精品解析：河北省邢台市信都区邢台区2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学试卷（冀教版） 考试范围：23-26章 说明：1.本试卷共6页，满分120分． 2、请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 将一元二次方程化成一般形式，可得（ ） A. B. C. D. 2. 若，则“□”表示的数是（） A. 1 B. C. D. 3. 如图，与是位似图形，则位似中心为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 4. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则（ ） A. B. C. D. 5. “计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．已知甲班10名学生测试成绩的方差是，乙班10名学生测试成绩的方差是，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可能是（ ） A. 0.20 B. 0.22 C. 0.19 D. 0.18 6. 如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（ ） A. 南偏西方向上 B. 南偏西方向上 C. 北偏东方向上 D. 北偏东方向上 7. 已知点在第四象限，若，分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，若，，，则的值估计在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 9. 为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成如图所示的统计图（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 10. 已知方程__________，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数是（ ） A. B. C. 3 D. 2 11. 如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，边长为1的正方形的纸片，先对折得到边、边的中点E、F，再沿过点A的直线折叠使落在线段上，折痕为，点G在边上，点D对应点H，连接，下列四条线段的长度，其中恰好是方程的一个正根的线段为（ ）． A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为______． 14. 某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示： 项目 题目分析 解法讲解 题目拓展 成绩 若按照题目分析占，解法讲解占，题目拓展占来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______________. 15. 书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 16. 座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架，与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点向上抬高了约_____．（结果精确至．参考数据：） 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知一组数据，，，，，的中位数为1， （1）求； （2）求这组数据的平均数． 18. 已知线段满足，且． （1）求线段的长． （2）若线段是线段的比例中项，求线段的长． 19. 习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得， 第一步， ，，， 第二步； ， 第三步； 第四步， 即， 第五步． （1）开始出现错误的步骤是第___________步； （2）请给出此题正确的解答过程． 20. 如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． （1）求证：； （2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 21. 为了了解学生的环保意识，某校举办了环保知识竞赛．现从中随机抽取20名男生和20名女生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：，下面给出了部分信息： 20名女生的竞赛成绩为：65，66，67，67，72，82，83，85，85，85，85，86，86，88，90，96，97，97，98，100． 20名男生的竞赛成绩在C组的数据是：82，89，86，87，84，88，89． 所抽取学生的竞赛成绩统计表 性别 女生 男生 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 78 所抽取的男生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校男生还是女生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由； （3）该校有1000名女生、800名男生参加了此次安全知识竞赛，估计该校参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生有多少人？ 22. 情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，． 操作 嘉嘉进行了两步实验操作： ①如图1，光线投射到空水槽底部处． ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处． 探究 （1）请求出长（结果保留一位小数）； （2）在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，） 23. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 24. 如图1，在平行四边形中，，，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接． （1）的长为___________； （2）连接，求的大小； （3）延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形．如图2，当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，求的值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学试卷（冀教版） 考试范围：23-26章 说明：1.本试卷共6页，满分120分． 2、请将所有答案填写在答题卡上，答在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 将一元二次方程化成一般形式，可得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了化为一元二次方程的一般式．将方程展开并移项，化为一元二次方程的一般形式，即可作答． 【详解】解：∵ ∴， ∴， 即， 故选：C． 2. 若，则“□”表示的数是（） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，掌握知识点是解题的关键． 根据特殊角的三角函数值，的值为，直接与给定等式比较即可得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴． 故选：A． 3. 如图，与是位似图形，则位似中心为（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的位似中心，结合与是位似图形，故连接，它们都经过点，即可作答． 【详解】解：∵与是位似图形， ∴连接，它们都经过点，如图所示： 即位似中心为点， 故选：A． 4. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，掌握知识点是解题的关键． 根据平行线等分定理列比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 5. “计”高一筹，“算”出风采．为提高学生的运算能力，某校开展以计算为主题的项目活动．已知甲班10名学生测试成绩的方差是，乙班10名学生测试成绩的方差是，两班学生测试的平均分都是95分，结果主办方根据平均成绩和方差判定乙班胜出，则m的值可能是（ ） A. 0.20 B. 0.22 C. 0.19 D. 0.18 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，理解方差的意义是解题的关键．在平均成绩相同的情况下，方差越小，成绩越稳定，即胜出，由此可以判断m的范围． 【详解】解：判定乙班胜出，甲、乙两班平均分都是95分， ， ， 故选：D． 6. 如图，已知从点看点，仰角为，嘉淇做一个数学游戏，把由仰角描述换成用方向角来描述，则点位于点的（ ） A. 南偏西方向上 B. 南偏西方向上 C. 北偏东方向上 D. 北偏东方向上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了仰角与方向角；过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，；由此可求得，从而可确定点位于点的方向． 【详解】解：过B作水平方向射线，垂直方向射线，则，； 则， ∴点位于点的方向为南偏西方向上． 故选：A． 7. 已知点在第四象限，若，分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，平面直角坐标系中点坐标的特点等知识点，掌握这些是解题的关键． 点在第四象限，故且，再根据一元二次方程根与系数的关系，逐一验证各选项即可． 【详解】解：点在第四象限， ， A. ，，故A不符合题意； B. ，，故B符合题意； C. ，，故C不符合题意； D. ，，故D不符合题意； 故选：B． 8. 如图，在中，若，，，则的值估计在（ ） A. 3到4之间 B. 4到5之间 C. 5到6之间 D. 6到7之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，无理数的估算，根据正切的定义得到，则，再根据无理数的估算方法求出的范围即可得到答案． 【详解】解：∵在中，若，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值估计在4到5之间， 故选：B． 9. 为了解“家务劳动”落实情况，某初级中学随机抽查30名学生每周平均家务劳动的时间，并将结果绘制成如图所示的统计图（部分污损）．关于家务劳动时间的统计量中，与被污损数据无关的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的定义，熟练掌握以上定义是解题的关键． 分别根据平均数，中位数，众数，方差的定义，结合统计图的信息逐项判断能否计算得到即可． 【详解】解：根据统计图可知，每周平均家务劳动的时间3小时人数为5人，4小时人数为11人，不确定5小时和6小时的人数，所以平均数和方差无法计算； 因为随机抽查30名学生，可知5小时和6小时的总人数为，所以无法确定众数；而中位数为第15和16的平均值，所以中位数为； 故选：B． 10. 已知方程__________，等号右侧的数印刷不清楚．若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数是（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，设，根据配方法可得，即可求解． 【详解】解：设， ∴， 即， ∵将其配方成的形式， ∴， ∴， 即印刷不清楚的数是2． 故选：D 11. 如图，与的顶点均在正方形网格的格点上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键．先利用三边成比例的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质可得，即可解答． 【详解】解：由题意，得，，，，， ，，， ， ， ． 故选：D． 12. 欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，边长为1的正方形的纸片，先对折得到边、边的中点E、F，再沿过点A的直线折叠使落在线段上，折痕为，点G在边上，点D对应点H，连接，下列四条线段的长度，其中恰好是方程的一个正根的线段为（ ）． A. 线段 B. 线段 C. 线段 D. 线段 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，轴对称图形的性质，勾股定理．运用勾股定理和面积法找到线段的关系是解题的关键． 设，则，由折叠的性质可知≌，是的中点，则，，再由勾股定理得，然后由，求出，即可解决问题． 【详解】解：解方程得， ∴该方程的正根为 设，则， 由折叠的性质可知：≌，是的中点， ，， ∵再中，，， ∴， ， ， 解得：， 即， ∴恰好是方程的一个正根的线段为线段． 故选：B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为______． 【答案】7 【解析】 【分析】把代入方程，列出关于a的方程，通过解该方程可以求得a的值． 【详解】解：把代入可得， 解得， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键． 14. 某校举办学生说题比赛，某位学生选手的题目分析、解法讲解、题目拓展三个方面成绩如表所示： 项目 题目分析 解法讲解 题目拓展 成绩 若按照题目分析占，解法讲解占，题目拓展占来计算选手的综合成绩，则该选手的综合成绩为______________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的计算方法是解题的关键．利用加权平均数的计算方法解题即可． 【详解】解：选手的综合成绩为：， 故答案为：． 15. 书画经装裱后更便于收藏．如图，画心为长、宽的矩形，装裱后整幅画为矩形，两矩形的对应边互相平行，且与的距离、与的距离都等于当与的距离、与距离都等于，且矩形∽矩形，整幅书画最美观此时，的值为___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意，，，， ∵矩形∽矩形， ∴， ∴ ， 解得， 【点睛】本题考查相似多边形的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 16. 座椅是我们日常生活中不可或缺的物品．如图，在调节椅背的过程中，椅面始终保持水平状态，支撑架，与水平地面的夹角也始终保持不变．已知椅背的长度为，当椅背与椅面的夹角从调整到时，椅背上人的头部支撑点向上抬高了约_____．（结果精确至．参考数据：） 【答案】16.4 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理．通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图，过点，点分别作的垂线，分别与的延长线相交于点，点， 在中，， ， 在中，， ， ， 即椅背上人的头部支撑点向上抬高了约． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知一组数据，，，，，的中位数为1， （1）求； （2）求这组数据的平均数． 【答案】（1） （2）平均数为1 【解析】 【分析】本题考查中位数，平均数，掌握知识点是解题的关键． （1）根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：将原数据中的已知数从小到大排序为， 因为该组数据共6个，且中位数为1， 所以排序后第3、4个数的平均数为1， 若，则第3个数为1，第4个数大于1，中位数将大于1，不合题意； 故，此时排序后第3、4个数为和1， 由题意得， ； 【小问2详解】 ． 答：这组数据的平均数为1． 18. 已知线段满足，且． （1）求线段的长． （2）若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】（1）线段的长为12，线段的长为3 （2）线段的长为6 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． 【小问2详解】 解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 19. 习题课上，数学老师展示了一道习题及其错误的解答过程 用公式法解方程： 解：将方程化为一般形式，得， 第一步， ，，， 第二步； ， 第三步； 第四步， 即， 第五步． （1）开始出现错误的步骤是第___________步； （2）请给出此题正确的解答过程． 【答案】（1）一 （2） 解：解方程化为一般形式，得， ，，， ， ， 即，． 【解析】 【分析】本题考查公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可； （2）根据公式法解一元二次方程的步骤解答即可． 【小问1详解】 解：将方程化为一般形式，得 ， ∴第一步开始出现错误． 故答案为：一． 【小问2详解】 略 20. 如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． （1）求证：； （2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，由，，即，可证． （2）由（1）知，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，即， 解得，， 答：水果园的面积为． 21. 为了了解学生的环保意识，某校举办了环保知识竞赛．现从中随机抽取20名男生和20名女生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：，下面给出了部分信息： 20名女生的竞赛成绩为：65，66，67，67，72，82，83，85，85，85，85，86，86，88，90，96，97，97，98，100． 20名男生的竞赛成绩在C组的数据是：82，89，86，87，84，88，89． 所抽取学生的竞赛成绩统计表 性别 女生 男生 平均数 84 84 中位数 85 b 众数 a 78 所抽取的男生竞赛成绩统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校男生还是女生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由； （3）该校有1000名女生、800名男生参加了此次安全知识竞赛，估计该校参加此次安全知识竞赛成绩优秀（）的学生有多少人？ 【答案】（1）85，83，20 （2） 解：女生掌握情况较好，理由如下： 由样本数据可知：女生成绩的中位数85大于男生的中位数83，女生成绩的众数85大于男生的众数78， 故女生成绩更好． （3）410人 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义，百分比计算方法计算解答． （2）比较中位数，众数，平均数的大小作出决策． （3）利用样本估计总体思想解答即可． 【小问1详解】 解：出现次数最多是数据是85， 故a为85； 根据题意，C组的百分比为， ， 故， A组的人数为（人），B组的人数为（人）， 根据中位数是第10个数据，第11个数据的平均数，即（分）， 故答案为：；83，20． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据题意，有1000名女生、800名男生参加了此次安全知识竞赛， 成绩为优秀的总人数为：（人）， 答：成绩为优秀的总人数为410人． 【点睛】本题考查了样本估计总体，中位数的计算，众数的计算，根据平均数、中位数、平均数提出决策，熟练掌握中位数，样本估计总体是解题的关键． 22. 情境 嘉嘉和淇淇利用水槽和射灯进行综合实践探究，如图1，图2所示，一水槽放置在水平面上，射灯支架垂直于水平面，射灯AB发出垂直于的光线，和的夹角，． 操作 嘉嘉进行了两步实验操作： ①如图1，光线投射到空水槽底部处． ②如图2，向水槽注水，光线投射到水面处，然后发生折射，最后投射到底部处． 探究 （1）请求出长（结果保留一位小数）； （2）在图2中，嘉嘉认为需要知道折射角的度数，才能求的长度，淇淇认为不需知道折射角度数就可以求出长．你认为谁的看法正确，并写出理由．（注：，，） 【答案】（1）cm （2） 解：淇淇看法正确．理由如下： 延长，交底部于C，D． 由题意得，， 四边形是平行四边形， ． 同理，． ． 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）作于，利用矩形的性质，通过求得，然后根据锐角三角函数解直角三角形； （2）延长，交底部于C，D，结合平行四边形的判定和性质进行推理说明． 【小问1详解】 解：如图，作于， 由题意可得四边形是矩形， ． 又∵， ，． 在Rt中，． 【小问2详解】 略 23. 某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，1月份销售400个，2月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求2月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从4月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加6个．若商场要想使4月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】（1）20% （2）38元 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，根据题意得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设这种台灯售价应定为元，利用总利润每台的销售利润四月份的销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，舍去， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； 【小问2详解】 设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 24. 如图1，在平行四边形中，，，于点，且．点从点出发，沿向终点运动，设点在该折线上运动的路径长为，连接． （1）的长为___________； （2）连接，求的大小； （3）延长到点，使得，以，为邻边作平行四边形．如图2，当点在上，平行四边形对角线所在的直线恰好经过点时，求的值； 【答案】（1）5 （2）为 （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角函数，勾股定理，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定，解题的关键是分类讨论思想的运用，正确的作图． （1）利用正弦函数的定义求得，即可求解； （2）根据勾股定理，求出，得到，则，根据三角形的内角和即可求解． （3）分别用表示出，，和的值，证明，，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：D落在对角线上，如图，过点作于点，设交延长线于点， 由题意得，，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴,， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴, ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $