，点F在线段上时， 同理可得此时只存在这种情况， ∴， ∴， 解得； 综上所述，符合题意的t的值为或． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02全等三角形性质和判定及应用专题通关讲义 知识点01:全等三角形基本概念 1.定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 2.表示方法： ABC≌DEF，书写时对应顶点写在对应位置，以此确定对应边、对应角。 知识点02图形变换与全等 一个三角形经过平移、翻折、旋转后，位置发生改变，但形状、大小不变，变换前后的两个三角形全等。 知识点03:全等三角形的性质（重点） 基本性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 若 △ABC △DEF 则：对应边相等：AB=DE BC=EF AC=DF 对应角相等： ∠A=∠D,∠B=∠ E, ∠C=∠F 知识点04:全等三角形的判定 1.判定基本思路 判定两个三角形全等，无需验证所有 6 组边角关系，满足部分特定条件即判定。 2.三角形全等的五种判定定理（核心考点） 重要提醒：AAA、SSA 不能作为三角形全等判定依据。 3.不能判定全等的两种情况（高频易错） (1)AAA（三角分别相等） 三个角对应相等，只能说明两个三角形形状相同（相似），大小不一定相等，不能判定全等。 (2)SSA（两边及其中一边的对角相等） 两边和其中一边的对角对应相等，无法保证三角形完全重合，不能判定全等。 4.判定方法选择技巧 (1)已知两边：优先选 SSS 或 SAS； (2)已知一边一角：优先选 SAS、ASA、AAS； (3)已知两角：优先选 ASA 或 AAS。 知识点05:已知三边作三角形 已知三角形的三条边，求作这个三角形是利用三角形全等的条件 “边边边” 来作图的，具体作图的步骤如下： 已知：线段 a，b，c 求作：△ABC，使 AB=c，AC=b，BC=a。 作法与图形： 知识点06:全等三角形证明题书写规范 1.格式统一使用三段论： ① 写出在哪两个三角形中； ② 按判定定理顺序列出三组相等条件（标注已知、公共边、公共角、对顶角等依据）； ③ 得出三角形全等结论，注明判定依据（SSS/SAS/ASA/AAS）。 2.条件书写顺序要与判定定理名称保持一致。 1、全等三角形对应元素识别错误 易错提醒：书写全等表达式时，字母必须按照对应顶点顺序排列；识别对应边、对应角不能只依靠图形视觉位置判断，优先依据全等记号确定对应关系，防止对应关系找错。 2、混淆全等三角形的性质与判定 易错提醒：性质是已知三角形全等，推导边、角相等；判定是利用边、角等量条件证明三角形全等；二者推理因果方向相反，书写证明过程不可颠倒逻辑。 3、误用SSA判定三角形全等 易错提醒：两边以及其中一边的对角对应相等（SSA）不能作为全等判定依据；满足该条件可以构造两种不同的三角形，证明题中禁止直接使用。 4、误用AAA判定三角形全等 易错提醒：三个内角对应相等（AAA）仅能够确定三角形形状一致，边长可以不相等，只能得到相似关系，不能判定三角形全等，不可用于证明。 5、证明全等遗漏图形隐含等量条件 易错提醒：公共边、公共角、对顶角属于图形自带的已知等量条件；审题时优先挖掘该类隐含条件，避免因缺少条件造成证明无法完成。 6、全等判定里边角位置不对应 易错提醒：选用ASA时，已知边必须为两组角的夹边；选用AAS时，已知边必须是其中一组内角的对边；边角位置不匹配时，不能套用对应判定定理。 7、周长、面积相等逆向推全等错误 易错提醒：全等三角形周长相等、面积相等；但周长相等或者面积相等的两个三角形不一定全等，不能反向由周长、面积相等推导三角形全等。 8、跳过全等证明直接使用对应边角结论 易错提醒：必须先完成三角形全等的完整证明，才可得到对应边、对应角相等；证明过程不能省略全等步骤，直接默认边角相等开展后续推理。 题型 考察方向 难度 题型一 尺规作图 —— 作三角形 ★★ 题型二 用 SAS 证明三角形全等 ★★ 题型三 全等的性质和 SAS 综合 ★★★ 题型四 用 ASA（AAS）证明三角形全等 ★★ 题型五 全等的性质和 ASA（AAS）综合 ★★★ 题型六 用 SSS 证明三角形全等 ★★ 题型七 全等的性质和 SSS 综合 ★★★ 题型八 三角形的稳定性及应用 ★ 题型九 用 HL 证全等（HL） ★★ 题型十 全等的性质和 HL 综合（HL） ★★★ 题型十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和 ★★★ 题型十二 添加条件使三角形全等 ★★ 题型十三 灵活选用判定方法证全等 ★★★ 题型十四 倍长中线模型 ★★★★ 题型十五 垂线模型 ★★★★ 题型十六 全等三角形综合问题 ★★★★★ 拔高题 9题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 题型一 尺规作图 —— 作三角形 1．根据下列给出的三角形的条件，一定画出唯一三角形的是（    ） A．三条边 B．三个角 C．两边一角 D．以上都可以 2．已知线段，求作，使，，，下面作法的合理顺序为（    ） 分别以为圆心，为半径画弧，两弧交于点； 作直线，在上截取； 连接，则为所求作的三角形． A． B． C． D． 3．为锐角，，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C． D．或 题型二 用 SAS 证明三角形全等 4．几何中有著名的“蝴蝶定理”，小华受此启发画了两个如图所示的共直角顶点的三角形，组成了类似于“蝴蝶翅膀”的图形．若，则证明运用的三角形全等的判定方法是（     ） A．定义 B． C． D． 5．如图，于，，则的判定依据是________． 6．如图，已知，，点A、F、C、D四点在同一直线上．要利用“”来判定，下列四个条件：①；②；③；④． 可以利用的是（   ） A．①② B．②④ C．②③ D．①④ 题型三 全等的性质和 SAS 综合 7．如图①所示是我国古代建筑中常见的凉亭示意图，其顶部可看作如图②所示的，，点在上，．若的长为，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，射线，线段，其两端点，分别在射线和射线上移动，点从点开始移动，速度为，则当点运动______时，和全等． 9．如图，在四边形中，是上的动点，过点作，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四 用 ASA（AAS）证明三角形全等 10．如图，在和中，，，则判定这两个三角形全等的方法是（     ） A． B． C． D． 11．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点坐标分别是，将沿对角线翻折得到，边交轴于点．则点的坐标是___________． 12．如图，，，，图中全等的三角形共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 题型五 全等的性质和 ASA（AAS）综合 13．如图，，，，垂足分别是，，下列结论中错误的是（     ） A． B． C． D． 14．如图，在中，，，平分交于点，若的面积等于6，则________． 15．如图，在中，，，F是延长线上的一点，过点F作，交的延长线于点E，D是的中点，连接．若，，则的长是（   ） A．7 B． C．6 D． 题型六 用 SSS 证明三角形全等 16．如图，若，，则可判定的直接依据是（     ） A． B． C． D． 17．雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 18．如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出___________个． 题型七 全等的性质和 SSS 综合 19．如图，在四边形中，对角线相交于点．若，则的度数为（ ） A．60° B．65° C． D． 20．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是__________． 21．据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”，后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞，在如图所示的“风筝”图案中，、、．则不一定能得到以下哪个结论（    ） A． B． C． D． 题型八 三角形的稳定性及应用 22．南澳大桥的斜拉索与桥面、桥塔之间构成许多个三角形，这样设计的数学依据是（     ） A．三角形具有稳定性 B．三角形的内角和等于 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 23．如图，小李在木门板上钉了一个加固板，这样做的道理是（     ） A．两直线平行，内错角相等 B．垂线段最短 C．三角形具有稳定性 D．两点之间，线段最短 24．如图，把平板电脑放在一个支架上面，就可以将它固定好使用，这样做的数学道理是（   ） A．两点间线段最短 B．三角形的稳定性 C．点到直线的距离，垂线段最短 D．三角形两边之和大于第三边 题型九 用 HL 证全等（HL） 25．如图，，，，则判定的依据是（   ） A． B． C． D． 26．如图所示的是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于地面的垂线上．若，在某次运动过程中，秋千向前和向后的最高点分别为点和点，点到的距离为，点到的距离为，，则点到地面的距离为____________． 27．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面墙上．已知左边滑梯的高度与右边滑梯的水平长度相等，那么判定与全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 题型十 全等的性质和 HL 综合（HL） 28．如图，在Rt中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为（　　） A．6 B．12 C．6或12 D．6或12或18或24 29．如图，在中，，是上一点，且，过点作交于点，连接，如果，则________． 30．如图，已知，以点为圆心，为半径画弧交于点，再以点为圆心，为半径画弧交延长线于点，连接，若，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D． 题型十一 利用全等图形求正方形网格中角度之和 31．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法比较 32．如图，网格中的所有小正方形的边长相同，则____________ 33．如图，正方形网格中，利用图形的轴对称设计了一个“蝴蝶”的平面图案，直线是它的对称轴，下列结论中：①；②；③；④．正确结论的个数是（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十二 添加条件使三角形全等 34．如图，与相交于点，，添加下列哪一个条件后，仍不能使的是（   ） A． B． C． D． 35．如图，于点P，，添加一个条件，能利用“”判定的条件是___________． 36．如图，在和中，点E，F在BC上，，．添加下列条件仍无法证明的是（    ） A． B． C． D． 题型十三 灵活选用判定方法证全等 37．已知的六个元素如图，则甲、乙、丙三个三角形中和属于全等的图形是（   ）． A．甲、乙 B．乙、丙 C．只有乙 D．只有丙 38．如图，中，，于，于，和交于点，连接，则图中有____对全等的直角三角形．    39．在如图所示的正方形网格中，是格点三角形（即顶点恰好是网格线的交点），则与有一条公共边且全等的所有格点三角形（不含）有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 题型十四 倍长中线模型 40．如图，AD为的中线，，则AD的长可能是（    ） A．0.5 B．2 C．2.5 D．3 41．中，，，是的中线，设长为，则的取值范围是__________． 42．如图，在中，点D为边的中点，过点B作交的延长线于点E．若，，则的长可能是（） A．1 B．3 C．5 D．7 题型十五 垂线模型 43．如图，在中，，，，点P是线段上的动点，将点A绕点P顺时针旋转至点D，连接，则的最小值是______． 44．如图，顶点在同一平面直角坐标系下，点的坐标为，点的坐标为，，，则点C的坐标为______． 45．如图，在中，，，是线段上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，，则的长度为（   ） A．8.3 B．8.5 C．8.7 D．9.1 题型十六 全等三角形综合问题 46．如图，在的方格纸中，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，我们称这样的三角形为格点三角形．那么方格纸中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 47．如图，于点，，射线于点，一动点从点出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，点为射线上一动点，随着点运动而运动，且始终保持．已知点经过时，与全等． （1）当点在点左侧时，的值为______； （2）当点在点右侧时，的值为______． 48．如图，是锐角，点在上，，点是边上一动点，点到直线的距离为，当时，的形状、大小唯一确定，则的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 49．已知，其中，点以每秒2个单位长度的速度，沿着路径运动．同时，点以每秒个单位长度的速度，沿着路径运动，一个点到达终点后另一个点随即停止运动．它们的运动时间为秒． ①若，则点运动路程始终是点运动路程的2倍； ②当、两点同时到达点时，； ③若，，时，与垂直； ④若运动过程中存在与全等，则或． 以上说法正确的选项为（     ） A．①③ B．①② C．①②④ D．①②③④ 解答题 1．已知：线段，，（如图）． 求作：，使，，． 2．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接． (1)求证：． (2)求证：平分． 3．阅读内容，完成解答． 背景 某校八年级学生到野外活动，为测量一不规则池塘两端，的距离，甲、乙两位同学分别设计出如图所示的两种方案． 测量示意图 测量 甲： ①过点作射线． ②过点作于点． ③在的延长线上截取，使得__________．（只添加一个条件） ④测量的长即可． 乙： ①在水池外过点作的垂线，在上取点、，使得． ②过作的垂线，使点、、在同一条直线上． ③测量的长即可． (1)甲的方案中，横线上的内容是__________，涉及到的全等判定依据是__________（用字母表示）； (2)判断乙方案是否可行． 4．如图，已知，，． (1)试说明：． (2)设与交于点，连接，在不添加任何辅助点的情况下，请直接写出图中所有的全等三角形（不包含（1）中的全等三角形）． 5．如图，在四边形中，，，过点D分别作交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)若，求的长． 6．如图，A，E，B，D在同一直线上，，，，，求证：． 7．倍长中线法是一种重要的解题方法，如图①，在中，是边上的中线，若延长至点E，使，连接，可根据“”证明，则． (1)若，则的取值范围是_______． (2)如图②，已知和中， ，连接 是的中点，连接，求证： ． 8．（1）如图1，C、A、E在一条直线上，于点C，于点E．求证：． （2）如图2，且且，计算图中实线所围成的图形的面积． （3）如图3，，连接、，且于点F，与交于点G，若，求的面积． 9．如图1，中，，，为边上的点（不与两端点、重合），过点作的延长线于点，交的延长线于点． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)若，，点从点出发，沿射线以每秒5个单位长度的速度运动，设点的运动时间为． ①用含的代数式表示点的运动路程：_________； ②求为何值时，的面积为10； (3)在（2）的条件下，点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向点运动，，两点同时出发，当点到达点时，，两点同时停止运动．点是射线上的一点，若，问是否存在值，使得以点，，为顶点的三角形与以点，，为顶点的三角形全等？若存在，请直接写出符合条件的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $