精品解析：湖北省武汉市第四十九中学2026-2027学年上学期高一期中考数学试题

2026～2027学年上学期高一年级期中考试题 一、单选题40分（每题只有一个正确选项） 1. 集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数是定义在上的偶函数，则（  ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 下列不等式中成立的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知函数是偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（18分，部分选对得部分分，全部对得6分，有选错的得0分） 9. 以下四个命题中，是真命题的是（    ） A. B. 若，则 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若命题：，，则的否定为：， 10. 下列选项正确的是（ ） A. 的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在的值域为 D. 函数的值域为 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数，满足，则 B. 若，则的最小值为3 C. 若正实数，满足，则的最大值为 D. 若正数，满足，且，则，均为定值 三、填空题（15分） 12. 已知幂函数在上单调递减，则 ______. 13. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 14. 已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 四、解答题（77分） 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 17. 某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. （1）求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： （2）至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ （3）当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 18. 已知函数. （1）若函数的单调减区间为，求实数的值； （2）当时，解关于的不等式； （3）关于的不等式仅包含一个整数解，求的取值范围. 19. 给定正整数，若集合，且满足 ，则称集合为集合的元“和合集”. （1）判断集合 是否为实数集的元“和合集”，并说明理由. （2）若集合为正实数集的元“和合集”，证明：，中至少有一个大于； （3）若集合是自然数集的元“和合集”，求集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年上学期高一年级期中考试题 一、单选题40分（每题只有一个正确选项） 1. 集合，，，则图中阴影部分所表示的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵图中阴影部分表示中除去和的公共部分，可表示为：， 又，， 则，故. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】验证充分性：若，结合基本不等式，推导出；验证必要性：若，通过举反例，得不出. 【详解】由题意知，，则可知， 当时，，即充分性成立； 取，满足，，， 但是，即必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 3. 若函数是定义在上的偶函数，则（  ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 4. 下列不等式中成立的是（ ） ①若，则； ②若，则； ③若，，则； ④若，则． A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【详解】①若，若，则，不成立，故①错误； ②若，则，即，故②正确； ③由，可得，又，则得，故③正确； ④若，则，则，即，故④错误. 综上，成立的是②③. 5. 已知，则的最小值是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由，得，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是4. 故选：A 6. 已知函数是偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得，进而得，解不等式即得. 【详解】因为为偶函数，所以. 由，得 因为在区间上单调递减， 所以，即 所以，解得：， 故的取值范围是. 故选：D. 7. 已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 8. 已知函数，若，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分类讨论：分，，，四种情况讨论即可. 【详解】当时，的对称轴在轴的右边，在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得，结合得，； 当时，，恒成立，满足条件； 当时，在上单调递减，所以，解得， 所以只需考虑的情况，的对称轴为， 若，即时，的最小值为，，解得，故满足条件； 若，即时，在上单调递减， ，解得，所以满足条件； 综上所述，a的取值范围是. 二、多选题（18分，部分选对得部分分，全部对得6分，有选错的得0分） 9. 以下四个命题中，是真命题的是（    ） A. B. 若，则 C. “”是“”的必要不充分条件 D. 若命题：，，则的否定为：， 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，配方即可判断；对B，举反例即可；对C，根据必要不充分条件的判断即可得到答案；对D，根据特称命题的否定即可得到答案. 【详解】对A，因为，故A正确； 对B，举例，则，则，故B错误； 对C，因为“”无法推出“”，而“”可以推出“”，故“”是“”的必要不充分条件，故C正确； 对D，根据特称命题的否定为全称命题知的否定为：，，故D正确. 故选：ACD. 10. 下列选项正确的是（ ） A. 的定义域为，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 函数在的值域为 D. 函数的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出抽象函数定义域判断A；配方并利用二次函数求出值域判断B；利用二次函数单调性求出值域判断C；利用分式函数值域判断D. 【详解】对于A，的定义域为，则在中，， 解得，即的定义域为，A正确； 对于B，函数， 当且仅当时取等号，则函数的值域为，B正确； 对于C，在上递减，， 则函数在的值域为，C正确； 对于D，函数，函数的值域为，D错误. 11. 下列选项正确的是（ ） A. 若正实数，满足，则 B. 若，则的最小值为3 C. 若正实数，满足，则的最大值为 D. 若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】使用基本不等式求解. 【详解】由得，当且仅当时取等号，选项A正确； 令，，则，当且仅当， 即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误； 由，得，则， 当时，取最大值为，选项C正确； 因为正数，满足，则， 当且仅当，即①时取等号， 因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 三、填空题（15分） 12. 已知幂函数在上单调递减，则 ______. 【答案】## 【解析】 【分析】由幂函数的定义以及性质求出. 【详解】由幂函数定义得，解得或. 当时，，在 上单调递增，不符合题意； 当时，，在上单调递减，符合题意. 所以，则. 故答案为： 13. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程的关系，利用韦达定理得出的参数之间的关系，再由分式不等式解法即可求得结果. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为可知： 1和3是方程的两根，且； 由韦达定理可得，即， 则不等式即为， 所以，可得，即， 所以，解得或； 因此不等式的解集为. 14. 已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 四、解答题（77分） 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先解一元二次不等式得，再由集合交、并、补的运算可得； （2）根据，分和，再结合包含关系可得参数范围. 【小问1详解】 由，，解得，所以； 当时，，或； 所以，. 【小问2详解】 因为，分两种情况： ①当时，满足，此时，则； ②当时，，即，解得． 综上所述，的取值范围是． 16. 已知函数，． （1）求证：在上单调递增； （2）判断的奇偶性并证明； （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. （2）是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. （3） 【解析】 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 17. 某公司引进一种智能设备投入生产，已知该设备的固定投入为万元，每生产吨产品还需再投入材料、人工等费用万元.根据市场调研，产品的销售单价（万元/吨）与生产量（吨）满足如下关系：（生产吨产品就需更换新设备），假设生产的产品可以全部售出. （1）求总利润（万元）关于生产量（吨）的函数： （2）至少需要生产多少吨产品，公司才不会出现亏损？ （3）当生产量为多少吨时，可使总利润达到最大？ 【答案】（1） （2）吨 （3）吨 【解析】 【分析】（1）根据销售单价公式和成本可知，，再写成分段函数的形式； （2）由分段函数计算当时，由，计算至少需要的产品数量； （3）由分段函数分别计算当和时的最值，再比较大小，即可求解. 【小问1详解】 由题意，， . 【小问2详解】 当时，由，得. 故，整理得. 故，解得，结合，知， 当时，由恒成立， 综上可知至少需要生产吨产品，公司才不会出现亏损. 【小问3详解】 当时，. 因为. （当且仅当，即（吨）时取“”号） 所以（万元）. 当时，因为抛物线的对称轴， 所以（万元）. 因为，所以当生产量吨时，总利润达到最大. 18. 已知函数. （1）若函数的单调减区间为，求实数的值； （2）当时，解关于的不等式； （3）关于的不等式仅包含一个整数解，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （3） 【解析】 【分析】（1）根据单调递减区间确定二次函数开口方向与对称轴，求出参数； （2）分解因式后，依据参数判断二次项符号与两根大小，分类求不等式解集； （3）利用（2）的解集排除的情形；时限定区间内仅含整数0，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 当时，函数的单调递减区间是，不满足题意； 当时，由函数的单调减区间为，可知二次函数开口向上，对称轴为， 因此，解得， 综上，实数. 【小问2详解】 不等式，已知条件： ①当时，不等式化为，解得； ②当时，两边同时除以，不等式变形为，解得； ③当时，不等式化为，解得或； ④当时，不等式化为，解得或. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意； 当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意； 当时，原不等式的解集为，解集中有无数个整数，不符合题意； 当时，原不等式的解集为.区间右端点为1，若区间内仅有一个整数，则该整数只能是0， 因此整数不能属于该区间，可得，解得. 综上，的取值范围为. 19. 给定正整数，若集合，且满足 ，则称集合为集合的元“和合集”. （1）判断集合 是否为实数集的元“和合集”，并说明理由. （2）若集合为正实数集的元“和合集”，证明：，中至少有一个大于； （3）若集合是自然数集的元“和合集”，求集合. 【答案】（1）是，理由为： 由， ， 所以， 故集合是“和合集”. （2） 证明：由题设，令， 则，是关于的方程的两个不同的正实数根， 所以或（舍），即， 又，，若，都不大于2，则，矛盾， 所以，至少有一个大于2. （3） 【解析】 【分析】（1）由“和合集”的定义判断即可； （2）由“和合集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设，得到，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若，不妨令，即， 则，，矛盾，所以； 不妨令，则， 所以， 当，即，故，显然无解，不满足； 当，即，只能有，，， 故存在一个“和合集”； 当，， 即， 又， 且， 此时，显然有矛盾， 所以时不存在“和合集”； 综上，. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $