河南省部分普通高中2026-2027学年高二上学期10月联考数学试题

参照秘密级管理★启用前 参考答案类型：A 2026年河南省普通高中高二秋期10月联考 数学参考答案 1．B 【分析】根据空间向量垂直的充要条件，即两向量的数量积为0，列方程求解参数即可； 【详解】因为，所以，即，解得； 2．D 【分析】根据两平面平行可知其法向量共线，利用向量共线的坐标运算求出的值，即可得到的值. 【详解】因为，所以平面与平面的法向量共线， 即存在实数，使得， 将向量坐标代入得方程组：，解得： ， 因此. 3．C 【详解】因为，所以，则， 因为，所以. 4．D 【详解】由已知得：，，所以， 设与的夹角为，因为， 所以在上的投影的数量为：. 5．B 【详解】若直线 与平行， 可得，解得或， 经检验，当或时，两直线不重合， 对于充分性：或无法推出，则充分性不成立， 对于必要性：可推出或，则必要性成立， 得到“两直线平行”是“”的必要不充分条件，故B正确. 6．B 【分析】如图建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解即可 【详解】建立空间直角坐标系，如图， 则，，，所以，， 所以在上的投影向量的长度为， 所以点到直线的距离. 7．D 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，求和面的一个法向量，由得到关系，再结合二次函数性质计算即可求解. 【详解】由题意可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则，而平面的一个法向量， 由直线与平面所成的角为得， 整理得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故选：D 8．C 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【点睛】方法归纳：利用空间向量求异面直线距离的步骤：1. 建立合适的空间直角坐标系，写出对应点坐标；2. 求出两条异面直线的方向向量；3. 求出与两个方向向量都垂直的公垂线方向向量；4. 取两直线上任意两点的连线向量，计算该向量在公垂线方向向量上的投影的绝对值，即为异面直线的距离. 9．BCD 【分析】本题考查空间向量的数量积运算、夹角计算、模长最值，通过对已知向量等式两边平方求解数量积，结合二次函数性质求最值即可逐一判断选项. 【详解】已知，，. 选项A：将两边平方得， 代入数值得，解得，则，故，A错误. 选项B：，故，B正确. 选项C：将两边平方得， 代入数值得，解得， 故，C正确. 选项D：， 这是开口向上的二次函数，最小值为，故的最小值为，D正确. 10．ABC 【分析】先根据对称关系求出的坐标，设直线的斜率为，依次求出的坐标，结合几何性质和代数运算逐个分析选项. 【详解】 点关于轴对称的点，关于轴对称的点. 设直线的斜率为，因与轴、轴正半轴相交，故，直线的方程为. 令，解得，故；令，解得，故. 直线过和，斜率为，方程为. 令，得，故； 直线过和，斜率为，方程为. 令，得，故. 选项A：在轴上（纵坐标恒为0），在轴上（横坐标恒为0），轴与轴互相垂直，故，A正确. 选项B：的中点为，的中点为，即对角线互相平分，故四边形是平行四边形；又，因此平行四边形是菱形，B正确. 选项C：的长度为，的长度为，故面积. 因，令， 则，当且仅当即（对应）时取等号， 故四边形面积的最小值为16，C正确. 选项D：直线与轴正半轴相交时，仅需满足（时无法同时让落在正半轴），故的取值范围是，D错误. 11．ACD 【分析】根据面面垂直的判定定理可判断A选项；通过建立空间直角坐标系，用三角函数表示点的坐标为，利用向量共线，设，可得点坐标，利用向量垂直关系可判断B选项；根据B选项中得到的与的关系式，求得点运动轨迹，可判断C选项；利用数量积的坐标运算，可判断D选项. 【详解】因为为直径，所以，因为半圆面平面，半圆面平面，，平面， 所以半圆面，又半圆面，所以，因为， 所以平面，又平面，所以平面平面，则A选项正确； 取的中点P，连接，，取半圆弧的中点，连接, 以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，,设， 则，设则， 所以，由，得． 由，得，所以，所以，解得，则B选项错误;    由，得，所以 因为，所以，令，， 则， 所以，，所以，又， 所以点H的运动轨迹长度为2，则C选项正确； 连接，则，当时，取得最小值，最小值为，则D选项正确. 12． 【分析】由空间向量共面的充要条件，设存在唯一实数对，使得，然后根据向量相等的条件列出方程组求解. 【详解】由且向量共面， 则存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得： ，所以. 13． 【详解】因为方程表示的平面过点， 所以. 所以平面的方程为，其法向量为， 又， 设直线与平面所成的角为， 则. 14． 【分析】借助直线截距式可设直线的方程为，则可得，，再设的内切圆半径为，分及讨论即可得的取值范围，最后利用圆的面积公式计算即可得. 【详解】设，直线的方程为， 由题可得，故，，设的内切圆半径为， 如图1，则当时，，，轴，与轴间的距离1； 如图2，当时，，，轴，与轴间的距离2， 所以的取值范围是，故的内切圆面积的取值范围是. 15．(1) (2)10 (3) 【分析】（1）记的中点为，利用中点坐标公式求得的坐标，进而利用点斜式可求得边上的中线所在直线方程； （2）利用两点间的距离求得，再利用点到直线的距离公式求得点到直线的距离，进而可求得的面积； （3）先设点的坐标为，再利用，列式计算求解即可. 【详解】（1）记的中点为，则的坐标为， 所以直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为， 即． （2）因为 所以直线的方程为，即， 因为， 点到直线的距离， 所以的面积为． （3）设点的坐标为， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以，即， 所以，，即. 故当为时，四边形为平行四边形． 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的坐标运算求出，从而求出的坐标，再结合向量共线及模的坐标表示求解. （2）利用数量积的坐标表示及垂直关系的向量表示列式求出. （3）将问题转化为两个向量的数量积为正且不共线求解. 【详解】（1）由，得； 所以，而， 因此，所以； （2）由（1）知，， 由， 得 ，所以. （3），则， 因为向量与所成角为锐角， 所以，且与不同向共线． ,解得 ， 若向量与同向共线，则存在，使得， 即， 可得，解得，若两个向量不同向共线，则， 故，解得且， 即的取值范围为． 17．(1)正方形中，， 因为平面平面，平面平面平面ABCD， 所以平面， 所以，且，， 所以， 又因为，所以，所以， 又因为AN//BM，所以，，平面， 所以平面.   (2)存在，，理由如下： 由（1）知，平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系. 设点，，则， 所以，所以， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，所以， 所以， 显然，平面的法向量为， 所以，即 整理得，解得或(舍)， 则存在一点，且. 【分析】（1）根据线面垂直的性质与勾股定理，结合线面垂直的判定定理，即可证明； （2）建立空间直角坐标系，通过向量共线的坐标性质，代入二面角的向量计算公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）略 18．(1)因为为直三棱柱，且， 则以为原点，分别为的正半轴，建立空间直角坐标系， 且，，， 所以， 由可得， 因为点为线段的中点，则， 所以， 则， 即， 又，平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算结合线面垂直的判定定理，即可证明； （2）由空间向量的坐标运算以及面面角的余弦值即可得到点的坐标，再由点到平面的距离公式以及锥体的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）略 （2） 点在线段上，设，， 由（1）知，， ， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以， 由（1） 平面 ，点在线段 上， 故为平面的一个法向量， 又平面 与平面 的夹角的余弦值为 ， 则， 即，即， 展开可得， 化简可得，即，解得， 则，故， 因为平面，平面， 所以，所以的面积， 因为,， 则点到平面的距离为， 19．(1)证明：设，连接， 因为四边形为菱形，所以为的中点， 因为在中，为的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，不在平面上，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）要证明线面平行，则需要通过证明线线平行即可证明线面平行，即证明. （2）先建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，然后求出平面的法向量坐标，进而利用向量数量积求出 到平面 的距离. （3）先根据勾股定理求出点的坐标，然后求出平面的法向量坐标，进而利用向量夹角余弦值公式求出直线 和平面 所成角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）以为原点，以所在直线为轴，在平面内过作与垂直的直线为轴， 过作与平面垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以， 在平面内过作，交的延长线于，连接， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，所以轴. 因为，所以， 因为，所以，所以. 即，所以轴. 在中，，所以. 所以. 因为为的中点，所以，所以. 设平面的法向量为，所以. 令，则，则. 设点到平面的距离为，所以. 由（1）知平面，所以到平面的距离即为点到平面的距离. 所以到平面的距离为. （3）根据（2）中的坐标系，设，则. 因为，所以. 由，可得， 解得，故. 在正中，外接圆圆心为，外接圆半径为. 设三棱锥外接球的半径为，球心为. 由球的性质，可得，解得，即. 所以.因为点在外接球上，所以. 所以，即. 所以，所以. 所以. 设平面的法向量为，所以. 即，令，则. 所以.设直线和平面所成角为， 所以. 因为，所以. 所以直线 和平面 所成角的余弦值为. 数学参考答案　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $秘密 启用前 试题卷类型:A 2026年河南省普通高中高二秋期10月联考 数学 注意事项: 1. 答卷前,考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2. 回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3. 考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知,,若,则实数m为( ) A. B. C. D. 2.平面的法向量,平面的法向量,已知,则等于() A. B. C. D. 3.在三棱锥中,,,若,,,则等于( ) A. B. C. D. 4.已知,,,则 在 上的投影的数量为( ) A. B. C. D. 5.设,则“直线与直线平行”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.棱长为的正方体中,为的中点,则点到直线的距离为( ). A. B. C. D. 7.如图,在棱长为2的正方体中,为棱的中点,为四边形内(包括边界)一个动点,若直线与平面所成的角为,则的最小值为( ) A. B. C. D. 8.一副三角板如图拼接,使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边,则异面直线与的距离是( ) A. B.a C. D. 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.已知空间向量,,满足,,,则( ) A. B. C. D.的最小值为 10.在平面直角坐标系中,过点的直线与轴,轴正半轴分别交于,两点,点与点关于轴对称,点与点关于轴对称,直线与轴交于点,直线与轴交于点,则( ) A. B.四边形是菱形 C.四边形面积的最小值为16 D.直线的斜率的取值范围为 11.如图,半圆面平面,是圆的直径,多边形是正六边形,,,分别是弧,线段上的动点(均不含端点),,则( ) A.平面平面 B.不存在点,,使得 C.点的运动轨迹长度为1 D.的最小值为 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.已知,若向量共面,则实数. 13.在空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为.已知点,若方程为的平面过点,则直线与平面所成的角的正弦值为. 14.过点的直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点,为坐标原点,则的内切圆面积的取值范围是. 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知的三个顶点为,,. (1)求边上的中线所在直线方程; (2)求的面积; (3)求一点的坐标,使得四边形为平行四边形. 16.(15分)已知 (1)设向量,求; (2)若,求的值. (3)若向量与所成角为锐角,求实数的取值范围. 17.(15分)如图所示,正方形ABCD所在平面与梯形ABMN所在平面垂直,MB∥AN,NA=AB=2,BM=4,CN=2. (1)证明:MB⊥平面ABCD; (2)在线段CM(不含端点)上是否存在一点E,使得二面角E﹣BN﹣M的余弦值为,若存在求出的的值,若不存在请说明理由. 18.(17分)如图,在直三棱柱 中, ,,,, . (1)若点 为线段 的中点,求证: 平面 ; (2)线段 上有一点 ,当平面 与平面 的夹角的余弦值为 时,求三棱锥 的体积. 19.(17分)如图,在四棱锥 中,四边形 为菱形,,, 为 中点. (1)求证: 平面 ; (2)若平面 平面 ,求 到平面 的距离; (3)若三棱锥 外接球半径为 4,求直线 和平面 所成角的余弦值. 数学试题卷 第 1 页(共 4 页) 学科网(北京)股份有限公司 $