2.1 直线的倾斜角与斜率 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 (Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（人教A版）

本讲义聚焦两条直线平行和垂直的判定核心知识点，基于直线的斜率、倾斜角、方向向量等基础，通过对比斜率存在与不存在的情况构建判定方法，形成从概念理解到实际应用的学习支架。 该资料特色在于设置诊断分析辨析易错点，培养学生推理意识，探究点结合例题与变式发展抽象能力和几何直观，素养小结系统梳理方法提升数学语言表达。课中辅助教师分层教学，课后助力学生查漏补缺。

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 【学习目标】 　　1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直,并能用文字语言和符号语言叙述并判断结论. 　　2.能描述如何利用斜率或方向向量判定两直线平行或垂直. 　　3.能根据给定条件求出直线的斜率或方向向量,进而判定两直线平行或垂直. ◆ 知识点一　两条直线平行 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90° 对应关系 l1∥l2⇔　　　  l1∥l2⇔两条直线的斜率都不存在 图示 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)“直线l1与l2平行”是“直线l1与l2的斜率相等”的充要条件. (　 ) (2)如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量一定相等. (　 ) (3)如果两条直线平行,那么这两条直线的倾斜角一定相等. (　 ) ◆ 知识点二　两条直线垂直 图示 对应关系 对于斜率分别为k1,k2的两条直线l1,l2,l1⊥l2⇔　　　  若l1的斜率不存在,l2的斜率为0,则　　　  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)已知直线l1的倾斜角为α,直线l2的倾斜角为β,若l1⊥l2,则α-β=90°. (　 ) (2)已知直线l1,l2的一个方向向量分别为a=(1,k1),b=(1,k2),若l1⊥l2,则a·b=0,从而k1k2=-1. (　 ) (3)“直线l1,l2的斜率之积为-1”是“直线l1,l2互相垂直”的充要条件. (　 ) ◆ 探究点一　两条直线的平行问题 例1 根据下列条件,判断直线l1与直线l2是否平行或重合: (1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7); (2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(3,2),N(-2,-3); (3)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5). 变式 (1)[2026·安徽部分学校高二期中] 已知直线l1经过P(-1,0),Q(a,2)两点,直线l2的一个方向向量为n=(1,a),若l1∥l2,则a= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1或-2 B.2 C.2或-1 D.1 (2)已知A(1,2),B(5,0),C(3,4),若A,B,C,D可以构成平行四边形,求点D的坐标. [素养小结] 判断两条不重合的直线是否平行有两种方法:一种是利用两条直线的方向向量,另一种是利用两条直线的斜率.利用两条直线的斜率判断两条直线是否平行的方法如下: 拓展 若一束光线从点P(0,1)发出,射到x轴上的A点后被反射,反射光线所在的直线与一条斜率为2的直线平行,则点A的坐标为　　　　.  ◆ 探究点二　两条直线的垂直问题 例2 根据下列条件,判断直线l1与l2是否垂直: (1)l1的倾斜角为,l2经过M(-4,-),N(5,2)两点; (2)l1的斜率为-,l2经过P(3,-2),Q(-6,4)两点; (3)l1的斜率为-,l2的倾斜角为α,α为锐角,且tan 2α=-. 变式 (1)已知A(3,1),B(-2,2),若点C在y轴负半轴上,且∠ACB=,则点C的纵坐标为(　 ) A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 (2)[2026·马鞍山二中高二质检] 已知直线l1过点P(-1,2),Q(1,m),直线l2的一个方向向量为a=(-1,2),且l1⊥l2,则m=　　　　.  [素养小结] (1)利用直线的斜率判断平面图形的形状时,一般先由图形进行猜测,然后利用直线的斜率关系进行判断. (2)由平面图形的形状求参数(一般是点的坐标)时,要考虑到平面图形可能出现的各种情形,设计如何运算.在运算时既要考虑运算对象,又要考虑斜率是否存在. 拓展 如图,在平面直角坐标系xOy中,设△ABC的顶点分别为A(0,a),B(b,0),C(c,0),点P(0,p)是线段AO上的一点(异于端点),设a,b,c,p均为非零实数,直线BP,CP分别交AC,AB于点E,F,若BE⊥AC,求证: CF⊥AB. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1.2　两条直线平行和垂直的判定 【课前预习】 知识点一 k1=k2 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)两直线平行,它们的斜率可能都不存在;两直线的斜率相等,它们可能重合.所以是既不充分也不必要条件. (2)如果两条直线平行,那么这两条直线的方向向量一定平行. 知识点二 k1k2=-1　l1⊥l2 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)×　[解析] (1)由l1⊥l2得α-β=±90°. (2)由l1⊥l2得a⊥b,因此a·b=0,即1×1+k1×k2=0,故k1k2=-1. (3)当直线l1,l2的斜率之积为-1时,直线l1,l2互相垂直;当直线l1,l2互相垂直时,直线l1,l2的斜率有不存在的情况.故“直线l1,l2的斜率之积为-1”不是“直线l1,l2互相垂直”的充要条件. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)由题意知直线l1的斜率k1==-,直线l2的斜率k2==-. 因为k1=k2,且A,B,C,D四点不共线,所以l1∥l2. (2)由题意知直线l1的斜率为tan 60°=,直线l2的斜率为=,所以l1∥l2或l1与l2重合. (3)由题意知l1的斜率不存在,且l1不与y轴重合,l2的斜率不存在,且与y轴重合,所以l1∥l2. 变式　(1)A　[解析] 当a=-1时,直线l1的斜率不存在,而直线l2的斜率为-1,l1与l2显然不平行,不符合题意,故a≠-1,则直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=a.因为l1∥l2,所以k1=k2,即=a,整理得a2+a-2=0,解得a=-2或1.故选A. (2)解:由题意得kAB==-,kAC==1,kBC==-2,设D(a,b). 若四边形ABCD是平行四边形,则kCD=kAB,kAD=kBC,即解得即D(-1,6). 若四边形ABDC是平行四边形,则kCD=kAB,kBD=kAC, 即解得即D(7,2). 若四边形ACBD是平行四边形,则kBD=kAC,kAD=kBC,即解得即D(3,-2). 综上,点D的坐标为(-1,6)或(7,2)或(3,-2). 拓展　　[解析] 方法一(利用斜率):P(0,1)关于x轴的对称点为P'(0,-1),设A(x0,0),连接AP',则反射光线所在的直线为直线AP',又反射光线所在的直线与一条斜率为2的直线平行,∴kAP'==2,∴x0=,即A. 方法二(利用方向向量):P(0,1)关于x轴的对称点为P'(0,-1),设A(x0,0),连接AP',则反射光线所在的直线为直线AP',它的一个方向向量为=(x0,1),斜率为2的直线的一个方向向量为n=(1,2),由题意知∥n,∴2x0-1=0,解得x0=,即A. 探究点二 例2　解:(1)因为l1的倾斜角为, 所以l1的斜率为tan=-. 因为l2经过M(-4,-),N(5,2)两点, 所以l2的斜率为=. 因为-×=-1,所以l1⊥l2. (2)因为l2经过P(3,-2),Q(-6,4)两点,所以l2的斜率为=-. 因为l1的斜率为-,且-×≠-1,所以l1与l2不垂直. (3)记l2的斜率为k,因为tan 2α=-,所以=-,解得k=3或k=-. 因为α为锐角,所以k=3. 因为l1的斜率为-,且3×=-1,所以l1⊥l2. 变式　(1)A　(2)3　[解析] (1)设点C(0,a),a<0,则直线AC,BC的斜率必存在,且kAC=,kBC=,因为∠ACB=,所以kACkBC=·=-1,整理得a2-3a-4=0,又a<0,所以a=-1,即点C的纵坐标为-1.故选A. (2)由直线l2的一个方向向量为a=(-1,2),可得直线l2的斜率k=-2,因为直线l1过点P(-1,2),Q(1,m),且l1⊥l2,所以kPQ===-=,解得m=3. 拓展　证明:由点B(b,0)和点P(0,p),知直线BP的斜率为-,由点A(0,a)和点C(c,0),知直线AC的斜率为-, 因为BE⊥AC,所以=-1,即pa=-bc. 由点C(c,0)和点P(0,p),知直线CP的斜率为-, 由点A(0,a)和点B(b,0),知直线AB的斜率为-, 则直线CF与AB的斜率之积为===-1,所以CF⊥AB. 学科网（北京）股份有限公司 $