第二单元一元二次方程提高练习 2026-2027学年北题大版数学九年级上册

26初三上北师大版 第二单元 一元二次方程提高练习

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【知识梳理】

（一）一元二次方程的概念与一般形式

（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。

（2）判断三看：整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为 2；判断前应先把方程化成一般形式。

（3）一般形式 ax²+bx+c=0（a≠0）：ax² 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

 

（二）根的定义与代入求值

（1）若 x=x₀ 是 ax²+bx+c=0 的根，则 ax₀²+bx₀+c=0。

（2）求含 a、b、c 的式子的值时，先把 ax₀²+bx₀ 整体换成 -c，再代值计算。

 

（三）四种基本解法

（1）直接开方法：形如 x²=n、(ax+b)²=n（n≥0）或 (ax+b)²=(cx+d)²（ac≠0）的方程，可直接开平方求解。

（2）配方法：①二次项系数化为 1；②两边同时加上一次项系数一半的平方；③移项；④整理成 (x+b/2a)²=(b²-4ac)/4a²；⑤用直接开方法求解。

（3）公式法：先确定 a、b、c，再算 Δ=b²-4ac 并与 0 比较，最后代入 x=(-b±√Δ)/2a；Δ=0 时 x₁=x₂=-b/2a。

（4）因式分解法：移项使右边为 0，左边分解成两个一次因式的积，再令每个因式为 0（a·b=0，则 a=0 或 b=0）；常用方法有提取公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘。

 

（四）根的判别式

Δ=b²-4ac：Δ>0 有两个不相等的实数根；Δ=0 有两个相等的实数根；Δ<0 无实数根。

 

（五）根与系数的关系

（1）当 Δ=b²-4ac≥0 时，x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。

（2）使用前提是 a≠0 且方程有实根，否则不能直接使用。

 

（六）增长、传播与比赛模型

（1）病毒传播：第一轮传播后的数量=传播前的数量×(1+传播速度)，第二轮传播后=传播前的数量×(1+传播速度)²。

（2）平均增长率：a(1+x)ⁿ=b，a 为初始量，b 为末量，n 为期数；下降时取 1-x。

（3）单循环比赛：x(x-1)/2=15 型，x 为参赛队（人）数。

 

（七）面积与画框问题

（1）已知边长关系：先确定变化后的边长，再利用面积公式列式。

（2）已知围栏材料总长：先确定所围图形的边长，再利用面积公式列式。

（3）已知路径（过道、边框）：先把路径移走，确定剩下图形的边长，再列式；最后按边长为正、符合实际意义取舍。

 

（八）营销利润问题

（1）利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，利润=进价×利润率。

（2）总利润=单件商品利润×销售数量，也等于销售额-总成本-各种费用。

（3）降价后的销售量=原销量+多卖的数量：若每降价 a 元多卖 b，则每降 1 元多卖 b/a，降 x 元多卖 (b/a)x；涨价则用原销量减。

（4）两个根都符合题意时，按“销量尽可能大”“让利最多”取舍；求最大利润把式子配方成顶点式。

 

（九）解法辨析与错因诊断

（1）配方时两边加的是“一次项系数一半的平方”，不是系数本身。

（2）二次项系数化为 1 时每一项都要除，不能只除第一项。

（3）约去含未知数的因式会丢根；解完须回代检验。

 

（十）换元法

设含 x 的整式为 t，先解 t 再回代；回代后 Δ<0、分母为 0或无实际意义的解要舍去。

 

（十一）含参方程与判别式

（1）判断是否为一元二次方程，先化成一般形式，再看二次项系数 a≠0。

（2）“有实根”“有两个实根”须同时满足 a≠0 与 Δ=b²-4ac≥0；“有两个不相等实根”取 Δ>0。

（3）求出参数后回代检验 Δ≥0，舍去使方程无实根的取值。

（十二）根与系数的关系（进阶）

（1）Δ=b²-4ac≥0 时 x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a；前提是 a≠0 且方程有实根。

（2）两根之差 |x₁-x₂|=√Δ/|a|，可把不对称的式子化成只含两根之和、之积的对称式。

（3）整体代换：由 ax₀²+bx₀+c=0 得 ax₀²+bx₀=-c，把二次项整体降为常数。

 

（十三）等腰三角形中的分类讨论

（1）边不确定时按“腰—腰”“腰—底”分类，逐类解方程。

（2）检验标准：各边为正，且两腰之和大于底边，否则舍去。

 

（十四）累计型增长

（1）单期增长 a(1+x)ⁿ=b；累计增长 a+a(1+x)+a(1+x)²=b。

（2）先定初始量、末量与期数再列式，增长率取正根，下降率取 1-x。

 

（十五）增长率与销售利润综合

（1）利润=售价-进价，总利润=单件利润×销售量；降价后销量=原销量+多卖数量，每降 1 元多卖 b/a。

（2）求最大利润配方成顶点式；遇“不低于”“不少于”先用不等式筛出 x 的范围，再按“让利最多”“销量最大”取舍。

 

（十六）几何拼合与过道宽度

（1）平移拼合：把过道平移到边缘，剩下图形拼成一个矩形，长、宽各减去过道宽。

（2）拼合后矩形的面积=各展区总面积，据此列方程；边长必须为正，舍去不合题意的根。

 

（十七）方程与函数结合

先用图象待定系数求一次函数解析式，再把“售价—销量”关系代入利润方程。

 

（十八）数学史中的几何解法

（1）赵爽：4 个以 a、x 为邻边的矩形拼成边长 a+x 的大正方形，(a+x)²=4ax+(a-x)²。

（2）《几何原本》：以相关线段为直角边作直角三角形，斜边上截取一段，余下线段长即方程的正根。

（3）共同思路：同一块面积用两种方式表示，得到新方程后开方取正根。

 

（十九）新定义问题

（1）邻根方程：两实根之差为 1；倍根方程：一根是另一根的 2 倍。