精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区）2026-2027学年高二上期10月自主检测（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2026-2027学年高二上期10月自主检测（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线经过、两点，且倾斜角是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解即可 【详解】，解得， 所以的取值范围是. 故选：D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称性求出点，结合空间中的两点间的距离公式求解即可. 【详解】点P与点A关于平面对称，则，所以； 故选：A 4. 已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的定义可求得的周长. 【详解】如图，由题意可得，的周长为， 由双曲线的定义可得，又， 所以， 所以的周长为12． 故选：B. 5. 直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】， 设， ，两式相减， 中点的横坐标为1 则纵坐标为 将代入直线，解得 点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点即直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程的方法可以简化基本运算． 6. 如图，已知空间四边形，其对角线，，点M，N分别是边，的中点，点在线段上，且，现用向量表示向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理，计算即可得解. 【详解】因为，所以， 因为，，， 所以. 故选：C 7. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得在以为直径的圆上，求得其圆的方程，再由在圆上，可得直线的方程，求得直线恒过定点，从而得在以为直径的圆，得出圆的方程可求得的最大值． 【详解】设点，， 因为是圆的切线，所以， 所以在以为直径的圆上， 其圆的方程为， 又在圆上， 则将两个圆的方程作差得直线的方程：， 即，所以直线恒过定点， 又因为，四点共线，所以， 即在以为直径的圆上， 其圆心为，半径为， 所以， 所以的最大值为. 故选：D． 8. 已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由圆：求出半径，由过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，得到，从而得到和，由得到，在中，利用余弦定理求出，由和的值建立的等式，计算得到离心率. 【详解】圆：，半径为， 过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点， ，，，，， ，，， 在中，由余弦定理得， ，则， ，，. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线在轴上的截距为，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AB 【解析】 【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D. 【详解】直线，令即，得， 所以直线恒过定点，故A正确； 若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得， 解得，故B正确； 若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确； 设直线的倾斜角为，则， 又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确； 故选：AB 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为 D. 在直线上存在异于，的两点，，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，，点满足，设点，求出其轨迹方程，然后再逐项运算验证. 【详解】因为，，点满足， 设点，则 ， 化简得：，即 ，故A正确； 因为，所以，则 ，解得 ，故B正确； 易知直线的斜率存在，设直线，因为圆上恰有三个点到直线距离为2，则圆心到直线的距离为： ，解得，故C错误； 假设存在异于，的两点，，则， 化简得：，因为点P的轨迹方程为：，所以解得或 （舍去），故存在 ，故D正确； 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据求出点的轨迹方程，进而再根据直线与圆的位置关系求解. 11. 已知正方体的棱长为1，向量，，，，，分别为平面，平面的中心，则（ ） A. 与，共面 B. 当时，三棱锥的体积为 C. 当时， D. 当时，的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，即可判断A，根据面面平行的性质，结合等体积法即可求解B，利用向量垂直满足的关系，结合运算律即可求解C，根据模长公式，结合两点距离即可求解D. 【详解】由于，故与，共面，A正确， 且时，此时与共面， 由于在正方体中，平面平面， 故到平面的距离与到平面的距离相等， 故三棱锥的体积， B正确， ， 又，因此当时， 则， 即，即，C正确， ，故， 由于，故可将看作点以原点为圆心，以半径为1的球面上的动点， 故的最小值可看作到点的距离减去半径1， 故的最小值为，D错误. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线渐近线方程求出参数，再利用双曲线的关系求解，进而得到焦距. 【详解】因为双曲线方程为，所以. 所以渐近线方程为，由题意知，渐近线方程为，所以. 又因为，所以，故焦距是. 13. 已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由数量积的坐标表示求得点轨迹是一个圆，然后由圆与圆的位置关系可得的范围． 【详解】设，则， ，即， 在以为圆心，2为半径的圆上，由题意该圆与圆有公共点， 所以，解得． 故答案为：． 14. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载称顶部只有一条棱的五面体称为“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，底面，四边形，为两个全等的等腰梯形，．已知该刍甍的体积为，且侧面与底面所成二面角的正切值为．若该刍甍的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，证得平面，得到平面平面，过点作，证得平面，且为二面角的平面角，设，求得的长，再由刍甍的体积为求得，设该刍甍的外接球的球心为，得到球心在直线上，设，结合球的性质，求得，进而得到球的表面积. 【详解】取的中点，连接， 因为四边形为正方形，所以 又因为四边形和为两个全等的等腰梯形，可得，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 过点作，垂足为， 因为平面平面，且平面，所以平面， 所以为平面与所成二面角的平面角， 因为侧面与底面所成二面角的正切值为，可得， 所以过点作，设，则，可得， 在直角中，可得，可得， 则的面积为， 所以几何体的体积为 ， 因为该刍甍的体积为，可得，解得， 取的中点，连接，设该刍甍的外接球的球心为， 根据几何体的对称性，可得球心在直线上，设，且外接球的半径为， 在直角中，可得，即， 在直角中，可得，即， 联立方程组，解得， 所以该刍甍的外接球的表面积为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 由题可知， 因为，所以，即，所以，解得. 【小问2详解】 由题可知，则，， 又，所以， 所以，解得. 16. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，分析可知的中点在直线上，运算即可； （2）求关于直线的对称点为，进而可求反射光线所在的直线方程. 【小问1详解】 由题意可设点， 因为，则的中点在直线上， 可得，解得， 所以点B的坐标为. 【小问2详解】 设关于直线的对称点为， 则，解得，即 所以反射光线所在的直线方程为，可得. 17. 已知圆过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求过点的圆的切线方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据结合两点间的距离公式可求出t的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）分析可知，点在圆外，对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在直线斜率存在时，设出切线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求出切线斜率的值，综合可得出切线的方程； （3）利用直线截圆的弦长可得出圆心到直线的距离为，求出直线的方程，利用点到直线的距离公式可得出，利用基本不等式结合二次不等式的解法可求得的最小值． 【小问1详解】 因为圆心在直线上，设圆心为， 因为点在圆上， 所以，即，解得， 所以圆心，半径， 所以圆的标准方程为：； 【小问2详解】 由（1）可得圆：， 则圆心，半径， 因为，则点在圆外， 当过点的直线斜率不存在，则直线方程为， 圆心到直线的距离为，故直线为圆的切线； 当过点的直线斜率存在， 可设直线方程，即， 圆心到该直线的距离， 由直线与圆相切，则，即， 可得，解得， 此时，直线方程为，即； 综上，切线的方程为或； 【小问3详解】 直线被圆截得的弦长为， 圆心到直线l的距离为， 又直线l的横截距为，纵截距为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线l的距离为， 整理可得， 由，得， 即， 解得或， 因为，则，则，故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为． 18. 已知和为椭圆上两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，是椭圆的两焦点，且，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于两点，证明：为定值． 【答案】（1） （2）． （3） 当的斜率为0时，． 当的斜率不为0时，设直线的方程为 联立，得， 此时． ， 故为定值． 【解析】 【分析】（1）由题意可得关于，的方程组，解出，的值，即可得出椭圆的方程； （2）利用余弦定理结合椭圆的定义求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积； （3）当的斜率为0时，直接计算出的值；当的斜率不为0时，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求出的值，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题意得，解得， 所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由题可知 在中，由余弦定理得 则即 所以， 故的面积是． 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 19. 如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接，由N为PB中点，得， 依题意，，则， 于是四边形是平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，借助三角形中位线性质，结合平行公理，利用线面平行的判定推理即得. （2）借助面面垂直的性质，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量求法求出大小. （3）连接DG，过点D作平面ABCD，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，以及法向量，列出方程，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点，连接，由，得， 而平面平面，平面平面平面， 则平面， 过作，则平面，又平面， 于是， 在矩形中，，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，令，得， 设直线BC与平面所成的角为，则， 所以直线BC与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 连接，由，得，而， 则为的平面角，即， 过点作平面，以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，， 显然平面，平面，则平面平面， 在平面内过作于点，则平面， 设，而，则，，， 即，， 所以， 于是，， 设平面PAM的法向量为， 则， 令，得， 设平面的法向量为， 因为，， 则， 令，得， 设平面和平面的夹角为， 则 令，，则，即， 则当时，有最小值， 所以平面和平面的夹角余弦值的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）、老校（文化街校区） 2026-2027学年高二上期10月自主检测（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线经过、两点，且倾斜角是，则（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 在空间直角坐标系中，已知点，，若点P与点A关于平面对称，则（ ） A. B. C. D. 6 4. 已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 10 D. 8 5. 直线交椭圆于两点，若线段中点的横坐标为1，则 A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 6. 如图，已知空间四边形，其对角线，，点M，N分别是边，的中点，点在线段上，且，现用向量表示向量，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知椭圆：（），过的左焦点的直线与的一个交点为，且与圆：相切于点，若，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则下列说法正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 若直线在轴上的截距为，则 C. 若直线与直线垂直，则 D. 若，则直线的倾斜角的取值范围为 10. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知，，点满足，设点的轨迹为圆，下列结论正确的是（ ） A. 圆的方程是 B. 过点向圆引切线，两条切线的夹角为 C. 过点作直线，若圆上恰有三个点到直线距离为2，该直线斜率为 D. 在直线上存在异于，的两点，，使得 11. 已知正方体的棱长为1，向量，，，，，分别为平面，平面的中心，则（ ） A. 与，共面 B. 当时，三棱锥的体积为 C. 当时， D. 当时，的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 13. 已知点，若圆上存在点满足，则实数的取值的范围是___________. 14. 《九章算术》是我国古代著名的数学著作，书中记载称顶部只有一条棱的五面体称为“刍甍”．现有一个刍甍如图所示，底面为正方形，底面，四边形，为两个全等的等腰梯形，．已知该刍甍的体积为，且侧面与底面所成二面角的正切值为．若该刍甍的所有顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，且. （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知△ABC的顶点，边AB的中线CM所在直线方程为，边AC的高BH所在直线方程为． （1）求点B的坐标； （2）若入射光线经过点，被直线CM反射，反射光线过点，求反射光线所在的直线方程． 17. 已知圆过两点，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求过点的圆的切线方程； （3）若直线的横截距为，纵截距为，直线被圆截得的弦长为，求的最小值． 18. 已知和为椭圆上两点． （1）求椭圆的方程； （2）若点在椭圆上，是椭圆的两焦点，且，求的面积； （3）过点的直线与椭圆交于两点，证明：为定值． 19. 如图①所示，矩形中，，点是边的中点，将沿翻折到，连接，得到图②的四棱锥为中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求直线与平面所成角的大小； （3）设的大小为，若，求平面和平面夹角余弦值的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $