精品解析：上海市闵行区莘松中学2026-2027学年第一学期八年级 期中数学试题

2026学年第一学期期中考试八年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分，每题只有一个选项正确） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、∵，∴不符合要求； B、∵的被开方数含分母，∴不符合要求； C、∵，∴不符合要求； D、∵的被开方数不含分母，且无开得尽方的因式，∴符合要求． 2. 的整数部分和小数部分分别是（ ） A. 0和 B. 3和 C. 3和 D. 3和 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，正确估计无理数的大小是解题的关键． 先估算的值，确定的整数部分，然后小数部分为原数减整数部分，据此即可解答． 【详解】解：∵ ，即， ∴， ∴整数部分为3， ∴小数部分为． ∴的整数部分为3，小数部分为． 故选B． 3. 已知且x与y都是正数．下列各式中，的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助平方差公式，寻找与原式相乘后不含二次根式的式子． 【详解】解：∵ ，结果不含二次根式， ∴ 是的有理化因式． 4. 将数轴沿着点A对折，如果两个点正好重合，把这两个点叫做关于点A的对称点．如果表示的点和表示的点关于点P对称，表示的点关于点P的对称点所表示的数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据已知对称点求出对称中心表示的数，再利用对称点的中点性质计算目标对称点对应的数． 【详解】解：∵表示的点和表示的点关于点对称． ∴点表示的数为． 设所求对称点表示的数为． ∵表示的点与点关于点对称． ∴． 解得． 5. 对于实数、，定义的含义为：当时，，例：．如果，，且和为两个连续正整数，那么的立方根是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据新定义的运算规则，推导、与的大小关系，结合无理数估算求解． 【详解】解：∵，∴． ∵，∴． ∵，，， ∴． ∵，为连续正整数， ∴，． ∴， ∴的立方根为． 6. 两个关于x的一元二次方程与，其中a，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根，可得，即得，即可得是方程的一个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得另一个根，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 设方程另一个根为， ∴， 解得， ∴一定是方程的一个根的是或． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 如果代数式在实数范围内有意义，那么x的取值范围为______． 【答案】 且 【解析】 【详解】解：∵二次根式的被开方数需为非负数， ∴对分子中的，有，解得； ∵分母中存在二次根式，其被开方数也需满足非负要求， ∴有， ∵分式的分母不能为0， ∴，即，解得； 综上：且. 8. 下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是______（填序号）． ①和；②和；③和；④和． 【答案】①④ 【解析】 【分析】同类二次根式的判断规则为：将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的两个二次根式为同类二次根式，逐组化简判断即可． 【详解】解： ①∵ 二次根式有意义的条件为，结合可得， ∵ ∴ ． ∵ ∴ ． 两个根式化简后的被开方数均为，属于同类二次根式； ②∵ 和均为最简二次根式， ∴ 两者被开方数分别为和，不相同，不属于同类二次根式； ③∵ 二次根式有意义的条件为，结合可得， ∵ ， ∴ ， ∵ 二次根式有意义的条件为，结合可得， ∵ ， ∴ ， 两个根式化简后的被开方数分别为和，不相同，不属于同类二次根式； ④∵ 二次根式有意义的条件为，可得， ∵ ， ∴ ， 为最简二次根式，被开方数为，与化简后的被开方数相同，属于同类二次根式， 综上，符合要求的序号为①④． 9. 比较大小：______．（填写“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先判断两个数的正负性，利用负数小于正数的实数大小比较规则即可快速得出结论，无需计算精确值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 又∵，根据实数大小比较规则，负数小于正数， ∴． 10. 近期，某研究团队在厚度仅为（）的二硫化钼超薄材料上，成功研制出世界首颗二硫化钼多位并行微处理器．这一突破性进展，标志着我国“二维芯片”应用研究实现里程碑式跨越．请用科学记数法表示___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 11. 如果，那么的平方根为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式被开方数非负的性质确定的取值，代入求出的值，再计算的结果，最后求该结果的平方根，注意区分平方根与算术平方根的概念，避免漏解． 【详解】解：二次根式被开方数为非负数， 对，有，解得； 对，有，解得． 同时满足两个条件的值为． 将代入，得． ． ． 正数的平方根有两个，且互为相反数， 的平方根为． 12. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了一元二次方程的解，将根代入方程，得到关于的方程，解出的值，并确保二次项系数不为0． 【详解】解：因为方程有一个根为0， 所以代入，得：， 即， 解得：或． 又因为该方程是一元二次方程，所以二次项系数，即． 因此． 故答案为：． 13. 如果化为最简分数后是，那么______． 【答案】 43 【解析】 【分析】通过扩倍消去循环小数的循环部分，将其转化为最简分数，确定a、b的取值后计算两数之和即可. 【详解】解：设，则， ∴， ∴， 解得， ∵34与9的最大公因数为1， ∴为最简分数， ∴，， ∴. 14. 实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简＝______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由数轴可知， ， ， ， ， ， 原式 . 15. 由，可以确定是两位数，由59319的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，由可以确定的十位上的数字是3，所以＝39．据以上方法可得＝______． 【答案】 105 【解析】 【分析】按照题干给出的立方根估算流程，先通过相邻整百数的立方范围确定立方根的位数，再根据被开方数的个位匹配对应立方的个位数字，最后划去被开方数后三位，通过剩余部分的立方范围确定高位数字，组合得到最终结果 【详解】解：∵ ，，且， ∴ 是三位数， ∵ 被开方数1157625的个位数字是5，且只有个位为5的整数，其立方的个位数字为5（如）， ∴ 的个位数字是5， 划去1157625后面的三位625，得到数1157． ∵ ，，且， ∴ 立方根去掉个位后的高位部分为10， ∴ ． 16. 已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，求代数式的值，完全平方公式的应用，由已知条件，，可知和均为负数，将表达式通过变量代换化为正数形式，再利用完全平方公式求解，最后整体代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 17. 规定：如果（m、n、a、b为正整数，），那么称为根式的一组“分解数”．例如，那么是的分解数．如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】将等式两边同时平方，根据等式两边有理数部分、无理数部分分别相等的性质，建立a、b的和与积的关系，结合正整数、的条件求解a、b的值． 【详解】解：∵ ∴等式两边同时平方，得． 即， ∵等式两边的有理数部分、无理数部分分别对应相等 ∴． ∵a、b为正整数，且 ∴满足和为11、积为30的正整数为6和5，其中． ∴，． ∴． 18. 已知关于x的方程是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③如果，那么；④如果，那么．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】结合一元二次方程的根的定义、判别式、根与系数的关系，通过代数变形逐一验证各结论的正确性 【详解】解：①∵是方程的实数根 ∴代入方程得 移项得 左边因式分解为 ∴，结论①正确 ②计算方程的判别式 ∵ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根，即，结论②正确 ③根据根与系数的关系，得 ∴ ∵ ∴由不等式的基本性质， 即，结论③正确 ④∵根据根与系数的关系， ∴ 代入得 ∵若，代入原方程左边得 ∴，即 ∴，即，结论④正确 故答案为：①②③④． 三、简答题（本大题共8题，19－24每题5分，25题8分，26题6分，共44分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 20. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式. 21. 计算：（）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 22. 用配方法解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是选择适当的方法解一元二次方程． 根据配方法求解一元二次方程求解即可． 【详解】解： ∴， 解得，． 23. 用公式法解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可，熟练掌握公式法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 24. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键； 原方程变形后利用分解因式法求解即可． 【详解】解：原方程即为， 方程左边因式分解得：， ∴或， 解得：，． 25. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化，利用二次根式混合运算的法则将所求式子化简，最后代入，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 当，时，原式． 26. 阅读下列解题过程： ①；②；③ （1）请写出第④个等式：______； （2）猜想：______（n为正整数）； （3）根据你所发现的规律，计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据所列等式所呈现的规律进行解答即可； （2）由规律得出一般情况，用含有n的式子表达即可； （3）利用规律进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：由题意可得： 第④个等式为：． 【小问2详解】 解：∵①； ②； ③； …… ∴第n（n为正整数）个等式为：． 【小问3详解】 解： 四、解答题（本大题共2题，27题9分，28题11分，共20分） 27. 阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是数学中非常重要的思想方法．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，其边长为无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应，要在数轴上找到表示：的点，关键是在数轴上构造线段，如图②，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为，类似的，我们可以用这种方法在数轴上大致确定形如（n为正整数）的无理数的位置． 任务 （1）如图③，改变图②中正方形的位置，用类似的方法作图，图③中点B表示的数为______，点表示的数为______； （2）点P在数轴上表示的数为p，如果点P到点B、两点的距离之和等于，求p的取值范围． （3）请用图④中边长分别为1、2的两个正方形剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，并直接写出该正方形的边长．（无需尺规作图） 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点间的距离公式进行求解即可； （2）根据题意可知，点在线段上，即可得出结果； （3）将边长为2的正方形裁剪成4个直角边分别为2和1的直角三角形，然后将4个直角三角形和边长为1的正方形拼接成一个边长为的大正方形即可． 【小问1详解】 解：由题意，点和点到数轴上表示数1的点的距离为， ∴点和点表示的数分别为和； 【小问2详解】 解：∵点和点之间的距离为， 又∵点P到点B、两点的距离之和等于， ∴点在线段上， ∴； 【小问3详解】 解：图略， 由题意，拼接的正方形的面积为， 故正方形的边长为． 28. 阅读材料：把一个矩形切去一个以宽为边长的正方形后，如果剩下的矩形与原矩形的长宽比相等（长宽比指长边与短边的比），那么称这个矩形为黄金矩形． （1）已知一个长为3、宽为1的矩形，切去一个以宽为边长的正方形后，请判断该矩形是否为黄金矩形，并说明理由． （2）如果一个矩形是黄金矩形，设它的长为、宽为且满足，设． ①用含的式子表示切去一个正方形后剩余矩形的长宽比； ②根据黄金矩形的定义，建立关于的方程，并求出k的值． （3）如果一个矩形的长为、宽为且满足：，切去两个以宽为边长的正方形后，剩余矩形与原矩形的长宽比相等，设，求出的值． 【答案】（1）该矩形不是黄金矩形，理由：原矩形长为 3，宽为 1． ∴ 原矩形长宽比． 切去一个以宽为边长的正方形后，剩余矩形两边长分别为1和2． ∴ 剩余矩形长宽比． ∵ ， ∴ 该矩形不是黄金矩形． （2）①，② （3） 【解析】 【分析】（1）先算出原矩形长宽比是，再算出切去正方形后剩余矩形长宽比是，两个比值不相等，因此不是黄金矩形． （2）①由得到，切去正方形后剩余矩形长为、宽为，将代入化简，得到剩余矩形长宽比为．②根据黄金矩形定义列出方程，整理成一元二次方程，利用求根公式算出两个根，舍去小于 1 的根，得到． （3）由得到，切去两个正方形后剩余矩形长宽比为，根据题意列方程，整理为一元二次方程，求出正根． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：①∵ ， ∴ ． 切去一个边长为的正方形，剩余矩形两边长分别为和． ∵ ， ∴ ，剩余矩形的长为，宽为． ∴ 剩余矩形长宽比． 把代入 ． ②∵ 它是黄金矩形，剩余矩形长宽比等于原矩形长宽比． ∴ ． ． ． ∵ ， ∴ ． 【小问3详解】 解：∵ ， ∴ ， 切去两个边长为的正方形，剩余矩形两边长分别为和． ∵ ， ∴ ，剩余矩形的长为，宽为． ∴ 剩余矩形长宽比． ∵ 剩余矩形与原矩形长宽比相等． ∴ ． ∴ ． 两边同乘， ， ， ， ． ． ∵ ． ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中考试八年级数学试卷 （考试时间：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本大题共6题，每题2分，共12分，每题只有一个选项正确） 1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 的整数部分和小数部分分别是（ ） A. 0和 B. 3和 C. 3和 D. 3和 3. 已知且x与y都是正数．下列各式中，的有理化因式是（ ） A. B. C. D. 4. 将数轴沿着点A对折，如果两个点正好重合，把这两个点叫做关于点A的对称点．如果表示的点和表示的点关于点P对称，表示的点关于点P的对称点所表示的数是( ) A. B. C. D. 5. 对于实数、，定义的含义为：当时，，例：．如果，，且和为两个连续正整数，那么的立方根是( ) A. B. C. D. 6. 两个关于x的一元二次方程与，其中a，b，c是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（本大题共12题，每题2分，共24分） 7. 如果代数式在实数范围内有意义，那么x的取值范围为______． 8. 下列各组的两个二次根式是同类二次根式的是______（填序号）． ①和；②和；③和；④和． 9. 比较大小：______．（填写“”或“”） 10. 近期，某研究团队在厚度仅为（）的二硫化钼超薄材料上，成功研制出世界首颗二硫化钼多位并行微处理器．这一突破性进展，标志着我国“二维芯片”应用研究实现里程碑式跨越．请用科学记数法表示___________． 11. 如果，那么的平方根为______． 12. 关于的一元二次方程有一个根为0，则的值为_____． 13. 如果化为最简分数后是，那么______． 14. 实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简＝______． 15. 由，可以确定是两位数，由59319的个位上的数字是9，可以确定的个位上的数字是9，如果划去59319后面的三位319得到数59，由可以确定的十位上的数字是3，所以＝39．据以上方法可得＝______． 16. 已知，，则_____． 17. 规定：如果（m、n、a、b为正整数，），那么称为根式的一组“分解数”．例如，那么是的分解数．如果，那么______． 18. 已知关于x的方程是此方程的两个实数根，给出四个结论：①；②；③如果，那么；④如果，那么．其中正确结论的序号是______． 三、简答题（本大题共8题，19－24每题5分，25题8分，26题6分，共44分） 19. 计算：． 20. 计算：． 21. 计算：（）． 22. 用配方法解方程： 23. 用公式法解方程：． 24. 解方程：． 25. 先化简，再求值：，其中，． 26. 阅读下列解题过程： ①；②；③ （1）请写出第④个等式：______； （2）猜想：______（n为正整数）； （3）根据你所发现的规律，计算：． 四、解答题（本大题共2题，27题9分，28题11分，共20分） 27. 阅读材料，完成任务． 材料一 数形结合是数学中非常重要的思想方法．按照图①所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，其边长为无理数． 材料二 实数与数轴上的点一一对应，要在数轴上找到表示：的点，关键是在数轴上构造线段，如图②，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为，类似的，我们可以用这种方法在数轴上大致确定形如（n为正整数）的无理数的位置． 任务 （1）如图③，改变图②中正方形的位置，用类似的方法作图，图③中点B表示的数为______，点表示的数为______； （2）点P在数轴上表示的数为p，如果点P到点B、两点的距离之和等于，求p的取值范围． （3）请用图④中边长分别为1、2的两个正方形剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，并直接写出该正方形的边长．（无需尺规作图） 28. 阅读材料：把一个矩形切去一个以宽为边长的正方形后，如果剩下的矩形与原矩形的长宽比相等（长宽比指长边与短边的比），那么称这个矩形为黄金矩形． （1）已知一个长为3、宽为1的矩形，切去一个以宽为边长的正方形后，请判断该矩形是否为黄金矩形，并说明理由． （2）如果一个矩形是黄金矩形，设它的长为、宽为且满足，设． ①用含的式子表示切去一个正方形后剩余矩形的长宽比； ②根据黄金矩形的定义，建立关于的方程，并求出k的值． （3）如果一个矩形的长为、宽为且满足：，切去两个以宽为边长的正方形后，剩余矩形与原矩形的长宽比相等，设，求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $