甘肃兰州市某校2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试卷

西北师大附中 2026—2027学年第一学期期中考试试题参考答案 高二数学 一、单选题： 1．D 2．A 3．C 4．B 5．C 6．B 7．D 8．A 二、多选题： 9．ABD 10．BCD 11．ABD 三、填空题： 12．（） 13． 14． 四、解答题： 15．（1）∵四边形是平行四边形，∴， ∴直线的斜率等于直线的斜率，为， 故直线的方程为，即． （2）∵是线段的中点，∴．根据（1）中求得的直线的方程，可设， 在平行四边形中，，易知直线的斜率存在， 则，即， 解得，故，故直线的斜率为． 故过点且与直线垂直的直线的斜率为，其方程为，即． 16．解：（1）证明：且， 是首项为4，公比为2的等比数列． （2）由（1）知，所以， 则， ， ． 17．解：（1）设圆的圆心坐标为，其中，半径为， ∵圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，， 又∵圆与直线相切， ，解得或（舍去）， ∴圆心，， 故圆的标准方程为； （2）（i）联立直线与圆的方程， 可得， ∵直线交圆与，两点， ∴，解得， 故的取值范围为． （ii）证明：设，， 由（i）可得，， 又， ∴直线与直线的斜率之和为定值． 18．解：（1）依题意得，， 即有， 解得， ∴， 即； （2）（i），， ， ， ∴． （ii）由（1）易求得，所以不等式对一切恒成立， 即转化为对一切恒成立， 令，则，由， 当时，；时，， 所以，且，则． 所以实数的最大值为． 19．解：（1）因为为圆的“黄金点”， 所以，即， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为； （2）（i）因为为圆的“黄金点”，所以， 即点在圆上， 则是圆和的交点， 因为，均为圆“”的“钻石点”， 所以直线即为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为； （ii）设的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为3， 直线的方程为，得，的中点坐标为， 点到直线的距离为， 则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意， 设，，， 若轴平分，则， 即，整理得， 又，， 所以代入上式可得， 整理得， 由，得， 所以，， 代入并整理，得，此式对任意的都成立， 所以，故轴上存在点，使得轴平分． 学科网（北京）股份有限公司 $ 西北师大附中 2026—2027学年第一学期期中考试试题 高二 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1．数列，，，，，…的一个通项公式（ ） A． B． C． D． 2．已知直线：与：，则“”是“”的（ ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．记为等差数列的前项和．若，，则的公差为（ ） A．1 B．2 C．4 D．8 4．直线与轴、轴分别交于点，，以线段为直径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 5．设，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．点到直线的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．等比数列的前项和为，，，则（ ） A． B． C． D． 8．已知点，，定义为，的“对称距离”．若点，在圆：上，则，的“对称距离”的最小值为（ ） A． B．2 C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9．已知等差数列n}的公差为，前项和为Sn，且，则（ ） A． B． C． D． 10．圆：，直线：，点在圆上，点在直线上，则下列结论正确的是（ ） A．直线与圆相交 B．的最小值是1 C．从点向圆引切线，切线长的最小值是3 D．直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 11．定义：在数列的每相邻两项之间插入此两项的积，形成新数列，这样的操作叫做该数列的一次“美好成长”．将数列1，4进行“美好成长”，第一次得到数列1，4，4；第二次得到数列1，4，4，16，4；…．设第次“美好成长”后得到的数列为1，，，…，，4，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D．数列的通项公式为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数列的前项和，则数列的通项公式为      ． 13．已知数列的通项公式为，若数列为递增数列，则实数的取值范围是      ． 14．已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为      ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）在平行四边形中，，，，是线段的中点． （1）求直线的方程； （2）求过点且与直线垂直的直线． 16．（15分）已知数列的前项和为，且，，在数列中，，且，． （1）求证：是等比数列； （2）若，求数列的前项和． 17．（15分）已知圆经过坐标原点，圆心在轴正半轴上，且与直线相切． （1）求圆的标准方程． （2）直线：与圆交于，两点． （i）求的取值范围； （ii）证明：直线与直线的斜率之和为定值． 18．（17分）已知等差数列的前项和为，公差，且，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式． （2）设是首项为1，公比为3的等比数列， （i）求数列的前项和． （ii）若不等式对一切恒成立，求实数的最大值． 19．（17分）定义：是圆上一动点，是圆外一点，记|MN|的最大值为，|MN|的最小值为，若，则称为圆的“黄金点”；若同时是圆和圆的“黄金点”，则称为圆“”的“钻石点”．已知圆：，为圆的“黄金点”． （1）求点所在曲线的方程． （2）已知圆：，，均为圆“”的“钻石点”． （i）求直线的方程． （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线：与圆交于，两点，对于任意的实数，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $