1.3 一元二次方程的根与系数的关系（分层作业16题）-2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》（苏科版）

**基本信息** 聚焦一元二次方程根与系数关系，通过16题分层设计，从基础公式应用到综合问题解决，培养抽象能力、运算能力和推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|根与系数基本公式直接应用|选择题1、3、6及填空题7、11，直接计算两根和与积，巩固概念| |提升|公式灵活应用与参数讨论|选择题2、4、5及填空题8、12，结合参数求解与代数式转化，培养推理意识| |综合|综合应用与逻辑推理|解答题13-16，含证明、取值范围及几何情境（矩形、菱形），发展模型意识与创新意识|

2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.3 一元二次方程的根与系数的关系（分层作业16题） 一、选择题 1．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 2．设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 4．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 5．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 6．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 7．已知方程的两根为，，则________，________． 8．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 9．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 10．若方程组的两组解为，，则________． 11．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 12．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 三、解答题 13．设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 14．设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上册数学《典例全解·题型通关》 1.3 一元二次方程的根与系数的关系（分层作业16题） 一、选择题 1．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（     ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 2．设、是方程的两个实数根，实数、满足：，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）得到两根之和、两根之积，构造恒等式，代入已知条件整体代换求值即可． 【详解】解：，是方程的两个实数根， ，， ，，， ． 3．已知矩形的两条邻边长是方程的两个根，则矩形的周长是（     ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【分析】设矩形两条邻边长分别为，，由根与系数的关系可知，即可求解． 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为，， ，是方程的两个根， 由根与系数的关系得． 矩形的周长为． 4．已知关于x的一元二次方程的两个根分别是，，且满足，则m的值是（     ） A．5 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，将两根和与两根积代入已知等式，得到关于的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两个根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵， ∴， 解得． 5．已知一元二次方程的两根为，，一元二次方程的两根为，，则值是（    ） A．1 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系，从第一个方程得到两根和与两根积，再对第二个方程利用根与系数的关系得到的表达式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴根据根与系数的关系可得，， ∵一元二次方程的两根为，， ∴两根之积满足， ∴． 6．已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 二、填空题 7．已知方程的两根为，，则________，________． 【答案】 4 【分析】对于一元二次方程，若两根为，，根据根与系数的关系可得 ，． 【详解】解：∵方程为， ∴，，， ∴，． 8．已知关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，满足，则m的值为________． 【答案】 【分析】先由方程有两个不相等实数根得判别式大于0，确定的取值范围，再利用根与系数的关系将转化为关于的方程，求解后根据的范围检验得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴判别式，化简得， 解得， 根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴，代入得， 整理为， 解得或， ∵， ∴舍去，得． 9．关于的方程只有整数根，则满足条件的所有正实数的和为__________． 【答案】59 【分析】根据根的判别式并结合，可求出，设方程的两个整数根为，根据根与系数的关系得，则，不妨设，利用、为正整数，可得出或，或，，从而得到对应的的值，即可求解． 【详解】解：设方程的两个整数根为， 根据题意得， ∵， ∴， ， 根据根与系数的关系得， ∴、同号且为正整数， ∴， 不妨设， ∴或，或，， 解得或或， ∴或16或18， ∴满足条件的所有正实数的和． 10．若方程组的两组解为，，则________． 【答案】 【分析】可把看作一元二次方程的两个根，另外由根的确定性可以得到两组解是方程的两个根互换，进而可以得到答案． 【详解】解：由方程组，可知和是一元二次方程的两个根， ∴两根之和，两根之积， ∵题目中两组解为和， ∴两组解是方程的两个根互换，即，，，， ∴， 代入，得：． 11．菱形的两条对角线的长是方程的两根，则菱形的面积是______． 【答案】 3 【分析】利用根与系数的关系得到菱形两条对角线的乘积，结合菱形面积公式计算结果即可． 【详解】解：设方程的两个根为，， 由根与系数的关系得：， ∵菱形的两条对角线的长是该方程的两根， ∴菱形两条对角线的乘积为， ∵菱形的面积等于对角线乘积的， ∴菱形的面积为． 12．已知互不相等的实数a，b满足，，则的值为 _____． 【答案】2021 【详解】解：设a、b是方程的两根，且， ∴，ab＝， ∴，， ＝， ＝2021． 三、解答题 13．设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）根据根与系数的关系进行证明即可. 【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）略 14．设是一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据一元二次方程的根与系数的关系，即可求解． （2）根据完全平方公式变形，即可求解． （3）先进行分式的加法计算，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，是一元二次方程的两个根 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴． 15．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围． (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据判别式求解即可； （2）利用根与系数的关系可用m表示出已知等式，可求得m的值． 【详解】（1）解：原方程有两个实数根， ，即． 解得． （2）解：且， 即． ， ． 16．已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两根，且，求的值． 【答案】(1)证明： ， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）计算出根的判别式，再利用完全平方公式变形可得，因此方程总有两个不相等的实数根； （2）由根与系数的关系，用表示和，代入解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：， 由根与系数的关系可得，，， ∵， ∴， 解得． 学科网（北京）股份有限公司 $