精品解析：湖南衡阳市部分学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

2026年秋季湖南省部分初级中学 九年级上学期期中考试试题 数学 测试范围：20～22章第3节 考生注意：1．本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 2．本试卷的作答一律答在答题卷上．直接在试题卷上作答无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使代数式在实数范围内有意义，则的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】要使代数式在实数范围内有意义，即根号里的实数要．以此求出的取值范围． 【详解】解：要使代数式在实数范围内有意义， ， ， 故的值不可能是2， 故选A． 【点睛】本题考查二次根式的取值范围，知道是解题的关键． 2. 下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】先化简各选项，然后根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A. 和 的被开方数不同，故不符合题意； B. ， ，被开方数相同，故符合题意； C. ，，被开方数不同，故不符合题意； D. ，=，被开方数不同，故不符合题意． 故选B． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式． 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解并掌握一元二次方程的定义是关键． 含有一个未知数，未知数的最高次数为2次的整式方程即为一元二次方程，由此即可求解． 【详解】解：A、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，是整式方程，故是一元二次方程，符合题意； B、含有一个未知数，未知数的最高次数为2次，但不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、含有两个未知数，故不是一元二次方程，不符合题意； D、当时，原式为，故不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A ． 4. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的运算，比值，解题的关键掌握分式运算的简便算法． 将所求表达式拆分为已知比值的差形式，直接代入计算． 【详解】解：∵ ， 且， ∴ ， 故选：C． 5. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】讨论m+2与0的关系，当m+2≠0时，得到判别式与系数的关系，由此进行求解即可． 【详解】解：①m+2=0时，方程为只有一个解，不符合已知条件； ②m+2≠0即m≠-2时，方程有两个不相等的实根等价于△>0， 即, 解得，且； 故选A． 【点睛】此题考查根的判别式，解题关键在于掌握判别式与系数的关系． 6. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项两个三角形不相似，符合题意； B.根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； C.根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； D. 根据两个角相等的两个三角形相似，得该选项两个三角形相似，不符合题意； 故选：A． 7. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程．设道路的宽度为，则六块菜地可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积公式结合种植蔬菜的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设道路的宽度为， 则六块蔬菜地可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：． 故选：C． 8. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，理解和熟练掌握黄金分割定理是解决本题的关键； 根据题意，得到比例关系，将代入，即可解决本题． 【详解】解：∵点C为线段的黄金分割点（），， ∴， ∴的长为． 故选：D． 9. 若，则与的大小关系是（） A. B. C. D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方，利用求差法与配方法比较代数式的大小． 设，则，将x，y用含t的式子表示，再通过计算，利用配方法将其化为完全平方式加常数的形式，根据完全平方式的非负性来比较x和y的大小，即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴，． ∴， ∴，即． 故选B． 10. 如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：B 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算的结果是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简以及合并同类项，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 首先将化简成最简二次根式，然后再合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，理解题意，得，再整理得，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴， 即， ∴， 则， ∴或， 故答案为：或． 13. 已知线段是线段，的比例中项线段，若，，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段比例中项的定义，如果线段是线段，的比例中项，则，据此即可求解． 【详解】解：∵线段是线段，的比例中项线段， ∴， ∴． 故答案为： 14. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_________． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查中心投影，相似三角形的判定和性质等知识，证明，推出，构建方程求出EF即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：80． 15. 一元二次方程的两根为，则________________ 【答案】 【解析】 【分析】根据根与系数的关系表示出和即可； 【详解】∵， ∴，，， ∴，， ∴， =， =． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，准确利用知识点化简是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长相交于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及折叠的性质，勾股定理、三角形全等的判定与性质，连接，由折叠的性质可得：，，，得出，证明，得出，设，则，，由勾股定理得出，求出，设，则，再利用勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ， 是的中点， ， 由折叠的性质可得：，，， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，，即， 解得：， ， ∵， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式乘法，零指数幂，根据负整数指数幂，绝对值的性质，二次根式乘法，零指数幂分别计算，然后合并即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）先移项，然后把方程左边利用提公因式法分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； （2）利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 19. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点都在格点上，以A为位似中心，按把放大后得到． （1）画出的位似图形． （2）直接写出与四边形面积的比_______． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似，相似三角形的性质等知识，解题的关键是： （1）延长到使，延长到使，连接即可； （2）根据相似三角形的性质求出，则求出，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 解：根据题意，得，相似比为， ∴， ∴， 又， ∴， ∴与四边形面积的比， 故答案为：． 20. 如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． （1）求证：； （2）若F是的中点，，求的长； 【答案】（1） 证明：∵，点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． 又∵， ∴． （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形可得，即，再结合即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再说明，然后代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求的值； （3）若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：，，， ， 方程总有两个实数根． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“时，方程有实数根”；根与系数的关系，若是方程的根，则，利用因式分解法求出方程的解． （1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）根据根与系数的关系，得到，先展开，再代入求解即可； （3）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是方程的根， ， ， 解得． 【小问3详解】 ， 即， ， 方程有一个根不小于5， ， ． 的取值范围是． 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）售价应定为60元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，一次函数的实际应用、一元一次不等式的应用等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出函数关系式（方程）是解题的关键． （1）原销售量500减去减少的件数即可得到提价后的日销售量，于是可得与的函数表达式，再根据题意列出不等式，然后解不等式可得x取值范围； （2）根据“每件利润日销售量日销售利润”列出方程，再解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， 整理得：， ∵日销售量， ∴，解得； 又∵售价要大于成本价40元，且原售价为每件50元，提价后为x元， ∴， ∴x的取值范围为， 与的函数表达式为：； 【小问2详解】 解：根据题意，得：， 解得：，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴． 答：售价应定为60元． 23. 阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 （1）当时，化简：_______； （2）若等式成立，则a的取值范围是______； （3）若，求a的值 【答案】（1）3 （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，理解例题的解题思路是解题的关键． （1）根据已知可得，，然后利用二次根式的性质，进行计算即可解答； （2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案； （3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴原式 ， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 解：由题意可知：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时，，， ∴， ∴，故符合题意； 当时，，， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，a的取值范围是， 故答案为：； 【小问3详解】 解：原方程可化为：， 当时，，， ∴原方程化为：， 解得，符合题意； 当时， ∴，， ∴， ∴此方程无解，故不符合题意； 当时，，， ∴原方程化为：， ∴，符合题意； 综上所述，或． 24. 综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． （2）迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）①5；②4 （2）证明：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ． 又， ， ， ， ， ， 又， ， （3）或 【解析】 【分析】（1）①过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证得四边形是矩形，设交于点O，则，证明，即可解答； ②过点E作于点P，过点H作于点Q，则，证明是矩形，设交于点O，则，证明，列出比例式，即可解答； （2）过点C作交的延长线于点F，证明，，列出比例式，即可得证； （3）根据题意得到，分情况讨论，当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答；当时，如图，点G在上，利用勾股定理求出，证明，列出比例式求解即可解答． 【小问1详解】 解：①如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ； 故答案为：5； ②如图，过点E作于点P，过点H作于点Q，则， 四边形是矩形， ， 设交于点O，则， ， 又， ， ， ； 故答案为：4； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：或3． 在矩形中，平分，， ， ， 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ； 当时，如图，点G在上， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合应用，主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季湖南省部分初级中学 九年级上学期期中考试试题 数学 测试范围：20～22章第3节 考生注意：1．本试卷共三道大题，满分120分，时量120分钟． 2．本试卷的作答一律答在答题卷上．直接在试题卷上作答无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 要使代数式在实数范围内有意义，则的值不可能是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 2 5. 关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. D. 6. 如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在一块长，宽的矩形田地上，修建同样宽的三条道路，把田地分成六块，种植不同的蔬菜，使种植蔬菜的面积为．设道路的宽为，可列方程是（   ） A. B. C. D. 8. 勾股定理与黄金分割是几何中的双宝，前者好比珠玉，后者堪称黄金，生活中到处可见黄金分割的美．如图是一种贝壳的俯视图，点C为线段的黄金分割点（），已知，则长为（ ） A. B. C. D. 9. 若，则与的大小关系是（） A. B. C. D. 无法确定 10. 如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（ ） A. 20 B. 24 C. 32 D. 48 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 计算的结果是_____． 12. 已知代数式的值与代数式的值相等，则___________． 13. 已知线段是线段，的比例中项线段，若，，则___________ 14. 如图，点光源O射出的光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，点光源到胶片的距离长为，长为，则胶片与屏幕的距离为_________． 15. 一元二次方程的两根为，则________________ 16. 如图，在矩形中，是的中点，连接，将沿着翻折得到，交于点，延长相交于点，若，则______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， 的顶点都在格点上，以A为位似中心，按把放大后得到． （1）画出的位似图形． （2）直接写出与四边形面积的比_______． 20. 如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． （1）求证：； （2）若F是的中点，，求的长； 21. 关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若，求的值； （3）若方程有一个根不小于5，求的取值范围． 22. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的商品进行直播销售，如果按每件50元销售，每天可卖出500件．通过市场调查发现，单件商品的售价每增加1元，日销售量减少10件，若将每件商品提价后定为x元，日销售量设为y件． （1）求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）为了使每天的销售利润达到8000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则售价应定为多少元？ 23. 阅读下述解题过程： 例：若代数式的值是2，求a的取值范围． 解：原式 当时，原式，解得（舍去）； 当时，原式，符合条件； 当时，原式，解得（舍去）． 综上所述，a的取值范围是． 上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述解题方法解答下列问题：（1）（2）直接写答案 （1）当时，化简：_______； （2）若等式成立，则a的取值范围是______； （3）若，求a的值 24. 综合与实践 综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． （1）操作判断 ①如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． ②如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，则的长为_______． （2）迁移探究 如图（3），在中，，点D，E分别在边AC，BC上，且，试证明：． （3）拓展应用 如图（4），在矩形中，，平分交于点E，点F为上一点，交于点H，交矩形的边于点G，当F为的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $