2.1.2 两条直线平行和垂直的判定讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

 选择性必修第一册　第二章　直线和圆的方程

[学习目标]

1．理解两条直线平行与垂直的判定条件，能根据斜率判定两条直线的位置关系，并会处理斜率不存在与两条直线重合这两种特殊情形。

2．经历由倾斜角和三角函数公式推出判定条件的过程，掌握“先判斜率是否存在、再算斜率、最后检验”的操作顺序。

3．会用平行、垂直关系求直线的斜率或所带参数的值，会用斜率判断三角形、四边形等简单平面图形的形状。

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 1．两条直线平行的判定

初中已经知道，一次函数 与 的图象都是直线，并且两条直线没有公共点，即它们互相平行。由 2.1.1，这两条直线向上的方向与 轴正方向所成的角（倾斜角）相同，因为它们的斜率都等于一次项系数 2。图 1 把这两条直线画在同一个坐标系中。

图 1: 为 的图象， 为 的图象，两图象没有公共点

设两条不重合的直线 、 的斜率都存在，分别为 、，倾斜角分别为 、。若 ，由平面几何中的同位角相等得 ，于是 ，即 ；反过来，若 ，则 ，两条直线的方向相同，又因为它们不重合，所以 。

(1) 判定：设两条的直线 、 的斜率都存在，分别为 、，则 。

(2) 当 、 的斜率都不存在时，两条直线都垂直于 轴，它们的倾斜角都等于，此时两条不重合的直线也互相平行，如图 2 中的 与 。

图 2: 过点 (−1,0) 且垂直于 轴， 过点 (2,0) 且垂直于 轴， 过点 (0,1) 且与 轴平行

 提醒： 由 只能推出 或 与 重合，判定平行之后还要补一步不重合的检验。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 已知两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。（　　）

(2) 经过两点 、 的直线与经过两点 、 的直线平行。（　　）

 2．两条直线垂直的判定

图 3 中画着一次函数 与 的图象，两条直线相交成直角。设它们的倾斜角分别为 、，则 ，由诱导公式与同角三角函数关系得

即 ，也就是 。

图 3: 为 的图象， 为 的图象，两图象的公共点为 ，相交成直角

(1) 判定：设两条直线 、 的斜率都存在，分别为 、，则 。

(2) 上式成立的前提是 、 都存在且都不是 0。若其中一条直线的斜率为 0（倾斜角为 0，与 轴平行），另一条直线的斜率不存在（倾斜角为 ，与 轴垂直），这两条直线仍然，但 没有意义，如图 2 中的 与 。

 提醒： 用 之前必须先说明两条直线的斜率都存在，否则会把斜率为 0 与斜率不存在这一类垂直情形漏掉。

判断

(1) 两条直线互相垂直，则它们的斜率之积为 −1。（　　）

(2) 已知两条直线的斜率都存在，若它们的斜率之积为 −1，则这两条直线互相垂直。（　　）

 3．用坐标法研究平面图形的形状

把平面图形放进坐标系，每个顶点都用一对坐标表示，图中的平行与垂直就变成斜率之间的等式。图 4 中的 三个顶点为 、、，从图上可以猜出 是直角，再算斜率检验：，，两者之积为 −1，猜想成立。

图 4: ，所以

(1) 判断 是否为直角三角形，分别求出三条边所在直线的，若其中两条直线的斜率之积为，则这个三角形是直角三角形，直角顶点是这两条边的顶点。

(2) 判断四边形的形状，先算四条边所在直线的斜率：两组对边分别平行时，它是；在平行四边形的基础上再有一组邻边互相垂直，它就是矩形；只有一组对边平行，并且有一条腰与底边垂直时，它是直角梯形。

 提醒： 斜率只能判定平行与垂直，不能比较线段的长短，所以用斜率研究图形，结论一般只能落到直角三角形、平行四边形、矩形、直角梯形这些位置上。

判断

(1) 在 中，若 ，则 。（　　）

(2) 两组对边分别平行的四边形，它的四个角都是直角。（　　）