河南省普通高中2026-2027学年高三上学期10月联考数学试题

秘密★启用前 试题卷类型：A 2026年河南省普通高中高三秋期10月联考 数学 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3． 考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．设，则“”是“”的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．设函数，则（    ） A． B． C． D． 4．已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A．-25 B．-16 C．-14 D．16 5．已知 ，，，则 、、 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 6．已知函数，则函数的零点个数为（      ） A．5 B．4 C．3 D．2 7．设，若关于的方程有五个不同的实数解、、、、，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知实数，满足，则（其中）的最小值为（      ） A．4 B．8 C．9 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知a、b、c均为实数，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 10．已知函数的定义域为，满足，．当时，，则下列结论正确的是（     ） A．的图象关于直线对称 B．是偶函数 C．在上单调递增 D． 11．已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．是单调函数 C．若，则 D．若时，恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．实数a满足命题“，是假命题，写出a的一个可能取值是_______________. 13．已知函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为_____. 14．定义，设函数．若函数至少有3个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知集合，非空集合． (1)若，求，； (2)若“”是“”的必要条件，求的取值范围． 16．（15分）已知函数． (1)讨论的奇偶性； (2)若，且，求的值域． 17．（15分）已知函数. (1)若，，求函数的值域； (2)若，， ①求证：曲线是中心对称图形； ②解关于的不等式：. 18．（17分）已知函数，． (1)设函数，若在定义域内恒成立，求的取值范围． (2)当时，令． （ⅰ）求在处的切线方程； （ⅱ）方程有两个实数根，且，证明：． 19．（17分）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)若，求； (2)若，且；求实数的值； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 数学试题卷　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 参照秘密级管理★启用前 参考答案类型：A 2026年河南省普通高中高三秋期10月联考 数学参考答案 1．C 【详解】由，， 所以. 2．A 【详解】令，即，解得. 令，解得或. 所以“”是“”的充分不必要条件. 3．C 【分析】先对函数求导，识别 为固定常数，代入 求解该常数的值，再将 代入导函数计算目标值可得出答案. 【详解】 对求导得：，将 代入得： 所以，从而得 ，代入 得，. 故答案为：C. 4．B 【详解】是定义在上的奇函数， 得. 当时，， 所以. 5．D 【详解】∵，是上减函数， ∴， 又∵是上减函数， ∴，即. 6．C 【分析】将函数零点问题转化为方程 的解的个数问题，对分段函数分定义域分别解方程，再统计所有有效解的总数. 【详解】函数的零点，等价于方程的解的个数， 当时，，令，解得，因为，满足条件； 当时，，令 ，去绝对值得两种情况： ，显然，满足条件； ，显然，满足条件； 综上，方程 共有个解，即函数零点个数为3. 7．D 【分析】作出函数的草图，数形结合，根据方程解的个数确定的取值范围. 【详解】作函数的草图如下： 可得当时，方程有3个不同的解；当且时，方程有2个不同的解. 设，则关于的方程有五个不同的实数解，转化成方程有两个解，且，且. 由得， 由得. 故实数的取值范围为. 8．B 【分析】将等式同构为，根据的单调性可得，进而将问题转化为图像上一点与平行的切线到的距离，即可利用导数求解切点，进而根据点到直线距离公式求解. 【详解】由可得， 令，则， 由于函数为单调递增函数，故，因此，则， 故 在函数上，而在上， 因此的最小值可以看作直线上的点到上的最小距离的平方，故距离的最小值为图像上一点与平行的切线到的距离， 对求导可得，设切点为，故，解得（负值舍去）， 因此切点为，到直线的距离为， 故的最小值为. 9．ACD 【分析】选项A利用不等式性质，两边同除以正数判断大小；选项B用作差法分析符号，结合反例排除；选项C通过换元构造基本不等式形式求最大值；选项D用“乘法”展开后结合基本不等式求最小值． 【详解】对于A，由，得，所以，，即，A正确； 对于B，， 当时，差的符号还取决于与的大小， 例如，，则，B错误； 对于C，令，则， 当且仅当时，即时，等号成立，C正确； 对于D，由，，得，， ， 当且仅当，即当时，等号成立，D正确． 10．ABD 【分析】由，可得，即可判断A；结合，可得，即可判断B；根据函数在上的解析式，可得函数在此区间上单调递增，结合偶函数的性质及函数周期为4，可得在上单调递减，即可判断C；求得，由，求出其值即可判断D. 【详解】因为，， 所以， 所以的图象关于直线对称，故A正确； 又因为， 所以， 令， 则有， 即， 所以是偶函数，故B正确； 因为是偶函数，， 所以， 即， 所以函数是周期函数，4为其一个周期， 又因为当时，， 由二次函数的性质可知函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减，故C错误； 因为，所以， 又因为，所以， ，所以， ， 所以， 所以 ，故D正确. 11．ABD 【分析】A选项，直接计算可得A正确；B选项，求导，得到只有时，，其他情况均有，故在R上单调递增；C选项，在AB基础上得到；D选项，先得到，时，，满足要求；时，参变分离，构造函数，求出最值. 【详解】A选项，， 所以，A正确； B选项，，由于，当且仅当， 即时，等号成立，又，当且仅当，时，等号成立， 所以只有时，，其他情况均有， 所以在R上单调递增，B正确； C选项，若，则， 由B可知，在R上单调递增，故， 由A可知，，即， 所以，，C错误； D选项，，又在R上单调递增，故只有， ，即，故， 显然当时，，满足要求； 当时，，令，则， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，且，所以，D正确 12． （答案不唯一，满足的任意实数均可，一个可能取值是2） 【详解】若命题“”为假命题，则其否定“”为真命题. 利用二次函数恒成立条件：二次函数的二次项系数为，图象开口向上， 要使对任意实数，函数值恒大于0，需判别式， 即， 有，解得，所以a的一个可能取值为2. 13． 【分析】导数的几何意义求切线方程，再分别求出坐标轴的截距，即可求面积. 【详解】由，得， 在处，切线斜率为， 切点为，所以切线方程为，即， 令，得，令，得， 因此围成的直角三角形两直角边长度分别为和，面积为. 14． 【分析】设，，分析可知函数至少有一个零点，可得出，求出的取值范围，然后对实数的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数的不等式，综合可求得实数的取值范围. 【详解】设，，由可得. 要使得函数至少有3个零点，则函数至少有一个零点， 则，解得或. ①当时，，作出函数、的图象如下图所示： 此时函数只有两个零点，不合乎题意； ②当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 所以，，解得； ③当时，，作出函数、的图象如下图所示： 由图可知，函数的零点个数为，合乎题意； ④当时，设函数的两个零点分别为、， 要使得函数至少有个零点，则， 可得，解得，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 15．(1)，或 (2) 【分析】（1）先根据一元二次不等式解出集合，再利用集合的交补运算即可求解； （2）根据题意，得到，再结合集合的关系即可求解. 【详解】（1）由于不等式，解得，所以， 当时，集合， 所以，或． （2）因为“”是“”的必要条件，所以． 已知集合为非空集合，故，解得． 因为，所以，解得， 所以实数的取值范围是． 16．(1)当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数 (2) 【分析】（1）对参数进行分类讨论，先确定不同取值下函数的定义域，依据定义域是否关于原点对称、奇偶函数定义判断即可； （2）先求出时的值域，换元令转化为，平方之后利用二次函数即可求最值. 【详解】（1）当时，，其定义域为，且， 所以为偶函数；    若，的定义域为，， 所以，， 当，即时，，即， 所以为奇函数， 当，即时，，且， 故为非奇非偶函数； 若，由，得，函数的定义域为， 当，即时，的定义域关于原点对称， 此时，所以，所以为奇函数，    当，即且时，此时的定义域不关于原点对称， 所以为非奇非偶函数．     综上所述，当时，为偶函数；当时，为奇函数； 当且时，为非奇非偶函数． （2）若，则， 因为，所以，所以的值域为， 所以，     令，则，原函数变为，     所以，且，     所以当时，，当时，， 又，所以，， 所以的值域为． 17．(1) (2)①证明：把，代入函数，得 ， 所以， 故， 所以曲线关于中心对称. ② 【分析】（1）把，代入函数，应用分离变量即可求得值域； （2）把，代入函数， ①利用中心对称与函数图象表达式的关系证明； ②用指数与对数函数运算法则化简整理即可求解. 【详解】（1）把，代入函数，得 ，定义域为 由，得,那么, 即， 所以，函数的值域为. （2）①略 ②把，代入函数，得 由于，故, 所以即可化为 又，在上单调递减， 所以，， 设，那么在上单调递增， 又， 所以原不等式可化为，得， 所以原不等式解集为. 18．(1) (2)（ⅰ） （ⅱ） ，显然在单调递增，且，， 所以存在唯一，使得：因此当时，单调递减； 当时，，单调递增. 令， 解得或， 所以函数在处的切线方程为， 由，故曲线在直线上方， 又在处的切线方程为， 令， 则， 当时，单调递减； 当时,，单调递增. 所以，故曲线在直线上方， 设函数在两个零点处的切线方程与直线的交点的横坐标分别为和（如图）， 则,，令得，令，得， 因为，， 故，时取等号，命题得证 . 【分析】（1）将恒成立转化为在上恒成立，因此需要构造函数，通过求导分析其单调性与最大值，进而确定a的取值范围； （2）（i）根据导数的几何意义，切线斜率为，再结合切点坐标，利用点斜式即可得到切线方程； （ii）先分析的单调性与极值，并求出和处的切线方程，然后说明曲线在直线上方，构造，利用导数说明曲线在直线上方，最后利用切线放缩以及数形结合的思想，分别得到，的范围，进而推导的不等式关系. 【详解】（1） ，定义域为， 恒成立等价于对任意恒成立， 令，求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 因此的最大值为，故的取值范围为. （2）（ⅰ）当时，， 求导得： ，，， 由点斜式得切线方程：，即. （ⅱ）略 19．(1)或． (2) (3)． 【分析】(1)根据题中新定义，代入函数解析式，列出对应不等式，解不等式求出集合； (2)结合二次函数图像与性质，由可知是函数最小值，利用二次函数对称轴列式求解参数； (3) 把集合包含关系转化为函数单调性条件，得到函数单调不减，借助导数研究含参函数恒成立问题，求出参数取值范围. 【详解】（1）由，得，根据定义得到， 解不等式，解得或，所以或. （2）由，得， 而等价于对任意，都有，即是二次函数的最小值点， 而二次函数对称轴为，因此，解得． 验证：当时，，， 可得恒成立，符合题意，故. （3）由题意得对任意，都有． 可转化为若，则必有， 得到该条件等价于函数在上单调递增， 令，则， 可得对恒成立． 若：当时，，不满足恒成立要求， 若：对任意恒成立，符合题意． 若，令，则． 令，得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 可得． 要求恒成立，即，得到， 化简得，因为，所以，解得． 综上，实数的取值范围是. 数学参考答案　第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $