专题04 基本不等式十大易错点专项训练-2026-2027学年高一数学上学期人教A版必修第一册

期中易错题专练 会台题通白类系列 期中专题04基本不等式十大易错点 圆易错点梳理 一、 概念辨析、比较大小与证明 对应模块：基本不等式的内容及辨析、由基本不等式比较大小、由基本不等式证明不等关系 0易错点1：忽视“一正”的前提 表现：在利用基本不等式比较大小或证明时，未验证字母的正负。若变量为负或符号未知， 直接套用公式导致错误。 避错策略：使用前必须确认各项为正；若为负数，先提取负号转化为正数再使用；若符号 未知，需分类讨论或改用作差法。 易错点2：证明过程中等号不能同时成立 表现：在证明复杂不等式时，多次使用基本不等式（如口+b+C≥3），各部分取等号的 b c a 条件互相矛盾。 避错策略：连续使用基本不等式，必须保证各次取等的条件完全一致，即等号能在同一个 状态下同时成立。 二、基础最值模型 对应模块：基本不等式求积的最大值、求和的最小值 易错点3：忽视“二定”（未配凑成定值) 表现：未检查“和”或“积”是否为定值，直接对原式使用公式，导致无法消元。 1/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 滩错策陷：零程常考配凑技巧。例如拆项X*1+石+D、添项〈 x4-2x=)·2x4-2x)，通过变形凑出和为定值或积为定值。 易错点4：忽视“三相等”（等号取不到） 表现：通过基本不等式求出最值后，未验证等号成立的条件是否在自变量的定义域内。 避错策略：求出最值后，必须解出等号成立时的x值。若该值不在定义域内，则基本不 等式失效，该“最值”是无效的。 三、进阶最值模型（核心重难点) 对应模块：二次与二次（或一次）的商式的最值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用 求最值、对勾函数求最值 易错点5：分式型最值（二次比一次/二次比二次）未正确变形 表现：对于形如y=X+x+b的式子，直接上下同除导致形式复杂，无法使用基本不等 X+C 式。 避错策略：二次比一次常用“分离常数法”（配凑分子，使其含有分母的因式)；二次比 二次常化为A+B ) 的形式，再结合基本不等式或单调性求解。 0易错点6：“1”的代换漏乘或错配 表现：已知ax+by=m求+d最值时，未能正确构造整体相乘1ax+by9+,或在 X y 展开时漏乘系数。 避错策略：牢记“乘1法”。将已知等式整体乘入所求式，展开后利用基本不等式。注 意：展开后的常数项千万别算错，且必须验证取等条件。 易错点7：混淆基本不等式与对勾函数单调性 2/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 表现：求y=x+a>0在给定区间上的最值时，不判断等号是否能取到，盲目使用基本 不等式。 避错策略：若等号成立的条件(x=√ā)在给定区间内，用基本不等式求最值；若不在区 间内，则基本不等式失效，必须利用对勾函数在该区间上的单调性（通常单调递增或 递减)来求端点值。 0易错点8：条件等式求最值时未明确消元范围 表现：已知+y=1,求y最值，代入消元得y=x1-x,但忽略了x的实际范围 (必须x>0且1-x>0)。 避错策略：利用条件等式消元后，必须标出新变量的隐含取值范围（即保证原来各项均为 正)，再在该范围内求二次函数或基本不等式的最值。 四、恒成立与实际应用 对应模块：基本不等式的恒成立问题、基本不等式的实际应用 易错点9：恒成立问题转化方向错误 表现：遇到“不等式a≤fx恒成立”，没有转化为求fx)的最值，或者将最大最小值 搞反。 避错策略：恒成立问题的核心是“转化为最值”。a≤fx恒成立台a≤fxmin:a≥fx 恒成立~a≥f(x)max。求出最值后，注意端点能否取等。 0易错点10：实际问题忽略自变量的实际意义 表现：建立函数关系后，未标注自变量（如长度、边长）必须大于0，或人数必须为正整 数等实际限制。 避错策略：求出的理论最值，必须核验等号成立时的自变量是否落在这个实际范围内。若 3/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 涉及整数，需在理论最值附近取整验证；若不在范围，需结合单调性求最值。作答时， 必须写清变量的实际定义域。 平易错专练 一、基本不等式的内容及辨析易错题单选题 1.(25-26高一上·上海期中)已知实数ab，,下列四个不等式中正确且能取到等号的是() A.0+≥2 Va2+2+ 1≥2 B a2+2 c.uths nb D.a2+b2≥2ab 2.(25-26高一上·浙江·期中)下列不等式恒成立的是() A.x+1≥2 B.a2+b22-2ab (a+b≥+b C.2 2 D.a+b≥2√ab 3.(25-26高一上安徽阜阳阶段检测)《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题 的重要依据通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示 图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,可以直接通过比较线段 OF CF 与线段的长度完成的无字证明为() 4/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 A.a2+b2≥2ab(a>0,b>0) 日.2生2v6a>06>0 a+b a2+b c.2≤2 -(a>0,b>0) 2ab≤Nab(a>0,b>0) D.a+b 4,(2425高一上·贵州贵阳期中)如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b.过点C 作垂直于4B的弦DE,连接D,BD.可证△MCD-ADCB因GCD=a b.由于CD小于或等于圆的半 径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是() O b B A,如果a>b>0 那么6>v6 B.如果a>b>0,那么a2>b2 C.对Va>0,b>0,都有2 a+也之ab,当且仅当a=b时等号成立 D.对a>0,b>0,都有a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立 二、基本不等式比大小易错题单选题 5.(2425高一上江西吉安期中)已知x>y>0,则下列不等式成立的是() A.x>+>y> 2 B.x>y> 2 C.>>y 2 D.生>g>y 6.(25-26高一上山东枣庄期中)己知a、b∈R*且a≠b,下列各式中最大的是() 5/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 a2+b2 a+b 2ab 2 B.2 C.ab D.a+b atb a2+b2 2ab 7.(2425高一上四川遂宁·期中)已知a>0,b>0,则2，√ab, 2,十b中最大的是 a2+b2 atb 2ab A.V 2 B.√ab C.2 D.atb 8.(25-26高一上·上海·期中)已知a>1,b>0,对任意给定的实数k,则下列不等式正确的是() A.a2hik -abik >abkde B.a2h+k-a≥ak-a C.a2btk-abk<abk ak D.a2+k-at≤a+k-a 9.(2425商-上北京平谷期中)设a=l®号，b=g3-g5,c=e15,则(） 3 A.a<b<c Bb<a<c C.a<c<b D.b<c<a 5 10.(23-24高一上天津南开期中)a=1og23,b=1og,4,c=4的大小关系为() A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.b<c<a 三、求积的最大值易错题单选题 1.(2627育一-上新疆省直锆县级单位期中)若+广=40(x>0>0),则9的最大值为() A10 8.20 c.10W2 D.40 12.(26-27高一上·北京期中)若a>0,b>0,且2a+b=3,则b有() 9 9 A.最大值8 B.最大值3 C.最小值8 D.最小值3 1B.(26-27高三上四川南充阶段检测)若0<x<3,则(4 的最大值为() A.3 B.4 C.5 D.6 14.(25-26高一上·广西桂林期中)已知实数m,n满足m2+n2=8,则mn的最大值为() 6/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 A.1 B.2 C.3 D.4 15.(24-25高一上贵州遵义阶段检测)已知a>0,b>0,点 P(a,b）在一次函数'=-2x+'的图象上 则ab的最大值为() 1 B.4 C.8 1 1 A. D.9 四、和的最小值易错题单选题 11 16.(26-27高一上·广东茂名期中)设m>0,n>0,且m+4n=2,则m+n的最小值为（) B.9 11 C.2 D.4 17.（26-27高一上天津红桥期中)若a心0：b>0,则a b+a 1 +b2的最小值为() A.2 B.4V2 C.2 D.4 18.(26-27高一上全国期中)若a,b>0,且ab=a+b+3,则a+b的最小值为() A.12 B.9 C.6 D.3 19.(26-27高一上天津南开期中)已知x>0,y>0,且2y-y+1=0,则x+y的最小值为() A4 B 5 C.2+22 D.3+2V2 20.(26-27高三上河北保定期中)已知x>0,y>0,且x+y+=5,则x+y的最小值为() A.2v6-2 B.2W5-2 C.2 D.2W3-2 12 21.(25-26高一上~福建三明期中)设实数x满足x>0,函数y=++的最小值为() A.43-1 B.4V3+2 C.4v2+1 D.6 2.(2627高一上山东烟台期中)已知正数，满足*(2y+)-3,则3x+2y的最小值为（) A.3 B.4 C.5 D.6 7/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 23.(26-27高三上江苏阶段检测)己知正实数x,y满足3·27=9，则3x+y的最小值是() A.6 B.8 C.12 D.16 五、1的妙用易错题单选题 2+1-1 24.(26-27高一上云南昆明期中)己知x>0,y>0,且xy,则2x+y的最小值为() A.2 B.3 C.6 D.9 13-1 25.(26-27高一上内蒙古乌海阶段检测)若x>0,y>0,且xy,则3x+y的最小值为( A.6 B.9 C.12 D.16 1,2 26.(26-27高一上河北沧州期中)若a>1'b>1:且2a+b=6,则a-1+6-1的最小值为() 8 10 A,2 B.3 C.3 D.3 1 4 27.(26-27高一上·北京丰台阶段检测)已知实数a≥0，b≥0，满足a+b=3,则a+1b+2的最小值 是() A.月 B.2 C.4 D.9 28.(26-27高三上·陕西渭南阶段检测)已知正实数x,y满足28”=22”，则3x+y的最小值是() A.6 B.8 C.12 D.16 4+1。=1 29.(26-27高三上江西阶段检测)已知x>0,y>0,且x+1x+2y,则2x+y的最小值为() A.2+V5 B3+2V5 C3+V5 D.5+2V5 21 -=1 30.(26-27高三上甘肃阶段检测)己知x>0,y<0,且xy,则2x-y的最小值为() A.2 B.3 C.6 D.9 8/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 1 2 31.(25-26高一上江西南昌期中)已知实数a≥0，b≥0，满足a+2b=4,则a+1+b+2的最小值是 () A. B C.1 D.2 32.(25-26高一上四川广安阶段检测)已知x>0,y>0,且3y+x+3y=3,则x+3y的最小值为( A.1 B.2 C.3 D.4 六、商式最值易错题单选题 m+2m+2 33.(26-27高三上江苏期中)设m为非负实数，则m+1的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.4 x2-5x+7 34.(24-25高一上·贵州黔西南阶段检测)已知x>2,则x-2的最小值为() A.1 B.2 C.4 D.2+2√2 ,3x2-5x+5 35.(25-26高一上河北承德期末)已知x>1?则x-1的最小值为（） A.4 B.5 C.6 D.7 x2+y 36.(23-24高一下·重庆沙坪坝阶段检测)已知正数x,y满足x+2y=1,则y的最小值为() 1 1 A.2W2 B.2W2 C.22+1 D.2W2+1 3a+2b 37.(23-24高一上~湖北期中)关于x的方程x2-+b-1=0有两个相等的正根，则a+b（） 11 5 ,11 5 A.有最大值5 B.有最大值2 C.有最小值5 D.有最小值2 七、恒成立问题易错题单选题 38.(26-27高一上全国期中)已知m>0,n>0,且m+3n=2.若关于m,n的不等式 9/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 3m2+4m+12n≥22mn+5n2 恒成立，则实数的取值范围为() A.（∞，35+4B.（o,35+6] c.（0,v65+4 D.（∞，v65+6 1 +1之m 39.(26-27高一上·天津红桥期中)设a>b>c且a-b+6-c之a-c,则实数m的取值范围是（) A.[4,+oo) B.（-∞，2V21 c.[2v2,+∞ D.（-∞，4] 0,（2627商一上贵州铜阶段检测)若对于任意的K,都有x+一 +x一之a,则实数。的取值范围 是() A（∞，2] B.[2,to) C.3,+0) D.（,3] 41,(26-27高一上·全国期中)若正实数x:y满足x+y=2,且不等式x+y 1+4≥a恒成立，则实数a 的取值范围是() Aas号 9 9 B.a≥ 9 2 C.a2 D.a2 1.4 +4=2 42.(25-26高一上·陕西西安期末)己知实数七y>0,xy,且x+y之2m-1恒成立，则实数m的 取值范围为() B c. D. 1.3 43.(25.26高一上广东深圳期中)已知a>0,b>0,。+方l,若不等式a+36≥-6恒成立，则实 数t的取值范围是() A.[-2,8) B.（2,8) c.（-w,-2U(8,+w) D.（0,-2]U[8,+o) 八、基本不等式使用条件的严谨性易错题多选题 10/15 期中易错题专练 会台题通台类系列！ 44.(26-27高三上甘肃吉林·期中)下列命题正确的是() x+≥2 A若x≠0，则x =Vx2+2+ 1 B.函数 √x2+2的最小值为2 C.函数y=24-2 的最小值为] D.若交数a:6满足b0:+1,则时+存≥9 45.(26-27高一上·云南昆明期中)下列结论正确的是（) 4 A.若xeER且x0则+x之4 B.若0<x<10,则V0-的最大值是5 C.若x>0,则r+F的最小值是2 D.若x>2,则x+x-2的最小值为4 46.(25-26高二下山东泰安·期末)下列选项正确的是() A.老正实数，y满起y1则灯5号 B.若x∈R,则r+3+2+2的最小值为3 9 C.若正实数x,y满足x+2y=3,则(x+10+)的最大值为2 nx+y+15=1+9 D.若正数x,y满足 xy,且x+y≤1，则x,y均为定值 九、基本不等式证明不等关系易错题解答题 47.(2627高一上四川成都期中)4比较x+3x+4)和x+x+6)的大小， a2.b2 ≥a+b (2)己知a,b>0,证明：ba 11/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 a2,b2 48.(26-27高一上云南曲靖阶段检测)(1)己知a>0,b>0,求证：ba ≥a+b (2)已知a>0,b>0,a十b=ab.求证： （+s (2a-1)x- 49.(25-26高二上江西期中)(1)若 1<a<2,解关于x的不等式3x+1 ->0 d+b2ab (2)已知a,b∈(0，+），证明：a+b 12/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 50.(25-26高一上·山西朔州阶段检测)已知a,b,c均为正数且a+b+c=1,求证： (1)ab+bc+cas 3; a1-a01-b0-c≥8abc 十、基本不等式实际应用易错题解答题 51.(26-27高一上陕西西安·期中)如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为32，它的左、 右两边都留有宽为2的空白，上、下两边都留有宽为1的空白.记纸张的面积为S，排版矩形的长和 宽分别为x,y. 13/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 (1)用x表示S: (②)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小？并求最小面积. 52.(26-27高一上·江苏连云港阶段检测)某单位建造一间地面面积为48m的背面靠墙的长方体房屋， 房屋正面的造价为1200元/m2,房屋侧面的造价为800元/m2,房顶的造价为8800元，如果墙高为3m, 且不计房屋背面及地面的费用，设房屋的长为(m） (I)设房屋总造价为w元，请写出w与x之间的函数关系式： (2)怎样设计房屋才能使总造价最低，最低总造价是多少？ 14/15 期中易错题专练 会台题通白类系列 53.(26-27高一上·云南昆明·期中)某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100 万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲 10Wa-1+45(10≤a≤27)） P= 1600 产品的利润p’乙产品的利润g与研发投入。（单位：万元）分别满足 a+1 +130(27<a≤90)， 2=a+35(10≤a≤90) 设甲产品的投入为*《单位：万元)，两种产品的总利润为儿)（单位：万元）. 求f的表达式， (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大总利润是多少万元？ 15/15 期中专题04 基本不等式十大易错点 易错点梳理 一、 概念辨析、比较大小与证明 对应模块：基本不等式的内容及辨析、由基本不等式比较大小、由基本不等式证明不等关系 🔥 易错点 1：忽视“一正”的前提 表现：在利用基本不等式比较大小或证明时，未验证字母的正负。若变量为负或符号未知，直接套用公式导致错误。 避错策略：使用前必须确认各项为正；若为负数，先提取负号转化为正数再使用；若符号未知，需分类讨论或改用作差法。 🔥 易错点 2：证明过程中等号不能同时成立 表现：在证明复杂不等式时，多次使用基本不等式（如 ），各部分取等号的条件互相矛盾。 避错策略：连续使用基本不等式，必须保证各次取等的条件完全一致，即等号能在同一个状态下同时成立。 二、 基础最值模型 对应模块：基本不等式求积的最大值、求和的最小值 🔥 易错点 3：忽视“二定”（未配凑成定值） 表现：未检查“和”或“积”是否为定值，直接对原式使用公式，导致无法消元。 避错策略：掌握常考配凑技巧。例如拆项（）、添项（），通过变形凑出和为定值或积为定值。 🔥 易错点 4：忽视“三相等”（等号取不到） 表现：通过基本不等式求出最值后，未验证等号成立的条件是否在自变量的定义域内。 避错策略：求出最值后，必须解出等号成立时的 值。若该值不在定义域内，则基本不等式失效，该“最值”是无效的。 三、 进阶最值模型（核心重难点） 对应模块：二次与二次（或一次）的商式的最值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值、对勾函数求最值 🔥 易错点 5：分式型最值（二次比一次 / 二次比二次）未正确变形 表现：对于形如 的式子，直接上下同除导致形式复杂，无法使用基本不等式。 避错策略：二次比一次常用“分离常数法”（配凑分子，使其含有分母的因式）；二次比二次常化为 的形式，再结合基本不等式或单调性求解。 🔥 易错点 6：“1”的代换漏乘或错配 表现：已知 求 最值时，未能正确构造整体相乘 ，或在展开时漏乘系数。 避错策略：牢记“乘 1 法”。将已知等式整体乘入所求式，展开后利用基本不等式。注意：展开后的常数项千万别算错，且必须验证取等条件。 🔥 易错点 7：混淆基本不等式与对勾函数单调性 表现：求 在给定区间上的最值时，不判断等号是否能取到，盲目使用基本不等式。 避错策略：若等号成立的条件（）在给定区间内，用基本不等式求最值；若不在区间内，则基本不等式失效，必须利用对勾函数在该区间上的单调性（通常单调递增或递减）来求端点值。 🔥 易错点 8：条件等式求最值时未明确消元范围 表现：已知 ，求 最值，代入消元得 ，但忽略了 的实际范围（必须 且 ）。 避错策略：利用条件等式消元后，必须标出新变量的隐含取值范围（即保证原来各项均为正），再在该范围内求二次函数或基本不等式的最值。 四、 恒成立与实际应用 对应模块：基本不等式的恒成立问题、基本不等式的实际应用 🔥 易错点 9：恒成立问题转化方向错误 表现：遇到“不等式 恒成立”，没有转化为求 的最值，或者将最大最小值搞反。 避错策略：恒成立问题的核心是“转化为最值”。 恒成立 ； 恒成立 。求出最值后，注意端点能否取等。 🔥 易错点 10：实际问题忽略自变量的实际意义 表现：建立函数关系后，未标注自变量（如长度、边长）必须大于 0，或人数必须为正整数等实际限制。 避错策略：求出的理论最值，必须核验等号成立时的自变量是否落在这个实际范围内。若涉及整数，需在理论最值附近取整验证；若不在范围，需结合单调性求最值。作答时，必须写清变量的实际定义域。 易错专练 一、基本不等式的内容及辨析易错题单选题 1．（25-26高一上·上海·期中）已知实数，下列四个不等式中正确且能取到等号的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】举例说明判断AC；利用基本不等式等号成立的条件判断B；作差判断D. 【详解】对于A，取，则，A错误； 对于B，，当且仅当， 即时取等号，而，因此等号不能取到，B错误； 对于C，取，则，C错误； 对于D，，则，D正确. 故选：D 2．（25-26高一上·浙江·期中）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案. 【详解】当时，不等式显然不成立，故选项A错误； 因为，故选项B正确； ，不等式显然不成立，故选项C错误； 不等式成立的条件为，，故选项D错误. 故选：B. 3．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 4．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）如图，是圆的直径，点是上一点，．过点作垂直于的弦，连接．可证，因而．由于小于或等于圆的半径，我们教材中利用该图作为一个说法的几何解释，这个说法正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．对，都有，当且仅当时等号成立 D．对，都有，当且仅当时等号成立 【答案】C 【分析】根据题意，结合小于或等于圆的半径求解即可. 【详解】由题意，由于小于或等于圆的半径，是圆的直径， 且，， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 二、基本不等式比大小易错题单选题 5．（24-25高一上·江西吉安·期中）已知，则下列不等式成立的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合基本不等式，利用不等式的性质比较大小即可得解. 【详解】由于，则. 故选：C. 6．（25-26高一上·山东枣庄·期中）已知、且，下列各式中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】由重要不等式可得，当且仅当时等号成立，即， 但，则， 因为，则，即， 故，当且仅当时等号成立， 但，则， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 但，则， 故这四个数中，最大的为. 故选：A. 7．（24-25高一上·四川遂宁·期中）已知，，则，， ，中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式，先比较与，然后比较与，再比较与，由此确定出正确选项. 【详解】因为，所以，， ，当且仅当时，等号成立， 则. 故选：A. 8．（25-26高一上·上海·期中）已知，对任意给定的实数，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】因为，所以， 由基本不等式得：， 又因为，所以，所以， 所以不等式取不到等号，故， 所以. 故选：A 9．（24-25高一上·北京平谷·期中）设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数的性质、对数的运算法则及基本不等式判断即可. 【详解】因为， ， 又，，所以， ， 且，所以， 所以. 故选：A. 10．（23-24高一上·天津南开·期中）的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由对数性质及基本不等式比较各数的大小. 【详解】由， 由，即，故， 综上，. 故选：A 三、求积的最大值易错题单选题 11．（26-27高一上·新疆省直辖县级单位·期中）若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 代入得，整理得， 当时，代入得，解得，满足， 故的最大值为. 12．（26-27高一上·北京·期中）若，，且，则有（    ） A．最大值 B．最大值3 C．最小值 D．最小值3 【答案】A 【详解】由基本不等式可知， 即，∴，当且仅当时取等号. 所以有最大值. 13．（26-27高三上·四川南充·阶段检测）若，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由题设，则，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 14．（25-26高一上·广西桂林·期中）已知实数满足，则的最大值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据基本不等式，由题中条件，即可得出结果. 【详解】因为，又， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以 故选：D 15．（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测）已知，，点在一次函数的图象上，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在一次函数的图象上，得到与的关系，然后利用基本不等式求解. 【详解】∵点在一次函数的图象上， ∴，即， ∵，∴根据基本不等式有， ∴，当且仅当时取“”， ∴的最大值为. 故选：C 四、和的最小值易错题单选题 16．（26-27高一上·广东茂名·期中）设，，且，则的最小值为（   ） A． B．9 C． D．4 【答案】A 【分析】利用常值代换结合基本不等式，求解给定约束下目标式的最小值. 【详解】由，，，得， 所以， 由基本不等式，得 ，当且仅当，结合，即，时取等号， 所以 ，因此的最小值为. 17．（26-27高一上·天津红桥·期中）若 ，，则 的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察代数式的结构，通过“分组”或“拆分项”的方法，构造出积为定值的形式，从而利用基本不等式进行求解． 【详解】已知，， ， 当且仅当，即时取等号， 所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时取等号， 综上，当时，取得最小值． 18．（26-27高一上·全国·期中）若，且，则的最小值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】利用均值不等式将放缩为关于的表达式，代入条件后换元转化为二次不等式求解，即可得到的最小值. 【详解】因为，所以，即， 令，得， 解得（不符合题意舍去）或， 所以，当且仅当时等号成立，即的最小值为. 19．（26-27高一上·天津南开·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由等式消元，然后由基本不等式求得最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当时取得最小值. 20．（26-27高三上·河北保定·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 故，故（负解舍去）， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为. 21．（25-26高一上·福建三明·期中）设实数满足，函数的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. 22．（26-27高一上·山东烟台·期中）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】利用配凑法，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】， 因为， 所以 当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 23．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值是（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【详解】由，有，所以，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8． 五、1的妙用易错题单选题 24．（26-27高一上·云南昆明·期中）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【详解】由基本不等式可得， 当时等号成立，因此的最小值为9． 25．（26-27高一上·内蒙古乌海·阶段检测）若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用“乘 1 法”把 化为 ，再用基本不等式求解即可． 【详解】因为 ，，且 ， 所以． 当且仅当 ，即 时取等号，即 ，，等号成立． 故 的最小值为 ． 26．（26-27高一上·河北沧州·期中）若，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等价变形为，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，，， 所以，， 又因为 ， 当且仅当，即时，等号成立. 27．（26-27高一上·北京丰台·阶段检测）已知实数，，满足，则的最小值是（   ） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【分析】应用基本不等式结合常值代换计算求解最值即可. 【详解】由可得， 因此， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值是. 28．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值是（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】由指数运算性质得出，然后利用“1”的代换构造基本不等式，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以，即， 所以， 所以， 当且仅当即时取等号， 所以的最小值是. 29．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，将问题转化为已知，求的最值问题，再结合基本不等式求解即可. 【详解】令，则，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 30．（26-27高三上·甘肃·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【分析】通过对已知等式中的“1”进行整体代换，结合基本不等式求解目标式的最小值. 【详解】由，则 ， 由可得，，根据基本不等式可得， 当且仅当，即， 又得，代入，解得时等号成立， 因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为9. 31．（25-26高一上·江西南昌·期中）已知实数，，满足，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 32．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）已知，且，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式求解即可. 【详解】由于，所以，即, 所以，解得：或， ，则的最小值为2. 六、商式最值易错题单选题 33．（26-27高三上·江苏·期中）设为非负实数，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】， 因为为非负实数，所以，， 由基本不等式可得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 34．（24-25高一上·贵州黔西南·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【详解】，， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，的最小值为1． 35．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 36．（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 37．（23-24高一上·湖北·期中）关于的方程有两个相等的正根，则（    ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【分析】依题意可得，则，再利用基本不等式计算可得. 【详解】因关于的方程有两个相等的正根， 所以，所以. ， 当且仅当时取等号，所以有最大值. 故选：B. 七、恒成立问题易错题单选题 38．（26-27高一上·全国·期中）已知，，且若关于，的不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先对不等式进行变形，然后利用已知条件，将其转化为关于的不等式，再通过均值不等式求函数的最值来确定实数的取值范围. 【分析】令，则代入得， 将代入原不等式，得， 两边同时除以，得， 把代入，得， 即， 由均值不等式可得，，当且仅当，即时等号成立，， 恒成立， 故实数的取值范围为. 39．（26-27高一上·天津红桥·期中）设 ，且 ，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将变形成等价的形式，再利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，可知，，， ，两边同乘，可得， 即， ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 即. 40．（26-27高一上·贵州铜仁·阶段检测）若对于任意的 ，都有 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将左侧表达式变形后利用基本不等式可求出其最值，即得答案. 【详解】由题意可知，对任意，恒成立， 因此小于等于函数在区间上的最小值， 因为，所以， 则， 根据基本不等式得： ， 等号成立当且仅当，解得， 因此 ，即在上的最小值为3， 故，即的取值范围是. 41．（26-27高一上·全国·期中）若正实数 ，满足 ，且不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C．< D．> 【答案】A 【详解】由得,于是. 因为,,所以,. 由基本不等式得,当且仅当,即时取等号. 结合解得,,说明等号可以取到. 于是的最小值为,不等式恒成立等价于. 42．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知实数，，且恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据基本不等式求出的最小值，再结合条件求出参数的取值范围； 【详解】变形为， 则， 由均值不等式，，故， 当即，时代入原方程，解得时等号成立 因为恒成立，所以，解得. 故选：A. 43．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知，，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，结合题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】因为，，， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为恒成立，故，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 八、基本不等式使用条件的严谨性易错题多选题 44．（26-27高三上·甘肃吉林·期中）下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．函数的最小值为2 C．函数的最小值为 D．若实数，满足，，则 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则由对勾函数性质可知的值域为， 因此可得，即A正确； 对于B，易知，令， 再由对勾函数在上单调递增， 所以，即函数的最小值为，即B错误； 对于C,令，则函数可表示为， 显然函数在处取得最小值，即， 所以函数的最小值为，即C正确； 对于D，若实数，满足，，可得； 则, 当且仅当时，即时，等号成立，即D正确. 45．（26-27高一上·云南昆明·期中）下列结论正确的是（    ） A．若且，则 B．若，则的最大值是 C．若，则的最小值是 D．若，则的最小值为 【答案】BD 【分析】对于ABC，直接由基本不等式验证即可，但一定要注意取等条件是否成立；对于D，对所求式子进行适当变形再利用基本不等式验证，同样要注意取等条件是否成立． 【详解】选项A：当时，与均为负数，此时，显然不满足，因此A错误； 对于B，当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对于C，因为不是定值，因此的最小值不是，故C错误； 对于D，当时，由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，故D正确． 46．（25-26高二下·山东泰安·期末）下列选项正确的是（   ） A．若正实数，满足，则 B．若，则的最小值为3 C．若正实数，满足，则的最大值为 D．若正数，满足，且，则，均为定值 【答案】ACD 【分析】使用基本不等式求解. 【详解】由得，当且仅当时取等号，选项A正确； 令，，则，当且仅当， 即时取等号，因为，故的最小值不是3，选项B错误； 由，得，则， 当时，取最大值为，选项C正确； 因为正数，满足，则， 当且仅当，即①时取等号， 因为，所以，即， 又因为，所以②， 由①②得，，即，均为定值，选项D正确. 九、基本不等式证明不等关系易错题解答题 47．（26-27高一上·四川成都·期中）（1）比较和的大小； （2）已知，，证明：． 【答案】（1）； （2）由题意知：，，故，， 两不等式均当且仅当时取等号， 故，即得. 【分析】（1）利用作差法即可得证； （2）利用基本不等式即可得证. 【详解】（1）由题意得： ， 所以； （2）略. 48．（26-27高一上·云南曲靖·阶段检测）（1）已知，求证：； （2）已知，．求证：． 【答案】（1）见详解； （2）见详解. 【分析】（1）先观察待证不等式的结构，已知，满足基本不等式的使用条件；然后对 ， 分别配凑常数项和，构造出可以运用基本不等式的形式；再写出两个不等式并将它们相加；最后通过移项整理，得到所要证明的结论，并验证等号成立的条件； （2）先对已知条件变形，将等式两边同时除以，得到两个数的倒数之和等于1；再展开需要证明的代数式，代入倒数和的关系进行化简，把证明问题转化为求的取值范围；接着利用基本不等式得到大于等于4，依据正数范围内分式的变化规律，推出的倒数不大于四分之一，最后完成不等式证明并确定等号成立的条件. 【详解】（1）因为，由基本不等式可得： ，， 将两式相加得：， 两边同时减去 得：， 当且仅当时等号成立，原不等式得证. （2）∵，等式两边同除以：， 则， 由基本不等式：， ，，当且仅当 ，即 时取等号， ，， ， 当且仅当 时，等号成立. 49．（25-26高二上·江西·期中）（1）若，解关于的不等式； （2）已知，，证明：． 【答案】 （1）， （2）证明：， 由于，，故，当且仅当时取到等号， 故，故，进而， 因此， 故，当且仅当时取到等号. 【分析】（1）根据，且，将不等式变形为，即可求解， （2）利用基本不等式以及不等式的性质即可求解. 【详解】（1）由于，故，且， 故不等式等价于，解得， 故不等式的解为， （2）略 50．（25-26高一上·山西朔州·阶段检测）已知均为正数且，求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 由，得 ， 当且仅当时取等号，所以. (2) 由均为正数且，得，当且仅当时取等号； ，当且仅当时取等号；，当且仅当时取等号， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 【分析】（1）根据给定条件，利用作差法，结合平方数为非负数推理得证. （2）根据给定条件，利用基本不等式，结合不等式的性质推理得证. 【详解】（1）略 （2）略 十、基本不等式实际应用易错题解答题 51．（26-27高一上·陕西西安·期中）如图，一份印刷品的排版（阴影部分）为矩形，面积为 ，它的左、右两边都留有宽为 的空白，上、下两边都留有宽为 的空白．记纸张的面积为 ，排版矩形的长和宽分别为 ，． (1)用 表示 ； (2)如何选择纸张的尺寸，才能使纸张的面积最小？并求最小面积． 【答案】(1) (2)排版矩形的长、宽分别为、，纸张尺寸为时纸张面积最小，最小面积为 【分析】(1)分别求出长宽即可表示； (2)由基本不等式即可得. 【详解】（1）由题意，即 纸张的长、宽分别为，，所以 即 （） （2）因为，所以 当且仅当，即 时取等号，此时 所以排版矩形的长、宽分别为、，纸张尺寸为时纸张面积最小，最小面积为 52．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）某单位建造一间地面面积为的背面靠墙的长方体房屋，房屋正面的造价为元，房屋侧面的造价为元，房顶的造价为元，如果墙高为，且不计房屋背面及地面的费用，设房屋的长为. (1)设房屋总造价为元，请写出与之间的函数关系式； (2)怎样设计房屋才能使总造价最低，最低总造价是多少? 【答案】(1)，其中 (2)当房屋正面长为、侧面宽为时总造价最低，最低总造价为元 【分析】（1）求出房屋的宽，再结合题意可得出与之间的函数关系式以及的取值范围； （2）利用基本不等式可求得的最小值，利用等号成立求出的值，即可得出结论. 【详解】（1）因为房屋的地面面积为，其中房屋的长为，则房屋的宽为， 由题意可知，其中. （2）由基本不等式得 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以房屋正面长为、侧面宽为时总造价最低，最低总造价为元. 53．（26-27高一上·云南昆明·期中）某AI公司为提高经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发，每种产品至少要投入10万元，对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润，乙产品的利润与研发投入（单位：万元）分别满足，，设甲产品的投入为（单位：万元），两种产品的总利润为（单位：万元）． (1)求的表达式； (2)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大，最大总利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)甲投入26万元，乙投入74万元时，才能使总利润最大，最大总利润是204万元 【分析】（1）根据题意，分情况列出关系式，写成分段函数形式即可； （2）分情况求出各段的最大值，利用换元法结合二次函数的性质、基本不等式计算最值并比较即可. 【详解】（1）甲产品的投入为（单位：万元），则乙产品的投入为（单位：万元）， 则乙产品的利润 当时，， 所以， 当时，， 所以， 综上所述，. （2）当时，令，则，， 则， 当时，函数有最大值， 即当时，函数有最大值． 当时， ， 当且仅当，即时等号成立 因为． 所以当甲投入26万元，乙投入74万元时，才能使总利润最大，最大总利润是204万元. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $