期中培优：一元二次不等式恒成立问题与有解问题3种高频考点专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

期中培优：一元二次不等式恒成立问题与有解问题3种高频考点专项训练 期中培优：一元二次不等式恒成立问题与有解问题3种高频考点专项训练 考点目录 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 一元二次不等式在某区间上有解问题 考点一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 一元二次不等式在实数集上恒成立解题技巧 （1） 对任意 恒成立 且 ；若为 ，则对应 且 。 （2） 恒成立 且 ；若为 ，则对应 且 。 （3）必须先讨论 的退化情形：原式退化为一次不等式或常数不等式，判断是否恒成立，不能直接套判别式。 （4）严格不等号对应 、含等号对应 ，判别式等号的取舍最易出错。 （5）用数形结合理解：即抛物线恒在 轴上方（或下方），开口方向与图像位置同时满足。 例1．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 例2．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知对任意实数，恒有，则实数的最小值是（　　） A． B． C． D． 例3．（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）若命题“对任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 例4．（26-27高一上·广东清远·阶段检测）已知函数． (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 变式1．（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2．（26-27高一上·青海黄南·阶段检测）若不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ______． 变式4．（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）设函数，． (1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 考点二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 一元二次不等式在某区间上恒成立解题技巧 （1）区间上恒成立转化为区间最值问题： 恒成立 ； 恒成立 。 （2）首选分离参数法：把参数单独放在不等号一侧，求另一侧函数在区间上的最值。 （3）对称轴含参数时，按对称轴在区间左侧、内部、右侧分类讨论，确定最值位置。 （4）闭区间上二次函数的最值只可能在顶点或区间端点取得，三处比较，不漏情况。 （5）开区间端点处的最值可能取不到，注意临界值能否取等，必要时用极限思想分析。 例1．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 例2．（26-27高一上·广东江门·阶段检测）已知命题：当时，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例3．（26-27高一上·陕西宝鸡·阶段检测）当时，若恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式1．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 变式2．（26-27高一上·北京通州·阶段检测）若命题：，是假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 变式3．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）若命题P：“存在，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三 一元二次不等式在某区间上有解问题 一元二次不等式在某区间上有解解题技巧 （1）有解（能成立）的转化方向与恒成立相反： 有解 ； 有解 。 （2）“有解”只要求区间内至少存在一个 满足，不要误当成对所有 成立。 （3）分离参数后求函数最值，注意最值取到时，要确认区间内确实存在对应的 。 （4）开区间上最值取不到时，临界参数值要单独判断，防止把“有解”范围扩大。 （5）也可转化为对应方程在区间内有根，结合零点存在定理、根的分布处理。 （6）三类问题对照记忆：恒成立看最不利的最值，有解看最有利的最值，无解（恒不成立）是有解的反面。 例1．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知，则是不等式有解的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 例2．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·福建·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：一元二次不等式恒成立问题与有解问题3种高频考点专项训练 期中培优：一元二次不等式恒成立问题与有解问题3种高频考点专项训练 考点目录 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 一元二次不等式在某区间上有解问题 考点一 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 一元二次不等式在实数集上恒成立解题技巧 （1） 对任意 恒成立 且 ；若为 ，则对应 且 。 （2） 恒成立 且 ；若为 ，则对应 且 。 （3）必须先讨论 的退化情形：原式退化为一次不等式或常数不等式，判断是否恒成立，不能直接套判别式。 （4）严格不等号对应 、含等号对应 ，判别式等号的取舍最易出错。 （5）用数形结合理解：即抛物线恒在 轴上方（或下方），开口方向与图像位置同时满足。 例1．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】当时，则不等式成立， 当时，因为不等式对于恒成立，所以， ，即，， ，解得或（舍去），综上所述. 例2．（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）已知对任意实数，恒有，则实数的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分离参数后，求解的最大值，即可得到实数的最小值是. 【详解】当时，原不等式恒成立. 其余情况，则，则. 当或时，则. 当时，令，则可化为 . 当且仅当时取最大值， 当时，分式的取值小于1，不影响最大值求解. 综上所述，. 例3．（26-27高一上·安徽宿州·阶段检测）若命题“对任意实数使得不等式成立”为假命题，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】原命题为假，则其否定为真，即“存在使”，按的符号分类讨论． 【详解】命题“对任意实数，”为假命题，等价于“存在实数，使”为真命题． 当时，有解，符合； 当时，抛物线开口向下，当充分大时，符合； 当时，抛物线开口向上，需，即，则； 综上可得，即实数的取值范围是 ． 例4．（26-27高一上·广东清远·阶段检测）已知函数． (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）分情况讨论，与时，结合二次函数求解含参不等式恒成立问题； （2）将原不等式因式分解，求出对应方程的两根，根据两根大小关系分类讨论. 【详解】（1） ，恒成立等价于，， 当时，，对一切实数不恒成立， 则，此时必有，即，解得， 所以实数a的取值范围是. （2），，即，即， 令，解得， 当，即时，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 变式1．（26-27高一上·天津北辰·阶段检测）若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次项系数，不等式对一切恒成立可转化为判别式，解不等式即可. 【详解】因为不等式对一切恒成立，二次项系数， 所以，解得. 所以实数的取值范围是. 变式2．（26-27高一上·青海黄南·阶段检测）若不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式中的位置，对其进行分类讨论，利用判别式法求解即可． 【详解】当时，原不等式化为，该不等式对一切实数x恒成立，满足要求； 当时，原不等式为一元二次不等式，若对一切实数x都成立， 需满足该不等式对应的二次函数图象开口向下，且与轴无交点， 即，解得． 综上，实数k的取值范围为． 变式3．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）命题“， ”是假命题，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【详解】命题为假，即存在实数 使 ． 当 时， 不成立，此时原命题为真，不符合； 当 时，需 ，解得 ； 当 时，抛物线开口向下，必存在 使函数值不大于 ，符合． 综上， 或 ，即 ． 变式4．（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）设函数，． (1)若关于的不等式在实数集上恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1) (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；若，解集为；若，解集为． 【详解】（1）当时，恒成立； 当时，则需满足且，解得； 当时，二次函数图象开口向下，不可能恒成立． 综上，实数的取值范围为． （2）由，得，即． 当时，不等式化为，解集为； 当时，该不等式对应的方程的解为或． 当时，，由不等式对应的二次函数图象， 可得不等式的解集为； 当时，需比较与的大小：若，则， 由不等式对应的二次函数图象，可得不等式的解集为； 若，则，不等式化为，解集为； 若，则，由不等式对应的二次函数图象， 可得不等式的解集为． 考点二 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 一元二次不等式在某区间上恒成立解题技巧 （1）区间上恒成立转化为区间最值问题： 恒成立 ； 恒成立 。 （2）首选分离参数法：把参数单独放在不等号一侧，求另一侧函数在区间上的最值。 （3）对称轴含参数时，按对称轴在区间左侧、内部、右侧分类讨论，确定最值位置。 （4）闭区间上二次函数的最值只可能在顶点或区间端点取得，三处比较，不漏情况。 （5）开区间端点处的最值可能取不到，注意临界值能否取等，必要时用极限思想分析。 例1．（26-27高一上·福建泉州·阶段检测）当时，不等式恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，可得，符合题意； 当时，二次函数的对称轴为. 若，则抛物线开口向上，则，解得； 若，抛物线开口向下，则，解得； 综上所述：的取值范围是. 例2．（26-27高一上·广东江门·阶段检测）已知命题：当时，为真命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为命题为真命题，故当时，恒成立， 故当时，恒成立， 设， 其对称轴为，且， 故其最小值为， 故的取值范围为. 例3．（26-27高一上·陕西宝鸡·阶段检测）当时，若恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解二次函数在区间上的最小值，再根据恒成立条件确定的取值范围. 【详解】构造函数，， 对函数配方得：，该函数为开口向上的二次函数，对称轴为直线，且， 当时，取得最小值；当或时，取得最大值，因此在上的值域为， 若对任意恒成立，则需，即， 故实数的取值范围是. 变式1．（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）“，恒成立”的一个充分不必要条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，恒成立，所以， 而在上单调递增，所以，即， 所以题目即变为选择的一个充分不必要条件， 从而选择的选项应该为的真子集，从而C正确. 变式2．（26-27高一上·北京通州·阶段检测）若命题：，是假命题，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知命题是假命题，则其否定为真命题。 由于，化简得， 因为，当且仅当时等号成立， 则，故取值范围为. 变式3．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）若命题P：“存在，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为对任意，都有恒成立，参变分离可得，结合对勾函数的单调性求出最小值即可求解. 【详解】“存在，使得”为假命题， 则对任意，都有恒成立，整理可得， 对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，故，即. 考点三 一元二次不等式在某区间上有解问题 一元二次不等式在某区间上有解解题技巧 （1）有解（能成立）的转化方向与恒成立相反： 有解 ； 有解 。 （2）“有解”只要求区间内至少存在一个 满足，不要误当成对所有 成立。 （3）分离参数后求函数最值，注意最值取到时，要确认区间内确实存在对应的 。 （4）开区间上最值取不到时，临界参数值要单独判断，防止把“有解”范围扩大。 （5）也可转化为对应方程在区间内有根，结合零点存在定理、根的分布处理。 （6）三类问题对照记忆：恒成立看最不利的最值，有解看最有利的最值，无解（恒不成立）是有解的反面。 例1．（26-27高三上·上海静安·阶段检测）已知，则是不等式有解的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．非充分非必要 【答案】A 【分析】由二次函数有解得到判别式大于0即可求得的值，再结合充分必要条件的判定即可求解. 【详解】若不等式有解，则判别式，解得或， 充分性验证:若，则或必然成立，故充分性成立， 必要性验证:若或,取，则不成立，故必要性不成立， 综上，是不等式有解的充分不必要条件. 例2．（25-26高一上·江西吉安·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用基本不等式求得的最小值，存在使成立，即，解不等式即可. 【详解】正实数满足，得 . 当且仅当且，即时，等号成立. 存在使不等式有解，即 ，可解得或，即. 故选：B. 例3．（25-26高一上·江苏南京·期中）若“，”是假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知在R上能成立，分类讨论参数，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，为真命题， 所以在R上能成立， 当，即时，在R上能成立，满足要求， 当，即时，的图象开口向上，满足要求， 当，即时，只需，则， 所以，即， 综上，. 故选：B 变式1．（25-26高一上·云南·期中）若，且不等式有解，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用基本不等式，求得取得最小值，转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】由且 可得， 当且仅当时，即时，取得最小值， 因为不等式有解，可得，即， 解得或，所以实数的取值范围为. 故选：A. 变式2．（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 变式3．（25-26高一上·福建·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，， 则， 因为存在，使得成立， 所以，即，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 2 学科网（北京）股份有限公司 $