精品解析：吉林吉林市丰满区吉林松花江中学2026-2027学年八年级上学期期中数学试题

吉林松花江中学八年级数学期中质量检测 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 吉林省的文旅宣传推广语是“白山松水吉祥吉林”．小松利用AI软件设计了下列四幅“吉”的艺术字体为吉林文旅助力加油，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义（如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形）依次对各图形进行判断即可． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 2. 已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角形三边关系确定的取值范围，再对照选项判断． 【详解】解：∵三角形三边长为，，， ∴，即， 选项中只有符合该范围． 3. 如图，在中，边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】C 【解析】 【分析】从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高，由此即可得到答案． 【详解】解：边上的高线是线段． 4. 如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形中，对称轴垂直平分对应点所连线段，即可进行判断． 【详解】解：∵与关于直线l对称， ∴点A与点D是对应点，点B与点E是对应点，点C与点F是对应点， ∴直线l垂直平分线段、、， ∵C与D不是对应点， ∴线段不能被直线l垂直平分． 5. 如图，若，对应顶点依次对应，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理计算的度数，根据全等三角形对应角相等的性质，可得与相等． 【详解】∵△ABC中，，且， ∴， ∵， ∴． 6. 如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、和的对边分别是和，符合，不能判定，故A符合题意； B、由推出，而，，由判定，故B不符合题意； C、，而，，由判定，故C不符合题意； D、，而，，由判定，故D不符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 晋阳古城考古博物馆举办“墨韵清明·伞绘春光”油纸伞手绘活动，油纸伞的伞骨设计蕴含着巧妙的数学智慧．艺人通过伞骨的拼接，使伞柄、伞骨和支撑条共同构成稳定的三角形结构，让油纸伞坚固耐用．这一设计利用的数学原理是__________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【分析】本题考查三角形的基本性质，根据题干中三角形结构保持稳定的描述，结合三角形的特性即可作答． 【详解】解：三角形具有稳定性，能够使结构稳固不易变形，因此该设计利用的数学原理是三角形具有稳定性． 8. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】依据平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征计算，该特征为纵坐标保持不变，横坐标为原横坐标的相反数． 【详解】解：在平面直角坐标系中，关于轴对称的点的坐标满足纵坐标相同，横坐标互为相反数， 点的坐标为， 关于轴对称的点的坐标为． 9. 如图，是一款风筝的示意图，其中，，则所在直线是线段的________线． 【答案】垂直平分 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的判定定理直接求解． 【详解】解：∵，， ∴所在直线是线段的垂直平分线． 10. 如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，根据三角形中线平分三角形面积得到，由此即可求解． 【详解】解：∵O是的重心， ∴是的中线，即点分别是的中点， ∴是的中线， ∴， ∵， ∴ ， 故答案为：6． 11. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作于点，于点，由作图可得平分，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，于点， 由作图可得平分， ∴， ∵，，， ∴， ∵的面积为6， ∴的面积为， ∴的面积为． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 如图，，，点是线段的中点．求证：． 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】利用判定方法“”证明即可． 【详解】略 13. 如图，在中，，，，求的度数. 【答案】90° 【解析】 【分析】根据三角形的外角定理及内角和定理即可求解. 【详解】解：,,, . ， ， . 【点睛】此题主要考查三角形的角度求解，解题的关键是熟知三角形的外角定理. 14. 如图，已知点分别在上， ．求证：． 【答案】 证明：∵，，，， ∴． 在和中 ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先通过角的运算推出，再结合和公共边，利用“”证明，从而得出结论． 【详解】略 15. 如图，，点E在边上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）的对应角为________． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的对应角相等确定． 【小问1详解】 解：，，， ，， ． 【小问2详解】 解：， ∴． ∴的对应角是 16. 如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． （1）与全等吗？请说明理由． （2）若，，，求线段的长度． 【答案】（1） 全等，理由如下： 由题意可知，，，， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）由两个直角三角形全等的判定定理判定即可； （2）由全等的性质得到长，数形结合表示出求解即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ，， 线段． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图①中画出，使； （2）在图②中画出关于直线对称的； （3）在图③中的上找一点，连接，使． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据网格特征，结合即可得到； （2）作出点的对称点，再顺次连接即可； （3）取格点，连接与交点即为点，可证明，则得到，而，则，即可得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 如图，是中边上的一点，过点作，垂足为，． （1）求证：是直角三角形； （2）连接，若，，则________． 【答案】（1）证明：， ， ． ， ， ， 是直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）由垂直得到互余，等量代换证明，证得为直角三角形； （2）利用角平分线判定定理，求出，进而求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是直角三角形，，， ∴， ∵， ∴平分， ． 19. 如图，在中，厘米．过点C作直线，动点P从点C开始沿射线方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线l上以1厘米/秒的速度向上或向下运动．连接、，设运动时间为t秒． （1）请写出、的长度（用含t的代数式表示）：__________厘米， _________厘米； （2）当t为多少时，与全等？ 【答案】（1）， （2）当或12时，与全等 【解析】 【分析】（1）由路程速度时间，可得、的长度； （2）分两种情况讨论，由全等三角形判定可得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵动点P从点C开始沿射线方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线l上以1厘米/秒的速度向上或向下运动， ∴（厘米），（厘米）． 【小问2详解】 解：如图，当点Q向上运动时， ∵，， ∴点P在线段上， ∴当时，， ∴， ∴； 如图，当点Q向下运动时， ∵，， ∴点P在线段的延长线上， ∴当时，， ∴， ∴； 综上所述：当或12时，与全等． 20. 如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）请说明与的大小关系； （2）若的周长为42cm，，求的长． 【答案】（1）； （2）13cm． 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． （1）由线段垂直平分线的性质推出，，得到； （2）由的周长得到，结合，，求出的长即可． 【小问1详解】 （1）解：，理由如下： 垂直平分， ， ，， 垂直平分， ， ； 【小问2详解】 （2）解：的周长，， ， ， ． 21. 按要求完成下列各题： （1）如图①，在中，平分，平分． ①若，则________； ②请直接写出与的数量关系． （2）如图②，在中，平分，平分，点，分别在，上，连接，将沿折叠使得点与点重合．若，求的度数； （3）我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点．如图③，若的三条内角平分线相交于点，过作分别交、于点、．请直接写出图③中一定与相等的角． 【答案】（1）①；②； （2）． （3），． 【解析】 【分析】（1）由角平分线的定义可知，由此可求，根据三角形内角和可得，再利用三角形内角和即可解答； （2）由可求出的度数，根据（1）的结论即可解答； （3）根据角平分线的定义可知，利用三角形的内角和表示相关角度即可． 【小问1详解】 解：①平分，平分， ， ∴， ， ， ； ②平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 即； 【小问2详解】 解：由折叠的性质可得，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【小问3详解】 解：分别平分， ， ， ， ， 同理． 22. 【教材呈现】下面是人教版数学教材八年级上册第60页第11题： 如图①，，，，，垂足分别为，，，求的长． （1）琪琪通过分析，得到下面的解题思路：利用“角角边”证得与全等，进而得出，，最后求得的长为________； 【类比探究】 （2）如图②，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （3）如图③，在中，，分别以和为直角边作等腰直角和等腰直角，连接交延长线于点．直接写出与的数量关系； 【知识迁移】 （4）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图④所示，以的，边向外作等腰直角和等腰直角，其中，是边上的高．延长交于点，若，，直接写出的面积． 【答案】（1） （2）证明：，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ． （3） （4）21 【解析】 【分析】（1）利用“角角边”证得与全等，进而得出，，即可求得； （2）利用“角角边”证得与全等，进而得出，，则； （3）过点作于点， 连接，通过两次全等得到结论； （4）过点作交的延长线于点，过点作于点，由得，同理，故，由此即可求解． 【小问1详解】 解：，， ∴， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：结论：． 理由：如图，过点作于点， 连接． ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 同理可证明：， ， ， ， ， 的面积等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林松花江中学八年级数学期中质量检测 一、单项选择题（每小题3分，共18分） 1. 吉林省的文旅宣传推广语是“白山松水吉祥吉林”．小松利用AI软件设计了下列四幅“吉”的艺术字体为吉林文旅助力加油，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形的三边长分别为2，7，x，则可能是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 如图，在中，边上的高线是（ ） A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 4. 如图，与关于直线l对称，下列所连线段中，不能被直线l垂直平分的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，若，对应顶点依次对应，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，点A、D、C在同一直线上，已知，，添加以下条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 晋阳古城考古博物馆举办“墨韵清明·伞绘春光”油纸伞手绘活动，油纸伞的伞骨设计蕴含着巧妙的数学智慧．艺人通过伞骨的拼接，使伞柄、伞骨和支撑条共同构成稳定的三角形结构，让油纸伞坚固耐用．这一设计利用的数学原理是__________． 8. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是________． 9. 如图，是一款风筝的示意图，其中，，则所在直线是线段的________线． 10. 如图，O是的重心，若的面积是12，则阴影部分的面积和是______． 11. 如图，在中，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；②分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；③作射线交于点，若；的面积为6，则的面积为__________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共87分） 12. 如图，，，点是线段的中点．求证：． 13. 如图，在中，，，，求的度数. 14. 如图，已知点分别在上， ．求证：． 15. 如图，，点E在边上，与相交于点． （1）若，，求线段的长； （2）的对应角为________． 16. 如图，是两个长度相同的梯子与靠在一面竖直墙上的示意图，已知左边梯子的高度与右边梯子水平方向的长度相等． （1）与全等吗？请说明理由． （2）若，，，求线段的长度． 17. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法） （1）在图①中画出，使； （2）在图②中画出关于直线对称的； （3）在图③中的上找一点，连接，使． 18. 如图，是中边上的一点，过点作，垂足为，． （1）求证：是直角三角形； （2）连接，若，，则________． 19. 如图，在中，厘米．过点C作直线，动点P从点C开始沿射线方向以2厘米/秒的速度运动，动点Q也同时从点C出发在直线l上以1厘米/秒的速度向上或向下运动．连接、，设运动时间为t秒． （1）请写出、的长度（用含t的代数式表示）：__________厘米， _________厘米； （2）当t为多少时，与全等？ 20. 如图，在中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且，连接． （1）请说明与的大小关系； （2）若的周长为42cm，，求的长． 21. 按要求完成下列各题： （1）如图①，在中，平分，平分． ①若，则________； ②请直接写出与的数量关系． （2）如图②，在中，平分，平分，点，分别在，上，连接，将沿折叠使得点与点重合．若，求的度数； （3）我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点．如图③，若的三条内角平分线相交于点，过作分别交、于点、．请直接写出图③中一定与相等的角． 22. 【教材呈现】下面是人教版数学教材八年级上册第60页第11题： 如图①，，，，，垂足分别为，，，求的长． （1）琪琪通过分析，得到下面的解题思路：利用“角角边”证得与全等，进而得出，，最后求得的长为________； 【类比探究】 （2）如图②，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （3）如图③，在中，，分别以和为直角边作等腰直角和等腰直角，连接交延长线于点．直接写出与的数量关系； 【知识迁移】 （4）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图④所示，以的，边向外作等腰直角和等腰直角，其中，是边上的高．延长交于点，若，，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $