精品解析：山西大同市平城区校联考2027年八年级上学期期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中教学质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．） 1. 下列图形文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. 费马螺线 B. 笛卡尔心形 C. 斐波那契螺旋线 D. 赵爽弦图 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（ ） A. N点 B. M点 C. P点 D. Q点 4. 如图,点在的延长线上,,,则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 平行且等于 C. D. 平行且等于 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 8. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 9. 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于于，已知角为，则的大小是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，，请你根据“”定理，添加一个条件_____________，使得． 12. 如图，李明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么李明画图的依据是_____． 13. 如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 14. 如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是_____ ． 15. 如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，则的面积为_________． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知，在中． （1）若，，求的各内角度数； （2）若三边长分别为a、b、c，试化简代数式． 17. 如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； （2）当为的平分线时，若，，求的度数． 18. 如图，邮递员小王的家在两条公路和相交成的角（）的内部处，小王每天都要到开往方向的车上取下快件，然后再送到开往方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路和上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹） 19. 如图，在中，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．求证： （1）是的垂直平分线； （2）为等腰三角形． 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， ． （1）画出关于轴对称的； （2）请直接写出关于轴对称的中，，三点的坐标． 21. 已知：在和中，，． （1）如图①，若． ①请问线段与相等吗？请说明理由． ②求的度数； （2）如图②，若，的大小为 （直接写出结果，不证明）． 22. 阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）--猜想--推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图，四边形中，，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图中直角筝形的性质，得到如下结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． 中，， ， … 关于对角线：… 任务： （1）补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； （2）小颖在图的基础上连接对角线，交于点，得到图，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； （3）在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中教学质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，全卷共8页，满分120分，考试时间90分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的字母标号填入下表相应的空格内．） 1. 下列图形文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. 费马螺线 B. 笛卡尔心形 C. 斐波那契螺旋线 D. 赵爽弦图 【答案】B 【解析】 【分析】本题重点考查轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此逐一判断即可． 【详解】解：A，C，D三个选项中不能找到一条直线对折后两部分完全重合，故不是轴对称图形， 只有B选项能找到一条直线对折后两部分完全重合，故是轴对称图形， 故选：B． 2. 下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】只需验证每组中较短两根小木棒的长度和大于最长根的长度，即可判断能否摆成三角形． 【详解】解：A、，不能摆成三角形． B、 ，不能摆成三角形． C、，不能摆成三角形． D、 ，能摆成三角形． 3. 有一个厚薄均匀的三角形硬纸板，现在硬纸板上选一点，在这个点上钻一个小孔，通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起，若三角形硬纸板处于平衡状态，则这一点可能是（ ） A. N点 B. M点 C. P点 D. Q点 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形重心的意义选择即可． 【详解】解：∵三角形硬纸板处于平衡状态， ∴这个点为三角形的重心， 由图可知点N为该三角形的重心． 故选A． 【点睛】本题考查三角形的重心．掌握重心为三角形三条中线的交点是解题关键． 4. 如图,点在的延长线上,,,则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角和定理．根据题意可知是的一个外角,根据“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”定理代入条件,继而得出答案． 【详解】解:∵，, ∴, 故选:C． 5. 如图，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 平行且等于 C. D. 平行且等于 【答案】C 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴，A选项正确，不符合题意； ，，B选项正确，不符合题意； ，，D选项正确，不符合题意； 根据已知，得不出，C选项错误，符合题意； 故选：C 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握全等三角形对应边相等，对应角相等． 6. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 7. 如图，，平分，P为上任意一点，交于点E，于点F，若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、平行线的性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质以及含30度角的直角三角形的性质是解答的关键．过P作于H，根据角平分线的性质得到，，根据平行线的性质和三角形的外角性质求得，然后利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：过P作于H， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 故选：C． 8. 将一根长14厘米的铁棒截成三段，首尾相连焊接成一个等腰三角形，如图，如果第一次在4厘米处（剪刀处）截断，那么第二次可以在（ ）处截断． A. ①或② B. ①或③ C. ②或③ D. ③或④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，分4厘米为等腰三角形的腰和底讨论即可． 【详解】解：当4厘米为腰时，则底为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在②处截断； 当4厘米为底时，则腰为厘米， 此时能组成三角形， ∴第二次可以在③处截断； 综上， 第二次可以在②或③处截断， 故选：C． 9. 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用角来评估脊柱侧弯的程度，当角为脊柱侧弯．如图是脊柱侧弯角的检测示意图，于于，已知角为，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，从而可得． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 故选：A． 10. 如图，在△中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②若，，则；③当时，．其中正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】由，，推导出，则，可判断①正确；连接，作于点，于点，由角平分线的性质得，求得，可判断②错误；在上截取，连接，由，求得，则，可证明，得，则，再证明，得，则，可判断③正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：△的角平分线、交于点， ，， ， ，故①正确； 如图1，连接，作于点，于点， 平分，平分，交于点，且于点， ， ， ，故②错误； 如图2，在上截取，连接， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， ，故③正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了角平分线的性质及定义，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，掌握角平分线的性质及定义是解题的关键． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，，请你根据“”定理，添加一个条件_____________，使得． 【答案】（或） 【解析】 【分析】本题主要考查了用“”证明两个直角三角形全等，解题的关键是熟练掌握“如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等”． 根据“”定理内容即可进行解答． 【详解】解：如果两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等． 由图可知：和斜边为公共边，即， ∴应添加：（或） 故答案为：（或）． 12. 如图，李明书上的三角形被墨迹污染了一部分，他根据所学的知识很快就画了一个与书上完全一样的三角形，那么李明画图的依据是_____． 【答案】 【解析】 【详解】解：由图可知，三角形未被污染的部分保留了两个角和这两个角的夹边， 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等， 李明画图的依据是. 13. 如图，在中，，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，则的周长为___________（用、表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，则，进一步证明，得到，即可求出答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交边于点，交边于点 ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 故答案为： 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是关键． 14. 如图，在中，，，面积是12，的垂直平分线分别交，边于点E，F．若点D为边的中点，点P为线段上一动点，则周长的最小值是_____ ． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质．连接，，由，点是边的中点，则，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点关于直线的对称点为点，当三点共线时，即的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵，点是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴点关于直线的对称点为点， ∴当三点共线时，即的长为的最小值， ∴的周长最短， 故答案为：8． 15. 如图，同学们将三角形纸片按如下方式折叠：沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕与边交于点，展开后连接；再沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在边上，折痕交边于点．若，则的面积为_________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称的性质，角平分线的性质，如图，过作于，先证明，，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， 由对折可得：，，， ∴， ∴的面积为：， ∵， ∴的面积为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知，在中． （1）若，，求的各内角度数； （2）若三边长分别为a、b、c，试化简代数式． 【答案】（1）， ，；（2）2b﹣2c 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理计算即可； （2）根据三角形三边关系和绝对值性质化简即可； 【详解】（1）解：，， 又， ， ， ， ． ，． （2）解：∵三边长分别为a、b、c， ∴，， ∴|a＋b﹣c|﹣|b﹣c﹣a|， ＝a＋b﹣c﹣（﹣b＋c＋a）， ＝a＋b﹣c＋b﹣a﹣c， ＝2b﹣2c． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形三边关系和绝对值的性质，准确分析计算是解题的关键． 17. 如图，在中，为边上的高，点E为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为24，求的长； （2）当为的平分线时，若，，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高． （1）先根据三角形面积公式计算出，然后根据为边上的中线得到的长； （2）先根据三角形内角和定理计算出，再利用角平分线的定义得到，接着计算出，然后计算即可． 【小问1详解】 解：∵为边上的高，的面积为24， ∴， ∴， ∵为边上的中线， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴为的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴． 18. 如图，邮递员小王的家在两条公路和相交成的角（）的内部处，小王每天都要到开往方向的车上取下快件，然后再送到开往方向的车上，这样他就可以回家了，为使小王每天接送快件时的行程最短，请帮助他找出在公路和上的等车地点．（画草图，保留作图痕迹） 【答案】如图，处、处为所求作． 【解析】 【分析】如图所示，分别作点关于射线所在直线的对称点，点关于射线所在直线的对称点，连接，分别交射线、于点、，则根据轴对称的性质可知处、处分别为小王在公路和上的等车地点． 【详解】略 【点睛】本题考查了轴对称—路径最短问题，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键． 19. 如图，在中，，是的平分线，交于点D，E是的中点，连接并延长，交的延长线于点F，连接．求证： （1）是的垂直平分线； （2）为等腰三角形． 【答案】（1） 证明：在中，， °， 是的平分线， ， ， ， E是的中点， ， 是的垂直平分线； （2） 证明：是的垂直平分线； , ， ， 为等腰三角形． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、线段垂直平分线的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键． （1）根据等腰三角形的性质求得，再根据角平分线的定义求得，然后根据等腰三角形判定和三线合一性质可得结论； （2）先根据线段垂直平分线的性质得到，进而求得，根据等腰三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，， ． （1）画出关于轴对称的； （2）请直接写出关于轴对称的中，，三点的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求： （2），， 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质得到对应点的位置，然后顺次连接即可画出图形； （2）根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 已知：在和中，，． （1）如图①，若． ①请问线段与相等吗？请说明理由． ②求的度数； （2）如图②，若，的大小为 （直接写出结果，不证明）． 【答案】（1） ①线段与相等，理由是： ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据已知先证明，再 证明，则可得结论； ②利用全等三角形性质得到，结合图形，利用三角形的外角性质和三角形内角和定理即可求出． （2）由（1）可知，，则，由三角形内角和定理得到，可得到，即可得到． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并利用全等性质证明线段与角的等量关系是解题的关键． 【小问1详解】 解：①略 ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 22. 阅读与思考： 下面是智慧小组一次研究性学习报告的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比三角形，从定义及已有基本事实、结论出发，从组成要素及相关要素之间关系的角度研究筝形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）--猜想--推理 研究内容： 一般概念：如果一个四边形中，两组邻边分别相等，我们称这样的四边形为“筝形”．如图，四边形中，，，则四边形为“筝形”． 特例研究：根据筝形的定义，对“直角筝形”研究如下： 定义：如图，筝形中，，，若，则称四边形为直角筝形． 性质：根据定义，探索图中直角筝形的性质，得到如下结论： 关于内角：直角筝形中，与互补． 理由如下：连接对角线． 中，， ， … 关于对角线：… 任务： （1）补全材料中关于直角筝形内角性质的说理过程； （2）小颖在图的基础上连接对角线，交于点，得到图，发现如下结论：①平分与；②垂直平分．请你用三角形的有关知识帮她说明结论①②成立的理由； （3）在图3中，以为对角线构造直角筝形，使它的顶点在射线上．若，则的度数为______． 【答案】（1） 补全内角性质说理：连接对角线． ∵中，， ∴， 同理，中，， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴，即与互补． （2） 证明：①在和中， ∵，，， ∴（）， ∴，， ∴平分与． ②∵， ∴， 又∵， ∴，（等腰三角形三线合一）， ∴垂直平分． （3）或 【解析】 【分析】（1）连接，利用直角三角形内角和与全等三角形，推导与的和． （2）①通过证得角平分线；②用全等与等腰三角形三线合一证垂直平分． （3）根据“筝形”定义（两组邻边分别相等），构造以为对角线的直角筝形（需满足两组邻边相等直角），分在延长线、在线段上两种情况，结合三角形内角和计算． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：情形：当时， ∵，， ∴， ∵， ∴，此时，点在的延长线上，， ∴； 情形：当时，点在上， ∵四边形是直角筝形，为对角线， ∴，， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形内角和，熟练掌握“筝形”的定义（两组邻边分别相等的四边形）及分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $