精品解析：福建厦门大学附属科技中学2026-2027学年高二上学期期中考试数学试题

厦门大学附属科技中学2026−2027学年（上）高二期中考试 数学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线和直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可. 【详解】方程可化为，因此该直线的斜率. 方程可化为，因此该直线的斜率， 因为，所以这两条直线相交但不垂直. 故选：B. 2. 在正方体中，能与向量，构成空间的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 能构成基底的三个向量不共面，能与向量，构成空间的一组基底， 就是不在平面内或与平面平行的向量，而平面就是平面, 选项A，//，所以不能构成基底，A错误； 选项B，C，，都在平面内，B，C错误； 选项D， 平面，不在平面内，所以可以和向量，构成空间的一组基底，选项D正确. 3. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】双曲线的标准方程为其中 设双曲线的焦距参数为 ，则 已知一个焦点坐标为 ，所以 因此 4. 圆和圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】圆即，表示以为圆心，半径为1的圆. 圆即，表示以为圆心，半径为4的圆. 两圆的圆心距为，等于两半径之和，所以两圆外切， 所以两圆的公切线条数为3. 5. 已知，，，当时，在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得，故，，. 计算，. 由投影向量公式，在上的投影向量为. 6. 已知：，：，则直线关于直线的对称直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出与对称轴的交点，再取上一点求其关于的对称点，两点式求出对称直线方程. 【详解】联立，解得，，设与的交点为， 在上取一点，设关于对称轴的对称点为， 则的中点在上，即， 且，斜率，所以，即， 联立方程组，解得，，得到对称点 则对称直线一定经过， 所以直线的斜率为，直线过，得斜截式为， 整理得. 7. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆定义可得，可得出，结合圆的几何性质可求得的最小值. 【详解】对于椭圆，，，则，故、， 圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由椭圆定义可得， 所以 ， 当且仅当点、分别为线段与椭圆、圆的交点时，上述两个等号同时成立， 故的最小值为. 故选：A. 8. 已知函数，若为定值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用可得，设，那么点在半圆上运动，相当于点到两条平行线与距离之差的倍，作出图象，结合图形即可求解. 【详解】由可得即， 设，那么点在半圆上运动， 相当于点到两条平行线与距离之差的倍， 作出图象如下： 由图象可知当直线与半圆相切时，取最小值， 那么,解得 （舍去）， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于直线，则下列结论正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 斜率为 C. 在y轴上的截距为 D. 与直线垂直 【答案】BC 【解析】 【分析】直接求出直线斜率，截距，倾斜角即可判断. 【详解】直线变形得， 直线斜率，又倾斜角范围为，故倾斜角为，A错误，B正确； 令，，即直线在y轴上的截距为，C正确 又直线的斜率为，与直线不垂直，D错误 故选：BC. 10. 已知是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的周长为8 C. 时，的面积为 D. 的最小值为2 【答案】ACD 【解析】 【详解】由椭圆方程，得，，故，即，，. 选项A，由离心率公式，与选项表述一致，故A正确； 选项B，由椭圆定义，焦距， 故的周长为，与选项表述矛盾，故B错误； 选项C，设，，由椭圆定义， 又，. 在中由余弦定理得， 将代入，得， 即，解得. 故的面积， 与选项表述一致，故C正确； 选项D，设，则， 由焦半径范围，， 该二次函数在区间端点处取最小值，故D正确. 11. 如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为 B. 点运动时，四棱锥的外接球半径为定值 C. 当时，异面直线与所成的角余弦值为 D. 半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据面面垂直、线面垂直判断A选项，根据外接球球心到顶点距离相等判断B选项，建立空间直角坐标系，利用向量法可判断C，D两项. 【详解】对于A，因为半圆面平面，平面平面， 平面，四边形是正方形，则，故平面， 又平面，所以，， 由为直径，可得，因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以三棱锥的四个面都是直角三角形，因为点运动时，点到平面的最大距离为， 所以，故A正确； 对于B， 设半圆圆心为，正方形中心为，则，因为正方形的中心到四个顶点的距离为， 当运动时，， 故是四棱锥的外接球球心，球的半径为定值，故B错误； 对于C，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，易得，所以点，， 所以， 则，故C正确； 对于D，设，则，， 平面的法向量为，直线与平面所成角的正弦值为： ，即得， 即，则，故或， 即满足条件的点有两个，不唯一，故D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为_______， 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量中点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】，，， ，， 则点C到直线AB的距离为. 故答案为：. 13. 已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【解析】 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 14. 设分别是椭圆：的左、右焦点，B是椭圆C的下顶点，点A在椭圆C上且位于第一象限．若，且平分，则椭圆的离心率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：先求出点的坐标，再代入椭圆方程即可求解；方法二：根据椭圆的性质表示出线段的长度，再根据余弦定理即可求解. 【详解】法一： 设，则，交x轴于M， 由， 又，又， 则的方程为：，所以， 所以代入椭圆得：， 所以． 法二： 由，则， 在中：由余弦定理得①， 在中：由余弦定理得②， 由①②得，所以，所以， 所以， 所以，所以； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四面体中，是线段中点，点满足，，，，， （1）用，，表示 （2）求 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由，得；由为$CD$中点，得；故. 【小问2详解】 设，，，则，.由夹角条件分别求两两数量积： ， ， . 由(1)知，将其平方展开： ， 故. 16. 已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率之积是，列出方程并求解即可； （2）联立直线和椭圆，然后由韦达定理可得，进而根据弦长公式进行求解即可. 【小问1详解】 设点，则直线的斜率为，直线的斜率为， 根据题意有：，化简得， 由于时斜率不存在，故曲线的方程为. 【小问2详解】 设，， 联立，消去并整理得， ， 所以， ， 直线斜率为1，弦长公式为， 因此 17. 如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD（含边界和内部，A为坐标原点），AD长10米，在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗，在距A点2米的E处放一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫“成功点”． （1）求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程； （2）若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件可得，设出点的坐标，进而求出轨迹方程. （2）由过点且与线段相交的直线与点M的轨迹相离求解即得. 【小问1详解】 分别以AD，AB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图， 则，，设成功点， 依题意，，即， 则，化简得， 所以这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是. 【小问2详解】 由（1）知，点M的轨迹是以为圆心，为半径的右半圆， 由电子狗在线段FP上总能逃脱，得直线与点M的轨迹在轴右侧且相离， 此时直线的斜率，方程为，即， 由，得，则有，即， 此时，而， 所以的取值范围是. 18. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． （1）若，证明：平面； （2）是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由； （3）以为直径作球，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值． 【答案】（1）（解法1）：折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，，   则，，，   因为，所以，，   设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为，   可得，   又因为平面，所以平面． （解法2）：如图所示，连接交于点，连接， 因为，，所以，   由题意可知，，所以，所以，   又因为平面，平面，所以平面． （2）存在，为棱中点 （3） 【解析】 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系求坐标，计算平面法向量，证明垂直于法向量，可得线面平行；解法2：利用线段比例，证明，由线面平行判定定理证明. （2）求与平面法向量，利用公式计算即可. （3）首先求得球的半径，再求点到平面的距离，由勾股定理可得，即得截面圆的面积的最小值. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 存在点使得直线与平面所成角的正弦值为． 折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，，   设，，则， ，，， 设平面的法向量为， 则令，得，，所以，   设直线与平面所成角为， 所以， 解得，此时点为棱的中点． 即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 由（2）知，则球的半径， 又球心，，，， 设平面的法向量为， 则令，得，，所以，  所以点到平面的距离， 则截面圆的半径，当且仅当时取得最小值， 所以． 19. 已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合. （1）求动点的轨迹方程. （2）设 分别是方程表示的曲线的上、下顶点，、是直线与曲线的两个交点. ①若直线AC的斜率与直线BD的斜率满足，求证：直线CD过定点. ②当 变化时、试探究（为坐标原点）的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①证明：设， 联立，消得， 则， 由（1）得， 则， 因为，所以，即， 又，所以，即， 即， 整理得， 将代入化简得， 解得或， 当时，直线与椭圆的另一个交点为，与题意不符，故舍去， 所以， 所以直线的方程为， 所以直线过定点； ②存在，最大值为 【解析】 【分析】（1）利用相关点法求解即可； （2）设，联立方程，利用韦达定理求出， ①求出，再根据得出的关系，即可得出结论； ②先分别利用弦长公式和点到直线的距离公式求出和点到直线的距离，从而可求出面积的表达式，进而可得出答案. 【小问1详解】 设，则， 由，得，即， 所以，所以，则， 因为点在圆上运动，所以，整理得， 当点 经过圆与 轴的交点时，同样成立， 所以动点的轨迹方程为； 【小问2详解】 ①略 ②易知，所以， ， 点到直线的距离， 则 ， 令， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以的面积存在最大值，最大值为. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门大学附属科技中学2026−2027学年（上）高二期中考试 数学 （考试时长：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 直线和直线的位置关系是（ ） A. 平行 B. 相交但不垂直 C. 垂直 D. 重合 2. 在正方体中，能与向量，构成空间的一组基底的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的一个焦点坐标为，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 9 4. 圆和圆的公切线条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 已知，，，当时，在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知：，：，则直线关于直线的对称直线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左、右两个焦点分别为、，是上的动点，是圆上任意一点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若为定值，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于直线，则下列结论正确的是（ ） A. 倾斜角为 B. 斜率为 C. 在y轴上的截距为 D. 与直线垂直 10. 已知是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的周长为8 C. 时，的面积为 D. 的最小值为2 11. 如图，四边形是边长为2的正方形，半圆面平面，点为半圆弧上的动点（不与点重合），下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形，且体积最大值为 B. 点运动时，四棱锥的外接球半径为定值 C. 当时，异面直线与所成的角余弦值为 D. 半圆弧上存在唯一的点，使得直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为_______， 13. 已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 14. 设分别是椭圆：的左、右焦点，B是椭圆C的下顶点，点A在椭圆C上且位于第一象限．若，且平分，则椭圆的离心率为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，在四面体中，是线段中点，点满足，，，，， （1）用，，表示 （2）求 16. 已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹方程为曲线． （1）求曲线的方程； （2）直线与曲线交于，两点，求线段的长． 17. 如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD（含边界和内部，A为坐标原点），AD长10米，在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗，在距A点2米的E处放一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫“成功点”． （1）求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程； （2）若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值范围． 18. 如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． （1）若，证明：平面； （2）是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由； （3）以为直径作球，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值． 19. 已知点在圆上运动，过点作轴的垂线段，垂足为，点满足，当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合. （1）求动点的轨迹方程. （2）设 分别是方程表示的曲线的上、下顶点，、是直线与曲线的两个交点. ①若直线AC的斜率与直线BD的斜率满足，求证：直线CD过定点. ②当 变化时、试探究（为坐标原点）的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $