4.1 投影【分层作业】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

4.1 投影【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】区分中心投影、平行投影 2 【题型2】中心投影找点光源、影子变化 3 【题型3】平行投影、正投影概念辨析 4 【题型4】太阳光影子方向长短变化 5 【题型5】平行投影简单物高影长计算 6 三.能力提升 7 【题型1】利用相似解决太阳光影子实际计算 8 【题型2】影子落在墙面+地面分段模型说理计算 9 四、素养探究（选做·拓展习题） 11 六.自我评价 12 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是________现象，影子所在的平面称为________。 2. 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为________投影。 3. 太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为________投影。 4. 在平行投影中，如果平行光线与投影面互相垂直，这种投影称为________。 5. 从早晨到傍晚，物体影子的大致方向：正西→________→正北→________→正东；正午物体影子最________。 6. 同一时刻太阳光下，不同物体的高度之比________对应影长之比。 （拓展·课本正文未收录，仅供学有余力学生阅读了解，不强制掌握） 7.（拓展）处理影子一部分落在竖直墙面上的问题：过墙上影子顶端作太阳光线的平行线，构造________三角形，分段求解高度。 1. 投影；投影面 2. 中心 3. 平行 4. 正投影 5. 西北；东北；短 6. 等于 7. 相似 二.基础达标 【题型1】区分中心投影、平行投影 核心考点：根据光源特点辨别两类投影；中心投影光源为点光源（路灯、手电筒、台灯），平行投影光源为太阳光（平行光线）。 1．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）日晷是中国古代利用日影测定时刻的计时器．“晷”字，古义是太阳的影子．如图所示的晷针在晷面上形成的投影（   ） A．是平行投影 B．是中心投影 C．既是中心投影，也是平行投影 D．既不是中心投影，也不是平行投影 2．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术．皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上．艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 5．（2025九年级·全国·专题练习）匡衡“凿壁偷光”的寓言故事家喻户晓，这里的“光”形成的投影是________（填“平行投影”或“中心投影”）． 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）皮影戏是一种用蜡烛或灯光等光源照射兽皮或纸板做成的人物前影以表演故事的民间戏剧，这种汉族民间艺术形式很受人们的欢迎．“皮影戏”中的皮影是_________．（填写“平行投影”或“中心投影”） 【题型2】中心投影找点光源、影子变化 核心考点：连接物体顶端与影子顶端延长找光源；物体靠近或远离点光源时影子长短变化规律。 1．（2026九年级上·全国·专题练习）小志的身高和小明的身高一样，在同一路灯下比较他们的影子，则（     ） A．小明的长 B．小志的长 C．一样长 D．无法判断 2．（25-26九年级上·山西朔州·期末）如图，夜晚三个身高相同的小朋友站在路灯下，___________的影子最长．（填“甲”，“乙”或“丙”） 3．（2026·贵州贵阳·一模）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 4．（2026·安徽阜阳·一模）一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【题型3】平行投影、正投影概念辨析 核心考点：正投影是特殊的平行投影；光线垂直于投影面才叫正投影。 1．（25-26九年级下·内蒙古包头·开学考试）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．正投影可能是平行投影也可能是中心投影 B．物体在灯光下产生的投影可能是物体的正投影 C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影 D．电灯的光源距离投影面较远的投影就是平行投影 3．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）以下几种光线：①太阳光线；②台灯的光线；③手电筒的光线．其中可以形成平行投影的是________．（填序号） 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列投影中，是正投影的是________（填序号）． 【题型4】太阳光影子方向长短变化 核心考点：识记一天之内影子长短和方向变化顺序，区分太阳光影子与路灯影子特征。 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）图①、图②分别是两棵树在太阳光或路灯下影子的情形． （1）哪个图反映了在太阳光下的情形，哪个图反映了在路灯下的情形? （2）你是用什么方法判断的? （3）请画出图中表示小丽影长的线段． 2．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图所示，此时的影子是在_____下（太阳光或灯光）的影子，理由是____． 3．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期末）从中午到傍晚，太阳光下影子的变化是（    ） A．越来越长 B．越来越短 C．一直没变化 D．有时长有时短 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示的是某公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序可排列为________（填序号）． 【题型5】平行投影简单物高影长计算 核心考点：利用“同一时刻物高与影长成比例”直接列式简单计算。 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为22米，小明的影长为米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 2．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆为，它的影长为，同一时刻旗杆的影长EF为，已知点，，，在同一水平线上，则旗杆的高度为________． 4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，他在地面上的点处竖立一根2米长的标杆，发现在太阳光下的影长米，同一时刻，大树在太阳光下的影子为．已知点、、、在同一水平直线上，，． （1）请在图中画出大树的影长； （2）若测得此刻大树在地面上的影长米，请你求出大树的高度． 三.能力提升 【题型1】利用相似解决太阳光影子实际计算 核心考点：实际情景中建立比例方程求解物体高度或影长，规范书写解题步骤。 1．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，某一广告墙旁有两根直立的木杆和，某一时刻在太阳光下，木杆顶端的影子刚好落Q处． （1）请在图中画出此时的太阳光线及木杆的影子； （2）若米，米，到的距离的长为2米，求此时木杆的影长． 2．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 3．（2026·广西桂林·一模）某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是______米． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 【题型2】影子落在墙面+地面分段模型说理计算 核心考点：影子跨地面和竖直墙面；会作辅助线，拆分图形为两个部分，结合相似三角形计算。 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 2．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 3．（2026·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是__________． 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． （1）如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． （2）如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 四、素养探究（选做·拓展习题） 核心考点：中心投影与平行投影综合；影子测量方案设计与说理；多物体遮挡影子分析，侧重数学素养表达。 1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上. （1）指出图中线段的投影是______，线段的投影是______. （2）问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理. （3）拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；试利用射影定理证明； 2．（2026·上海黄浦·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时刻，身高为的小明的影子的长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． （1）请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置． （2）求路灯灯泡的垂直高度． （3）若小明沿线段向小颖走去，当小明走到的中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，求其影子的长（结果用含的代数式表示）． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 投影【分层作业】 2026—2027学年北师大版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础达标 2 【题型1】区分中心投影、平行投影 2 【题型2】中心投影找点光源、影子变化 4 【题型3】平行投影、正投影概念辨析 6 【题型4】太阳光影子方向长短变化 8 【题型5】平行投影简单物高影长计算 11 三.能力提升 16 【题型1】利用相似解决太阳光影子实际计算 16 【题型2】影子落在墙面+地面分段模型说理计算 22 四、素养探究（选做·拓展习题） 28 六.自我评价 32 一.知识梳理（前置作业） 核心知识点基础填空 1. 物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是________现象，影子所在的平面称为________。 2. 手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样的光线所形成的投影称为________投影。 3. 太阳光线可以看成平行光线，平行光线所形成的投影称为________投影。 4. 在平行投影中，如果平行光线与投影面互相垂直，这种投影称为________。 5. 从早晨到傍晚，物体影子的大致方向：正西→________→正北→________→正东；正午物体影子最________。 6. 同一时刻太阳光下，不同物体的高度之比________对应影长之比。 （拓展·课本正文未收录，仅供学有余力学生阅读了解，不强制掌握） 7.（拓展）处理影子一部分落在竖直墙面上的问题：过墙上影子顶端作太阳光线的平行线，构造________三角形，分段求解高度。 【参考答案】 1. 投影；投影面 2. 中心 3. 平行 4. 正投影 5. 西北；东北；短 6. 等于 7. 相似 二.基础达标 【题型1】区分中心投影、平行投影 核心考点：根据光源特点辨别两类投影；中心投影光源为点光源（路灯、手电筒、台灯），平行投影光源为太阳光（平行光线）。 1．（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）日晷是中国古代利用日影测定时刻的计时器．“晷”字，古义是太阳的影子．如图所示的晷针在晷面上形成的投影（   ） A．是平行投影 B．是中心投影 C．既是中心投影，也是平行投影 D．既不是中心投影，也不是平行投影 【答案】A 【分析】本题考查了中心投影和平行投影的定义，熟记相关定义是解本题的关键．根据中心投影的定义：把光由一点向外发散形成的投影，叫做中心投影；平行投影的定义：光源是以平行的方式照射到物体上的投影，据此解答即可． 解：晷针在晷面上形成的投影是平行投影． 故选：A． 2．（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示是皮影戏，它是中国民间古老的传统艺术．皮影戏是用兽皮或纸板做成的人物剪影来表演故事的戏曲．表演时，用灯光把剪影照射在银幕上．艺人在幕后一边操纵剪影，一边演唱，并配以音乐．皮影戏的光源通常是一盏煤油灯，则它的投影属于（   ） A．平行投影 B．中心投影 C．既是平行投影又是中心投影 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行投影和中心投影，中心投影是指把光由一点向外散射形成的投影，平行投影是在一束平行光线照射下形成的投影，根据平行投影和中心投影概念求解即可． 解：“皮影戏”中是用灯光向外散射形成的投影， ∴“皮影戏”中的皮影是中心投影． 故选：B ． 5．（2025九年级·全国·专题练习）匡衡“凿壁偷光”的寓言故事家喻户晓，这里的“光”形成的投影是________（填“平行投影”或“中心投影”）． 【答案】中心投影 【分析】根据投影的定义，判断光源类型，进而确定投影类型． 解：平行投影的定义：由平行光线（如太阳光线）形成的投影。； 中心投影的定义：由同一点（点光源，如灯光）发出的光线形成的投影． 在“凿壁偷光”的情境中，光来自邻居家的灯火，属于点光源．点光源发出的光线从一点向四周发散，由此形成的投影是中心投影． 故答案为：中心投影． 【点睛】本题考查了投影的知识点，解题关键是区分点光源形成的中心投影和平行光源形成的平行投影，明确点光源的光线发散特性． 6．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段检测）皮影戏是一种用蜡烛或灯光等光源照射兽皮或纸板做成的人物前影以表演故事的民间戏剧，这种汉族民间艺术形式很受人们的欢迎．“皮影戏”中的皮影是_________．（填写“平行投影”或“中心投影”） 【答案】中心投影 【分析】中心投影是指从一点发出的光线形成的投影；平行投影是指在同一时刻，没有光源的情况下，阳光下物体的影子；由此判断即可得解． 本题考查了平行投影和中心投影，熟练掌握投影的特点是解题的关键． 解：皮影戏是由灯光照射下形成的影子， 故“皮影戏”中的皮影是中心投影， 故答案为：中心投影． 【题型2】中心投影找点光源、影子变化 核心考点：连接物体顶端与影子顶端延长找光源；物体靠近或远离点光源时影子长短变化规律。 1．（2026九年级上·全国·专题练习）小志的身高和小明的身高一样，在同一路灯下比较他们的影子，则（     ） A．小明的长 B．小志的长 C．一样长 D．无法判断 【答案】D 【分析】根据影长由身高和人到路灯的距离共同决定，即可判断． 解：在同一路灯下由于位置不同，影长也不同，所以无法判断谁的影子长． 2．（25-26九年级上·山西朔州·期末）如图，夜晚三个身高相同的小朋友站在路灯下，___________的影子最长．（填“甲”，“乙”或“丙”） 【答案】丙 【分析】本题考查了中心投影的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 根据相同高度的物体，距离灯光越远，则影子越长解答即可． 解：由图可知，三个身高相同的小朋友站在路灯下，丙离路灯最远，则丙的影子最长． 3．（2026·贵州贵阳·一模）如图，用发光的手电筒垂直照射吊在空中静止的不透明小球，小球落在竖直墙面上影子的形状是（    ） A．圆 B．矩形 C．球 D．三角形 【答案】A 【分析】根据球体的几何特征及光线照射方向判断影子的形状． 解：∵小球是球体，手电筒垂直照射， ∴光线方向与竖直墙面垂直， ∴小球在墙面上的影子即为球体的正投影， ∵球体在垂直于光线的平面上的影子是圆， ∴影子的形状是圆． 故答案为：丙． 4．（2026·安徽阜阳·一模）一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】在投影中，由平行光线形成的投影是平行投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，判断光源类型即可得出结论． 解：∵灯光属于点光源， ∴该投影属于中心投影． 【题型3】平行投影、正投影概念辨析 核心考点：正投影是特殊的平行投影；光线垂直于投影面才叫正投影。 1．（25-26九年级下·内蒙古包头·开学考试）下列投影一定不会改变的形状和大小的是（　　） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．当平行投影面时的正投影 【答案】D 【分析】本题考查了投影，关键是掌握中心投影、平行投影、正投影的区别，根据中心投影、平行投影、正投影的定义即可得出答案． 解：一定不会改变的形状和大小的是：当平行投影面时的正投影， 故选：D． 2．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．正投影可能是平行投影也可能是中心投影 B．物体在灯光下产生的投影可能是物体的正投影 C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影 D．电灯的光源距离投影面较远的投影就是平行投影 【答案】C 【分析】本题考查平行投影中正投影的相关知识，平行投射线垂直于投影面的称为正投影，解题需掌握正投影的特点． 解：A．正投影一定是平行投影，原说法错误，不合题意； B．物体在灯光下产生的投影不是物体的正投影，原说法错误，不合题意； C．物体在太阳光下产生的投影是物体的平行投影，原说法正确，符合题意； D．电灯的光源距离投影面较远的投影不是平行投影，原说法错误，不合题意． 故选：C． 3．（25-26九年级上·河南周口·阶段检测）以下几种光线：①太阳光线；②台灯的光线；③手电筒的光线．其中可以形成平行投影的是________．（填序号） 【答案】① 【分析】本题主要考查了平行投影和中心投影的定义，由平行光线所形成的投影称为平行投影；由中心放射状光线所形成的投影称为中心投影，据此可得答案． 解：太阳相对地球较远且大，其发出的光线可认为是平行光线，故阳光线形成的投影为平行投影； 台灯、手电筒发出的光线是由点光源发出的光线，所形成的投影是中心投影； ∴可以形成平行投影的是太阳光线， 故答案为；①． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）下列投影中，是正投影的是________（填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了投影的概念和分类，即“一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面；包括正投影和斜投影两类。熟练掌握其概念和分类是解题的关键. 解：根据正投影的定义“ 投影线垂直于投影面产生的投影叫做正投影”可知 是正投影 故答案为： ． 【题型4】太阳光影子方向长短变化 核心考点：识记一天之内影子长短和方向变化顺序，区分太阳光影子与路灯影子特征。 1．（26-27九年级上·全国·单元测试）图①、图②分别是两棵树在太阳光或路灯下影子的情形． （1）哪个图反映了在太阳光下的情形，哪个图反映了在路灯下的情形? （2）你是用什么方法判断的? （3）请画出图中表示小丽影长的线段． 【答案】（1）题图①是在太阳光下的情形，题图②是在路灯下的情形；（2）太阳光是平行光线，路灯的光是从一个点发出的．（答案合理即可）；（3）表示小丽影长的线段如图①、②所示． 【分析】（1）分别画出图①、图②中两棵树的顶端与对应阴影的连线，图①中，连线平行，说明是太阳光下的情形，图②中，连线交于一点，说明是在路灯下的情形，该交点即为路灯的位置； （2）根据太阳光是平行光线，路灯的光是从一个点发出的回答即可； （3）图①中，过小丽头部作前两条连线的平行线，得到该直线与地面交点，即可画出表示小丽影长的线段；图②中，连接路灯与小丽头部作画直线并延长，得到该直线与地面交点，即可画出表示小丽影长的线段． 解：（1）略 （2）略 （3）略 2．（25-26九年级下·全国·单元复习）如图所示，此时的影子是在_____下（太阳光或灯光）的影子，理由是____． 【答案】 太阳光 通过作图发现相应的直线是平行关系 【分析】连接两个实物顶点与像的对应顶点，得到的两条直线平行可得为太阳光下的投影． 解：分别连接两个实物顶点与其相对应影子的顶点，如图， 由图可知：所作的两条线平行， 即此时的影子是在太阳光下（太阳光或灯光）的影子， 理由是：通过作图发现相应的直线是平行关系． 故答案为：太阳光，通过作图发现相应的直线是平行关系． 【点睛】解决本题的关键是理解平行投影的特点：实物顶点与像对应顶点的连线是平行关系． 3．（25-26六年级上·黑龙江大庆·期末）从中午到傍晚，太阳光下影子的变化是（    ） A．越来越长 B．越来越短 C．一直没变化 D．有时长有时短 【答案】A 【分析】本题是考查从不同方向观察物体和几何图形，培养了学生的观察能力．根据生活实际，结合一天中影子的变化规律，从中午到傍晚，太阳光下影子的变化是越来越长，据此解答即可． 解：从中午到傍晚，太阳光下影子的变化是越来越长． 故选：A． 4．（2025九年级上·全国·专题练习）如图所示的是某公园中的两个物体，一天中四个不同时刻在太阳光的照射下落在地面上的影子，按照时间的先后顺序可排列为________（填序号）． 【答案】④③②① 【分析】由于太阳从东方升起，在西边落下，则早上物体的影子向西，傍晚物体的影子向东，利用此情形可根据四个影子判断时间的顺序． 解：按照时间的先后顺序排列正确的是（4）、（3）、（2）、（1）． 故答案为：（4）、（3）、（2）、（1）． 【点睛】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影． 【题型5】平行投影简单物高影长计算 核心考点：利用“同一时刻物高与影长成比例”直接列式简单计算。 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期中）小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为16米，的影长为22米，小明的影长为米，其中O、C、D、F、G五点在同一直线上，A、B、O三点在同一直线上，且．已知小明的身高为米，求旗杆的高． 【答案】米 【分析】本题考查了平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物体与投影面平行时的投影是全等的．证明，利用相似比计算出的长，再证明，然后利用相似比计算的长，进一步计算即可求解． 解：∵， ， 又∵， ， ∴， ∴（米）， 同理，， ∴， ∴（米）， ∴（米）． ∴旗杆的高为米． 2．（25-26九年级上·河北衡水·期末）如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．由两次日照的光线互相垂直、树垂直于地面可证三角形相似，再由相似三角形的性质即可求解． 解：如图， 即， ， ， ， ，． ． ， ． ． 故选∶D． 3．（26-27九年级下·全国·课后作业）如图，小明同学利用相似三角形测量旗杆的高度，若测得木杆为，它的影长为，同一时刻旗杆的影长EF为，已知点，，，在同一水平线上，则旗杆的高度为________． 【答案】/12米 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，代入数值计算即可得到答案． 解：， ， 、， ， ， ， ， （）． 4．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）晓月在某个阳光明媚的午后，想利用太阳光线来测量校园内一棵大树的高度，如图，他在地面上的点处竖立一根2米长的标杆，发现在太阳光下的影长米，同一时刻，大树在太阳光下的影子为．已知点、、、在同一水平直线上，，． （1）请在图中画出大树的影长； （2）若测得此刻大树在地面上的影长米，请你求出大树的高度． 【答案】（1）连接，过点作交直线于点， 如图，影长即为所求： （2）8米 【分析】本题考查了平行投影、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，过点作交直线于点，则影长即为所求； （2）先证明，再利用相似比即可求解． 解：（1）略 （2）解：， ， ，， ， ， ，即， 解得：米， 答：大树的高度为8米． 三.能力提升 【题型1】利用相似解决太阳光影子实际计算 核心考点：实际情景中建立比例方程求解物体高度或影长，规范书写解题步骤。 1．（25-26九年级上·江西抚州·期中）如图，某一广告墙旁有两根直立的木杆和，某一时刻在太阳光下，木杆顶端的影子刚好落Q处． （1）请在图中画出此时的太阳光线及木杆的影子； （2）若米，米，到的距离的长为2米，求此时木杆的影长． 【答案】（1）如图所示．    （2）米 【分析】本题考查的是平行投影，掌握平行投影的性质是解题的关键． （1）根据木杆的影子刚好不落在广告墙上，连接点与点即可画出此时的太阳光线，根据太阳光线是平行的，可以画出木杆的影子； （2）设木杆的影长为米，根据在同一时刻，物高与影子成比例即可得到，从而可求出影长． （1）解：略； （2）解：设的影长为x米 ，根据题意可得 ，即， ． 答：木杆的影长是米． 2．（25-26九年级上·河北保定·阶段检测）马路边上有一棵树，树底距离护路坡的底端有3米，斜坡的坡角为60度，小明发现，下午2点时太阳光下该树的影子恰好为，同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，下午4点时又发现该树的部分影子落在斜坡上的处，且，如图所示，线段的长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据在同一时刻物高和影长成正比，求出，延长，交于点，根据30度角的直角三角形即可求出结果． 解：同时刻1米长的竹竿影长为0.5米，米， 树的高度是6米； 延长，交于点，            ， ， ， 米， 米， 米， 线段的长度为， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及平行投影，解决本题的关键是作出辅助线得到的影长． 3．（2026·广西桂林·一模）某学校旁有一根电线杆和一块长方形广告牌，有一天小明发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知米，长方形广告牌的长米，高米，米，则电线杆的高度是______米． 【答案】// 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，米， 根据实际高度和影长成正比例，得出， ∴， ∴， ∴， ∴米． 故答案为：． 4．（25-26九年级上·河北保定·期中）【数学思考】如图，和是直立在地面上的两根立柱．，某一时刻在阳光下的投影，在阳光下的投影长为．根据题中信息： （1）太阳光下形成的投影属于＿＿＿＿；（填“平行投影”或“中心投影”）； （2）在图中画出在阳光下的投影； （3）求立柱的长． 【解决问题】（4）如图，古树在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高为1，同一时刻，竖直于地面上的长的竹竿，影长为，求这棵古树的高为＿＿＿＿． 【答案】（1）平行投影；（2）如图所示，就是的投影． （3）的长为； （4）这棵树高 【分析】本题重点考查平行投影和相似三角形的实际应用，平行投影下，两个物体竖直放在地面上，两个物体及它们各自的影子及光线构成的两个直角三角形相似，相似三角形的对应边成比例，抽取题目关键信息，作出图形，并利用相似三角形的性质是解决本题的关键． （1）【数学思考】太阳光线可以看成平行光线，像这样的光线所形成的投影称为平行投影， （2）【数学思考】过点作的平行线，并交直线于，即得到投影， （3）【数学思考】根据平行投影的特征，得到两个相似三角形和，并利用相似三角形对应边成比例，求得立柱的值， （4）【解决问题】此题需要先抽取题目信息，画图构造，作出的平行线，并利用其与相似，计算得到的值，进而求得古树的高度． 解：（1）太阳光线属于平行光线，形成平行投影． （2）作直线，过点作，交直线于； （3）太阳光线是平行的， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故立柱的长为． 答：立柱的长为． （4）如图，过点作交于点， 则，， ， 即， ， ． 答：这棵树高． 【题型2】影子落在墙面+地面分段模型说理计算 核心考点：影子跨地面和竖直墙面；会作辅助线，拆分图形为两个部分，结合相似三角形计算。 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，路边有一根电线杆和一块矩形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在矩形广告牌的上边中点G处，而广告牌的影子刚好落在地面上点E处．已知米，矩形广告牌的长米，宽米，米，求电线杆的高度． 【答案】电线杆的高度为米 【分析】此题考查的平行投影，相似三角形的应用举例，在平行光线下，不同时刻，同一物体的影子长度不同；同一时刻，不同物体的影子长度与它们本身的高度成比例．过点G作于点Q，于点P，得出四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形，由题意得，然后根据实际高度和影长成正比例列式，求解即可． 解：如图， 过点G作于点Q，于点P， 根据题意得出，四边形是矩形，四边形是矩形，四边形是矩形， ∵米，米，宽米，米， ∴米，，米， ∵点G是的中点， ∴米， ∴（米）， ∵实际高度和影长成正比例， ∴， ∴， ∵米， ∴， ∴， ∴（米）． 答：电线杆的高度为米． 2．（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）如图所示，一电线杆AB的影子落在地面和墙壁上，同一时刻，小明在地面上竖立一根1米高的标杆（PQ），量得其影长（QR）为0.5米，此时他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为（　　） A．5米 B．6米 C．7米 D．8米 【答案】D 【分析】在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 解：如图：假设没有墙CD，则影子落在点E， ∵杆高与影长成正比例， ∴CD：DE=1：0.5， ∴DE=1米， ∴AB：BE=1：0.5， ∵BE=BD+DE=4， ∴， ∴AB=8米． 故选：D． 【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论． 3．（2026·青海西宁·模拟预测）如图，在数学实践活动课上，小明同学打算通过测量树的影长计算树的高度．阳光下他测得长的竹竿落在地面上的影长为，在同一时刻测量树的影长时，他发现树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在墙面上．他测得这棵树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为，则这棵树的高度是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查投影的性质，相似三角形的应用，掌握投影的性质的实际运用，相似三角形的应用等知识是解题的关键．根据题意，投影的性质，如图所示，设树的高为，可得四边形是矩形，，根据相似三角形的性质即可求解． 解：根据题意，画图如下，过作于， 竹竿长，竹竿的影长为，树落在地面上的影长为，落在墙面上的影长为， 设树的高为， ∵，在同一条直线上， ∴四边形是矩形，则， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴树的高度为． 故答案为： 4．（24-25九年级上·江苏南通·阶段检测）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为米的竹竿的影长为米．同时两名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上． （1）如图1：小明发现树的影子一部分落在地面上，还有一部分影子落在教学楼的墙壁上，量得墙壁上的影长为米，落在地面上的影长为米，求树的高度． （2）如图2：小红发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长为米，坡面上的影长为米．已知斜坡的坡角为，则树的高度为多少？ 【答案】（1）（米）；（2）树的高度为为米 【分析】本题主要考查解直角三角形，线段成比例的运用，合作作出辅助线是解题的关键， （1）如图所示，连接并延长交延长线于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，同理，，即可求解； （2）如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，根据与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米，可得，求出的值，在中，，即可求解． （1）解：根据题意，米，米， 如图所示，连接并延长交延长线于点， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 同理，， ∴（米）； （2）解：如图所示，延长交延长线于点，过点作于点，米，米，， ∴在中，（米），（米）， ∴（米），（米）， ∵与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴树的高度为米． 四、素养探究（选做·拓展习题） 核心考点：中心投影与平行投影综合；影子测量方案设计与说理；多物体遮挡影子分析，侧重数学素养表达。 1．（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）操作与研究：如图，被平行于的光线照射，于D，在投影面上. （1）指出图中线段的投影是______，线段的投影是______. （2）问题情景：如图1，中，，，我们可以利用与相似证明，这个结论我们称之为射影定理，请证明这个定理. （3）拓展运用：如图2，正方形的边长为15，点O是对角线、的交点，点E在上，过点C作，垂足为F，连接；试利用射影定理证明； 【答案】（1），；（2）证明：如图， ∵，， ∴， 而， ∴， ∴， ∴； （3）证明：如图， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，而， ∴ 【分析】（1）根据题意，即可得到答案； （2）证明，得到，即可证明定理； （3）利用射影定理，得到，，进而得到，即可证明． （1）解：根据题意，图中线段的投影是，线段的投影是， 故答案为：，； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、射影定理等知识，解题关键是掌握相似三角形的判定和性质，理解射影定理：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 2．（2026·上海黄浦·一模）学习投影的知识后，小明、小颖想利用灯光下自己影子的长度来测量一路灯的高度，并探究影子长度的变化规律．如图，在同一时刻，身高为的小明的影子的长是，而小颖刚好在路灯灯泡的正下方点处，并测得． （1）请在图中画出形成小明的影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置． （2）求路灯灯泡的垂直高度． （3）若小明沿线段向小颖走去，当小明走到的中点处时，求其影子的长；当小明继续走剩下路程的到处时，求其影子的长；按此规律继续走下去，当小明走剩下路程的到处时，求其影子的长（结果用含的代数式表示）． 【答案】（1）连接、并延长相交于点G，即为路灯灯泡的位置，如图所示： （2） （3） 【分析】本题考查相似三角形的应用，利用相似三角形的性质对应边成比例解题； （1）确定灯泡的位置，可以利用光线可逆可以画出，连接、并延长相交于点G，即为路灯灯泡的位置； （2）要求垂直高度可以把这个问题转化成相似三角形的问题，图中由它们对应成比例可以求出； （3）利用三角形相似，对应相等成比例可以求出，然后找出规律． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：同理， ∴， ∴，解得：， 同理，解得：， ∴，解得：． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 基础达标 □顺利 □有困难 能力提升 □顺利 □有困难 素养探究 □顺利 □有困难 中考链接 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $