河南、海南部分校2026-2027学年高三上学期11月阶段检测数学试题

高三数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定 位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题 卡上。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的， 1.已知集合A={x|2x-1<1},B={-1,0,1,2},则A∩B= A.{-1,0} B.{1,2} C.1-1,0,1} D.{-1,0,1,2} 2.不等式(x+2)<x+8的解集为 A.（-2,2) B.(-1,4) C.(-4,1) D.(1,3) 3.已知实数a满足a=4,则a2= A-号 B C.-2 D.2 4.已知9是锐角，且c0s0=子，则cos0+)= B号 c- D号 5.(-(x-是)的最小值为 A.1 B.-1 C.7 D.-7 6.“2>4是<分的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 数学（一）第1页 7.已知函数(x)=2的图象关于点P中心对称，则曲线)y=(x)在点P处的切线方程为 e*+l A.2x+y-2=0 B.2x-y+2=0 C.x+2y-2=0 D.x-2y+2=0 8.已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)+f(x-1)+f(x-2)=0,且f(1)<(2),f(2)> (3),则下列结论中一定正确的是 A.f2026)>0 B.f(2026)<0 C.f(2027)>0 D.f(2027)<0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列选项正确的是 A.“至少有一个x,使lgx>x成立”是全称量词命题 B.命题“3x∈N,x2+x<0”的否定是“Hx∈N,x2+x≥0” C.“Hx>1,x2>x2”是真命题 D.要证明“x∈(0,1)，使得log:x>x”是假命题，只需找到一个反例 10.已知a=log3,6=log7,则 A.ab=-1 B40.9=9 c- -=a+b D.1->2 "a b 1l.已知函数)=sin(ox+p)(ω>0，p<）,记g(x)=x)-'(x).若∫'(x)的最大值 是f(x)的最大值的2倍，且g(0)=0,则下列结论正确的是 A.tan =2 B.若a是/(x)最小的正零点，则sin2=5 C.g(x)是奇函数 D.g(x)的图象经过f(x)图象上所有的最高点与最低点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.函数f(x)=2cos4x的最小正周期是 13.已知-3和1是函数)=了+a+bx的两个极值点，则x)的极大值为 14.设关于x的不等式x-1<log(2-1)(a>0且a≠1)的解集为M,若(1,3)CM,则实数a 的取值范围是 数学（一）第2页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ABC中，内角A,BC所对的边分别为abc,已知5 sin C=2cos号 (1)求B; ②)若sinA=3 cos Bsin C,且△ABC的面积为，，求D 16.(15分) 某机构为了解今年海南省城市足球联赛（简称“琼超”）的市场热度，统计了部分比赛的现 场观众人数（单位：万人），将样本数据按照(0,0.5]，(0.5,1]，…，（2.5,3]分组，得到如图 所示的频率分布直方图. (1)估计现场观众人数的中位数与75%分位数. (2)从所有比赛中任意选两场进行分析，求恰有一场现场观众人数超过2万的概率。 (3)每场比赛一方为主队，另一方为客队.据统计，今年琼超所有比赛中主队获胜的概率为 石，当现场观众人数超过2万时，主队获胜的概率为号，求主队获胜时现场观众人数超 过2万的概率。 频率 组距 0.50 0.44 0.40 0.36 0.20 0.10 00.511.522.53人数/万人 数学（一）第3页 17.(15分) 如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，D是棱PC上靠近点P的三等分 点，E是△ABC的重心 (1)证明：DE∥平面PAB; (2)若AB=AC=PA,求二面角B-DE-C的正弦值， .--- 18.(17分) 设双曲线E多-为=1(Q>0,6>0)的左右焦点分别为E,E,已知EE,引=4，日E的二 条渐近线方程为y=√3x. (1)求E的方程 (2)过点F2的直线l与E交于A,B两点，直线F,A,F,B分别与y轴交于点P,Q (i)当l垂直于x轴时，求cos∠AF,B. (i)是否存在L,使得△OAB(0为坐标原点)的面积是△F,PQ面积的子倍？若存在， 求出1的方程；若不存在，请说明理由. 19.(17分) 已知函数f(x)=e-ax2-bx,a,beR,记函数g(x)=f'(x). (1)讨论g(x)的单调性； (2)若b=1,且对任意的x≥0，都有f(x)≥1，求a的取值范围； (3)若f(x)在R上单调递增，求4a+b的最大值，并求a,b分别为何值时，4a+b最大 高三数学·答案 一、选择题 1.答案A 命题透析本题考查集合的表示与运算. 解析因为集合A={x12x-1<1}={xlx<1,且B={-1,0,1,2},所以AnB={-1,01. 2.答案C 命题透析本题考查一元二次不等式的解法. 解析不等式化为x2+3x-4<0,解得-4<x<1. 3.答案B 命题透析本题考查指数的运算， 解折因为0=4，所以。=4=2.2=是分 4.答案D 命题透析本题考查同角三角函数的基本关系以及诱导公式 解析因为9是锐角，c0s0=子，所以s0=号，cos0+受）=-sin0=-号 5.答案B 命题透析本题考查基本不等式的应用 解析因为：-川x-号）=2+9-13≥2√2.至-13=-1，当且仅当-，即=6，*=±6时。 等号成立，所以x-4）(x-）的最小值为-1. 6.答案A 命题透析本题考查不等式的性质，充分条件与必要条件的判断. 解析当2>4时，得<-2或>2，都可以推出士<宁，所以充分性成立当<分时，取=-1，不能推出 “子>4，所以必要性不成立因此>4是士<号的充分不必要条件， 7.答案C 命题透析本题考查函数的性质以及利用导数求切线方程。 一1 解折因为+-名+。2，子+-2.所以)的图象关于点(0,1对称即P0 .由/(=。得了0)=分所以所求的切线方程为y=-分+1，即x+2y-2=0, -2e* 8.答案C 命题透析本题考查函数的周期性与不等式的性质. 解析由f(x)+f八x-1)+f(x-2)=0,知f八x-1)+(x-2)+f八x-3)=0,故f(x)=f(x-3),所以f八x)是以 3为周期的周期函数.令x=3,得f八3)+f(2)+(1)=0,因为f(1)<f(2),f(2)>(3),所以f(2)>0.因为 2027=3×675+2,所以f(2027)=f(2)>0. 二、选择题 9.答案BC 命题透析本题考查全称量词命题与存在量词命题. 解析对于A,该命题是存在量词命题，故A错误。 对于B,将全称量词改为存在量词，并否定结论，即得到“Vx∈N,x2+x≥0”，故B正确 对于C,在x>1两边同时乘以x2(x2>0),得x3>x2,故C正确， 对于D,要证明存在量词命题是假命题，即证明其否定（全称量词命题）是真命题，要对任意x∈(0,1)证明结论 成立，故D错误 10.答案ABD 命题透析本题考查对数的运算性质， 解析对于A,因为6=log7=log,2‘=-lg2,所以b=lg3·(-1og2)=-1,故A正确， 对于B,因为49=49时=(23)°=(3×)广=？，故B正狼 对于C,因为日六-心-导=a-6,故C错误 ab 对于D,由C得片-名=a-b=lg3-bs子=lbs3+bs2>2b3·182=2,放D正确 11.答案ACD 命题透析本题考查三角函数与三角恒等变换的综合问题 解析对于A,由题意知f'(x)=wcos(wx+p),且f'(x)的最大值为2，所以w=2.所以f(x)=sin(2x+p), ∫(x)=2cs(2x+p).由g(0)=0,得f0)-f'(0)=0,即sin9-2cosp=0.又因为lp<7,所以cosp≠0， 所以tanp=2,故A正确. 对于B,由amp=2且p(-子），可知p为锐角，且如9=25cs=汽因为&是八x)最小的正零 -2 点，所以2x+p=,所以血2a=n(m-p）=血9=25，放B错误 对于C,利月轴助角公式可得，s)m2s+p）-2a2r+p)5[后n(2r+p)后m(2+p- V5[cos sin(2x+p)-sin cos(2x+p)]=√5sin2x,所以g(x)是奇函数，故C正确. 对于D,设xo是f(x)的一个最值点，即满足f(x0)=sin(2xo+p）=±1，则cos(2x+p)=0,所以g(x)= (xo).所以g(x)的图象经过f(x)图象上的所有最高点与最低点，故D正确. 三、填空题 12.答案受 命题透析本题考查余弦函数的最小正周期， 解析八)的最小正周期为平=受 13.答案9 命题透析本题考查利用导数研究函数的极值. r-2a=-3+1, 解析由题意，得∫'(x)=x2+2ax+b,则-3和1是方程∫'(x)=0的两根，所以 解得a=1,b= b=-3×1, -3所以)=号+2-3，其极大值为-3)=+(-3)-3×(-3)=9. 14.答案(1，万] 命题透析本题考查函数与方程，函数图象的应用 解析由题意知，x-1<log（2-1)在(1,3)上恒成立.若0<a<1,因为1<x<3,所以0<x-1<2,2<2< 8,则1<2-1<7.所以1ogn(2-1)<0.所以x-1<log(2-1)在(1,3)上恒不成立. 若a>1,令8国=e2r-1)则r=22品n。1+ ,易知当x>1时，g'(x)>0,且g'(x) 单调递减，所以g(x)在(1，+∞)上单调递增，但增长趋势逐渐平缓.作出f(x)=x-1和g(x)=log(2-1) 在(1,3)上的图象，如图所示. g(x)=log.(2*-1) f(x)=x-1/ a>1, ra>1, 故 所以 解得1<a≤√7. g(3)≥f3),lg(23-1)≥3-1， 一3 四、解答题 15.命题透析本题考查正弦定理和余弦定理的应用. 解析(1)由5 bsin C=2ccos2号及正弦定理，得5 sin Bsin C=2 2sCeos2号 2 因为sinC≠0，所以，3sinB=2cos2 2 (2分) 所以2Bs血分s号=2os8 2 21 ……………………………………… (3分) 因为as号0，所以5sin号=cw号，即am号-号 2=3 ………………………………………………………………… 2 (4分) 又号(0，)，所以号石，解得B= 3 (5分) (2)由sinA=3 cos Bsin C及正弦定理，得a=3 ccos B,即a= 3 2 c. (7分) 因为△MC的面积为3，所以2csB=3 ,得ac=6. (9分) 3 a 2℃， ra=3 由 解得 (10分) 1c=2 ac=6, 由余弦定理，得=d+e2-2 eeosB=32+2-2×3×2×7=7, 故b=万.…(13分) 16.命题透析本题考查频率分布直方图，用频率估计概率、条件概率的计算. 解析（1)前三组的频率之和为(0.2+0.36+0.44)×0.5=0.5，所以估计中位数为1.5万.…(2分) 前四组的频率之和为1-(0.4+0.1)×0.5=0.75，所以估计75%分位数为2万.…（4分) (2)设任意一场琼超比赛观众人数超过2万的概率为P,由(1)知刀=子 …（(6分) 任意选两场，恰有一场现场观众人数超过2万的概率为2(1-p)=2× 313 4×4=8 …(9分) (3)设“现场观众人数超过2万”为事件A,“主队获胜”为事件B. 由已知可得P(A)=4,P(B)=0,P(B1A)=号 (12分) 41 所求的概率为P(AB)=AB=P(BAP_了X车=2 P(B) P(B) 7 10 所以主队获胜时现场现众人数超过2万的概率为弓 …（15分） 4 17.命题透析本题考查线面平行的证明，二面角的计算. 解析(1)如图，延长CE与AB交于点F,连接PF 因为D是棱PC上靠近点P的三等分点，所以巴=2 (1分) 因为E是△ABC的重心，所以g=2 (3分) 所以架-器所以DE∥PR … 。。 (4分) 又DE￠平面PAB,PFC平面PAB, 所以DE∥平面PAB.…(5分) B (2)由PA⊥平面ABC,∠BAC=90°，可知AB,AC,AP两两互相垂直.以A为坐标原点，以AB,AC,AP所在直线 分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. …(6分)》 不妨设AB=AC=PA=a, 则A(0.00),B(a0,0),c(0,a0),P00,a),D(0,3a,(宁，a,0） …（7分)》 所以i=(分a.0,-子成=(-子a,分4,0，成=（分4，子，…(8分） 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 底n=-号=0， 则 令z=1,可得n=(2,4,1).…（10分) n=-ar+1 3ar+3y=0, 设平面CDE的法向量为m=(x',y',z), 成m=了-子 1 a2'=0, 则 y=1,可得m=(2,1,1).…（12分) 成m=分a-子y=0, 设二面角B-DE-C的大小为0， -5 则1cos01= 1n·n 2×2+1×4+1×13√14 √6×√21 14 …（14分） sin0=√1-cos20=, (314 14 14 故二面角8-0B-C的正弦值为 ，…（15分） 18.命题透析本题考查双曲线的方程与性质，直线与双曲线的位置关系. 解析（1)因为1F,F21=4,所以2√a2+b=4.① …(1分） 因为E的一条渐近线方程为y=尽，所以么=尽.②…(2分) a 由①②，可得a=1,b=5, 故E的方程为x实三…（3分 3 (2)(1)由已知，得左焦点为F,(-2,0),右焦点为F2(2,0). 当直线l垂直于x轴时，其方程为x=2.…(4分) 代人双曲线方程，得4-号=1，解得)=士3. 不妨设A(2,3),B(2,-3),则F1A=(4,3),F,B=(4,-3).…(6分) 所以cos∠AE,B= FA.FB 42-32 F1F4+3V伞+（-325 …(8分) (iⅱ)易知直线l斜率不为0.设1的方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,2), [x=my+2, 由 消去x,整理，得(3m2-1)y2+12my+9=0. 3x2-y2=3, 由3m2-1≠0且4=(12m)2-36(3m2-1)=36(m2+1)>0,得m≠±号 ……… (9分) -12m 9 由根与系数的关系，得方+23m二n3m- (10分) 2y1 直线R1的方程为y=产2+2)，令=0，得=2 2y2 因为三m+2,所以4同理可得04土子 …(11分) Saw=710F,1l%-%1=l,-2l San =20F1y=2 22 8(1-y2） m1+4m+4-m2yy2+4m(y1+2）+16' 6 其中分母m3+4m(,+为)+16=9nm2-48m 3m2-1 +16=9m2-16 3m2-1 所以SA,PO= 8(3m2-1) 9m2-16 y1-y2.…(13分) 由题意可知，Soae=子Sn,即 8(3m2-1) 9m2-16 →19m2-161=1013m2-1.…(14分） ①若9m2-16=10(3m2-1),则21m2=-6,无实数解. ②若9m2-16=-10(3m2-1),则39m2=26,解得m=± · …（16分） 将m=±代人=y+2,得x=± 3)+2, 整理，得3x-√6y-6=0或3x+√6y-6=0,即为满足条件的直线l.…（17分) 19.命题透析本题考查利用导数研究函数的性质， 解析(1)由题意，得g(x)=∫'(x)=e-2ax-b,则g'(x)=e-2a.…(1分) 若a≤0，则g'(x)>0恒成立，所以g(x)在R上单调递增.… (2分) 若a>0,令g'(x)=0,得x=ln(2a) 当x<ln(2a)时，g'(x)<0,当x>ln(2a)时，g'(x)>0, 所以g(x)在(-o,ln(2a)上单调递减，在(ln(2a),+o)上单调递增. (4分) (2)若b=1,则f(x)=e-ax2-x∫'(x)=e-2ax-1. ①若a≤0，由(1)可知f'(x)在R上单调递增， 所以当x≥0时∫'(x)≥∫'(0)=0，(x)在[0，+∞)上单调递增， 所以(x)≥(0)=1，符合题意。…(6分) ②若0<a≤7，则1n(2a)≤0，由(1)可知(x)在[0，+m)上单调递增。 与①同理，可得f(x)≥八0)=1.… (7分) ③若a>号，则hn(2a)>0f(x)在[0，lh(2a)上单调递减，在(n(2a),+∞)上单调递增， 所以当x∈(0，ln(2a))时f'(x)<f'(0)=0f(x)单调递减， 所以当xe(0,ln(2a))时f(x)<f(0)=1,不符合题意. (9分) 综上，a的取值范围是(-如，] (10分) (3)解法一：因为f(x)在R上单凋递增，所以f'(x)=e-2ax-b≥0在R上恒成立. 若a<0,当x+-∞时，e-0,-2ax-→-∞，所以g(x)+-∞，不满足条件. 若a=0,g(x)=e-b≥0恒成立，得b≤0，此时4a+b=b≤0.…（11分) —7 若a>0,由(1)知g(x)在x=ln(2a)处取得最小值， 由g(x)≥0恒成立，得g(ln(2a))=2a-2aln(2a)-b≥0. 所以b≤2a-2aln(2a）,所以4a+b≤6a-2aln(2a).…(13分) 令h(a)=6a-2aln(2a),则h'(a)=4-2ln(2a). 当0<a<号时，h(2a)<2,(a)>0,A(a单调递增； 时，n(2a)>2,b(@）<0,h(@单调递减， 所以(@)在a=号处取得最大值，最大值为()-3e2-enE-32-2c2=心.……（(16分) 此时b=2a-2aln(2a)=-e2. 综上，当a=号6=-心时，4如+b取得最大值最大值为心 (17分) 解法二：因为f(x)在R上单调递增，所以f'(x)=e-2ax-b≥0在R上恒成立. 所以f(2)=e2-4a-b≥0，得4a+b≤e2.（必要条件)…（12分) 令4a+b=e2,此时f(2)=0.因为f'(x)≥0恒成立，即∫'(x)≥∫'(2)恒成立， 所以x=2是'(x)的最小值点，也是极小值点。 所以g(2=e-2=0,得a=号，从而6=- ，……（14分） 下面证明充分性：当a=号，b=-6时)在R上单调递增 当a=号，b=-心时g()=j()=6-z+心，则g()=c-6,…(15分) 当x<2时，g'(x)<0,当x>2时，g(x)>0, 所以g(x),即f'(x)在(-∞，2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增.…（16分) 所以'(x)≥∫'(2)=0，所以f(x)在R上单调递增，符合条件. 综上，4a+b的最大值为e,当a=号，0=-心时，a+b最大 …（17分)》 一8一