精品解析：安徽合肥市多校2026-2027学年九年级上学期期中数学试卷

九年级期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且）．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．利用一元二次方程的定义判断即可． 【详解】A、当时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、,该方程含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、化简为，故不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、是一元二次方程，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到，，再根据一次函数的性质判断即可得到答案； 【详解】解：方程配方得， ， ∴，， ∴直线经过一、二、四象限，不经过三象限， 故选：C． 3. 某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（ ） A. 4 B. 9 C. 32 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义直接求解即可． 【详解】解：由题意，设，当时，， ∴， ∴； ∴当时，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，理解反比例函数的定义是解题关键． 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象位于第一、三象限 B. 函数图象经过点 C. 函数图象关于y轴对称 D. 时，y随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：反比例函数， ， 该函数图象为第二、四象限，故选项A不符合题意； 当时，，即该函数过点，故选项B不符合题意； 函数图象关于或轴对称，故选项C不符合题意； 当时，随的增大而增大，故选项D符合题意； 故选：D． 5. 根据下列表格中二次函数（，a，b，c为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据当时，，当时，，即可得到答案． 【详解】解：∵当时，，当时，， ∴方程的一个根的取值范围是， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，正确理解题意是解题的关键． 6. 已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质．由于得二次函数开口向下，对称轴为，点B在对称轴上，函数值最大；点A和点C到对称轴的距离分别为3和2，距离越远函数值越小，因此，即可作答． 【详解】解：∵ ∴对称轴为直线， ∵， ∴函数开口向下，在对称轴处取得最大值． ∵点在对称轴上， ∴最大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴开口向下，距离对称轴越远函数值越小， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 7. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，需根据增长率模型逐日计算票房并累加得到前三天的总和．据此列出方程即可． 【详解】解：将增长率记作，则： 第一天票房约为2亿元； 第二天票房为亿元； 第三天票房为亿元； 前三天的累计票房为：． 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】根据点A和点B关于原点对称，则，据此可得；过点A作轴于点E，则，据此可得，进而可得，即可求出． 【详解】解：∵函数与函数交于、两点， ∴点A和点B关于原点对称， ∴， ∴； 如图所示，过点A作轴于点E， ∵， ∴， ∴， 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴． 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（） A. ②④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的性质．①由可得是根，故判别式非负；②由有两不等实根得，从而的判别式恒大于0；③c是根时，只有当才有；④由根的定义直接推导等式成立． 【详解】解：①∵当时，， ∴是方程的根， 故判别式，①正确； ②∵方程有两不等实根， ∴判别式，即， 则方程的判别式， 故有两不等实根，②正确； ③∵c是方程的根， ∴，即， 若，则不一定为0，③错误； ④∵是根，∴， 则， 由，得， 即， ∴，④正确． 综上，①②④正确． 故选：C． 10. 如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，动点函数的知识．根据图2知，，利用正切函数的定义求得的长，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：根据图2知，， 当时，，， ∵， ∴， ， 故选：C． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线与的形状相同，开口方向相反，可得a的值，由顶点坐标可得c的值． 【详解】解：∵抛物线与的形状相同，开口方向相反， ∴， ∵顶点坐标是， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的解析式，掌握解析式与系数的关系是解决本题的关键． 12. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．解题的关键是掌握根与系数的关系，若，是一元二次方程（）的两根时，，． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：6． 13. 已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为（其中），若是关于的函数，且，则的取值范围为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先对一元二次方程因式分解求出两个实数根，结合和的条件确定、的取值，代入的表达式得到关于的不等式，结合已知条件求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程可因式分解为， ∴方程的两个实数根为和， ∵，且， ∴，， 将、代入，得， ∵， ∴，即， ∵，且， ∴不等式的解为． 14. 如图，在反比例函数的图象上有点、、，，，它们的横坐标依次为，分别过点、、作轴，轴的垂线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为、、，则 （1）___________． （2）___________．（用含的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据反比例函数解析式求出点、、、、的坐标，结合图形得出每个阴影矩形的宽为，高为相邻两点纵坐标之差，利用裂项相消法计算面积之和． 【详解】解：（1）由题意可知，点在反比例函数图象上，且横坐标为 ∴点的坐标为 ∴ ，， ，， 观察图形可知，图中阴影部分均为矩形，且宽均为 的高为点与点的纵坐标之差，的高为点与点的纵坐标之差 ∴， ∴ （2）同理可得， ∴ 三、解答题：本题共8小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，直接利用公式法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得，． 16. 已知二次函数（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 【答案】（1） 证明：令，则， ， ∵， ∴， 即， ∴无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2），另一个交点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，根的判别式； （1）通过计算判别式的值，再根据判别式的符号即可证明； （2）代入到，求出k的值，进而求出另一个交点的坐标． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：代入得，， 解得， 当时，， 令，则， 解得，， ∴另一个交点的坐标为． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根． 【小问2详解】 解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ∵， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 18. 综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量． 素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环． 素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式． 任务2：求该冷柜一天的耗电量． 【答案】任务1：；任务2：每天耗电量为度 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出函数关系式． 任务1：设时，关于的函数表达式为，将点代入，利用待定系数法求解即可； 任务2：结合任务1，可解得冷柜每20分钟为一个循环，然后根据“冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）”求解即可． 【详解】任务1：设时，关于的函数表达式为， 将点代入，可得 ， ∴时，关于的函数表达式为； 任务2：当时，可有，解得， ∵冷柜每20分钟为一个循环， ∴每天共有循环个数：（个）， ∴冷柜每天运行的时间为分钟， ∴每天耗电量为：（度）． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集为________； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】（1）； （2） （3）当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，两点距离计算公式等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，在中，当时，，则． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数的 图象上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为； 【小问3详解】 解；如图所示，作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为，则， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴； 综上所述，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 20. 把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？ （2）这两个正方形面积之和可能等于吗？ 【答案】（1）把绳子的长度平均剪成两段； （2）两个正方形面积之和不可能等于． 【解析】 【分析】（1）设第一个正方形的边长为，则第二正方形的边长为，根据正方形的面积公式即可列出方程，判断方程是否有解即可判断． （2）设第一个正方形的边长为，则第二正方形的边长为，根据正方形的面积公式即可列出方程，判断方程是否有解即可判断． 本题考查了一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：依题意，设设第一个正方形的边长为，则第二正方形的边长为 ∴ 解得 即， 即两端绳子均为 ∴应用把绳子的长度平均剪成两段； 【小问2详解】 解：依题意，设设第一个正方形的边长为，则第二正方形的边长为 ∴ ∴ ∴ 解得 ∵ ∴不存在 即这两个正方形面积之和不可能等于 21. 如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” （1）判断二次函数是不是“邻交函数” （2）若二次函数是“邻交函数”，求的值． （3）若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 【答案】（1）是“邻交函数” （2） （3）的最大值为 【解析】 【分析】（1）求出二次函数与x轴的两个交点的坐标即可得到答案； （2）设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，由根与系数的关系得到，则可得到，解方程求出m的值，则可求出n的值，进而可得a的值； （3）当时，，解得，根据定义得到，则可推出，进而得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， 解得， ∴二次函数与x轴的两个交点的坐标分别为， ∵， ∴二次函数与x轴的两个交点的距离为1， ∴二次函数是“邻交函数”； 【小问2详解】 解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴关于x的一元二次方程有两个不相同的实数根，且两根之差为1， 设关于x的一元二次方程的两个实数根分别为， ∴， ∴， ∴， 解得或， 当时，，则，解得， 当时，，则，解得， 综上所述，； 【小问3详解】 解：∵二次函数是“邻交函数”， ∴二次函数与x轴有两个交点，且这两个交点的距离为1， 在中，当时，， 解得， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，t有最大值，最大值为9． 22. 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．（注：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系） （1）求抛物线解析式 （2）当面汤的深度为时，汤面的直径长为多少？ （3）如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度为多少？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可知点的坐标为，可设抛物线的表达式为，根据题意可知，代入求解即可； （2）将代入函数解析式求出P、Q的坐标，即可得到汤面的直径长； （3）由题意得出旋转前与水平方向夹角为，设直线的解析式为，待定系数法求出直线的解析式为，联立，求出，再由勾股定理计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵以点为坐标原点，建立平面直角坐标系， ∴点的坐标为，可设抛物线的表达式为， ∵碗口宽，此时面汤最大深度， ∴， 将代入抛物线解析式得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵面汤的深度为， ∴将代入得， 解得：， ∴； 【小问3详解】 解：∵把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止， ∴旋转前与水平方向夹角为， 设直线的解析式为， 将代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：，， ∴， ∴． 23. 已知抛物线的顶点，经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求出二次函数最大值与最小值的差； （3）如图过点作直线交抛物线于点、，轴于，轴于，求的值． 【答案】（1） （2）16 （3） 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标将二次函数表达式设出来，再将点代入求解即可； （2）利用二次函数的增减性求解即可； （3）将一次函数表达式设出来，联立一次函数与二次函数，求出点横坐标之间的关系，从而确定点横坐标之间的关系，再利用两点之间的距离求解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 即． 【小问2详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ，且， 抛物线开口向上，离对称轴越远值越大， 当时，函数有最大值， 当时，函数有最小值是0， 最大值与最小值的差是16． 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 将点代入解得， ∴直线的解析式为， 将代入，整理得：， ，， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 某种蓄电池的电压U（单位：V）为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系．当时，，则当时，的值是（ ） A. 4 B. 9 C. 32 D. 0 4. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象位于第一、三象限 B. 函数图象经过点 C. 函数图象关于y轴对称 D. 时，y随x值的增大而增大 5. 根据下列表格中二次函数（，a，b，c为常数）的自变量与函数值的对应值，判断方程的一个解的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数图象上三点，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 电影《哪吒》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，函数与函数交于、两点，点在轴上，且，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 12 D. 24 9. 对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若c是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的有（） A. ②④ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③ 10. 如图1，在中，，，点从点出发运动到点时停止，过点作，交直角边AC（或BC）于点Q，设点运动的路程为，的面积为y，y与之间的函数关系图象如图2所示，当时，的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 11. 抛物线与的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是，则该抛物线的函数解析式是_____． 12. 若m、n是一元二次方程的两个根，则的值是_____． 13. 已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根分别为（其中），若是关于的函数，且，则的取值范围为___________ 14. 如图，在反比例函数的图象上有点、、，，，它们的横坐标依次为，分别过点、、作轴，轴的垂线，图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为、、，则 （1）___________． （2）___________．（用含的代数式表示） 三、解答题：本题共8小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 解方程：． 16. 已知二次函数（k为常数）． （1）求证：无论k取何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点； （2）若该函数的图象与x轴的一个交点的横坐标为，求出k的值及另一个交点的坐标． 17. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 18. 综合与实践：探索某款冷柜的日耗电量． 素材1：图1是某款冷柜，耗电功率为0.15千瓦．当内部温度为时，冷柜运行，当温度下降到时，停止运行，温度上升，到时，冷柜再次运行，如此循环． 素材2：冷柜内部温度与时间的关系如图2所示． 当时，是的一次函数；当时，是的反比例函数． 链接：冷柜每天耗电量（度）耗电功率（千瓦）每天运行时间（小时）． 任务1：求时，关于的函数表达式． 任务2：求该冷柜一天的耗电量． 19. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）利用图像，直接写出不等式的解集为________； （3）在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 20. 把一根长为的绳子剪成两段，并把每一段绳子围成一个正方形. （1）要使这两个正方形的面积之和等于，该怎么剪？ （2）这两个正方形面积之和可能等于吗？ 21. 如果二次函数与轴的两个交点的距离为1，那么称这样的函数为“邻交函数”．例如，二次函数与轴的两个交点分别是，，两点的距离为1，则此函数是“邻交函数” （1）判断二次函数是不是“邻交函数” （2）若二次函数是“邻交函数”，求的值． （3）若二次函数是“邻交函数”，令，求的最大值． 22. 图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体呈抛物线状（碗体厚度不计），碗口宽，此时面汤最大深度．（注：以点为坐标原点，建立平面直角坐标系） （1）求抛物线解析式 （2）当面汤的深度为时，汤面的直径长为多少？ （3）如图3，把瓷碗绕点缓缓倾斜倒出部分面汤，当时停止，此时碗中液面宽度为多少？ 23. 已知抛物线的顶点，经过点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）当时，求出二次函数最大值与最小值的差； （3）如图过点作直线交抛物线于点、，轴于，轴于，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $