精品解析：湖北武汉市2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 一家商店使用一架左臂长为a cm，右臂长为b cm（）的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，取出黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客购得的黄金（ ） A. 大于10 g B. 等于10 g C. 小于10 g D. 无法确定 8. 已知函数的定义域为，对任意，，都有，且关于轴对称，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合，，若，则实数的值为1 B. 已知集合，则满足条件的集合有4个 C. 的最小值是2 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 10. 若实数，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 对任意实数，表示不超过的最大整数，称为高斯函数．例如，，令，则下列选项中正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的值域为 C. D. 方程有3个不相等的解 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为_____________________． 13. 高一某班共有48名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团．已知参加漫画社24人，参加围棋社23人，参加航模社22人；漫画与围棋都参加的有14人，漫画与航模都参加的有13人，围棋与航模都参加的有12人；三项都没有参加的共10人．则三项社团全都参加的人数为__________________． 14. “杰卡德相似度”可以用来衡量两个集合的重叠程度，常用于去重、相似用户挖掘、大规模集合检索．设和为有限集，定义“杰卡德相似度”为：（1）当、不全为时，；（2）当时，．其中表示集合中的元素个数，若，，则______； 若，，为有限集，满足，，，（其中，），则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 16. 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）若函数，记函数的最小值，求的解析式； 17. 某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 18. 已知定义在上的函数，对任意的都有恒成立，且，当时，，． （1）求和的值． （2）判断在上的单调性并证明． （3）求不等式的解集． 19. 已知二次函数（且）为偶函数，且对任意都有，在上的最小值为1． （1）求的解析式； （2）若时，使不等式成立，求实数的取值范围； （3）存在实数，使对任意恒成立，求实数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，集合， 所以. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定规则，更换量词、保持变量取值范围不变、否定结论即可得. 【详解】因为存在量词命题的否定为全称量词命题， 其否定规则为：将存在量词改为全称量词，保持原命题中变量的取值范围不变，同时否定原命题的结论. 所以原命题为“”的否定为“”. 3. 下列四组函数表示同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【详解】选项A： 函数的定义域为； 函数的定义域为，两函数定义域不同，不满足同一函数的判定条件，A错误； 选项B： 函数的定义域为，化简得； 两函数对应法则不同，不满足同一函数的判定条件，B错误； 选项C： 函数的定义域为； 函数的分母需满足，即，定义域为，化简得 两函数定义域、对应法则均相同，满足同一函数的判定条件，C正确； 选项D： 函数的定义域为； 函数的定义域为， 两函数定义域不同，不满足同一函数的判定条件，D错误. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求解该函数定义域需同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零的约束，联立不等式组求解后匹配对应选项. 【详解】由题意得，解该不等式得； 对于分式，解该不等式得， 取上述两个约束条件的交集，可得函数的定义域为. 5. 命题“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】原命题为真，即， 等价于， 即，其中最大值在时取到. 对于A，，，为充分不必要条件. 对于B，，，为必要不充分条件. 对于C，，，为必要不充分条件. 对于D，，，为必要不充分条件. 6. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质及特殊值法判断A，根据作差法判断BCD. 【详解】对于A：当时，，此时，不满足，因此A为假命题. 对于B：  . 当且时，差为负值，即. 如取，，，此时，，不满足题设不等式，因此B为假命题. 对于C：，因为，所以，，所以， 即，因此C为真命题. 对于D：，因为，所以，故，即. 同理可得，即， 所以，因此D为假命题. 7. 一家商店使用一架左臂长为a cm，右臂长为b cm（）的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，取出黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．顾客购得的黄金（ ） A. 大于10 g B. 等于10 g C. 小于10 g D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求得，，得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意知，天平的左臂长为，右臂长为，其中， 第一次称的黄金为，可得，解得 第二次称的黄金为，可得，解得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以等号不成立，所以，所以顾客购得的黄金大于. 8. 已知函数的定义域为，对任意，，都有，且关于轴对称，若，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据给定条件判断函数在上的单调性，结合偶函数的对称性将抽象函数不等式转化为绝对值不等式，进而求解的取值范围. 【详解】对任意，，都有， 则与异号，即当时，， 故在上单调递减. 因为关于轴对称，且定义域为，故是偶函数， 所以对任意，有，即. 所以可化为， 又在上单调递减，所以， 则，整理得， 即，解得或， 故实数的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 集合，，若，则实数的值为1 B. 已知集合，则满足条件的集合有4个 C. 的最小值是2 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】分别依据集合相等、子集个数、基本不等式的取等条件和复合函数定义域的求法判断. 【详解】对于A，由及，得，所以，解得，回代得，A正确. 对于B，集合的子集为，，，，共4个，B正确. 对于C，由基本不等式得，取等须，即，无实数解，故函数值恒大于2，C错误. 对于D，由，解得，所以定义域为，D正确. 10. 若实数，满足，，，则下列结论中正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：对正实数，有，即， 所以，当且仅当（即）时等号成立，故A正确； 选项B：因为，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 选项C：，当且仅当时等号成立，故C错误； 选项D：因为，同理， 所以 ，  由基本不等式，，当且仅当即时等号成立， 因此，故原式，即最小值为，D正确. 11. 对任意实数，表示不超过的最大整数，称为高斯函数．例如，，令，则下列选项中正确的是（ ） A. 不等式的解集为 B. 函数的值域为 C. D. 方程有3个不相等的解 【答案】BCD 【解析】 【分析】解不等式求得解集判断A；计算可得判断C；进而计算可得函数的值域判断B；解方程求得方程的根判断D. 【详解】对于A，由，得，解得， 所以，所以不等式的解集为，故A错误； 对于C，因为，故C正确； 对于B，因为，所以为周期函数，且周期为1，不妨设. 当时，； 当时，，此时值域为； 当时，； 综上所述：当时，. 所以函数的值域为，故B正确； 对于D，因为函数的值域为，又， 所以，解得， 若时，由，可得， 所以，解得或（舍去）； 若时，由，可得， 所以，解得或（舍去）； 若时，由，可得， 所以，解得或（舍去）； 若时，由，可得， 所以，又，所以方程无解； 综上所述：方程有3个不相等的解，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集为_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】通过分式不等式的等价转化规则，将原不等式转化为一元二次不等式，结合二次函数的图像性质求解解集. 【详解】不等式变换为. 所以该不等式的解集为，即. 13. 高一某班共有48名同学，班里开设漫画、围棋、航模三项兴趣社团．已知参加漫画社24人，参加围棋社23人，参加航模社22人；漫画与围棋都参加的有14人，漫画与航模都参加的有13人，围棋与航模都参加的有12人；三项都没有参加的共10人．则三项社团全都参加的人数为__________________． 【答案】 8 【解析】 【分析】结合三集合容斥原理，根据班级总人数、未参加社团的人数建立方程，求解三项都参加的人数即可. 【详解】设参加漫画社的同学构成集合，参加围棋社的同学构成集合，参加航模社的同学构成集合， 设三项社团全都参加的人数为，即， 由题意，班级总人数为48，三项都未参加的有10人， 因此至少参加一项社团的人数为，即， 根据三集合容斥原理，将已知条件，，，， ，代入公式， 可得：  ，即，解得， 经检验，韦恩图各区域对应的人数均为非负整数，符合实际意义，因此三项社团全都参加的人数为8. 14. “杰卡德相似度”可以用来衡量两个集合的重叠程度，常用于去重、相似用户挖掘、大规模集合检索．设和为有限集，定义“杰卡德相似度”为：（1）当、不全为时，；（2）当时，．其中表示集合中的元素个数，若，，则______； 若，，为有限集，满足，，，（其中，），则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】空1：根据“杰卡德相似度”的定义，求出集合，的元素个数即可求得；空2：利用并集、交集的性质求出的最大值、的最小值，进而求出的最小值. 【详解】因为，，所以，， 所以； 由，得，由，得， 因此（时取等号）， ，（时取等号） 则，所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）分别求，； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】（1）首先求出集合，再利用集合的交、并、补运算即可求解. （2）讨论或，根据集合的包含关系即可求解. 【详解】（1）， ，所以， ， （2）①当时，，此时； ②当时，，则； 综合①②，可得的取值范围是． 【点睛】本题考查了集合的基本运算、由集合的包含关系求参数的取值范围，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 16. 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）若函数，记函数的最小值，求的解析式； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式. 【小问1详解】 已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又因为为奇函数，则， 综上可得，． 【小问2详解】 当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 所以函数的最小值． 17. 某地区为积极推进生态文明建设，决定利用该地特有条件将该地区打造成“生态水果特色地区”.经调研发现：某珍惜果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其它成本投入元.已知这种水果的市场售价大约20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元） （1）写单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式； （2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）当施用肥料4千克时，单株利润取得最大值640. 【解析】 【分析】（1）利用条件用销售额减去成本表示利润即可； （2）根据二次函数的单调性及基本不等式计算即可. 【小问1详解】 由题意可知：； 【小问2详解】 根据（1）可知： 当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 易知， 当时，， 当且仅当，即时取得等号， 综上，当施用肥料千克时，单株利润取得最大值640. 18. 已知定义在上的函数，对任意的都有恒成立，且，当时，，． （1）求和的值． （2）判断在上的单调性并证明． （3）求不等式的解集． 【答案】（1）；； （2）在上单调递减， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以， 又，所以， 即，故在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，求出；令，计算可得； （2）利用定义法结合题意判断单调性； （3）令可得，化简不等式利用单调性结合一元二次解法计算求解即可. 【小问1详解】 令，则， 因为对于任意的，都有恒成立. 所以； 令，则， 因为，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 令，则，即， 所以，则， 所以不等式可化为， 由（2）可得，解得， 所以不等式的解集为. 19. 已知二次函数（且）为偶函数，且对任意都有，在上的最小值为1． （1）求的解析式； （2）若时，使不等式成立，求实数的取值范围； （3）存在实数，使对任意恒成立，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数得一次项系数为，由最小值得开口向上且常数项为；再把两个恒成立的不等式用判别式转化为关于的不等式，夹出的值. （2）由分离参数，把“存在使不等式成立”转化为不小于在上的最小值，换元后用单调性求这个最小值. （3）由把含绝对值的不等式化为两个二次不等式在上恒成立；在与处取值相加得到的下界，再取、说明该下界能够达到. 【小问1详解】 因为为偶函数，所以对任意都有，即，得对任意成立，故，即. 又在上的最小值为，故，且，即. 由对任意恒成立，得对任意恒成立，故且，解得. 由对任意恒成立，得对任意恒成立. 若，则该不等式化为，不可能对任意成立；故须且，解得. 由且得，所以. 【小问2详解】 当时，故等价于. 记，，则“存在使成立”等价于不小于在上的最小值. 令，则，且. 任取，则，由知该式大于，故在上单调递增. 所以当，即时，取到最小值. 故，即的取值范围是. 【小问3详解】 由（1）知，故“对任意恒成立”等价于对任意恒成立. 取，得，即. 取，得；取，得. 两式相加得. 又由得，所以，解得. 下面说明可以达到：取，，此时. 当时，故；又，即. 所以对任意恒成立，即时存在满足条件的. 故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $