期中培优：一次函数与实际应用问题综合、一次函数与几何问题综合专项训练-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

期中培优：一次函数与实际应用问题综合、一次函数与几何问题综合专项训练 期中培优：一次函数与实际应用问题综合、一次函数与几何问题综合专项训练 考点目录 一次函数与实际应用问题综合 一次函数与几何问题综合 考点一 一次函数与实际应用问题综合 一次函数与实际应用问题综合解题技巧 （1）审题后设自变量，根据等量关系建立一次函数解析式 。 （2）结合实际意义确定自变量的取值范围，不能脱离情境求解。 （3）利用 的正负判断增减性，据此比较方案、选择最优解。 （4）分段计费类问题先找分段点，再分段讨论。 （5）两个函数图像的交点常表示两种方案费用相等，是方案选择的临界位置。 （6）结果带单位，并解释其实际含义。 例1．（26-27八年级上·陕西渭南·阶段检测）小明感冒后，妈妈送他到医院打点滴，好奇的小明记录出点滴数（滴）与时间（秒）之间的关系如下表所示： 时间（秒） 点滴数（滴） (1)请你根据表中的数据，画出函数图象： (2)如图②是一瓶注射液，总容量为，若滴点滴容积约为，请你预测打完这瓶点滴的大概时间． 例2．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： (1)当t为0时，甲离A地______千米； (2)甲的速度为______时，乙的速度为______时； (3)当t为______时，甲、乙两人离A地距离相等； (4)当时，乙离开A地的时间是______时． 例3．（26-27八年级上·甘肃兰州·阶段检测）某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 3 2 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式． (2)小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 变式1．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）为鼓励居民节约用水，某市对居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过22立方米的部分，每立方米收费3元；超过22立方米的部分，每立方米收费5元．设某户某月用水量为x立方米，应缴水费为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该户某月用水30立方米，求应缴水费； (3)若该户某月共缴水费116元，求该户该月的用水量． 变式2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）2027年第33届世界大学生冬季运动会将在长春举办，火炬传递路线从净月潭出发，终点设在长春五环体育馆．甲､乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． (2)求甲､乙两人相距最远时的距离． 变式3．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元/双时，每天能售出双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式： (2)当降价元时，公司平均每天所获利润为________元； (3)公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋降价多少元？ 考点二 一次函数与几何问题综合 一次函数与几何问题综合解题技巧 （1）先求直线与坐标轴的交点，结合图形表示线段长度，注意加绝对值。 （2）两条直线的交点通过联立解析式求解。 （3）面积问题用坐标表示底和高，结合割补法处理。 （4）动点问题设点坐标或运动时间，用一次函数表示相关线段。 （5）利用等腰、平行、垂直等几何条件列方程求点或参数。 （6）坚持数形结合，画图辅助，注意坐标正负与线段长度的转化。 例1．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移．平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离． (1)【探究发现】以一次函数如何平移得到一次函数为例： ①请在图1中画出一次函数的图象，与轴交于点与轴交于点 ②观察图象发现，将点、点分别向上平移________个单位．平移后的点在直线上，事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上． ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向________平移，平移距离为________个单位长度，可得直线． (2)【深入探究】若要使得平移距离有最小值，将一次函数按平移距离最小的方式平移到，则平移距离为________(用表示)． (3)【拓展升华】如图2，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段两个端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为________． 例2．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，直线交坐标轴于，两点． (1)与是否全等，请说明理由； (2)如图2，点是线段上一点，连接，作交于点，求点的坐标； (3)如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标． 例3．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）已知点，，，且，为的中点． (1)如图1，过点的直线轴，点在轴的正半轴上，，直线交直线于点，给出线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将点向下平移个单位长度到点，动点从点出发，同时动点从点出发，都沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，交于点，若，求的值． 变式1．（26-27八年级上·甘肃白银·阶段检测）如图，点在正比例函数的图象上，过点作轴于点． (1)求的值； (2)在轴上有一点，满足，求点的坐标． 变式2．（25-26八年级下·山东德州·期末）【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 变式3．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：一次函数与实际应用问题综合、一次函数与几何问题综合专项训练 期中培优：一次函数与实际应用问题综合、一次函数与几何问题综合专项训练 考点目录 一次函数与实际应用问题综合 一次函数与几何问题综合 考点一 一次函数与实际应用问题综合 一次函数与实际应用问题综合解题技巧 （1）审题后设自变量，根据等量关系建立一次函数解析式 。 （2）结合实际意义确定自变量的取值范围，不能脱离情境求解。 （3）利用 的正负判断增减性，据此比较方案、选择最优解。 （4）分段计费类问题先找分段点，再分段讨论。 （5）两个函数图像的交点常表示两种方案费用相等，是方案选择的临界位置。 （6）结果带单位，并解释其实际含义。 例1．（26-27八年级上·陕西渭南·阶段检测）小明感冒后，妈妈送他到医院打点滴，好奇的小明记录出点滴数（滴）与时间（秒）之间的关系如下表所示： 时间（秒） 点滴数（滴） (1)请你根据表中的数据，画出函数图象： (2)如图②是一瓶注射液，总容量为，若滴点滴容积约为，请你预测打完这瓶点滴的大概时间． 【答案】(1)函数图象如下： (2)打完这瓶点滴的大概时间为 【分析】（1）根据表格在平面直角坐标系中描出各个坐标，然后连线即可； （2）由（1）可知点滴数（滴）与时间（秒）之间的函数关系为一次函数，则可设，然后把代入求解，进而问题可求解． 【详解】（1）图象略 （2）解：由（1）可知点滴数（滴）与时间（秒）之间的函数关系为一次函数，则可设，把代入得： ，解得：， ∴， ∵一瓶注射液总容量为，滴点滴容积约为， ∴（滴）， ∴把代入得， 解得：， 答：打完这瓶点滴的大概时间为． 例2．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，反映了甲离开A地的时间与离A地的距离的关系，反映了乙离开A地的时间与离A地的距离之间的关系，根据图象填空： (1)当t为0时，甲离A地______千米； (2)甲的速度为______时，乙的速度为______时； (3)当t为______时，甲、乙两人离A地距离相等； (4)当时，乙离开A地的时间是______时． 【答案】(1)10 (2)2；4 (3)5 (4)7 【分析】（1）由图象可以得到当时间为0时，甲离A地的距离是多少； （2）结合函数图象，根据“路程÷时间=速度”解答即可； （3）由图象可以得到甲、乙两人离A地距离相等时的时间； （4）设出对应的函数表达式，然后根据点在此函数的图象上，可以求得对应的函数表达式，然后令，可以求得相应的t的值，本题得以解决． 【详解】（1）解：由图象可知，当时间为0时，甲离A地10千米 （2）解：甲的速度为；乙的速度为； （3）解：由图象可知，当时间等于5时，甲、乙两人离A地距离相等； （4）解：设对应的函数表达式是， ∵点在此函数的图象上， ∴， 解得，， 即对应的函数表达式是：， 令时，， 解得． 例3．（26-27八年级上·甘肃兰州·阶段检测）某水果批发市场某商家批发的苹果采取分段计价的方式，其价格如表： 购买数量 不超过的部分 超过的部分 单价（元/） 3 2 设顾客购买苹果的费用为元． (1)分别写出当，时，与之间的关系式． (2)小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少多少元？ 【答案】(1)当时，；当时， (2)10元 【分析】（1）根据分段计价的方式列关系式即可； （2）分别求出两种购买方式所付的费用，再作差即可． 【详解】（1）解：当时，； 当时，． （2）解：若小亮一次性购买苹果，所付的费用为（元）， 若小亮分两次购买（每次购买苹果），所付的费用为（元）， （元）， 即小亮一次性购买苹果所付的费用比分两次购买（每次购买苹果）所付的费用少元． 变式1．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）为鼓励居民节约用水，某市对居民生活用水实行阶梯水价：每户每月用水量不超过22立方米的部分，每立方米收费3元；超过22立方米的部分，每立方米收费5元．设某户某月用水量为x立方米，应缴水费为y元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若该户某月用水30立方米，求应缴水费； (3)若该户某月共缴水费116元，求该户该月的用水量． 【答案】(1) 当时，；当时， (2) 应缴水费为106元 (3) 该户该月的用水量为32立方米 【分析】（1）以22立方米为分界点，分两种情况计算应缴水费，得到y与x的函数关系式； （2）判断30立方米所属的用水量区间，代入对应函数式计算水费； （3）先由22立方米对应的水费判断用水量范围，再代入对应函数式解方程求用水量. 【详解】（1）解：由题意，当时，； 当时，； （2）解：∵， ∴将代入，得（元）. （3）解：∵当时，， 又∵， ∴该户当月用水量超过22立方米， 令， 解得， 答：该户该月的用水量为32立方米. 变式2．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）2027年第33届世界大学生冬季运动会将在长春举办，火炬传递路线从净月潭出发，终点设在长春五环体育馆．甲､乙两名运动员进行长跑训练，两人距终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系如图所示． (1)求甲距离终点的路程y（米）和跑步时间x（分）之间的函数关系式． (2)求甲､乙两人相距最远时的距离． 【答案】(1) (2)相距最远为250米 【分析】（1）设甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系式为，把和代入求出与的值，即可确定出解析式； （2）由图可得当时，甲、乙两人相距最远．把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设甲距终点的路程（米）和跑步时间（分）之间的函数关系式为， 把和代入得：， 解得：，， 则； （2）解：由图象可得，当时，甲、乙两人相距最远． （米）． （米）． 所以甲、乙两人相距最远时的距离为250米． 变式3．（26-27九年级上·吉林·阶段检测）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为元，当售价为元/双时，每天能售出双．经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量（双）与降低价格（元）间存在如图所示的函数关系． (1)求出与的函数关系式： (2)当降价元时，公司平均每天所获利润为________元； (3)公司希望平均每天获得的利润达到元，且优惠力度最大，则每双运动鞋降价多少元？ 【答案】(1)y与x的函数关系式为； (2) (3)每双运动鞋降价元． 【分析】（1）根据图中点的坐标，利用待定系数法，即可求出与的函数关系式； （2）利用总利润每双的销售利润日销售量，求解即可； （3）利用总利润每双的销售利润日销售量，可得出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合要求优惠力度最大，可确定的值，再将其代入中，即可求出结论； 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 将，代入得： ， 解得：， 与的函数关系式为； （2）解：每双利润：（元）， 销量：（双）， 总利润：（元）， 答：公司平均每天所获利润为元； （3）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要求优惠力度最大， ， 答：每双运动鞋降价元． 考点二 一次函数与几何问题综合 一次函数与几何问题综合解题技巧 （1）先求直线与坐标轴的交点，结合图形表示线段长度，注意加绝对值。 （2）两条直线的交点通过联立解析式求解。 （3）面积问题用坐标表示底和高，结合割补法处理。 （4）动点问题设点坐标或运动时间，用一次函数表示相关线段。 （5）利用等腰、平行、垂直等几何条件列方程求点或参数。 （6）坚持数形结合，画图辅助，注意坐标正负与线段长度的转化。 例1．（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移．平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离． (1)【探究发现】以一次函数如何平移得到一次函数为例： ①请在图1中画出一次函数的图象，与轴交于点与轴交于点 ②观察图象发现，将点、点分别向上平移________个单位．平移后的点在直线上，事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上． ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向________平移，平移距离为________个单位长度，可得直线． (2)【深入探究】若要使得平移距离有最小值，将一次函数按平移距离最小的方式平移到，则平移距离为________(用表示)． (3)【拓展升华】如图2，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段两个端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为________． 【答案】(1)①图象如图；②③向左 (2) (3) 【分析】（1）先由解析式求出直线与两坐标轴的交点，画出图象；再把这两个交点上、下、左、右移动，看落在上的位置，读出平移的方向与距离； （2）把平移分解为沿直线方向与垂直于直线方向两部分，沿直线方向的部分不改变直线，故最短平移方向垂直于直线，由此求出最小平移距离； （3）平移后两端点在正方形的边上，线段长且与平行，于是它必是正方形被直线截得的线段，由线段为定出再算两条平行线之间的距离． 【详解】（1）解：当时当时 ∴直线过点、， ②点向上平移个单位得点向上平移个单位得， ∵ ∴这两个点都在直线上， ∴将点、分别向上平移个单位． ③点向左平移个单位得点向左平移个单位得 ∵ ∴它们也都在直线上， ∴把图象上的点向左平移个单位长度，也能得到直线； （2）解：直线与轴交于点，直线与轴交于点(如图)， ∴． ∵直线与轴交于点， ∴它与两坐标轴的交点到原点的距离相等， ∴它与轴的夹角． 过点作垂直于直线，交直线于点， ∵这两条直线平行， ∴也垂直于直线， ∴， ∴， ∴． 在中，由勾股定理得， ∴， ∴． ∵沿垂直于直线的方向平移时，平移距离就是这两条平行线之间的距离，而垂线段最短， ∴最小平移距离为． （3）解：设平移后线段的两端点为、， ∵平移不改变线段的方向与长度， ∴且与直线平行， ∴设所在的直线解析式为 ∵正方形的边长为各边与坐标轴平行， ∵点的坐标为 ∴ 当时，直线与边、各有一个交点(如图)， 其中一个交点的坐标为另一个交点的坐标为 ∴这两点之间的距离为： . ∵且、都在正方形的边上， ∴ ∴ 当时，同理可得 此时平移距离为大于故舍去． ∵点、在直线上， ∴最小平移距离就是这两条平行线之间的距离， ∴最小平移距离为 例2．（26-27八年级上·山东青岛·阶段检测）如图1，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于，两点，直线交坐标轴于，两点． (1)与是否全等，请说明理由； (2)如图2，点是线段上一点，连接，作交于点，求点的坐标； (3)如图3，若点为直线上的点，点P为y轴上的点，点Q为直线上的点，且是以点M为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出此时Q点的坐标． 【答案】(1)，理由如下： 当时，直线的纵坐标，即点坐标是， 当时，直线的纵坐标，即点坐标是， 当时，直线的横坐标，即点坐标是， 当时，直线的横坐标，即点坐标是， ，， 又， ． (2) (3)或 【分析】（1）本题考查三角形全等知识，利用依据即可证明； （2）本题结合第一小问可得出，再作辅助线（过点向轴作垂线，垂足为，过点向轴作垂线，垂足为），可得证出，从而得知，，最终求得点坐标； （3）需要构建一线三直角模型，分情况讨论，求出Q点的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：在直线上， ，， 由（1）可得， ，， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 过点向轴作垂线，垂足为，过点向轴作垂线，垂足为， ， 在和中， ， ， ，， 点坐标是． （3）解：将点代入，得，即．设， 如图：①当在的右下方时， 过作直线轴，过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为． ， ， ， ， ， 又是以点M为直角顶点的等腰直角三角形， ， ， 点纵坐标是：， 又点在上， 把点纵坐标代入，得点横坐标是， 点坐标． 如图：②当在的方时左上方时， 过作直线轴，过点作的垂线，垂足为，过作的垂线，垂足为．同①情况证明方法一样，可得出：， ， 点纵坐标是：， 又点在上， 把点纵坐标代入，得点横坐标是， 点坐标． 综上所述，点坐标是或． 例3．（26-27七年级上·四川成都·阶段检测）已知点，，，且，为的中点． (1)如图1，过点的直线轴，点在轴的正半轴上，，直线交直线于点，给出线段与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，将点向下平移个单位长度到点，动点从点出发，同时动点从点出发，都沿轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，运动时间为秒，交于点，若，求的值． 【答案】(1)解：，理由如下： ， ， ， ∵直线轴， 轴， ，且E为的中点， ， ， 在中， ， ， ∴， ∴， ∵直线轴， 则四边形是平行四边形， ； (2) 【分析】（1）先确定E的坐标，再证明，进而利用平行四边形的判定与性质解答即可； （2）先判断，再用列出方程即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：如图： 向下平移个单位长度到点D， ∴， 依据题意得：，连接， ∴， ， ∴， ， ， 过D作轴于G， ， ， 解得． 变式1．（26-27八年级上·甘肃白银·阶段检测）如图，点在正比例函数的图象上，过点作轴于点． (1)求的值； (2)在轴上有一点，满足，求点的坐标． 【答案】(1)4 (2)或 【分析】（1）把代入中即可求出m的值． （2）先求出点A，点B的坐标，求出，进而可求出，设，则，求出x，即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：． （2）解：由（1）可知：， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或． 变式2．（25-26八年级下·山东德州·期末）【模型认识】 如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点E，过A作于点B．过D作于点C，易得． 【模型应用】 (1)如图2，在平面直角坐标系中，，，连结，将线段绕点A顺时针旋转，得到线段，求点C的坐标； (2)如图3，一次函数的图像与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线交x轴于点D，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作轴于点，根据旋转的性质得到，，证明，得到，，即可求解点C的坐标； （2）过点作交于点，过点作轴于点，证明，得到，，根据一次函数的性质得到，，进而求出点的坐标为，再利用待定系数法求出直线的解析式，即可求出点D的坐标． 【详解】（1）解：如图2，过点作轴于点， 则， ∴， ∵，， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转，得到线段， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：如图3，过点作交于点，过点作轴于点， 则， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形，， 又∵， ∴， ∴，， 对于， 当时，则；当，则，解得， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 代入得，，解得， ∴直线的解析式为， 令，则，解得， ∴点D的坐标为． 变式3．（25-26八年级下·广东惠州·期末）如图，已知一次函数与轴相交于点，与轴交于点． (1)求出点和点的坐标． (2)若点的坐标是， ①点是轴上的点，若，请求出点的坐标． ②在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①点坐标为或；②存在，点D的坐标为或或或 【分析】（1）令可求出点A的坐标，令可求出点B的坐标； （2）①根据求出长即可求解； ②分三种情况，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，，， ∴． ∵当时，， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴或，即或； ②设D的坐标是 ∴，，， 当时，，解得：，（舍去）； 当时，，解得：，； 当时，，解得：； 综上可知，点D的坐标为或或或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $