江苏省南菁高级中学2026-2027学年高一上学期第一次诊断练习数学试卷（创新班）

2026-2027学年第一学期十创第一次诊断练习数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则集合的非空真子集的个数（    ） A．16个 B．15个 C．14个 D．8个 3．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 4．设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 7．已知，．设，，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项中，正确的有（    ） A．与的终边相同 B．若是第二象限角，则可能是第三象限角 C．若角的终边上有一点，且，则 D．若，则 10．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 11．我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（    ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数x 11 12 13 14 15 16 17 （近似值） A．在区间内 B．若，则 C．是15位数 D．若是一个35位正整数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是______ 13．已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 14．若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知角θ为第二象限的角，且. (1)求三角函数，的值； (2)求的值. 16．已知函数，其中是自然对数的底数. (1)证明是上的偶函数； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 17．函数在区间单调，其中为正整数，，且. (1)求图象的一条对称轴； (2)，求. 18．已知偶函数和奇函数满足. (1)求，的解析式； (2)求关于的不等式的解集； (3)存在满足，求的取值范围. 19．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 试卷第4页（共4页） 试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期十创第一次诊断练习数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知扇形的半径为，圆心角为，则该扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】因为扇形的半径为，圆心角为，故该扇形的面积为. 故选：D. 2．已知集合，则集合的非空真子集的个数（    ） A．16个 B．15个 C．14个 D．8个 【答案】C 【分析】根据集合子集的公式（其中为集合中的元素的个数），求出集合的子集个数，然后除去本身和空集即可得到集合的非空真子集的个数． 【详解】解：因为集合中有4个元素，所以集合子集有个， 则集合的非空真子集的个数是． 故选：． 3．关于的方程，有下列四个命题：甲：是该方程的根；乙：是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则该命题是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】分别讨论某个命题为假命题即可求解. 【详解】假设甲为假命题，则乙、丙、丁为真命题， 由乙“是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为， 此时两根为3和−1，两根异号，所以丁“该方程两根异号”为真， 方程的根为3和−1，不含1，所以甲“是该方程的根”为假，此情况符合题意； 假设乙为假命题，则甲、丙、丁为真命题， 由甲“是该方程的根”和丙“该方程两根之和为2”可知，方程的另一根为1， 此时两根为1和1，两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾，故此情况不成立； 假设丙为假命题，则甲、乙、丁为真命题， 由甲“是该方程的根”和乙“是该方程的根”可知，方程的两根为1和3， 此时两根同号，与丁“该方程两根异号”为真矛盾。故此情况不成立； 假设丁为假命题，则甲、乙、丙为真命题， 由甲“是该方程的根”和乙“是该方程的根”可知，方程的两根为1和3， 此时两根之和为，与丙“该方程两根之和为2”为真矛盾，故此情况不成立. 综上所述，只有甲是假命题. 故选：A 4．设甲：，乙：，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解. 【详解】当时，例如但， 即推不出； 当时，， 即能推出. 综上可知，甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 5．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平方关系先求出，结合的范围判断正弦值余弦值的符号，从而求解. 【详解】因， 则， 又时，，故是第四象限角，则. 则. 故选：A 6．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 7．已知，．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系. 【详解】由题意可知、、，，； 由，得，由，得，，可得； 由，得，由，得，，可得. 综上所述，. 故选：A. 【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题. 8．已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由、，利用题目所给的函数性质，结合不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，，所以，， 又因为，所以， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， 故B正确，A错误，且无证据表明CD正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列选项中，正确的有（    ） A．与的终边相同 B．若是第二象限角，则可能是第三象限角 C．若角的终边上有一点，且，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】根据终边相同角的表示方法，可判定A不正确；根据象限角的表示与运算，可判定B正确；根据三角函数的定义，列出方程，可得判定C不正确；根据三角函数的基本关系式，化为齐次式，进行计算，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，所以与的终边不相同，所以A不正确； 对于B，由是第二象限角，则，可得， 当为偶数时，为第一象限角；当为奇数时，为第三象限角，所以B正确； 对于C，若角的终边上有一点，则且， 解得，所以C不正确. 对于D，因为，所以 ，所以D正确. 故选：BD. 10．已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对于选项A，将代入不等式中化简可验证其正确性；对于选项B，将代入不等式中利用指数函数的单调性验证即可；对于选项C、D，化简不等式，利用基本不等式的性质验证即可. 【详解】对于A： ，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B： ，所以，故B错误； 对于C： ，当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D： 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：AD． 11．我们知道，任何一个正实数N可以表示成的形式，两边取常用对数，则有，现给出部分常用对数值（如下表），则下列说法中正确的有（    ） 真数x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （近似值） 0.301 0.477 0.602 0.699 0.778 0.845 0.903 0.954 1.000 真数x 11 12 13 14 15 16 17 （近似值） A．在区间内 B．若，则 C．是15位数 D．若是一个35位正整数，则 【答案】ABD 【分析】根据对数运算法则对选项一一判断即可． 【详解】对A ，令， 所以，A正确； 对B，令， 又因为，所以 则，所以，B正确； 对C，令， 所以，则是16位数， C错； 对D ，令，，因为是一个35位正整数， 所以，则，即， 所以，D正确； 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知命题为假命题，则实数λ的取值范围是______ 【答案】 【分析】由题可知命题的否定为真命题，是一个存在性问题，据此求解. 【详解】因为命题为假命题， 所以为真命题， 因此，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 13．已知常数，函数的图像经过点、，若，则________ 【答案】 【分析】将点代入函数并相加可得，化简后可得，从而可求解. 【详解】根据题意，，即， 去分母化简得，所以，因为，所以. 故答案位：. 14．若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______. 【答案】16； 【详解】依题意，为偶函数， 展开式中的系数为，故，的系数为，故，令，得，由对称轴为-2可知，将该式分解为，可知其在和处取到最大值，带入，可知最大值为16. 【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知角θ为第二象限的角，且. (1)求三角函数，的值； (2)求的值. 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系求和的值； （2）利用诱导公式化简，由齐次式代入已知条件求值. 【详解】（1）角θ为第二象限的角，则有，， 又，可得，解得，. （2） . 16．已知函数，其中是自然对数的底数. (1)证明是上的偶函数； (2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) 因为对任意,都有， 所以是上的偶函数. (2). 【分析】（1）由函数奇偶性的定义即可得是上的偶函数； （2）利用参数分离法，将不等式在上恒成立，转化为对任意恒成立,利用函数的单调性求最值即可求实数的取值范围. 【详解】（1）略 （2）由条件知在上恒成立, 因为，所以. 所以在上恒成立. 令， 所以对任意成立, 由对勾函数的单调性知 ,      所以, 因此，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛： 不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合(图象在上方即可)；③讨论最值或恒成立；④讨论参数. 17．函数在区间单调，其中为正整数，，且. (1)求图象的一条对称轴； (2)，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单调区间判断周期范围，并利用周期性以及函数值相等可求得对称轴； （2）由周期性求得的取值，再由对称性得到与的关系式，再结合可得结果. 【详解】（1）因为函数在区间单调， 所以，即可得， 因此点和点在同一个周期内， 又，所以图象的一条对称轴为； （2）由（1）可知，即， 又为正整数，所以， 因为图象的一条对称轴为， 所以，即； 当时，，又，可得， 所以，此时，不符合题意； 当时，，又，可得， 所以，此时，符合题意； 当时，，又，可得， 所以，此时，不符合题意； 综上可得， 18．已知偶函数和奇函数满足. (1)求，的解析式； (2)求关于的不等式的解集； (3)存在满足，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据奇偶函数的性质，构造方程，解方程组得函数解析式； （2）根据函数解析式判断单调性，利用单调性解不等式即可； （3）由题意转化为，换元后求的最大、最小值，求的最大值，建立不等式求解即可. 【详解】（1）， 因为，，所以， 解得，. （2）由可得定义域为， ，在上单调递减， 因为，所以，解得 所求不等式的解集为. （3）存在满足 即； 令，，在上单调递增，得在上单调递增，所以，； 在上单调递减，所以， 所以， 则，即， 解得或(舍)，综上可得 19．已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是，理由为： ，，则不是中的元素. (2)； (3) 证明：对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）略 （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）略 试卷第2页（共14页） 试卷第1页（共14页） 学科网（北京）股份有限公司 $