2026-2027学年人教版数学九年级上册期中培优专题—二次函数专项训练（必刷题型）

期中培优专题—二次函数专项训练（必刷题型）

1．阅读下列内容：

如果点在一次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？下面是解决问题的一种途径（简称消参法）．

所以点一定在函数的图象上．

根据阅读内容解决下列问题：

(1)如果点在二次函数的图象上，那么点一定在哪个函数的图象上呢？填写下面的空格；

___，_____，_______，______；

(2)如图，若点在二次函数的图象上，则点一定在哪个函数的图象上呢？（设这个函数为．）

①求函数的函数表达式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象（不要求列表）；

②记、组成的新函数为，当时，的最大值与最小值的差是8，请求出所有符合条件的的值．

2．在平面直角坐标系中，抛物线（，是常数）经过点，．点在抛物线上，且点的横坐标为．

(1)求，的值；

(2)若此抛物线在点左侧部分（包括点）的最低点的纵坐标为，求的值；

(3)过点作轴的平行线交直线于点，以为边在的左侧作正方形，当此抛物线在正方形内部的图象（含抛物线与正方形的交点）的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出的值．

3．新定义：我们把抛物线（）与抛物线称为“友好抛物线”，例如：抛物线的“友好抛物线”为；

(1)抛物线的“友好抛物线”的解析式为______________；“友好抛物线”的顶点坐标为________；

(2)若抛物线M：（）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式．

(3)已知抛物线C：（其中）经过其“友好抛物线”的顶点，

①求抛物线C的对称轴；

②当时，y的最大值为3，求a的值．

4．如图，二次函数的图象与轴的交点坐标分别是，．

(1)求a，c的值；

(2)点在该函数的图象上，当时，有最大值3，求的值；

(3)点，都在该函数的图象上，若且，求的取值范围．

5．如图，在平面直角坐标系中，矩形的三个顶点，，，抛物线经过A，C两点．动点P从点A出发，沿线段向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段向终点D运动，运动速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作交于点E．

(1)求点A的坐标及抛物线的函数表达式；

(2)过点E作于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段的长有最大值？最大值是多少？

(3)连接，是否存在t的值使为等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．

6．在数学的世界里，几何图形是重要的研究对象．图形的形状、大小和位置是平面几何的三大研究要素，平移、翻折、旋转更是我们研究图形性质的常用工具．某学校数学兴趣小组的同学们在掌握了二次函数的相关知识后，对该函数图象的平移、旋转、翻折问题展开了深入探究，过程如下：

(1)如图1所示，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．将该抛物线向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则平移后的函数表达式为 ．

(2)如图2所示，抛物线与直线交于、两点．将位于直线下方的抛物线沿着直线翻折，点是直线下方抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交直线于点．

①请判断点 翻折后的图象上（填“在”或“不在”）；

②在点的运动过程中，求线段的最大值．

(3)如图3所示，将抛物线绕点逆时针旋转得到新的抛物线．直线l：与抛物线交于点、，点在点的下方，请直接写出点的坐标．