5.5 一次函数与方程、不等式的综合应用 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

一次函数与方程、不等式的综合应用 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 复习导航 方程的解、方程组的解和不等式的解集，都可以在一次函数图像中找到对应的信息。先分清求的是一个横坐标、一组坐标，还是横坐标的范围，再检查题目给定的条件。 板块 练习重点 A、基础通关 交点、方程解与基本范围 B、难点突破 函数值比较、表格信息与条件反求 C、综合进阶 多个条件、整数解及交点个数 D、中考真题精选 近年真题中的图像与不等式 内容目录 一、从图像读出方程的解 2 二、交点坐标与方程组的解 6 三、比较两个函数值的大小 9 四、不等式组与共同范围 13 五、三条直线的大小关系 16 六、从解集和整数解个数反求条件 19 A、基础通关 21 B、难点突破 25 C、综合进阶 28 D、中考真题精选 33 一、从图像读出方程的解 方程要求找到函数值为时的在图上，就是直线与水平直线的交点的横坐标。交点的纵坐标是不能把它当成方程的解。 方程表示两个函数在同一个处的函数值相等。两图像相交时，交点的横坐标就是方程的解；交点的纵坐标不是这个一元方程的解。 若等式两边都把换成同一个式子，如先把这个式子看成图中的横坐标。图上读得横坐标为后，还须解若只改变一边的函数值，则不能照搬原交点。 两条不同直线平行时，没有交点，相应方程无解；两条直线重合时，每个横坐标都使两边相等。若题目还限制了的范围，只保留范围内的解。 若表格中明确有抄错的数据，先用两组对应值求式，再代入其他组核对；不符合题设的错误项个数时，要换用其他对应值重新确定，不能把未经核对的式子直接用于解题。 如：两直线交于则两表达式相等时若两边同时把换为则解得 【典例精讲】例1、如图，直线经过点并与直线交于点 （1）求方程的解； （2）求方程的解； （3）求方程的解。 【解析】（1）两函数值相等时，交点横坐标为故 （2）两边的自变量都变为由唯一交点可知解得 （3）由得再代入得所以原方程为解得本问只把左边的函数值增加了不能仍把作为解。 变式1-1、下表记录了一次函数的四组对应值，其中有一个值抄错了。 （1）写出抄错的值及其正确值； （2）求方程的解。 【解析】用前两组对应值求得把代入得与表中第四组一致。三组对应值都符合这个一次函数，余下一组是抄错的数据。 （1）当时，所以表中的应改为 （2）解得 变式1-2、如图，直线经过点关于的方程的解的情况是（ ）。 A．只有 B．只有 C．无解 D．任意实数 【解析】由图中两点得方程化为即 任意实数都使等式成立，不是只有图中两个已标点的横坐标成立。 变式1-3、在同一直角坐标系中， 画出函数（与（的图像。 在两函数共同的自变量范围内，求方程的解。 【解析】两函数共同的自变量范围为 解得但不在共同范围内，所以本题无解。 作图时第一条线段在处为实心端点，第二条线段在同一点处为空心端点；不能把第一条图像包含该点误认为两图像都包含它。 主图中处的实点只属于第一条线段。两条线段在该端点处的取舍分别如下图所示。 图1 图2 二、交点坐标与方程组的解 二元一次方程可看成直线上的点所满足的关系。例如可写成直线上的每个点都对应方程的一组解。 解由两个方程组成的方程组，要找同时满足两个方程的同一对数。它对应两条直线的交点坐标：横坐标给出纵坐标给出不能只写交点的横坐标。 两直线相交，方程组有唯一一组解；两直线平行且不重合，方程组无解；两直线重合，方程组有无数组解。 若两个方程中都出现同样的可暂把它们分别看成一个整体。先找到整体对应的交点坐标，再求原来的三条直线两两相交，并不意味着三条直线经过同一点；三个方程有共同解时，该解须同时满足三个方程。 计算图像的交点个数时，只计不同的点。同一个点即使同时在两条图像上，也只能算一个；有横坐标范围限制时，还须检查端点是否包含。 如：直线与交于所以方程组的解为 【典例精讲】例2、如图，直线与直线交于点 （1）求点的坐标； （2）求方程组的解； （3）求方程的解。 【解析】（1）由得代入得故 （2）两个方程分别对应交点同时在两直线上，方程组的解为代回原式，均成立。 （3）一元方程只要求横坐标，故第（2）问求方程组的解，须同时写出 变式2-1、已知直线与交于点求关于的方程组： 【解析】把看成把看成则方程组变为 由已知交点得因此解得 代回：验证成立。 变式2-2、分别写出下列方程组的解的情况；有唯一一组解的，求出这组解。 ① ② ③ 【解析】① 联立得所以两直线相交。 ② 两式相减得到不可能成立，故无解。两条直线的相同、不同，互相平行。 ③ 第二式除以恰为第一式，两直线重合。任取实数并令都得到一组解，故有无数组解。 变式2-3、直线经过同一点。 求的值及这个点的坐标。 【解析】先联立前两条直线：得 共同点必须同时在第三条直线上，故得所求点为 把分别代入三个表达式，都得到所以三条直线确实共点。仅说三条直线两两相交，并不能得到这个结论。 三、比较两个函数值的大小 比较两个函数值时，必须取同一个在同一横坐标处，位置较高的图像对应较大的函数值。两条不同且相交的直线，交点的横坐标是大小关系改变的分界。 判断函数值是否为正，要把图像与轴比较；判断两个函数值谁大，要比较两条图像。图像在另一条直线上方，并不表示它在轴上方。 遇到须同时满足和分别找出范围，再取共同部分。严格大于不包含等号对应的边界。 已知关系是一次函数时，可用表中两组横坐标不同的对应值求出表达式。若比较式中一边多了一个数，应先把改变后的式子写清，不能直接沿用原交点。 比较图上两个点的高低时，若它们的横坐标不同，应分别代入各自的横坐标，再比较纵坐标，不能直接套用同一个横坐标处的图像上下关系。 如：同一处两个函数值分别是则第一个较大，但两个函数值都不是正数。 【典例精讲】例3、如图，直线与交于点 （1）求时的取值范围； （2）求时的取值范围。 【解析】（1）解得交点右侧第一条直线在上方，故也可解核对。 （2）还须即与合并，得 变式3-1、一次函数的部分对应值如下表。 点在第一个函数的图像上，点在第二个函数的图像上。两点的横坐标都不小于0且不大于4，若求的取值范围。 【解析】由表中两组对应值，得 分别代入两点的横坐标，得由得所以 两点的横坐标还须分别满足即与取公共部分，得 当时不满足严格大于； 当时两点横坐标分别为4，均符合要求，故右端可取。 变式3-2、如图，两条直线交于其中随增大而减小，另一条为填空：当时，____当时，____ 【解析】交点左侧，递减的第一条直线在第二条直线上方，所以 当时，比较大小和判断正负使用的参照不同。 变式3-3、已知求两个函数值一正一负时的取值范围。 【解析】当时，须且得 当时，须且得 综上，或时有一个函数值为均不符合一正一负。 四、不等式组与共同范围 把每个不等式单独化成的范围，再找所有条件都满足的部分。题目给出的自变量范围也必须一同考虑。 由函数值范围求范围时，要分别求出两个边界。函数递减时，较大的函数值对应较小的不要按题中文字顺序照抄两个端点。 边界能否取到由原条件决定。含“等于”的条件允许取边界，但若另一个条件排除了这个数，最终仍不能取。 求整数解时，应先确定完整范围再列整数，不能先猜几个整数后忽略两端。 如：分别得到所以 【典例精讲】例4、已知 求同时满足的的取值范围。 【解析】由得 由得 取共同部分，得两个端点都满足原题全部条件。 变式4-1、已知 求同时满足的所有整数 【解析】第一个条件给出第二个条件给出 共同范围为其中只有整数 变式4-2、一次函数中，自变量满足 求函数值满足时的取值范围。 【解析】由得 与原范围取共同部分，仍为左端不能因原范围含就误写为可取。 变式4-3、已知分别求下列条件下的取值范围： （1）且 （2）且 【解析】（1）两个条件分别为所以只有 （2）两个条件分别为没有同时满足的 五、三条直线的大小关系 比较三个函数值，先求有关直线两两相交时的横坐标，再按从小到大的顺序把数轴分段。每段内没有新的交点，大小次序不变。 可在每一段选一个便于计算的核对大小。分界点处有两个函数值相等，应单独核对题目要求是否允许等号。 若只求某个函数值最大，只需让它分别不小于另外两个函数值，不必把全部排列都算一遍。 两条直线平行且不重合时，两个函数值的大小关系不变；两条直线重合时，两个函数值始终相等。遇到这两种情况，先单独处理，再比较其余直线。 若题目要求几个条件中恰有指定个数成立，可以先分别求各条件对应的范围，再按所有分界点分段检查。分界点处是否成立要单独核对，不能只看两侧。 如：要使最大且允许相等，只需同时满足 【典例精讲】例5、已知 （1）求三条直线两两交点的横坐标； （2）求不小于另外两个函数值时的范围； （3）求时的范围。 【解析】（1）由得由得由得 （2）由得由得故 （3）要求要求两者不能同时满足，所以不存在这样的 变式5-1、已知 求严格大于另外两个函数值时的范围。 【解析】给出给出 两者不能同时成立，所以不存在这样的 三线在时函数值相等，但严格大于不允许此点。 变式5-2、已知求时的范围。 【解析】给出给出 共同范围为不必额外求的交点，因为前两个严格不等式已保证 变式5-3、已知按的取值范围，分别写出三个函数值从大到小的排列，函数值相等的情况也要列出。 【解析】分界依次为 当时，当时， 当时，当时， 当时，当时， 当时， 六、从解集和整数解个数反求条件 题目给出整数解个数时，先把不等式化成范围，再找“应包含的最后一个整数”和“不能包含的下一个整数”。两条要求共同确定参数范围。 若范围的两端都随参数变化，相同的整数解个数可能对应不同的几组整数。可以把最小的整数记作依次表示其后的整数，再分别检查左右端点，不能先固定其中一组整数。 两个不等式解集相同，不仅分界点要相同，分界点哪一侧满足条件也必须相同。先找相等时的横坐标，再检查函数值的大小方向。 含参数时还要检查一次项系数是否为0。若化简后没有应直接判断剩下的等式或不等式，不能继续除以这个系数。 如：恰有整数解则须且所以 【典例精讲】例6、已知同时满足的整数恰有3个，求的取值范围。 【解析】由得由得 因此这3个整数只能是须包含而不包含所以 解得代入可取到会多出故右端不能取。 变式6-1、已知满足且的整数恰有4个，求的取值范围。 【解析】由得 4个整数只能为故 解得 变式6-2、关于的不等式组无解，求的取值范围。 【解析】两个条件为 当时，两边之间存在满足的数；无解须故 时要求且确实无解，所以包含等号。 变式6-3、已知其中 （1）若不等式与的解集相同，求的值； （2）若不等式与的解集相同，求的值（若不存在，填“不存在”）。 【解析】可化为若它成为任意实数都满足，不符合两问的要求。 （1）目标解集为分界点相同，须得代回原不等式得即方向也相同，故 （2）目标解集为分界点仍要求但代回原不等式为解得方向相反，所以不存在符合条件的仅使两条直线在处相交，还不能保证所求解集相同。 A、基础通关 1、如图，直线与交于点方程的解为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】点在上，故得方程的解是交点横坐标，故选B。 2、一次函数的部分对应值如下表，则时的取值范围为____。 【解析】由表得解得 3、如图，一次函数的图像经过 下列不等式的解集为的是（ ）。 A． B． C． D． 【解析】图像在轴上方对应即选A。其余条件的分界或等号均不同。 4、一次函数中，当时，的取值范围为____。 【解析】由分别得和故 5、如图，直线与交于 则方程组的解为____。 【解析】将两式分别整理为公共点为故 6、已知 求同时满足时的取值范围。 【解析】由得 由得所以 7、方程组的解的情况是（ ）。 A．只有一组解 B．有两组解 C．无解 D．有无数组解 【解析】第一式乘以得与第二式不能同时成立。对应两直线平行且不重合，故无解，选C。 8、已知求在此范围内方程的解。 【解析】解方程得所以但题设不包含故在指定范围内无解。 B、难点突破 1、两直线交于且当时，则的解集为____。 【解析】两边输入均为故要求解得 2、已知不等式的解集为（ ）。 A． B． C． D． 【解析】代入得解得选C。 3、直线经过 求同时满足时的取值范围。 【解析】由两点得 给出给出所以 4、一次函数的部分对应值分别如下两表。求时的取值范围。 【解析】由表1得由表2得 比较时取同一个解得 两个表第1列的不同，不能只比较同列的两个函数值。 5、方程组的解为则方程组的解为____。 【解析】对应得相加得故 6、不等式组只有一个整数解，则的取值范围是（ ）。 A． B． C． D． 【解析】该整数只能是要包含须要排除须所以选B。 7、已知一次函数经过不等式的解集为求该函数的表达式。 【解析】由得分界点为所以得 代回解得方向符合。故 8、已知直线与直线交于点若点在第二象限，求的取值范围。 【解析】联立得故 第二象限内的点横坐标小于0、纵坐标大于0。因此且解得 当或时，点分别在轴或轴上，不在第二象限，两个端点均不取。 C、综合进阶 1、已知若不大于中的较大值，且不小于其中的较小值，求的取值范围。 【解析】分两种情况：①由得由得所以 ②由得由得所以 因此，或两个边界处允许两个函数值相等，均应保留。 2、已知且在①②③这三个条件中，恰有两个成立的整数的个数为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【解析】①成立时②成立时③成立时 在题设范围内：时只有①成立；时①②成立；时三项都成立；时②③成立。 所以合格的整数为共有3个，故选C。 3、已知且同时满足 （1）求的取值范围； （2）求的最大值、最小值及对应的的值。 【解析】（1）由得由得取公共部分，得 （2）这个和随的增大而减小，所以时取得最大值4，时取得最小值2。 回到原条件检验：时两函数值为4、0；时为0、2，均在各自要求的范围内，两个最值均能取到。 4、直线交于点直线也经过点 （1）求 （2）求同时满足时的取值范围。 【解析】（1）联立得点也在直线上，所以得 （2）代入由得由得因此 本问两边使用的横坐标不同，不能直接把原三线共点的横坐标2当作分界。两个不等式分别限制右端与左端，缺少任何一个都会改变范围。 5、已知一次函数经过不等式的解集为且为整数，求的所有可能值及对应的函数表达式。 【解析】由得 不等式化为要使解集为必须即又一次函数要求 整数可以是或任何负整数，对应 若题目不另限的范围，不能只列有限几个负整数。 6、已知一次函数同时满足的整数恰有3个，求的取值范围。 【解析】由两个函数值的条件，得设其中最小的整数为则这3个整数为 整数不在范围内，而在范围内，所以整数在范围内，而不在范围内，所以 由得由得因此只能为或 当时，同时有得当时，同时有得 综上，当时，整数为 当时，整数为不可只考虑同一组整数。 7、在同一平面直角坐标系中，函数（与函数（的图像如图所示。若直线与这两个函数的图像共有两个不同的交点，求的取值范围。 【解析】第一条线段上的函数值范围是第二条线段上的范围是水平直线要分别与两条线段相交，须 还须排除两个交点重合的情形。联立与得两图像交于当时，两次相交实际对应同一个点，不符合“两个不同的交点”。 当且时，两个交点分别为都在各自规定的范围内且不重合。因此的取值范围为或 其中时第二条线段不含只有一个交点； 时交点为两点均保留。 8、已知当时，求使成立的的取值范围， 并写出相应的的条件。 【解析】给出 若右端大于共同范围为 若右端不大于没有同时满足的 时也无解，因为原不等式是严格小于。 D、中考真题精选 1、（2026·江苏宿迁·第5题）一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】图象与轴交于且从左向右上升。当时，图象在轴上方，即故选C。 2、（2025·江苏徐州·第8题）如图为一次函数的图象，关于的不等式的解集为（ ）。 A. B. C. D. 【解析】由图象可知，时 题中换为因此解得故选C。 3、（2026·云南·第25题）问题提出 云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短。这里出产的蓝莓果粒大，果味香，果肉甜脆。近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸。 该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低。 问题解决 在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用。具体收费方案为： 甲印制公司的收费方案是：收1350元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2元印制费； 乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35元印制费。 根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司？ 【解析】设印制张贴纸，为正整数。甲、乙两公司的收费分别为 当两家公司收费相同时，解得 当时，选乙公司费用较低；当时，两家公司收费相同，均为3150元；当时，选甲公司费用较低。 4、（2026·北京·第21题）在平面直角坐标系中，函数（的图象经过点和 （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（的值小于函数的值，直接写出的取值范围。 【解析】（1）把两点坐标代入，得两式相减，得所以 （2）两函数值之差为当时，差恒为3，符合要求；当时，差随单调变化，区间内的值介于两端值之间。 在处，差为在处，差为若某一端的差为负，靠近这一端的区间内也会出现负值。因此两端的差都不能小于0，故且解得 当或时，差只在一个不包含的端点处等于0，在区间内仍大于0；两端不可能同时为0。因此两个边界值均可取，且所得范围满足 1 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $ 一次函数与方程、不等式的综合应用 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 复习导航 方程的解、方程组的解和不等式的解集，都可以在一次函数图像中找到对应的信息。先分清求的是一个横坐标、一组坐标，还是横坐标的范围，再检查题目给定的条件。 板块 练习重点 A、基础通关 交点、方程解与基本范围 B、难点突破 函数值比较、表格信息与条件反求 C、综合进阶 多个条件、整数解及交点个数 D、中考真题精选 近年真题中的图像与不等式 内容目录 一、从图像读出方程的解 2 二、交点坐标与方程组的解 5 三、比较两个函数值的大小 8 四、不等式组与共同范围 11 五、三条直线的大小关系 13 六、从解集和整数解个数反求条件 16 A、基础通关 19 B、难点突破 22 C、综合进阶 26 D、中考真题精选 30 一、从图像读出方程的解 方程要求找到函数值为时的在图上，就是直线与水平直线的交点的横坐标。交点的纵坐标是不能把它当成方程的解。 方程表示两个函数在同一个处的函数值相等。两图像相交时，交点的横坐标就是方程的解；交点的纵坐标不是这个一元方程的解。 若等式两边都把换成同一个式子，如先把这个式子看成图中的横坐标。图上读得横坐标为后，还须解若只改变一边的函数值，则不能照搬原交点。 两条不同直线平行时，没有交点，相应方程无解；两条直线重合时，每个横坐标都使两边相等。若题目还限制了的范围，只保留范围内的解。 若表格中明确有抄错的数据，先用两组对应值求式，再代入其他组核对；不符合题设的错误项个数时，要换用其他对应值重新确定，不能把未经核对的式子直接用于解题。 如：两直线交于则两表达式相等时若两边同时把换为则解得 【典例精讲】例1、如图，直线经过点并与直线交于点 （1）求方程的解； （2）求方程的解； （3）求方程的解。 变式1-1、下表记录了一次函数的四组对应值，其中有一个值抄错了。 （1）写出抄错的值及其正确值； （2）求方程的解。 变式1-2、如图，直线经过点关于的方程的解的情况是（ ）。 A．只有 B．只有 C．无解 D．任意实数 变式1-3、在同一直角坐标系中， 画出函数（与（的图像。 在两函数共同的自变量范围内，求方程的解。 二、交点坐标与方程组的解 二元一次方程可看成直线上的点所满足的关系。例如可写成直线上的每个点都对应方程的一组解。 解由两个方程组成的方程组，要找同时满足两个方程的同一对数。它对应两条直线的交点坐标：横坐标给出纵坐标给出不能只写交点的横坐标。 两直线相交，方程组有唯一一组解；两直线平行且不重合，方程组无解；两直线重合，方程组有无数组解。 若两个方程中都出现同样的可暂把它们分别看成一个整体。先找到整体对应的交点坐标，再求原来的三条直线两两相交，并不意味着三条直线经过同一点；三个方程有共同解时，该解须同时满足三个方程。 计算图像的交点个数时，只计不同的点。同一个点即使同时在两条图像上，也只能算一个；有横坐标范围限制时，还须检查端点是否包含。 如：直线与交于所以方程组的解为 【典例精讲】例2、如图，直线与直线交于点 （1）求点的坐标； （2）求方程组的解； （3）求方程的解。 变式2-1、已知直线与交于点求关于的方程组： 变式2-2、分别写出下列方程组的解的情况；有唯一一组解的，求出这组解。 ① ② ③ 变式2-3、直线经过同一点。 求的值及这个点的坐标。 三、比较两个函数值的大小 比较两个函数值时，必须取同一个在同一横坐标处，位置较高的图像对应较大的函数值。两条不同且相交的直线，交点的横坐标是大小关系改变的分界。 判断函数值是否为正，要把图像与轴比较；判断两个函数值谁大，要比较两条图像。图像在另一条直线上方，并不表示它在轴上方。 遇到须同时满足和分别找出范围，再取共同部分。严格大于不包含等号对应的边界。 已知关系是一次函数时，可用表中两组横坐标不同的对应值求出表达式。若比较式中一边多了一个数，应先把改变后的式子写清，不能直接沿用原交点。 比较图上两个点的高低时，若它们的横坐标不同，应分别代入各自的横坐标，再比较纵坐标，不能直接套用同一个横坐标处的图像上下关系。 如：同一处两个函数值分别是则第一个较大，但两个函数值都不是正数。 【典例精讲】例3、如图，直线与交于点 （1）求时的取值范围； （2）求时的取值范围。 变式3-1、一次函数的部分对应值如下表。 点在第一个函数的图像上，点在第二个函数的图像上。两点的横坐标都不小于0且不大于4，若求的取值范围。 变式3-2、如图，两条直线交于其中随增大而减小，另一条为填空：当时，____当时，____ 变式3-3、已知求两个函数值一正一负时的取值范围。 四、不等式组与共同范围 把每个不等式单独化成的范围，再找所有条件都满足的部分。题目给出的自变量范围也必须一同考虑。 由函数值范围求范围时，要分别求出两个边界。函数递减时，较大的函数值对应较小的不要按题中文字顺序照抄两个端点。 边界能否取到由原条件决定。含“等于”的条件允许取边界，但若另一个条件排除了这个数，最终仍不能取。 求整数解时，应先确定完整范围再列整数，不能先猜几个整数后忽略两端。 如：分别得到所以 【典例精讲】例4、已知 求同时满足的的取值范围。 变式4-1、已知 求同时满足的所有整数 变式4-2、一次函数中，自变量满足 求函数值满足时的取值范围。 变式4-3、已知分别求下列条件下的取值范围： （1）且 （2）且 五、三条直线的大小关系 比较三个函数值，先求有关直线两两相交时的横坐标，再按从小到大的顺序把数轴分段。每段内没有新的交点，大小次序不变。 可在每一段选一个便于计算的核对大小。分界点处有两个函数值相等，应单独核对题目要求是否允许等号。 若只求某个函数值最大，只需让它分别不小于另外两个函数值，不必把全部排列都算一遍。 两条直线平行且不重合时，两个函数值的大小关系不变；两条直线重合时，两个函数值始终相等。遇到这两种情况，先单独处理，再比较其余直线。 若题目要求几个条件中恰有指定个数成立，可以先分别求各条件对应的范围，再按所有分界点分段检查。分界点处是否成立要单独核对，不能只看两侧。 如：要使最大且允许相等，只需同时满足 【典例精讲】例5、已知 （1）求三条直线两两交点的横坐标； （2）求不小于另外两个函数值时的范围； （3）求时的范围。 变式5-1、已知 求严格大于另外两个函数值时的范围。 变式5-2、已知求时的范围。 变式5-3、已知按的取值范围，分别写出三个函数值从大到小的排列，函数值相等的情况也要列出。 六、从解集和整数解个数反求条件 题目给出整数解个数时，先把不等式化成范围，再找“应包含的最后一个整数”和“不能包含的下一个整数”。两条要求共同确定参数范围。 若范围的两端都随参数变化，相同的整数解个数可能对应不同的几组整数。可以把最小的整数记作依次表示其后的整数，再分别检查左右端点，不能先固定其中一组整数。 两个不等式解集相同，不仅分界点要相同，分界点哪一侧满足条件也必须相同。先找相等时的横坐标，再检查函数值的大小方向。 含参数时还要检查一次项系数是否为0。若化简后没有应直接判断剩下的等式或不等式，不能继续除以这个系数。 如：恰有整数解则须且所以 【典例精讲】例6、已知同时满足的整数恰有3个，求的取值范围。 变式6-1、已知满足且的整数恰有4个，求的取值范围。 变式6-2、关于的不等式组无解，求的取值范围。 变式6-3、已知其中 （1）若不等式与的解集相同，求的值； （2）若不等式与的解集相同，求的值（若不存在，填“不存在”）。 A、基础通关 1、如图，直线与交于点方程的解为（ ）。 A． B． C． D． 2、一次函数的部分对应值如下表，则时的取值范围为____。 3、如图，一次函数的图像经过 下列不等式的解集为的是（ ）。 A． B． C． D． 4、一次函数中，当时，的取值范围为____。 5、如图，直线与交于 则方程组的解为____。 6、已知 求同时满足时的取值范围。 7、方程组的解的情况是（ ）。 A．只有一组解 B．有两组解 C．无解 D．有无数组解 8、已知求在此范围内方程的解。 B、难点突破 1、两直线交于且当时，则的解集为____。 2、已知不等式的解集为（ ）。 A． B． C． D． 3、直线经过 求同时满足时的取值范围。 4、一次函数的部分对应值分别如下两表。求时的取值范围。 5、方程组的解为则方程组的解为____。 6、不等式组只有一个整数解，则的取值范围是（ ）。 A． B． C． D． 7、已知一次函数经过不等式的解集为求该函数的表达式。 8、已知直线与直线交于点若点在第二象限，求的取值范围。 C、综合进阶 1、已知若不大于中的较大值，且不小于其中的较小值，求的取值范围。 2、已知且在①②③这三个条件中，恰有两个成立的整数的个数为（ ）。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、已知且同时满足 （1）求的取值范围； （2）求的最大值、最小值及对应的的值。 4、直线交于点直线也经过点 （1）求 （2）求同时满足时的取值范围。 5、已知一次函数经过不等式的解集为且为整数，求的所有可能值及对应的函数表达式。 6、已知一次函数同时满足的整数恰有3个，求的取值范围。 7、在同一平面直角坐标系中，函数（与函数（的图像如图所示。若直线与这两个函数的图像共有两个不同的交点，求的取值范围。 8、已知当时，求使成立的的取值范围， 并写出相应的的条件。 D、中考真题精选 1、（2026·江苏宿迁·第5题）一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（ ）。 A. B. C. D. 2、（2025·江苏徐州·第8题）如图为一次函数的图象，关于的不等式的解集为（ ）。 A. B. C. D. 3、（2026·云南·第25题）问题提出 云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短。这里出产的蓝莓果粒大，果味香，果肉甜脆。近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸。 该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低。 问题解决 在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用。具体收费方案为： 甲印制公司的收费方案是：收1350元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2元印制费； 乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35元印制费。 根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司？ 4、（2026·北京·第21题）在平面直角坐标系中，函数（的图象经过点和 （1）求的值； （2）当时，对于的每一个值，函数（的值小于函数的值，直接写出的取值范围。 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $