2026-2027学年人教版八年级数学上册期中自编模拟练习卷（广东省广州市适用）

2026-2027学年八年级数学上学期期中自编模拟练习卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据一个图形沿着某条直线对折后，两部分完全重合，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、形似“等腰三角形”的图形，沿着中间竖直的直线对折后，两部分完全重合，是轴对称图形； 选项B、该图形沿着中间竖直的直线对折后，两部分完全重合，是轴对称图形； 选项C、该图形上、下两部分不相同，沿着中间横直线对折后，两部分不能完全重合，不是轴对称图形； 选项D、该图形沿着中间竖直的直线对折后，两部分完全重合，是轴对称图形； 故选：C． 2．如果等腰三角形的顶角为，那么等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握以上性质． 利用三角形内角和定理及等腰三角形的性质，计算底角度数． 【详解】∵ 等腰三角形的顶角为，且两个底角相等， ∴ 每个底角为， 故选：A． 3．如图，已知，，现添加以下一个条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 根据已知两组对应边对应相等，结合全等三角形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：，， A．若，则符合“”，，恰当，故本选项不符合题意； B．若，则符合“”，不能判定，不恰当，故本选项符合题意； C．若，则，即，符合“”，，恰当，故本选项不符合题意． D．若，则根据“”，，恰当，故本选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，这利用了全等的性质，其中判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据平行线的性质可得，根据题意可得，，然后利用判定． 【详解】解：， ， 两根木杆的影子一样长， ， 又， 在和中， ， ， 故选：B． 5．已知点，关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列式求出m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点，关于x轴对称， ，， 解得，， ． 6．如图，是的中线，点G是中点，连接，若的面积为40，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的面积问题．掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份是解题的关键． 是的中线可得，再由G是中点，可得即可解答． 【详解】解：∵是的中线，的面积为40， ， ∵点G是中点， ，即图中阴影部分的面积是10． 故选：A. 7．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴；    故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 8．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． 由题意易得三角形全等，然后根据全等三角形的性质可进行求解． 【详解】解：如图所示， 和为直角三角形，且， ∴， ， ∵， ∴， 故选：C． 9．如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了含的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握含的直角三角形的性质是解决问题的关键． 根据得到，再根据题意可得，最后根据含的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在含的中，， ∴． 故选B． 10．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形三线合一，三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据三线合一，得到平分，进而求出的度数，再利用三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵在中，，点E为中点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则______ ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟知以上知识是解题的关键．根据三角形的内角和定理和全等三角形的对应角相等，进行求解即可． 【详解】解：由题意得，边b、c的夹角为， 图中两个全等三角形， ． 故答案为：． 12．三角形的三边长分别为5，x，8，则x的取值范围是_____． 【答案】3＜x＜13 【分析】由三角形的两边的长分别为8和5，根据已知三角形两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，即可求得答案． 【详解】根据三角形的三边关系，得：8﹣5＜x＜8+5， 即：3＜x＜13． 故答案为3＜x＜13 【点睛】本题考查了能够组成三角形三边的条件，其实用两条较短的线段相加，如果大于最长的那条就能够组成三角形． 13．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数可得答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为： 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 14．如图，，，在y轴左侧有一点C，使与全等，则点C的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的性质.根据全等三角形得到对应边相等，分两种情况解答，点在轴上和点在第二象限． 【详解】解：如图， 当点在轴上时， ∵ ∴， ∴点的坐标为， 点在第二象限， ∵， ∴，， ∴点的坐标为． 故答案为或． 15．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，则立柱______和________． 【答案】 【分析】本题主要考查了含角的直角三角形的性质（角所对的直角边等于斜边的一半），熟练掌握含角的直角三角形的性质是解题的关键． 先利用含角的直角三角形中，角所对的直角边是斜边的一半求；再利用同样性质求． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵点是斜梁的中点，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：；． 16．如图，在等腰中，，，点在的外部，且， ，则四边形的面积为_____． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，以为边作等腰直角，连接，过点分别作的垂线，垂直分别为，设交于点，证明，，得出，，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为边作等腰直角，连接，过点分别作的垂线，垂直分别为，设交于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴， ∴四边形的面积等于 故答案为：． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，还涉及平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．利用证明即可求证． 【详解】略 18．（6分）如图，在中，． (1)作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)若，且，求的长． 【答案】(1) 作图如图所示： (2)4 【分析】本题考查作图—线段垂直平分线的做法、等腰三角形的性质、含有30°角直角三角形的性质： （1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）利用等腰三角形的性质求出，再根据在直角三角形中30°所对边是斜边一半即可求解． 【详解】（1）解：作法：以A、C为圆心，大于长为半径画圆弧，两圆弧交于两点，过这两点作直线，交于E，交于D，连接． （2）解： ， ． 为线段AC的垂直平分线， ， ． 在Rt中， ． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)请直接写出点的坐标_______； (3)在轴上画出一点使的值最小． 【答案】(1) 如图，为所作； (2)； (3) 如图，点为所作． 【分析】本题主要考查了坐标与图形，图形变换——轴对称，线段最短问题，熟练掌握若两点关于轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变；若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数；两点间线段最短是解题的关键． （1）根据关于轴对称的点的特征得到、、的坐标，然后描点即可； （2）由（1）得到点的坐标； （3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，利用两点之间线段最短可判断点满足条件． 【详解】（1）略 （2）点的坐标为； （3）略 20．（8分）如图，在等腰中，，点在上，且． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系．（不必证明） 【答案】(1) (2)15° (3) 【分析】（1）根据等腰三角形性质求出的度数，根据三角形的外角性质求出，求出，根据等腰三角形性质求出即可； （2）根据等腰三角形性质求出的度数，根据三角形的外角性质求出，求出，根据等腰三角形性质求出即可； （3）根据（1）（2）的结论猜出即可． 本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质，解题的关键是掌握等腰三角形的性质、三角形内角和定理和三角形的外角性质． 【详解】（1）解：由题可知，． ， ， ， ， ， ； （2）∵， ∴， ， ，， ， ； （3）解：猜想：，证明如下： 设， ∵， ∴， ， ，， ， ， 即． 21．（8分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=6cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 【答案】 （1）①全等，理由： 运动1秒后BP=CQ=1×1=1（厘米）， ∵AB=10厘米，点D为AB的中点， ∴BD=5厘米， 又∵PC= BC-BP，BC=6厘米， ∴PC=6-1=5（厘米）， ∴PC=BD， 又∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴△BPD≌△CQP； ②当点Q的运动速度为厘米/秒时，能使△BPD与△COP全等； （2）30；AB． 【分析】（1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边长，根据SAS判定两个三角形全等； ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度． （2）根据题意得出方程，求出t，根据路程求出即可． 【详解】解：（1）①略 ②∵≠ ∴BP≠CQ， 又∵△BPD与△CQP全等，∠B=∠C， ∴BP=PC=3，CQ=BD=5， ∴点P，点Q运动的时间t=3（秒）， ∴==（厘米/秒）， 当点Q的运动速度为厘米/秒时，能使△BPD与△COP全等； （2）设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意，得x= x+2×10， 解得x=30 ∴点P共运动了30×1=30（厘米）， ∵30=26+4， ∴点P、点Q在BC边上相遇， ∴经过30秒点P与点Q第一次在边AB上相遇． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质．解题时，主要是运用了路程=速度×时间的公式．熟练运用全等三角形的判定和性质，能够分析出追及相遇的问题中的路程关系． 22．（10分）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论成立，理由如下： ∵，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （3）或 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，结合图形正确找出全等三角形并证明是解题的关键． （1）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （2）根据，可知，再利用证明，再由全等三角形的性质即可证明； （3）分两种情况讨论：情况一：当在线段上时，情况二：当在点右边时，利用证明，再由全等三角形的性质和线段的和差即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：分两种情况讨论： 情况一：当在线段上时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴； 情况二：当在点右边时，如图， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． ∴综上所述，或． 23．（12分）如图，在中，，D为边上的中点． (1)如图1，若，E，F分别为，边上的点，且满足． ①若，则的度数为_______（直接写答案）； ②探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，E，F分别为，边上的点，且满足，试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图3，，，E，F分别为直线，上的点，且满足，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3)的长为2或14 【分析】（1）①求出，可得； ②连接，证明，可得，即可证得； （2）取的中点K，连接，，证明，可得，从而可得； （3）分两种情况：当E在线段上时，取中点T，连接，证明，可得，即可求出；当E在延长线上时，取中点T，连接，可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 解：线段，，之间的数量关系为， 理由如下： 连接，如图： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∵D为边上的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 理由如下： 取的中点K，连接，，如图： ∵，，D为边上的中点， ∴，， ∵K为中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：当E在线段上时，取中点T，连接，如图： ∵，，D为边上的中点， ∴，， ∴， ∵T为中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 当E在延长线上时，取中点T，连接，如图： 同理可得， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或14． 【点睛】本题考查了全等的性质和（）综合（或者），等边对等角，等边三角形的判定和性质，斜边的中线等于斜边的一半等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 24．（14分）在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2) 解：结论仍然成立，理由如下： 延长到H，使，连接，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴结论仍然成立． (3) 解：， 理由：如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【分析】（1）延长到点G，使，连接，则，先依据“”判定和全等得，，进而得，再依据“”判定和全等得，由此即可得出，，之间的数量关系； （2）延长到H，使，连接，则，先证明，进而可依据“”判定和全等，则，，继而结合已知条件可得出是的平分线，由此可依据“”判定和全等，则，据此即可得出答案； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：①延长到点G，使，连接，如图1所示： ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ②在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系是：， 故答案为：①，②． （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． 25．（14分）如图，点，满足． (1)直接写出的面积为__________； (2)如图1，点在线段上（不与重合）移动，，且，求的度数； (3)如图2，，点是轴上一动点（点在点的左边且不与点重合），在轴正半轴上取一点，连接，使，试探究线段之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1) (2) (3)解：或，理由： ∵， ∴， ①如图2，当在之间时，过点作，交轴于点，连接， ∵， ∴轴，轴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即； ②如图3，当在左侧时，同理可证，， ∴，， ∴． 综上所述，线段之间的数量关系是或． 【分析】（1）非负性求出的值，进而得到的长，利用三角形的面积公式进行求解即可； （2）延长至，使得，连接，证明，得到，再证明，得到，求出，即可得出结果； （3）分当在之间和点在点左侧，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； （2）． 理由如下：如图1，延长至，使得，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）略 【点睛】本题考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，等边对等角，非负性等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级数学上学期期中自编模拟练习卷 广东省广州市适用 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列图形中，不是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如果等腰三角形的顶角为，那么等腰三角形底角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知，，现添加以下一个条件仍不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，太阳光线与是平行的，同一时刻垂直于地面的两根木杆在太阳光照射下的影子一样长，那么这两根木杆高度相同，这利用了全等的性质，其中判断的依据是（   ） A． B． C． D． 5．已知点，关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 6．如图，是的中线，点G是中点，连接，若的面积为40，则图中阴影部分的面积是（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 7．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，已知方格纸中是4个相同的小正方形，则（    ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，，交于点，，则的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D．12 10．如图，在中，，于点，点为中点，与交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则______ ． 12．三角形的三边长分别为5，x，8，则x的取值范围是_____． 13．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______． 14．如图，，，在y轴左侧有一点C，使与全等，则点C的坐标为___________． 15．如图是屋架设计图的一部分，点是斜梁的中点，立柱，垂直于横梁，，则立柱______和________． 16．如图，在等腰中，，，点在的外部，且， ，则四边形的面积为_____． 三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（6分）已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，．求证：． 18．（6分）如图，在中，． (1)作边的垂直平分线，垂足为，交边于点，连接（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）； (2)若，且，求的长． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标为、、． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)请直接写出点的坐标_______； (3)在轴上画出一点使的值最小． 20．（8分）如图，在等腰中，，点在上，且． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； (3)猜想与的数量关系．（不必证明） 21．（8分）如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，∠B=∠C，BC=6cm，点D为AB的中点． （1）如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过 秒后，点P与点Q第一次在△ABC的 边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程） 22．（10分）综合与实践 数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段之间的关系， 【问题情境】 已知，在中，，是射线上一动点，点在的右侧，线段，且． 【实践探究】 （1）如图1，这是“团结小组”探究画出的图形，并得到的数量关系，请给予证明． （2）如图2，这是“雄鹰小组”探究画出的图形，请判断（1）中的结论是否成立，并说明理由． 【拓展应用】 （3）“钻研小组”在探究过程中提出了一个新的问题，在点运动的过程中，请直接写出线段，，之间的数量关系． 23．（12分）如图，在中，，D为边上的中点． (1)如图1，若，E，F分别为，边上的点，且满足． ①若，则的度数为_______（直接写答案）； ②探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，E，F分别为，边上的点，且满足，试探究线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； (3)如图3，，，E，F分别为直线，上的点，且满足，，求的值． 24．（14分）在四边形ABCD中， (1)若，，点E，F分别是，上的点，且，试探究线段，，之间的数量关系．小亮同学认为：延长到点G，使，连接，如图1，先证明，再证明，则可得到，，之间的数量关系．请你： ①直接写出的度数：______； ②根据小亮同学的思路，直接判断，，之间的数量关系：______． (2)如图2，若，点E，F分别是，上的点，，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． (3)如图3，若，点E，F分别是，延长线上的点，若，试判断和之间的数量关系，并说明理由． 25．（14分）如图，点，满足． (1)直接写出的面积为__________； (2)如图1，点在线段上（不与重合）移动，，且，求的度数； (3)如图2，，点是轴上一动点（点在点的左边且不与点重合），在轴正半轴上取一点，连接，使，试探究线段之间的数量关系，并给出证明． 1 / 2 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