精品解析：河北邢台市第十九中学2026-2027学年上学期九年级期中数学练习题

九年级数学练习题 一、单选题（36分，每题3分）（共36分） 1. 某校为了解同学们课外阅读名著的情况，在某年级随机抽查了20名同学每学期的课外阅读名著的情况，调查结果如表所示： 课外名著阅读量(本) 0 1 2 3 4 5 学生数 1 4 5 4 4 2 关于这20名同学课外阅读名著的情况，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是2.5，众数是4 B. 众数是2，平均数是2.5 C. 中位数是3.5，众数是2 D. 中位数是2.5，平均数是2.6 2. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 4. 如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 6. 公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（ ） A. 动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示 B. 当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N C. 若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D. 利用此杠杆时，动力臂越长越省力 7. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是80 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 8. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. C. ，且 D. ，且 9. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图．大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程：的解法的构图是（ ） A. B. C. D. 10. 已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y=-的图象上三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y1＜0＜y2＜y3 B. y1＞0＞y2＞y3 C. y1＜0＜y3＜y2 D. y1＞0＞y3＞y2 11. 如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（12分，每题3分）（共12分） 13. 在中，若，则__________． 14. 如图，已知，，，________． 15. 如图的顶点，，，若反比例函数的图象与的边（含顶点）有公共点，则的整数值共有__________个． 16. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 三、解答题（共72分） 17. 解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如下表所示． ． 解：，① ，② 所以，③ 解得．④ （1）解题步骤从第________步开始出错（填序号）； （2）请你用另一种方法解方程：． 18. 【项目背景】 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史． 从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； 【数据分析与运用】 （2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人． 估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 19. 为了提高学生对“非遗文化”的了解，某地区甲、乙两个学校举行了“非遗文化”知识竞赛，决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：，，，，，，，，，． 乙校：，，，，，，，，，． （1）求甲校测试成绩的四分位数； （2）根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； （3）根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 20. 如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 （1）请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）若，且，求的长． 21. 已知一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，根据图象回答：当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ （3）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 22. 根据下表素材，解决实际问题． 背景 《哪吒之魔童闹海》热映，哪吒与敖丙联名玩偶成为消费市场热门商品，某知名网购平台商家抓住热度开展系列销售活动，希望通过科学的数据分析与策略制定，实现销量与利润的双重提升． 素材1 该网络平台商家3月4日首批上架销售哪吒与敖丙联名玩偶共200个，凭借热度，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个； 素材2 经成本核算，玩偶每个生产成本为30元，前期市场调研显示，当售价为每个60元时，日销量稳定可达100个； 素材3 为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家计划推出降价优惠活动，并且通过小范围试点发现：每降价1元，日销量可相应增加10个． 基于上述材料，完成以下任务 任务一 计算3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； 任务二 当每个玩偶降价多少元时，当日销售总利润可达到3640元？ 任务三 若商家以日销售利润最大化为核心目标，应将每个玩偶降价多少元？ 23. 在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事．现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑．． （1）求的大小及的值； （2）在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）的正切值为，求透光长度比原来增大多少？ 24. 如图，在矩形中，，，点从点出发在折线上以每秒的速度移动，过点作于点，并交或于点，以为边在的右侧作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的边长为． （1）当点与点重合时，求的值； （2）当为何值时，点落在上； （3）求在什么范围内，的值不随的变化而变化，并求此时的值； （4）直接写出射线将正方形分成面积比为两部分图形时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习题 一、单选题（36分，每题3分）（共36分） 1. 某校为了解同学们课外阅读名著的情况，在某年级随机抽查了20名同学每学期的课外阅读名著的情况，调查结果如表所示： 课外名著阅读量(本) 0 1 2 3 4 5 学生数 1 4 5 4 4 2 关于这20名同学课外阅读名著的情况，下列说法正确的是（ ） A. 中位数是2.5，众数是4 B. 众数是2，平均数是2.5 C. 中位数是3.5，众数是2 D. 中位数是2.5，平均数是2.6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数，先把本数按从小到大的顺序排列，位于中间位置的数分别是，求出中位数，结合平均数的公式进行列式计算，得出平均数，再根据课外名著阅读量为本的人数最多，且为5个人，即可作答． 【详解】解：把这20名同学课外阅读名著的本数按从小到大的顺序排列，位于中间位置的数分别是， 则中位数是 平均数是； 则课外名著阅读量为本的人数最多，且为5个人， ∴众数是2； 故选D． 2. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据比例的性质，将各选项变形即可得到正确结论． 【详解】解：A．由可得，2y=3x，不合题意； B．由可得，2y=3x，不合题意； C．由可得，3y=2x，符合题意； D．由可得，3x=2y，不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，解决问题的关键是掌握：内项之积等于外项之积． 3. 若，是方程的两个实数根，则的值为（　　） A. 2015 B. 2022 C. D. 4010 【答案】B 【解析】 【分析】由根与系数的关系，得到，，由方程的根可得，然后代入变形后的式子求值，即可得到答案． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， 原式 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，代数式变形求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系． 4. 如图，正方形是由3个全等的正方形和3个全等的矩形拼接而成，且矩形的对角线与长边的夹角为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、矩形的性质、求正弦等知识．设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为，根据正方形的边长求出,用勾股定理求出矩形的对角线长，根据正弦的定义进行求解即可． 【详解】解：设矩形的长为，宽为，则正方形的边长为， 由题意可知，, ∴, ∴矩形的对角线长为， ∴， 故选：A 5. 在用求根公式求一元二次方程的根时，琪琪正确代入了、、得到，则她求解的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为，且代入后得， ∴，解得， ，解得， 对比根号内的项，得 ， 将代入，得， ∴原方程为． 6. 公元前3世纪，古希腊数学家阿基米德发现了杠杆平衡，如图1，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“动力动力臂阻力阻力臂”．如图2，若某科学实验小组成员设计了一套杠杆，其阻力和阻力臂不变，分别为1000N和0.5m，则下列说法错误的是（ ） A. 动力和动力臂之间的大致图象可以用图3表示 B. 当动力臂为2m时，撬动石头需要的力量为250N C. 若想使动力不超过题中所用阻力的一半，则动力臂要比阻力臂长至少1m D. 利用此杠杆时，动力臂越长越省力 【答案】C 【解析】 【分析】根据杠杆原理公式，代入已知的阻力和阻力臂的数值，推导得到关于​的函数表达式，明确函数类型与自变量取值范围． A选项，将推导得到的函数特征和图3的图象特征对比，验证是否一致．B选项，把给定的动力臂数值代入函数表达式，计算对应的动力​．C选项，先确定阻力一半的数值，将其作为​的上限代入函数，求解对应的动力臂最小值，再计算动力臂与阻力臂的差值．D选项，根据反比例函数的增减性，判断动力随动力臂变化的趋势． 【详解】对于A，∵，阻力和阻力臂不变， ∴， 即动力与动力臂成反比例函数关系， 此说法正确，不符合题意； 对于B，由图象知，反比例函数的解析式为， 当动力臂时， 撬动石头需要的力量． 此说法正确，不符合题意； 对于C，当时，，， ∴若动力不超过阻力1000N的一半，则动力臂要比阻力臂长至少0.5． 此说法错误，符合题意； 对于D，设动力与动力臂的函数关系式为． 根据反比例函数的性质可知，动力随动力臂的增大而减小， ∴动力臂越长越省力， 此说法正确，不符合题意． 综上，故选C． 7. 在统计学中经常用一组数据的最小值、下四分位数、中位数、上四分位数和最大值画出箱线图来反映数据的分布情况．如图1所示，在箱线图中，位于最下面和最上面的实横线分别表示下边缘（最小值）和上边缘（最大值），中间箱体的底端是下四分位数，箱体中部的“×”表示平均值，箱体的顶端是上四分位数．异常值是明显偏离样本的个别值．已知一班和二班人数相等，在一次考试中两班成绩的箱线图如图2所示，则下列说法正确的是（ ） A. 一班成绩比二班成绩集中 B. 一班成绩的上四分位数是80 C. 一班有同学的成绩超过140分 D. 一班的平均分高于二班的平均分 【答案】C 【解析】 【分析】对比两班箱线图的箱体长度和整体数据跨度，可判断成绩集中程度，再根据箱线图的相关定义依次判断即可． 【详解】解：选项A：由图2可知，一班成绩的极差（最大值减最小值）更大，成绩分布更分散，二班成绩更集中， 因此A错误； 选项B：一班箱体顶端在100分上方，80分是一班箱体底端（第一四分位数）， 因此B错误； 选项C：一班存在一个异常值点在140分刻度上方，说明一班有同学成绩超过140分， 因此C正确； 选项D：由图可知，一班平均值低于100分，二班平均值高于100分，一班平均分低于二班， 因此D错误． 8. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. ， B. C. ，且 D. ，且 【答案】D 【解析】 【详解】解： 选项A中，，两角分别相等；选项B中，三边成比例，均符合相似判定条件， 均可判定； 选项C中，且为成比例两边的夹角， 可判定. 选项D中，但不是成比例两边的夹角， 不能判定 9. 我国古代数学家赵爽（公元世纪）在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图．大正方形的面积是．同时它又等于四个长方形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程：的解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】仿照题中所给一元二次方程的几何解法构造图形，通过方程变形确定大正方形的面积表达式，进而求解方程的正根，以此判断正确的构图． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小长方形的面积为，中间的小正方形的面积为， ∴大正方形的面积又可以表示为， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴正确的构图是B选项中的图形． 10. 已知（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）是反比例函数y=-的图象上三点，且x1＜0＜x2＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A. y1＜0＜y2＜y3 B. y1＞0＞y2＞y3 C. y1＜0＜y3＜y2 D. y1＞0＞y3＞y2 【答案】D 【解析】 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据在每一象限内的增减性进行解答即可． 【详解】∵反比例函数y=-，中k=-4＜0， ∴此函数图象上的两个分支在二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大， ∵x1＜0， ∴点在第二象限， ∴y1＞0， ∵x3＞x2＞0， ∴两点在第四象限， ∴0＞y3＞y2， ∴y1＞0＞y3＞y2． 故选D． 【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 11. 如图是三角形玻璃损坏后剩余的部分，依据图中数据，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，构造直角三角形，准确理解相关概念是解题的关键．延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D，先在中，求出的长度，再在中，求出的长度． 【详解】解：如图，延长三角形玻璃破损的两条边，交于点C，过点A作于点D， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵，，， ∴． 故选：C． 12. 如图，小明利用手机软件画图，在平面直角坐标系中，对正方形画布进行以O为中心的位似变换，缩放为原来的，然后平移，得到正方形画布．已知，，，，若正方形画布内部的一点F经过上述操作后得到的对应点与点F重合，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设先向右平移m个单位，再向上平移n个单位，首先根据点A到，B到的点的坐标可得方程组，，即可求出 、的值， 设点的坐标为， 点与点重合可列出方程组，再解可得点坐标． 【详解】解：设先向右平移m个单位，再向上平移n个单位， 由点A到可得方程组， 由B到可得方程组， 解得， 设点的坐标为， 点与点重合得到方程组， 解得 ， 即． 二、填空题（12分，每题3分）（共12分） 13. 在中，若，则__________． 【答案】##120度 【解析】 【分析】根据非负性和特殊角的三角函数值，求出的值，三角形的内角和求出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，熟练掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键． 14. 如图，已知，，，________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：4． 15. 如图的顶点，，，若反比例函数的图象与的边（含顶点）有公共点，则的整数值共有__________个． 【答案】9 【解析】 【分析】分别计算出当反比例函数经过点A，B，C时相应的k值，进而通过勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可得到反比例函数经过点C时k的值最大，经过点B时k的值最小，进而即可求解． 【详解】解：当反比例函数经过点A时， 解得； 当反比例函数经过点B时， 解得； 当反比例函数经过点C时， 解得； 由题意得，，，， ∴, ∴是直角三角形， ∴反比例函数经过点C时k的值最大，经过点B时k的值最小， ∴， ∴的整数值为，共9个． 16. 汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶座位置时（如图1），其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．小明在学习了交通安全知识后，对汽车盲区产生了兴趣．如图2，是他研究的一个汽车盲区的示意图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面之间的距离为1.4，车宽，车头近似看成一个矩形，且满足，点A，F分别在上，点C，D在上，则汽车盲区的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点P作于点N，交AF于点，根据求解即可． 本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用相似三角形的性质解决问题． 【详解】解：如图，过点P作于点N，交于点， ，， ， ∵矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴， ， ， 答：汽车盲区的长度为， 故答案为：． 三、解答题（共72分） 17. 解一元二次方程时，嘉嘉同学采用因式分解法，解法如下表所示． ． 解：，① ，② 所以，③ 解得．④ （1）解题步骤从第________步开始出错（填序号）； （2）请你用另一种方法解方程：． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】（1）对每一步进行判断，即可判断出错误发生在第三步； （2）将原方程整理为一元二次方程的一般形式，然后利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 即或 解得， 故错误在第③步； 【小问2详解】 解：原方程可化为， ， ∴， 即． 18. 【项目背景】 数学文化有利于激发学生数学兴趣，数学不仅是工具学科，更承载着人类文明发展史． 从《九章算术》的智慧到笛卡尔坐标系的诞生，数学文化中蕴含的逻辑之美、创新精神与人文价值亟待被挖掘． 【数据搜集与整理】 某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校七、八年级学生中各随机抽取10名学生参加了数学文化知识竞赛并对数据（百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于70分，用x表示，共分三组：A．，B．，C．），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：76，78，80，82，87，87，87，93，93，97． 八年级10名学生的竞赛成绩在B组中的数据是：80，83，88，88． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86 87 b 八年级 86 a 90 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空： ， ， ； 【数据分析与运用】 （2）请计算扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数； （3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生数学文化知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （4）该校七年级学生有800人，八年级学生有1000人． 估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有多少人？ 【答案】（1），， （2） （3） 八年级学生数学文化知识较好， 理由：因为八年级学生成绩的中位数和众数比七年级的高，所以八年级学生数学文化知识较好； （4）人 【解析】 【分析】本题考查了中位数、众数、求扇形圆心角度数、由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据中位数和众数的定义计算即可得解； （2）用乘以“B组”所占的比例计算即可得解； （3）根据中位数和众数分析即可得解； （4）由样本估计总体的计算方法列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：八年级组的人数为人，而八年级组有人，则把八年级名学生的成绩按照从低到高排列，处在第5名和第6名的成绩分别为分，分， ∴八年级学生成绩的中位数， ∵七年级10名学生成绩中，得分为分的人数最多， ∴七年级的众数， 由题意可得：， ∴； 故答案为：，， 【小问2详解】 解：扇形统计图中“B组”所在扇形的圆心角的度数为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级学生中数学文化知识为“优秀”的总共有640人． 19. 为了提高学生对“非遗文化”的了解，某地区甲、乙两个学校举行了“非遗文化”知识竞赛，决赛阶段，甲、乙两个学校各选出了名同学参加，他们的测试成绩如下： 甲校：，，，，，，，，，． 乙校：，，，，，，，，，． （1）求甲校测试成绩的四分位数； （2）根据四分位数可绘制出箱线图，如图，结合图中乙校的箱线图，请在该图中绘制出甲校的箱线图； （3）根据箱线图和对四分位数的理解，选择一个角度谈谈对甲乙两个学校测试成绩的看法． 【答案】（1），， （2）如图所示即为所作， （3）根据箱线图和四分位数可知，甲组成绩和乙组成绩的中位数相等，说明两组的中间水平相当，都有一半成员成绩不低于分；甲组箱体明显比乙组的长，说明甲组成绩比较分散，波动大，乙组的成绩比较集中，波动小． 【解析】 【分析】（1）先对甲校测试成绩数据从小到大排序，再根据四分位数的计算规则进行求解； （2）先求得甲校测试成绩中最大值和最小值，再结合（1）中四分位数画图即可； （3）根据箱线图的特点和四分位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解法一： 甲校成绩从小到大排列为，，，，，，，，，， 第一四分位数为前个数据的中位数， 第一四分位数为． 第二四分位数为个数据的中位数， 第二四分位数为． 第三四分位数为后个数据的中位数， 第三四分位数为． 解法二： 甲校成绩从小到大排列为，，，，，，，，，， ， 第一四分位数为第个数，即． ， 第二四分位数为第个数与第个数的平均数，即． ， 第三四分位数为第个数，即． 【小问2详解】 解：由甲校数据知，最小值为60，最在值为100，结合（1）的数据即可画图； 【小问3详解】 略． 20. 如图，在中，点P是的边上的一点． 小星：若，则可证 小红：若，则可证 小亮：若，则可证 （1）请判断三人的说法的对错：小星________，小红________，小亮________．（填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法，求证：； （3）若，且，求的长． 【答案】（1）对；对；错； （2）选择小星的方法： ，，有两组角对应相等， ； 选择小红的方法： ，，有两组边对应成比例且它们的夹角相等， ； （3）2 【解析】 【分析】（1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）同（1）理证明即可； （3）设，则，利用相似三角形对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 解：若，且，有两个角对应相等，可判定，小星对； 若，且，有两边对应成比例且它们的夹角相等，可判定，小红对； 若，且，有两边对应成比例，且一组角对应相等，不能证明，小亮错； 【小问2详解】 证明：略； 【小问3详解】 解：设， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， ． 21. 已知一个一次函数的图象与一个反比例函数的图象交于点，． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）在同一个平面直角坐标系中画出这两个函数的图象，根据图象回答：当取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ （3）设直线与轴交于点，若为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为； （2） 画图如图， 根据图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值； （3）或． 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）先根据画函数图象的方法画出图象，然后由图象即可求出的取值范围； （）由一次函数的表达式为得，当时，，则，设，所以，然后通过，求出的值即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得：，， ∴反比例函数的表达式为，， ∵一次函数的图象过点，， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为， 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：由一次函数的表达式为得，当时，， ∴， 设， ∴， ∴， 解得：或， ∴或． 22. 根据下表素材，解决实际问题． 背景 《哪吒之魔童闹海》热映，哪吒与敖丙联名玩偶成为消费市场热门商品，某知名网购平台商家抓住热度开展系列销售活动，希望通过科学的数据分析与策略制定，实现销量与利润的双重提升． 素材1 该网络平台商家3月4日首批上架销售哪吒与敖丙联名玩偶共200个，凭借热度，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个； 素材2 经成本核算，玩偶每个生产成本为30元，前期市场调研显示，当售价为每个60元时，日销量稳定可达100个； 素材3 为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家计划推出降价优惠活动，并且通过小范围试点发现：每降价1元，日销量可相应增加10个． 基于上述材料，完成以下任务 任务一 计算3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率； 任务二 当每个玩偶降价多少元时，当日销售总利润可达到3640元？ 任务三 若商家以日销售利润最大化为核心目标，应将每个玩偶降价多少元？ 【答案】任务一：；任务二：4或16；任务三：10 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 任务一：设日平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； 任务二：设每个玩偶降价元，根据当日总利润可达到3640 元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 任务三：设日销售利润为w，根据题意表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】任务一：设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍）， 答：日平均增长率为； 任务二：设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：，， 答：每个玩偶降价4或16元； 任务三：设日销售利润为w， 根据题意得， ∵ ∴当时，w有最大值4000． ∴应将每个玩偶降价10元． 23. 在古代寓言中有匡衡“凿壁偷光”勤奋学习的故事．现在墙壁上设计一个小洞，如图所示，最低点C距离地面1米，洞口直径厘米．当光照进屋内，有一条长0.35米的光斑．． （1）求的大小及的值； （2）在实际操作时，为使透光面增大一些，将小洞最高点B向上移了10厘米到达F处（即厘米），隔壁灯光光线与墙壁所在直线的夹角（锐角）的正切值为，求透光长度比原来增大多少？ 【答案】（1），米 （2）透光长度比原来增大了0.7米 【解析】 【分析】（1）根据即可求出的值，进而可得，即可得的大小； （2）连接并延长交的延长线于点G，根据求出的值，再根据即可得解． 【小问1详解】 解：∵，米， ∴， ∴米， ∴米， ∵厘米米， ∴米， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接并延长交的延长线于点G， ∵厘米米， ∴米， 根据题意，得， ∴（米）， ∴（米）， 即透光长度比原来增大了0.7米． 【点睛】解题的关键是掌握三角函数的定义及理解题意． 24. 如图，在矩形中，，，点从点出发在折线上以每秒的速度移动，过点作于点，并交或于点，以为边在的右侧作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的边长为． （1）当点与点重合时，求的值； （2）当为何值时，点落在上； （3）求在什么范围内，的值不随的变化而变化，并求此时的值； （4）直接写出射线将正方形分成面积比为两部分图形时的值． 【答案】（1） （2）当时，点落在上 （3）当时，y不随x的变化而变化，此时 （4）或 【解析】 【分析】（1）证明得到，求得，再利用勾股定理求解即可； （2）证明，得到，，再证明得到，即，进而求得即可求解； （3）分M在上和M在上两种情况，利用相似三角形和勾股定理，结合一次函数的性质求解即可； （4）当M在上时，由题意，当射线将正方形分成面积比为两部分时，或，再分两种情况，利用勾股定理和平行线分线段成比例求解即可；可以证明当M在上时的情况不存在． 【小问1详解】 解：当点与点重合时，， 由题意，， ∴，又， ∴ ∴，即，则， ∴， 即； 【小问2详解】 解：当点Q在上时，如图， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴，， ∵ ∴，又 ∴ ∴，即， ∴，即， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分两种情况： 当M在上时，如图，此时， ∵， ∴，又， ∴ ∴，即，则， ∵，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大； 当M在上时，如图，此时，过M作于E，则，， ∵， ∴， ∴ ∴，即，则， ∴， ∴， ∴当时，y不随x的变化而变化， 综上，当时，y不随x的变化而变化，此时； 【小问4详解】 解：如图，当M在上时，由题意，当射线将正方形分成面积比为两部分时，或， ∵， ∴， 当时，， ∵， ∴， 由（3）知，，则， ， 由得； 当时，， ∴，， ， 由得； 同理，当M在上时，如图， ∵， ∴当射线将正方形分成面积比为两部分时，， 由（3）中知，则， ∵， ∴， ∴，即，则方程不成立， 综上，满足条件的x值为或． 【点睛】本题是特殊四边形和相似三角形的动点问题的综合题型，涉及正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理、全等三角形的判定与性质、一次函数的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，尤其是相似三角形的判定与性质是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $