期中培优：综合函数的单调性与奇偶性解不等式、抽象函数的单调性与奇偶性综合专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

期中培优：综合函数的单调性与奇偶性解不等式、抽象函数的单调性与奇偶性综合专项训练 期中培优：综合函数的单调性与奇偶性解不等式、抽象函数的单调性与奇偶性综合专项训练 考点目录 综合函数的单调性与奇偶性解不等式 抽象函数的单调性与奇偶性综合 考点一 综合函数的单调性与奇偶性解不等式 综合函数的单调性与奇偶性解不等式解题技巧 （1）先用奇偶性把不等式两边化为同名 、且位于同一单调区间，再用单调性去掉对应法则 。 （2）偶函数善用 ，把未知量统一为非负，避免分类讨论。 （3）牢记规律：奇函数在对称区间单调性相同，偶函数在对称区间单调性相反。 （4）括号内每个表达式都必须满足定义域，多个条件取交集，防止漏解。 （5）解出后结合具体解析式回代验证，确认结果正确。 例1．（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于实数的不等式. 例2．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性（不需要证明）； (3)若实数满足，求实数的取值范围． 例3．（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围． 变式1．（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于的不等式． 变式2．（26-27高一上·甘肃·阶段检测）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． (1)若，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式，其中且． 变式3．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数满足，． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断在上的单调性； (4)求不等式的解集． 考点二 抽象函数的单调性与奇偶性综合 抽象函数的单调性与奇偶性综合解题技巧 （1）解抽象不等式，先由奇偶性把 化到同一单调区间，再用单调性”脱 “。 （2）注意隐含定义域：括号内的整体表达式必须落在题目给定的定义域内。 （3）求值、证明常用赋值法，如令 、、 等，挖掘隐含条件。 （4）用好 奇函数 、偶函数 等结论。 （5）证明抽象单调性按定义：任取 ，比较 与 ，全程不编造解析式，只依据所给性质推理。 例1．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意的都有恒成立，且，当时，，． (1)求和的值． (2)判断在上的单调性并证明． (3)求不等式的解集． 例2．（26-27高一上·山西大同·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，均有，并且，，当时有． (1)求； (2)设，证明：对任意实数，都有，并证明在上严格递增； (3)求实数的取值范围，使得对于任意，恒有． 例3．（26-27高一上·黑龙江大庆·阶段检测）函数的定义域为，且满足对任意，都有． (1)试判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 变式1．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 变式2．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义在上的函数满足，且不恒为0. (1)求和的值； (2)若在上单调递减，求不等式的解集. 变式3．（26-27高一上·湖北孝感·阶段检测）已知函数对任意实数都有，并且当时. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数： (3)，求关于的不等式的解集. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：综合函数的单调性与奇偶性解不等式、抽象函数的单调性与奇偶性综合专项训练 期中培优：综合函数的单调性与奇偶性解不等式、抽象函数的单调性与奇偶性综合专项训练 考点目录 综合函数的单调性与奇偶性解不等式 抽象函数的单调性与奇偶性综合 考点一 综合函数的单调性与奇偶性解不等式 综合函数的单调性与奇偶性解不等式解题技巧 （1）先用奇偶性把不等式两边化为同名 、且位于同一单调区间，再用单调性去掉对应法则 。 （2）偶函数善用 ，把未知量统一为非负，避免分类讨论。 （3）牢记规律：奇函数在对称区间单调性相同，偶函数在对称区间单调性相反。 （4）括号内每个表达式都必须满足定义域，多个条件取交集，防止漏解。 （5）解出后结合具体解析式回代验证，确认结果正确。 例1．（26-27高一上·云南玉溪·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于实数的不等式. 【答案】(1). (2)函数在区间上单调递增，证明如下： 任取， 所以，所以函数在区间上单调递增. (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性以及给定的函数值求参数值. （2）直接利用定义法证明函数的单调性. （3）根据函数的奇偶性和单调性求解不等式. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，且， 所以，解得，所以, 此时,为奇函数，故. （2）函数在区间上单调递增，证明如下： 任取， 因为，， 所以，所以函数在区间上单调递增. （3）因为函数是定义在上的奇函数，且，所以. 实数的不等式等价于， 由（2）可知在区间上单调递增，所以上述不等式等价于，解得或者， 所以实数的不等式的解集为. 例2．（26-27高一上·辽宁大连·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求的解析式； (2)判断在上的单调性（不需要证明）； (3)若实数满足，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)在上为增函数； (3)实数的取值范围是. 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数，故，代入得，即， 又，解得，故. （2）在上单调递增. （3）解不等式，由奇函数性质得， 由定义域要求需满足，，解得， 又在上单调递增， 故，解得， 取交集得实数的取值范围是. 例3．（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求，的值； (2)试判断函数的单调性，并证明你的结论； (3)求使成立的实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)在上单调递增． 证明：设，则 ． 因为，所以，，即； 又，所以，即． 所以在上单调递增． (3)． 【分析】（1）根据奇函数的定义，以及奇函数满足，建立等式计算参数的值； （2）根据单调性的定义证明单调性，利用作差法比较的大小； （3）利用奇函数以及单调性解不等式，需要注意定义域． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 所以，即． 又，所以． 此时，满足，符合题意． （2）略； （3）因为为奇函数，所以． 又在上单调递增，所以，，且， 即，，且， 所以，即实数的取值范围为． 变式1．（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义法证明； (3)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增．证明如下： ，且， 则， 因为， 所以，，，， 所以， 即， 故在上单调递增． (3) 【分析】（1）由求的值，由求的值，再检验即可； （2），且，利用作差法证明即可； （3）根据函数为奇函数且在上单调递增，列出不等式求解即可. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数， 得，解得， 又，解得， 故，． 经检验，是奇函数，满足题意， 所以． （2）略； （3）因为为奇函数，所以， 不等式可化为， 又在上是增函数， 所以 解得， 所以不等式解集为． 变式2．（26-27高一上·甘肃·阶段检测）已知函数为定义在上的偶函数，且当时，． (1)若，求的值； (2)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； (3)解关于的不等式，其中且． 【答案】(1)； (2)函数在上单调递增.证明如下： 任取，则 因，故，，， 则，即在上单调递增. (3)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 【分析】（1）利用偶函数的性质得，根据时的函数解析式，即可求得，从而求出； （2）运用函数的单调性定义证明即可； （3）结合函数的奇偶性与单调性，将函数不等式转化为绝对值不等式，平方后整理为含参数的二次不等式，再根据参数的不同范围分类讨论，求解不等式的解集. 【详解】（1）由为定义在上的偶函数，，得， 当时，，故，所以， ，得或（舍去），所以； （2）略 （3）因是偶函数，且在上单调递增， 故，即得， 两边平方得，整理得， 分解因式，可得， 当时，，不等式化为， 因，故解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，，且，故解集为. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 变式3．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数满足，． (1)求，的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断在上的单调性； (4)求不等式的解集． 【答案】(1)， (2)偶函数 (3)在上单调递增，在上单调递减 (4) 【分析】（1）根据题意列方程组求解即可. （2）根据函数奇偶性的定义判断即可. （3）根据单调性的定义及偶函数的性质判断即可. （4）根据函数的单调性及奇偶性，将不等式化为，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由题意知，解得； （2）由（1）得，，定义域为， 又， 所以为偶函数； （3）任取，则，， 则， 所以在上单调递减， 又为偶函数，所以在上单调递增， 综上，在上单调递增，在上单调递减； （4）由，得. 因为在上单调递减，且为偶函数， 所以，则， 整理得，即，解得或， 故不等式的解集为. 考点二 抽象函数的单调性与奇偶性综合 抽象函数的单调性与奇偶性综合解题技巧 （1）解抽象不等式，先由奇偶性把 化到同一单调区间，再用单调性”脱 “。 （2）注意隐含定义域：括号内的整体表达式必须落在题目给定的定义域内。 （3）求值、证明常用赋值法，如令 、、 等，挖掘隐含条件。 （4）用好 奇函数 、偶函数 等结论。 （5）证明抽象单调性按定义：任取 ，比较 与 ，全程不编造解析式，只依据所给性质推理。 例1．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知定义在上的函数，对任意的都有恒成立，且，当时，，． (1)求和的值． (2)判断在上的单调性并证明． (3)求不等式的解集． 【答案】(1)；； (2)在上单调递减， 证明如下：任取，且， 则， 因为，所以， 又，所以， 即，故在上单调递减； (3). 【分析】（1）令，求出；令，计算可得； （2）利用定义法结合题意判断单调性； （3）令可得，化简不等式利用单调性结合一元二次解法计算求解即可. 【详解】（1）令，则， 因为对于任意的，都有恒成立. 所以； 令，则， 因为，所以； （2）略 （3）因为， 令，则，即， 所以，则， 所以不等式可化为， 由（2）可得，解得， 所以不等式的解集为. 例2．（26-27高一上·山西大同·阶段检测）已知函数满足：对任意实数，均有，并且，，当时有． (1)求； (2)设，证明：对任意实数，都有，并证明在上严格递增； (3)求实数的取值范围，使得对于任意，恒有． 【答案】(1)， (2)由及得， ， ， 即， 在式中取得，即； 再取得，即. 于是，即对任意实数，有， 当时， 故对任意，， 所以，所以在上严格递增 (3) 【分析】（1）令，，代入方程即可求得答案； （2）由已知条件整理化简得到之间的数量关系，取特殊值得到以及的数量关系，然后由定义法证明函数的单调性； （3）根据条件及（2）中结论，化简不等式，由函数的单调性得到新的不等式.构造二次函数，讨论对称轴，然后得到函数的最小值，建立不等式求得的取值范围. 【详解】（1）令，，得，所以 （2）略 （3）原不等式等价于，即， 因为且严格递增，所以只需，即对恒成立， 令，其对称轴为. 当，即时，恒成立； 当，即时，需，得； 当时，与矛盾. 综上，. 例3．（26-27高一上·黑龙江大庆·阶段检测）函数的定义域为，且满足对任意，都有． (1)试判断的奇偶性并证明你的结论； (2)若在上是单调的，且满足，求不等式的解集． 【答案】(1)函数是偶函数. 证明：函数的定义域为，关于原点对称. 因为对任意，都有， 所以令，得； 用替换，得. 所以， 即. 所以函数是偶函数. (2)或或 【分析】（1）利用赋值法，根据奇偶性的定义可得； （2）由题意判断单调性，并结合题意，将不等式转化为，求解可得. 【详解】（1）略 （2）由题意知，，所以. 又在上是单调的，， 所以在上单调递增. 由（1）知，是偶函数，所以在上单调递减. 因为对任意，都有， 所以不等式， 所以， 由，得， 所以， 所以， 解得或. 所以不等式的解集为或或. 变式1．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数，恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)若在上单调递增，求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)证明：因为是定义在非零实数集上的函数， 令，故， 为偶函数； (3)或， 【分析】（1）令以及即可求解， （2）令，即可根据偶函数的定义求解， （3）先得出，根据函数的奇偶性和单调性求解. 【详解】（1）令得：，故， 令得：，故. （2）略 （3）在上单调递增，且为偶函数， 故在上是减函数，由于， 则， 故，且，解得且， 故不等式的解集为或. 变式2．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）定义在上的函数满足，且不恒为0. (1)求和的值； (2)若在上单调递减，求不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用赋值法计算即可； （2）令，证明函数奇偶性，结合函数单调性解不等式. 【详解】（1）令， 所以，故， 令，所以 所以. （2）令，因为，所以，故， 所以是偶函数， 由，， 则， 又是偶函数， 所以上式可转化为， 又在上单调递减， 所以上式可转化为，解得或. 故不等式的解集为. 变式3．（26-27高一上·湖北孝感·阶段检测）已知函数对任意实数都有，并且当时. (1)判断的奇偶性； (2)求证：是上的减函数： (3)，求关于的不等式的解集. 【答案】(1)奇函数 (2)证明：任取，且， 则，， ∴， 又为奇函数，则， ∴，即， ∴是上的减函数. (3) 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为.答案见解析 【分析】（1）根据题设条件，利用特殊值法、奇偶性的定义分析运算即可得解； （2）根据题设条件，利用单调性的定义分析运算即可得证； （3）根据题设条件将不等式转化为一元二次不等式，分类讨论计算即可得解. 【详解】（1）取，则，∴． 取，则， 即对任意恒成立， ∴为奇函数． （2）略； （3）为奇函数，则， 不等式可化为 ， 即， ∵是上的减函数，∴， 即，即， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $