精品解析：湖北武汉市第十四中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

数学试卷 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得，所以 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由存在量词命题的否定的定义即可得到； 【详解】由题意，命题“”的否定为， 故选：C. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】求解，得出或，根据充分必要的定义判断即可得出答案. 【详解】，解得或， 则时一定满足，而时不一定有， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知函数是幂函数，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 或1 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求解即可. 【详解】由题可得：，解得：或； 故选：C 5. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解集可得参数的关系，代入所求不等式后可求其解集. 【详解】因为的解集为， 故且为方程的解. 故，故， 故不等式即为， 故，故， 故不等式的解集为， 故选：C 6. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入计算，即可排除A，由函数的奇偶性即可判断BD，然后分别验证函数的奇偶性以及单调性即可判断C 【详解】A选项：时，，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数，不符合题意，故B错误； C选项：记，则，故为偶函数，当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减，且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C 7. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断出的单调性和奇偶性，然后将条件转化为关于的等量关系，利用“的代换”求解出的最小值，则的最大值可知. 【详解】因为，且的定义域为关于原点对称， 所以为上的奇函数， 又因为均在上单调递增，所以在上单调递增， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为， 又因为，所以的最大值为， 故选：D. 8. 已知当，表示不超过的最大整数，则称为取整函数，也叫高斯函数，例如，，若定义在上的函数的图象关于轴对称，且当，，则方程的解得和为（ ）． A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析，根据的图象关于轴对称得到时解析式，由此作出与的解析式，计算出交点横坐标即为方程的解，然后求和. 【详解】因为为整数，所以， 又因为函数的图象关于轴对称且，所以是偶函数， 当时，，，所以， 作出与图象如下图：（红色的点为交点） 当时，令，解得：（舍）；令，解得：（舍）； 当时，令，解得：（舍）；令，解得：（舍）； 综上：所有解的和为. 故选D. 【点睛】本题考查函数与方程的综合应用，着重考察了数形结合思想，难度较难. （1）高斯函数的本质是一个分段函数； （2）数形结合的方法巧妙的将方程解的问题转换为函数图象的交点问题，更便于直观观察和求解.除此之外数形结合思想还可以用于：解不等式、求参数范围、研究函数性质等. 二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．全选对得5分，选对但不全得3分，不选或选错得0分） 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】作差，由不等式的性质判断ABD选项，举反例排除C选项. 【详解】A选项，， 因为，所以，所以，，A正确； B选项，， 因为，所以，所以，，B正确； C选项，当时，，C错误； D选项，， 因为，所以， 当时，，， 当时，，，D错误； 故选：AB. 10. 已知函数，下列说法正确的是（　　） A. B. 的定义域是 C. 是奇函数 D. 的图象关于对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】先求解函数的解析式及定义域，根据函数的性质判断各项正误． 【详解】令，因为，所以， 由，得， 所以，，故A正确； 的定义域是，故B正确； 的定义域关于原点对称，， 则，所以是偶函数，不是奇函数， C错误； 是偶函数，其图像关于对称， 将的图象向右平移1个单位可得的图象， 所以的图象关于对称，故D正确， 故选：ABD． 11. 函数的定义域为，值域为，区域，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D. 存在无数个，使得不等式对恒成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】A问题化为恒成立，求参数范围；B由根式型函数值域及二次函数性质求参数范围；C由题设有，结合一元二次不等式确定定义域和值域，由正方形性质得，即可判断；D利用配方法及放缩判断时不等式是否恒成立，即可判断. 【详解】A：若，则恒成立， 显然时，成立， 时， ， 故，正确； ：由已知，则，错误； C：若表示一个正方形区域，则， 设的解集为， ， 又，所以， 解得， 此时，故该区域的面积为，正确； ：当时，，正确. 故选：ACD 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设m为实数，，，若，则实数________． 【答案】3 【解析】 【详解】因为，所以， 若，则，此时，集合不满足条件，故舍去， 若，则，此时，，满足条件. 13. 已知，，且，则的最小值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，令，所以再利用基本不等式求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 令，即， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值为13. 14. 定义“上凸函数”：设是定义在区间上的函数，且的图象是一条连续不断的曲线，若，，都有，当且仅当时等号成立，则称为区间上的“上凸函数”．已知函数为上的“上凸函数”，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先去绝对值将函数拆分为两段二次函数，再代入上凸函数的定义作差验证，得出开口向下的分段满足上凸性质、开口向上的分段不满足，最后令区间完全落在上凸的分段范围内，即可求出的取值范围． 【详解】根据绝对值的代数意义，将函数拆分为两段： 当时，（开口向上的二次函数） 当时，（开口向下的二次函数） 上凸函数定义：对，，都有， 当且仅当时等号成立， 1．验证段（），任取两点代入作差： ， 结果恒小于等于0，即，与上凸定义相反，此段不满足上凸函数的定义， 2．验证段（），同理代入作差： ， 结果恒大于等于，当且仅当时，等号成立，此段完全满足上凸函数的定义， 要使上整体为上凸函数，区间内不能包含不满足上凸的段， 即区间所有点都必须落在的范围内，因此区间右端点，即， 所以实数的取值范围为． 四、解答题（本大题共5小题，共80分） 15. 已知集合，，全集． （1）求，； （2）求，． 【答案】（1）；； （2）； 【解析】 【分析】（1）利用交集与并集的定义计算即可； （2）利用补集定义先求出，再进行交集与并集运算即可． 【小问1详解】 因为，所以， ； 【小问2详解】 因为，， 所以， 因此，． 16. 已知命题：，，命题：，． （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】先求出为真时参数范围：全称命题恒成立，分和讨论；然后处理，存在性命题分离参数，转化为大于等于函数在区间上的最小值，再根据仅有一真，分真假、假真两种情况联立求解，最后取并集即可. 【小问1详解】 因命题为真，可分两种情况： ①当时，恒成立，符合题意； ②当时，需满足，解得， 综上，实数的取值范围是； 【小问2详解】 由命题为真命题，可得， 令，函数在上单调递减，则，可得. 有且仅有一个真命题，分两种情况： ①真假：，解得； ②假真：，解得. 综上，实数的取值范围是或． 17. 已知函数. (1)用函数的单调性定义证明:函数在上为增函数; (2)若对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围. 【答案】（1）详见解答；（2）. 【解析】 【分析】（1）在任取两个自变量，且，求出做差，通分，因式分解，判断函数值差的正负，即可得证； （2）,不等式恒成立,分离参数，转化为在恒成立，换元，利用二次函数求最值，求出的最小值，可得出结论. 【详解】（1）设， ，， ， 所以函数在上为增函数； （2）,不等式恒成立, ，即， 设， 当， 要使恒成立， 只需， 所以的取值范围是. 【点睛】本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，分离参数，等价转化为求函数的最值，属于中档题. 18. 某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. （1）若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ （2）若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】（1）57600元 （2） 【解析】 【分析】（1）甲工程队整体报价为，利用基本不等式求解即可； （2）若乙队要确保竞标成功则恒成立，先参变量分离化为恒成立，再求函数的最小值即可求解. 【小问1详解】 若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； 【小问2详解】 若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据以比信息解决下列问题： （1）求函数图象的对称中心； （2）已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. （3）若函数具有以下性质： ①定义域为； ②在定义域内单调递增； ③，都有. 当函数时，求使不等式成立的实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的对称中心为，得到为奇函数，化简得到，列出方程组，即可求解； （2）化简得，根据题意，得到的图象关于点成中心对称，得到，结合并项求和，即可求解. （3）令，求得，得到是奇函数，且在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：设函数的对称中心为，则函数为奇函数， 令， 因为是奇函数，则满足，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 解：由函数， 令，因为，所以为奇函数， 根据的性质，可得的图象关于点成中心对称， 则，所以，，共有组， 所以. 【小问3详解】 解：由，， 令，则， 所以， 即，所以是奇函数， 因为在其定义域内单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 由，可得，即， 又因为是奇函数，所以， 则满足，解得，所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、单选题（每小题5分，共8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是幂函数，则实数的值为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 或1 5. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.如图是一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图像构成，则“心形”在轴上方的图像对应的函数解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若对于正数，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知当，表示不超过的最大整数，则称为取整函数，也叫高斯函数，例如，，若定义在上的函数的图象关于轴对称，且当，，则方程的解得和为（ ）． A. 1 B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．全选对得5分，选对但不全得3分，不选或选错得0分） 9. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（　　） A. B. 的定义域是 C. 是奇函数 D. 的图象关于对称 11. 函数的定义域为，值域为，区域，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若表示一个正方形区域，则该区域的面积为 D. 存在无数个，使得不等式对恒成立 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设m为实数，，，若，则实数________． 13. 已知，，且，则的最小值为____________. 14. 定义“上凸函数”：设是定义在区间上的函数，且的图象是一条连续不断的曲线，若，，都有，当且仅当时等号成立，则称为区间上的“上凸函数”．已知函数为上的“上凸函数”，则实数的取值范围是___________． 四、解答题（本大题共5小题，共80分） 15. 已知集合，，全集． （1）求，； （2）求，． 16. 已知命题：，，命题：，． （1）若为真，求实数的取值范围； （2）若命题和中有且仅有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 已知函数. (1)用函数的单调性定义证明:函数在上为增函数; (2)若对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围. 18. 某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. （1）若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ （2）若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 19. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据以比信息解决下列问题： （1）求函数图象的对称中心； （2）已知函数，写出图象的对称中心，并求的值. （3）若函数具有以下性质： ①定义域为； ②在定义域内单调递增； ③，都有. 当函数时，求使不等式成立的实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $