精品解析：黑龙江哈尔滨市第四十七中学2026-2027学年上学期九年级数学学科期中考试卷

2026-2027学年度（上）期中“青春进阶　学力展示” 数学学科 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 在，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 2. 2026年我省第一季度工业用电量521.6亿千瓦时，其中521.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，弦于点E，若，则弦的长是（　　） A. B. C. 6 D. 8 6. 方程的解为（ ）. A. B. C. D. 7. 如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 8. 熊熊同学在针孔成像问题中，根据图中的尺寸可知像的长是物长的（ ） A. 3倍 B. 倍 C. 倍 D. 不知的长度，无法计算 9. 如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　） A. B. 2 C. D. 2 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是________． 12. 计算2的结果为____． 13. 分解因式∶________． 14. 是方程的根，则代数式的值是_______． 15. 不等式组的解集是______ ． 16. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为________． 17. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……．按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是______． 18. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____． 19. 如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．若点落在矩形内部时，当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_______度． 20. 如图，在正方形中，，点，分别是，上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到，交于点，对角线交于点，连接，，，，以下结论①；②；③当点运动到的中点，；④连接，则的最小值为，正确的序号_______． 三、解答题：（21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形四个顶点都是格点，点是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）如图（1），点是延长线上的格点，先画一格点使四边形为平行四边形，再画中点． （2）如图（2），点是上一点，在上找一点，使得． 23. 国家卫生健康委员会宣布将年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．中学响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）通过计算请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为________度； （4）若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 24. 综合与实践：折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习． 实践操作：如图1，马藤同学将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内的点处，和相交于点，连接． 解决问题： （1）在图1中，求证：； （2）子宸同学将图1中的矩形变为平行四边形（），如图2，若，，当的长度为多少时，恰好为直角三角形．请直接写出的长． 25. 子慕学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知小白体育用品商店排球的单价为元/个，篮球、足球的价格相关信息如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为元 ②购买个足球的价格比购买一个篮球多花费元 ③购买个篮球与购买个足球花费相同 （1）请你从上述个条件中任选个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校排球已有，只需要购买篮球、足球共个，且足球的个数不超过篮球个数的倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少元？ 26. 内接于，，的平分线交于． （1）求证：弧弧 （2）当经过圆心时，求证： （3）在（2）的条件下，将沿翻折得交于点，交延长线于点，若，，求的长． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，且． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，直线交轴于点，交轴于点，且，动点在线段上，过点作轴交直线于点，设的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，点落在射线上时，过点作交轴负半轴于点，点在线段上，连接，点在线段上，连接，，，当，，，求直线的解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度（上）期中“青春进阶　学力展示” 数学学科 一、选择题：（每小题3分，共计30分） 1. 在，0，2，5这四个数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. 2 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】解题思路为：依据有理数大小比较规则，即负数小于，小于正数，来比较这四个数的大小，找出最小数 ．本题主要考查了有理数的大小比较，熟练掌握“负数小于，小于正数”的大小比较规则是解题的关键． 【详解】解：有理数大小比较规则：负数正数． 对于、、、这四个数， 是负数，是零，、是正数， ， 即最小的数是． 故选：． 2. 2026年我省第一季度工业用电量521.6亿千瓦时，其中521.6亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数． 【详解】解：亿． 3. 中国古算诗词歌赋较多．古算诗词题，是反映数学数量关系的内在联系及其规律的一种文学浪漫形式．下列分别是古算诗词题“圆中方形”“方形圆径”“圆材藏壁”“勾股容圆”所描绘的图形，其中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，符合题意． 4. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面看得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． ∴它的左视图是： 故选：C． 5. 如图，是的直径，弦于点E，若，则弦的长是（　　） A. B. C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理计算即可． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键． 6. 方程的解为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： ， ∴， ∴； 将检验是方程的根， ∴方程的解为； 故选C． 【点睛】本题主要考查了分式方程及其解法，解分式方程的步骤为：去分母，化为整式方程；移项、合并同类项；系数化为1；检验；结论，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键. 7. 如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案. 【详解】∵， ∴∠APO=70°， ∵， ∴∠AOP=90°，∴∠A=20°， 又∵OA=OB， ∴∠ABO=20°， 又∵点C在过点B的切线上， ∴∠OBC=90°， ∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°， 故答案为：B. 【点睛】本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键. 8. 熊熊同学在针孔成像问题中，根据图中的尺寸可知像的长是物长的（ ） A. 3倍 B. 倍 C. 倍 D. 不知的长度，无法计算 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形对应高的比等于相似比，建立像长与物长的比例关系求解． 【详解】设针孔位置为点，物体到点的距离为，像′到点的距离为由图可知，， 针孔成像原理基于相似三角形性质，对应边之比等于对应高之比， ， ． 9. 如图，直线，点，分别在直线，上，连接，以点为圆心，适当长为半径画弧．交射线于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，熟练掌握角平分线的作法和平行线的性质是解题的关键．由作图可知，结合，求出，再利用平行线的性质即可求解， 【详解】解：由作图可知， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 10. 如图1，点F从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，△FBC的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则a的值为（　　） A. B. 2 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】通过分析图象，点F从点A到D用as，此时，△FBC的面积为a，依此可求菱形的高DE，再由图象可知，BD=，应用两次勾股定理分别求BE和a． 【详解】过点D作DE⊥BC于点E . 由图象可知，点F由点A到点D用时为as，△FBC的面积为acm2．. ∴AD=a. ∴DE•AD＝a. ∴DE=2. 当点F从D到B时，用s. ∴BD=. Rt△DBE中， BE=， ∵四边形ABCD是菱形， ∴EC=a-1，DC=a， Rt△DEC中， a2=22+（a-1）2. 解得a=. 故选C． 【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系． 二、填空题：（每小题3分，共计30分） 11. 函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，列出不等式进行计算即可． 【详解】解：函数有意义的条件是：， 解得：． 12. 计算2的结果为____． 【答案】． 【解析】 【分析】先将二次根式分母有理化、化为最简二次根式，再进行二次根式的加减法计算． 【详解】原式=2×+2=3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次根式的化简、二次根式分母有理化、二次根式加减混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 13. 分解因式∶________． 【答案】 【解析】 【分析】原式提取公因式4b，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： = =． 故答案为：． 【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14. 是方程的根，则代数式的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入已知方程，推导得到的整体值，再代入所求代数式完成计算． 【详解】解：∵是方程的根 ∴把代入方程可得． ∴． ∵代数式可变形为． ∴将代入变形后的代数式，得． 15. 不等式组的解集是______ ． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： 不等式组的解集是： 故答案为： 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，正确的计算是解题的关键． 16. 中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为，曲线终点为，过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，求弧长，根据题意得出，将已知数据代入弧长公式，即可求解． 【详解】解：∵过点，的两条切线相交于点，列车在从到行驶的过程中转角为． ∴， ∴， ∴圆曲线的长为 故答案为：． 17. 用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……．按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是______． 【答案】44 【解析】 【分析】本题主要考查了图形变化规律探究．根据图形，数出木棍数，数形结合找到规律是解决问题的关键． 根据前几个图形，发现每一个图形的木棍数都等于4加上图形位置序数的5的倍数，据此规律求解即可． 【详解】解：由图可知： 第1个图案用木棍，（根， 第2个图案用木棍，（根， 第3个图案用木棍（根， 第4个图案用木棍，（根， …… 第个图案用的木棍根数是，； 当时，． 故答案为：44． 18. 对于实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=a2﹣ab，例如，5※3=52﹣5×3=10．若（x+1）※（x﹣2）=6，则x的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据新定义运算对式子进行变形得到关于x的方程，解方程即可得解. 【详解】由题意得，（x+1）2﹣（x+1）（x﹣2）=6， 整理得，3x+3=6， 解得，x=1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了解方程，涉及完全平方公式、多项式乘法的运算等，根据题意正确得到方程是解题的关键． 19. 如图，在矩形纸片中，沿着点折叠纸片并展开，的对应边为，折痕与边交于点．若点落在矩形内部时，当与，中任意一边的夹角为时，的度数可以是_______度． 【答案】或 【解析】 【分析】折叠后与关于折痕对称，于是、；先由与或的夹角为分两种情况定出，再在等腰中求底角，最后换算出． 【详解】解：∵沿折叠后的对应边为， ∴，且平分． ∵点在矩形内部，与、中任意一边的夹角为， ∴分两种情况． ①若与的夹角为，即， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵、、在同一直线上， ∴． ②若与的夹角为，即， 则． ∵且， ∴． ∴． ∵且， ∴． ∴． ∴的度数可以是或． 20. 如图，在正方形中，，点，分别是，上的动点，且，垂足为，将沿翻折，得到，交于点，对角线交于点，连接，，，，以下结论①；②；③当点运动到的中点，；④连接，则的最小值为，正确的序号_______． 【答案】①④ 【解析】 【分析】①由翻折性质得垂直平分，结合，可证，结论正确；②经角度推导，仅在特定角度成立，动点条件下不恒成立，结论错误；③E为中点时，通过相似计算得，结论错误；④由得点G在以为直径的圆上，由点圆最值得最小值为，结论正确． 【详解】解：将沿翻折得到， ， 垂直平分， ， ， ，故①正确； 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 若，则， 又， ， ∴， 点E是动点，不一定等于， 不一定等于，故②错误； 当点E运动到的中点，如图， 由题意得，在正方形中，，， ∴， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，故③错误； ， ， 点G在以为直径的圆上 设的中点为O，则O为圆心，半径， 连接，交圆于点，此时最小，如图： 在中，， ， 的最小值为，故④正确， 综上所述，正确的结论是①④． 三、解答题：（21题、22题每题7分，23、24题每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再根据特殊角三角函数值求得的值，代入计算可得． 【详解】 ， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及特殊角三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 22. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，正方形四个顶点都是格点，点是上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）如图（1），点是延长线上的格点，先画一格点使四边形为平行四边形，再画中点． （2）如图（2），点是上一点，在上找一点，使得． 【答案】（1）如下图，四边形，点，即为所求； （2）如下图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等”，即，且，找到点F，由平行四边形“对角线互相平分”的性质，连接，交于点H，即为所求； （2）连接，交于点，连接，结合正方形的性质证明，由全等三角形的性质可得，由“对顶角相等”可知，进而证明． 【小问1详解】 解：取格点F，使得，且，图略， ∴四边形为平行四边形， 连接，交于点H， 根据平行四边形“对角线相互平分”的性质， 可得点H为中点； 【小问2详解】 解：连接，交于点，连接，图略， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 23. 国家卫生健康委员会宣布将年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．中学响应号召，计划组织全校学生开展系列体育活动，筹备足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团，倡导学生全员参加，为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________； （2）通过计算请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“足球”对应扇形的圆心角为________度； （4）若该校有名学生，请你估计该校最喜爱篮球运动的学生有多少人？ 【答案】（1） （2） （3） （4）人 【解析】 【分析】（）先求出随机抽取部分学生的总人数，再求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可； （）求出随机抽取部分学生中最喜爱篮球运动的学生数，补全统计图即可； （）用乘以抽取学生中最喜爱足球运动的学生数的百分比即可求解； （）用该校学生总数乘以抽取学生中最喜爱篮球运动的学生的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴共抽取了名学生， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：最喜爱篮球运动的学生人数为（人）， 补全条形统计图略； 【小问3详解】 解：∵， “足球”对应扇形的圆心角为度； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校最喜爱篮球运动的学生有人． 24. 综合与实践：折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，可能折过小动物、小花、飞机、小船等，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习． 实践操作：如图1，马藤同学将矩形纸片沿对角线翻折，使点落在矩形所在平面内的点处，和相交于点，连接． 解决问题： （1）在图1中，求证：； （2）子宸同学将图1中的矩形变为平行四边形（），如图2，若，，当的长度为多少时，恰好为直角三角形．请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）8或12 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，易得，，进而证明均为等腰三角形，进而证明，然后根据“内错角相等，两直线平行”，即可证明结论； （2）根据平行四边形的性质以及折叠的性质，可知，，，，同理（1），可知，；若是直角三角形，可分和两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形为平行四边形，，， ∴，， 由折叠可知，，，，， 同理（1），可知，， ∵是直角三角形， 当且时，如图， ∵， ∴， 在中，可得， 即，解得（负值舍去）， ∴，， ∴， ∴； 当且时，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，可得， 即，解得（负值舍去）， ∴． 综上所述，当的长为8或12时，是直角三角形． 25. 子慕学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知小白体育用品商店排球的单价为元/个，篮球、足球的价格相关信息如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为元 ②购买个足球的价格比购买一个篮球多花费元 ③购买个篮球与购买个足球花费相同 （1）请你从上述个条件中任选个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校排球已有，只需要购买篮球、足球共个，且足球的个数不超过篮球个数的倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少元？ 【答案】（1） 选条件①和②（答案不唯一，任选两个条件均可），篮球单价为元/个，足球单价为元/个． （2） 购买个篮球时花费最少，最少费用是元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键． （1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设篮球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个篮球元，每个足球元，由题意得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：, 答：每个篮球元，每个足球元． 【小问2详解】 解：设篮球有个，购买的总费用是元，根据题意得： ,即, , ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，取最小值，此时, 因此，购买个篮球时花费最少，最少费用是元． 26. 内接于，，的平分线交于． （1）求证：弧弧 （2）当经过圆心时，求证： （3）在（2）的条件下，将沿翻折得交于点，交延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵的平分线交于， ∴， 如图，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图，连接，，过点D作交延长线于点H， ∵为直径， ∴， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即． （3） 【解析】 【分析】（1）连接，，由角平分线的性质结合圆周角定理即可证得结论； （2）连接，，过点D作交延长线于点H，利用直径所对圆周角为直角，角平分线的性质和圆周角定理证明是等腰直角三角形，继而证得，从而利用等腰直角三角形的性质结合线段和差关系即可得证； （3）连接，交于点M，先根据（2）的结论得到，设，则，由翻折的性质可得到，证明出，由直角三角形两锐角互余得到，从而证得，由全等三角形的性质推出，利用正切的定义列方程求a的值，最后根据，得到的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，连接，交于点M， 由（2）知，， ∵， ∴， 设，则， ∵将沿翻折得交于点， ∴， ∵是直径， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中，， ∴，即， 解得：，， ∵， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，且． （1）如图1，求直线的解析式； （2）如图2，直线交轴于点，交轴于点，且，动点在线段上，过点作轴交直线于点，设的长为，点的横坐标为，求与之间的函数关系式；（不要求写的取值范围） （3）如图3，在（2）的条件下，点落在射线上时，过点作交轴负半轴于点，点在线段上，连接，点在线段上，连接，，，当，，，求直线的解析式． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直线交轴于点，交轴于点，先表示出，，结合图表示出，利用，即可求出直线的解析式； （2）直线交轴于点，交轴于点，求出，，表示出，利用，求出，即可得到直线的解析式为，然后表示出，，即可求出； （3）过点作轴垂足为，过点作交直线于点，过点作于点，连接，交轴于点，由得出，，进而得出，得出四边形是矩形，由，求出，得出，设，由和，得出，，，最后在中，利用，建立方程解得得出，利用待定系数法即可求出直线的解析式． 【小问1详解】 解：直线交轴于点，交轴于点， 令，得， ∴， 令，得， ∴， 由图1可知，点，分别在正半轴上，所以，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴直线的解析式为． 【小问2详解】 解：直线交轴于点，交轴于点， 令，得， ∴， ∴， 令，得， ∴， 由图可知点在正半轴， ∴， ∴， 在中，在中， ∵， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 如图所示，动点在线段上，点的横坐标为， ∴， ∵轴交直线于点， ∴， 由图可知点在点的上方， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点作轴垂足为，过点作交直线于点，过点作于点，连接，交轴于点， ∵轴，，动点在线段上， ∴，， 由（2）得，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，且此时点落在射线上，即， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵轴， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴在中，， ∴，解得：， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即平分， 过点作于点， ∴， 在与中 ∴， ∴， 在与中 ∴， ∴， 设，则，，， ∵在中，， ∴，解得：， 又∵，在轴下方， ∴， 设直线的解析式为， ，解得：， ∴直线的解析式为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $