上海市闵行区明星学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷

上海市闵行区明星学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1．已知，那么＝（　　） A．0.1a B．10a C．0.1b D．10b 2．下列说法中，正确的有（　　） ①无理数与无理数的差一定是无理数； ②无理数与无理数的商一定是无理数； ③有理数与无理数的差一定是无理数； ④有理数与无理数的商一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 4．已知x≠y且x与y都是正数．下列各式中，不是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 5．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0 6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2，且，那么这个方程可以是（　　） A．9x2+21x﹣4＝0 B． C． D．﹣9x2+21x﹣4＝0 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．的平方根是 　 　 ． 8．比较大小：9.　 　 10（横线上填“＞”、“＜”或“＝”）． 9．方程x2＝4x的解是　 　 ． 10．的十分位上的数字是　 　 ． 11．计算：＝　 　 ． 12．目前常见的光学显微镜可以观测到最小的物体直径约为200纳米，已知1纳米＝10﹣9米．用科学记数法表示200纳米为　 　 米． 13．如果＝成立，那么a的取值范围是　 　 ． 14．已知最简二次根式和是同类二次根式，则k＝　 　 ． 15．关于x的不等式3（x﹣1）＞2x的解集是 　 　 ． 16．我们在学习“有理数的小数形式”这一节课时，学习了如何将无限循环小数化成分数形式的方法，感受了“将无限化为有限”的思想，请类比同样的方法和思想，化简＝　 　 ． 17．已知a+b＝﹣4，ab＝4，化简b+a＝　 　 ． 18．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则＝　 　 ． 三、简答题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 19．计算：． 20．计算：． 21．用公式法解方程：﹣3y2+3y＝﹣1． 22．用配方法解方程：3x2﹣4x﹣12＝0． 四、解答题（本大题共6小题，23、24题每题5分，25、26、27题每题6分，28题10分，满分38分） 23．已知，求代数式的值． 24．先化简，再求值：，其中a是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根． 25．认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即x4＝a，那么这个数x叫作a的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． （1）81的四次方根为　 　 ；﹣32的五次方根为　 　 ； （2）若有意义，则x的取值范围是　 　 ，若有意义，则x的取值范围是　 　 ； （3）求x的值：． 26．已知方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2． （1）当m满足什么条件时，该方程是关于x的一元二次方程？ （2）当该方程有两个相等的实数根时，求出m的值及此时方程的根． 27．已知x1、x2是方程（a﹣1）x2﹣3（2﹣a）x+1＝0的两个实数根． （1）若，求a的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 28．材料一：观察等式，其左边是两个含有次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ． ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）＝　 　 ；（直接写出答案） （2）计算：＝　 　 ；（直接写出答案） （3）计算：； （4）计算：． 上海市闵行区明星学校2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A A B C D B 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 1．已知，那么＝（　　） A．0.1a B．10a C．0.1b D．10b 【分析】根据被开方数小数点向左移动三位，则立方根小数点向左移动一位求解即可． 【解答】解：∵2025÷1000＝2.025，， ∴． 故选：A． 【点评】本题考查了立方根，熟练掌握立方根的小数点的移动规律是解题的关键． 2．下列说法中，正确的有（　　） ①无理数与无理数的差一定是无理数； ②无理数与无理数的商一定是无理数； ③有理数与无理数的差一定是无理数； ④有理数与无理数的商一定是无理数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】逐一分析每个说法，通过举反例的方法判断其是否正确，从而确定正确说法的个数． 【解答】解：①例如和都是无理数，它们的差为是有理数，选项说法错误，不符合题意； ②例如和都是无理数，它们的商为是有理数，选项说法错误，不符合题意； ③假设有理数a与无理数b的差是有理数，即a﹣b＝c（c为有理数），那么b＝a﹣c．因为a和c都是有理数，有理数的差也是有理数，这与b是无理数矛盾，选项说法正确，符合题意； ④当有理数为0时，0除以无理数结果为0，是有理数，选项说法错误，不符合题意． 综上，只有③说法正确，正确的有1个． 故选：A． 【点评】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是关键． 3．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一分析每个选项的被开方数是否含分母、是否含能开得尽方的因数或因式，从而判断是否为最简二次根式． 【解答】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式，可化简为，不符合题意； B、，被开方数42a不含分母，且42＝2×3×7，没有能开得尽方的因数，a的次数为1，所以是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中x3＝x2•x，含有能开得尽方的因式x2，不是最简二次根式，可化简为，不符合题意； D、，被开方数含有能开得尽方的因式（a+1）2，不是最简二次根式，可化简为，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式需满足的两个条件：被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 4．已知x≠y且x与y都是正数．下列各式中，不是的有理化因式的是（　　） A． B． C． D． 【分析】有理化因式是指与给定表达式相乘后结果不含根式的表达式，对于，计算出各选项中的式子与之相乘后的结果即可得到答案． 【解答】解：A、，结果不含根式，不符合题意； B、，结果不含根式，不符合题意； C、，结果仍含根式，符合题意； D、，结果不含根式，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查了分母有理化，掌握分母有理化的方法是关键． 5．关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，那么a的取值范围是（　　） A．a＞1 B．a≥1 C．a≤1且a≠0 D．a＜1且a≠0 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为零；有两个不相等的实数根需判别式大于零，联立求解即可． 【解答】解：由题意得，a≠0，且 Δ＝（﹣2）2﹣4•a•1＝4﹣4a＞0， ∴4﹣4a＞0，即 a＜1， 综上，a＜1且a≠0． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，熟记以上知识点是解题的关键． 6．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根分别为x1、x2，且，那么这个方程可以是（　　） A．9x2+21x﹣4＝0 B． C． D．﹣9x2+21x﹣4＝0 【分析】根据已知条件和，可得和，逐一验证各选项的系数是否满足这些比例即可． 【解答】解：由题意可知，，， ∴，， A、9x2+21x﹣4＝0中a＝9，b＝21，c＝﹣4，则，故A选项不符合题意； B、中a＝3，b＝﹣7，，则，且，故B选项符合题意； C、中a＝1，，，则，故C选项不符合题意； D、﹣9x2+21x﹣4＝0中a＝﹣9，b＝21，c＝﹣4，则，但 ，故D选项不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．的平方根是 　±2　 ． 【分析】根据平方根、算术平方根的定义进行计算即可． 【解答】解：由于＝4， 所以的平方根是＝±2， 故答案为：±2． 【点评】本题考查平方根、算术平方根，理解平方根、算术平方根的定义是正确解答的前提． 8．比较大小：9.　＜　 10（横线上填“＞”、“＜”或“＝”）． 【分析】利用有理数的大小比较解答． 【解答】解：9.＜10． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了有理数的大小比较，解题的关键是掌握有理数的大小比较． 9．方程x2＝4x的解是　0或4　 ． 【分析】此题用因式分解法比较简单，先移项，再提取公因式，可得方程因式分解的形式，即可求解． 【解答】解：原方程可化为：x2﹣4x＝0， ∴x（x﹣4）＝0 解得x＝0或4； 故方程的解为：0，4． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法，此题方程两边公因式较明显，所以本题运用的是因式分解法． 10．的十分位上的数字是　6　 ． 【分析】先估算出的取值范围，进而可得出结论． 【解答】解：∵2.62＝6.76，2.72＝7.29， ∴2.6＜＜2.7， ∴十分位上的数字是6． 故答案为：6． 【点评】本题考查无理数的估算，熟知估算无理数大小要用逼近法是解题的关键． 利用夹逼法， 11．计算：＝　　 ． 【分析】利用分母有理化进行计算，即可解答． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 12．目前常见的光学显微镜可以观测到最小的物体直径约为200纳米，已知1纳米＝10﹣9米．用科学记数法表示200纳米为　2×10﹣7 米． 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：1米＝1000000000纳米， 200纳米＝0.0000002米＝2×10﹣7米． 故答案为：2×10﹣7． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13．如果＝成立，那么a的取值范围是　1＜a≤3　 ． 【分析】根据二次根式的定义，被开方数必须非负，且分母不能为零，得出1＜a≤3． 【解答】解：如果果＝成立， 由题意可得：， 故1＜a≤3， ∴a的取值范围是1＜a≤3， 故答案为：1＜a≤3． 【点评】本题考查了二次根式的定义，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 14．已知最简二次根式和是同类二次根式，则k＝　2　 ． 【分析】根据两个最简二次根式的被开方数相同，则这两个最简二次根式为同类二次根式，得到2k﹣2＝k2﹣2，进行求解即可． 【解答】解：根据两个最简二次根式的被开方数相同可得：2k﹣2＝k2﹣2． 移项得：k2﹣2k＝0， 即 k（k﹣2）＝0， 解得k＝0或k＝2． 检验：当k＝0时，被开方数 2k﹣2＝﹣2＜0，二次根式无意义，不符合题意，舍去； 当k＝2时，被开方数2k﹣2＝2＞0，k2﹣2＝2＞0，且均为最简二次根式． 故k＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查同类二次根式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是关键． 15．关于x的不等式3（x﹣1）＞2x的解集是 x＞3　 ． 【分析】按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答． 【解答】解：3（x﹣1）＞2x， 3x﹣3＞2x， 3x﹣2x＞3， x＞3， ∴不等式3（x﹣1）＞2x的解集是：x＞3， 故答案为：x＞3． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键． 16．我们在学习“有理数的小数形式”这一节课时，学习了如何将无限循环小数化成分数形式的方法，感受了“将无限化为有限”的思想，请类比同样的方法和思想，化简＝　7　 ． 【分析】设，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设， ∴， ∴x2＝42+x， ∴x2﹣x﹣42＝0， ∴（x+6）（x﹣7）＝0， x+6＝0或x﹣7＝0， ∴x＝﹣6（舍去）或x＝7， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了解无理方程，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 17．已知a+b＝﹣4，ab＝4，化简b+a＝　﹣4　 ． 【分析】由a+b＝﹣4，ab＝4，得出a＜0，b＜0，进一步利用二次根式的性质化简，整理后整体代入求得答案即可． 【解答】解：∵a+b＝﹣4，ab＝4， ∴a＜0，b＜0， ∴b+a ＝﹣﹣ ＝﹣ ＝﹣4． 故答案为：﹣4． 【点评】此题考查二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质和整体代入思想是解决问题的关键． 18．已知a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根，则＝　2025　 ． 【分析】先理解题意，则把x＝a代入x2﹣2026x+1＝0，得a2﹣2026a+1＝0，整理得a2＝2026a﹣1，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【解答】解：∵a是方程x2﹣2026x+1＝0的一个根， ∴a2﹣2026a+1＝0， ∴a2＝2026a﹣1， 则 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2025， 故答案为：2025． 【点评】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 三、简答题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 19．计算：． 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号、计算加减可得答案． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝． 【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 20．计算：． 【分析】根据二次根式的乘法，除法计算法则求解即可． 【解答】解：原式＝﹣÷ ＝﹣ ＝﹣a2b2． 【点评】本题考查二次根式的乘除法运算，掌握运算法则是关键． 21．用公式法解方程：﹣3y2+3y＝﹣1． 【分析】利用公式法解一元二次方程即可． 【解答】解：﹣3y2+3y＝﹣1， 整理得：3y2﹣3y﹣1＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×3×（﹣1）＝9+12＝21＞0， ∴， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法是解此题的关键． 22．用配方法解方程：3x2﹣4x﹣12＝0． 【分析】利用配方法解一元二次方程即可求解． 【解答】解：∵3x2﹣4x﹣12＝0， ∴3x2﹣4x＝12， ∴， ∴，即， ∴，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的配方法是解题的关键． 四、解答题（本大题共6小题，23、24题每题5分，25、26、27题每题6分，28题10分，满分38分） 23．已知，求代数式的值． 【分析】利用分母有理化求出，根据完全平方公式把所求代数式的被开方数因式分解，再根据二次根式的性质计算即可． 【解答】解：a＝2﹣， 则＝＝＝2+， ∴a﹣＝2﹣﹣（2+）＝﹣2， 则＝＝|a﹣|＝2． 【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键． 24．先化简，再求值：，其中a是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根． 【分析】先对的分子进行因式分解，再进行化简，然后解一元二次方程，再根据分母不为0进行舍解，最后再代入求值． 【解答】解：原式＝ ＝ ＝， ∵2x2﹣3x+1＝0， ∴（2x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得或x＝1， ∵， ∴a≠1， ∵a是方程2x2﹣3x+1＝0的一个根， ∴， ∴原式＝． 【点评】本题考查了二次根式、分式的化简求值，一元二次方程的根，解一元二次方程，正确计算是解题的关键． 25．认真阅读下面的材料，再解答问题． 根据平方根和立方根的定义，我们可以类比得到四次方根和五次方根的定义：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即x4＝a，那么这个数x叫作a的四次方根．依照上述材料，我们也可以得到五次方根的定义． （1）81的四次方根为　±3　 ；﹣32的五次方根为　﹣2　 ； （2）若有意义，则x的取值范围是x≤1　 ，若有意义，则x的取值范围是　任意实数　 ； （3）求x的值：． 【分析】（1）根据34＝81，（﹣3）4＝81，（﹣2）5＝﹣32，并结合题意即可得解； （2）根据四次方根和三次方根的意义解答即可； （3）根据四次方根的定义计算即可得解． 【解答】解：（1）∵34＝81，（﹣3）4＝81， ∴81的四次方根为±3， ∵（﹣2）5＝﹣32， ∴﹣32的五次方根为﹣2， 故答案为：±3；﹣2； （2）若有意义，则1﹣x≥0， 故x的取值范围是x≤1； 若有意义，则x的取值范围是任意实数， 故答案为：x≤1；任意实数； （3）由题意可得：， ∴（2x﹣4）4＝16， ∴2x﹣4＝2或2x﹣4＝﹣2， ∴x＝3或x＝1． 【点评】本题考查了平方根和立方根，熟练掌握相关定义是解此题的关键． 26．已知方程mx2﹣3x＝x2﹣mx+2． （1）当m满足什么条件时，该方程是关于x的一元二次方程？ （2）当该方程有两个相等的实数根时，求出m的值及此时方程的根． 【分析】（1）先化为一般式，再根据一元二次方程的定义求解即可； （2）根据方程有两个相等的实数根时，Δ＝0求解m，再解方程求出方程的根即可． 【解答】解：（1）原方程可变形为：（m﹣1）x2+（m﹣3）x﹣2＝0， ∴当m﹣1≠0，即m≠1时，该方程是关于x的一元二次方程； （2）由题意可知，Δ＝（m﹣3）2﹣4（m﹣1）×（﹣2）＝0， 解得：m1＝m2＝﹣1， 把m＝﹣1代入（m﹣1）x2+（m﹣3）x﹣2＝0， 得到方程﹣2x2﹣4x﹣2＝0， 解得：x1＝x2＝﹣1， ∴m的值为﹣1，方程的根为x1＝x2＝﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式，解一元二次方程﹣公式法，熟记以上知识点是解题的关键． 27．已知x1、x2是方程（a﹣1）x2﹣3（2﹣a）x+1＝0的两个实数根． （1）若，求a的值； （2）在（1）的条件下，求的值． 【分析】（1）由根与系数的关系可得，又可得，然后将代入得到关于a的方程求解即可； （2）由（1）得：，a＝0，则x1x2＝﹣1，再根据完全平方公式可得，然后再根据平方根求解即可． 【解答】解：（1）∵方程（a﹣1）x2﹣3（2﹣a）x+1＝0的两个实数根是x1，x2， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a＝0． （2）由（1）得：，a＝0，则x1x2＝﹣1， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、分式的化简求值、完全平方公式、平方根等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 28．材料一：观察等式，其左边是两个含有次根式的代数式相乘，而右边不含二次根式．像这样，两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代数式互为有理化因式． 材料二：根式化简 ． ． 根据以上材料，请完成下列问题： （1）＝　3+　 ；（直接写出答案） （2）计算：＝　9　 ；（直接写出答案） （3）计算：； （4）计算：． 【分析】（1）根据分母有理化求解即可； （2）先根据分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （3）先根据分母有理化化简，然后再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （4）先将分母因式分解，然后分母有理化，最后根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【解答】解：（1）． 故答案为：； （2）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝10﹣1 ＝9； （3）原式＝ ＝＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （4）原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝． ＝ 【点评】本题主要考查了分母有理化、二次根式的混合运算、平方差公式，理解分母有理化的求解过程并灵活运用是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $