青海省海东市第二中学2026-2027学年高二上学期11月期中考试数学试题

高二年级秋季学期期中考试（数学）试卷 姓名： 班级： 考号： 一、单选题（共8题，共40分） 1．直线：的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．直线在轴上的截距为（ ） A． B． C． D． 3．已知点，，则的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）． A． B． C． D． 4．已知，且，，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．两条平行直线：与：间的距离为（ ） A． B． C． D． 6．已知直线：，：，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知圆：，则圆上的点到坐标原点的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．圆锥的底面半径为，高为，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共3题，共18分） 9．已知空间向量，，，则（ ） A． B．向量，，不是共面向量 C． D． 10．已知直线：与圆：相交于，两点，则（ ） A．圆心的坐标为 B．圆的半径为 C．圆心到直线的距离为 D． 11．如图，在正四棱柱中，，，为线段上一动点，则下列说法正确的是（ ） A．直线平面 B．直线平面 C．若为的中点，则 D．三棱锥外接球的体积为 三、填空题（共3题，共15分） 12．已知向量，，若，则 ． 13．若直线：与直线：垂直，则 ． 14．在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的个顶点均在一个球面上，则该球的表面积为 ． 四、解答题（共5题） 15．（13分）已知的三个顶点坐标分别为、、 （1）求边所在直线的方程； （2）求边的垂直平分线所在直线的方程． 16．（15分）如图，长方体中，，，是的中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离． 17．（15分）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）求圆过点的切线方程； （3）直线与圆相交于、两点，且，求实数的值． 18．（17分）如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，．将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2． （1）求证：． （2）求直线和平面所成角的正弦值． （3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（17分）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级秋季学期期中考试（数学）试卷答案 1．A 2．B 3．A 4．C 5．D 6．C 7．A 8．B 9．AC 10．ACD 11．AD 12．【答案】 【解析】由空间向量数量积垂直的坐标表示列出方程即可求解. 已知向量，若，则，解得. 故答案为：. 13．【答案】 【解析】因为， 所以，解得. 14．【答案】 【解析】由向量以及外接球的性质可得，列出方程，再由球的面积公式即可求解. 设，，方向上的单位向量分别为，，，由题意可得， 且，，，设该三棱锥外接球的球心为，半径为，设， 由外接球的性质可得，，， 又， ， ， 所以，，， 即，，，三式相加可得，， 则，回代解得，，， 所以， 所以该三棱锥外接球的表面积. 15．【答案】（1） （2） 【解析】（1）利用斜率公式求出直线的斜率，代入点斜式即可求解； （2）利用中点坐标公式求出的中点坐标，然后利用相互垂直的直线斜率关系求出斜率，代入点斜式即可求解. 【小问1详解】 直线的斜率为，且， 所以边所在直线的方程为，即. 【小问2详解】 因为、，所以的中点为， 又直线的斜率为，所以边的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边的垂直平分线所在直线的方程为，即. 16．【解析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）利用空间点到面距离公式进行求解即可． （1）证明：如图建系A-xyz,在长方体中，AB=BC=1，AA1=2， 则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），A1（0，0，2）， B1（1，0，2），C1（1，1，2），D1（0，1，2），E（0，0，1）， ，，， 因为，， 所以CE⊥B1D1，CE⊥B1E，又B1D1∩B1E=B1，B1D1，B1E⊂平面EB1D1， 所以CE⊥平面EB1D1； （2）解：设平面CB1D1的法向量， ， 又， 所以． 17．【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】（1）设圆心，根据结合两点间的距离公式求出的值，可得出圆心的坐标，并求出圆的半径，由此可得出圆的标准方程； （2）对切线的斜率是否存在进行分类讨论，在切线斜率不存在时，直接验证即可；在切线斜率存在时，设切线的方程为，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，求出的值，综合可得出切线的方程； （3）根据几何关系求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式可得出关于的等式，即可解得实数的值. 【小问1详解】 由圆心在直线上，设圆心， 由，得，解得， 因此圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，圆心到直线的距离为半径， 则直线是符合题意的切线； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， ，解得，直线方程为， 所以切线方程为或. 【小问3详解】 由（1）知，圆的圆心，半径， 由，得圆心到直线的距离， 则，即， 则，解得或， 所以实数的值为或. 18．【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，. 【解析】（1）推导出，，从而，进而，由此得到平面，从而能证明； （2）取中点，连接，，再由，，建立空间直角坐标系，利用法向量能求出直线和平面所成角的正弦值； （3）线段上存在点适合题意，设，其中，利用向量法能求出线段上存在点适合题意，且. （1）因为在中，，分别为，的中点， 所以，. 所以，又为的中点，所以. 因为平面平面，且平面， 所以平面， 所以. （2）取的中点，连接，所以. 由（1）得，. 如图建立空间直角坐标系. 由题意得，，，，. 所以，，. 设平面的法向量为. 则 即 令，则，，所以. 设直线和平面所成的角为， 则. 故所求角的正弦值为. （3）线段上存在点适合题意. 设，其中. 设，则有， 所以，，，从而， 所以，又， 所以 令， 整理得.解得. 所以线段上存在点适合题意，且. 【点睛】本题考查了立体几何中的面面垂直的判定和线面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解. 19．【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】（1）先将函数化简为的形式，从而得到伴随向量的坐标，再根据向量模的计算公式即可求出； （2）先根据伴随函数的定义求出的表达式，进而求出的值，再利用正弦定理求出，最后根据余弦定理即可求出； （3）先根据伴随函数的定义求出函数的表达式，再化简方程，分类讨论并画出的图象，然后将问题转化为两个函数有交点问题，最后根据函数图象的交点情况即可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 由题意得， ，. 【小问2详解】 函数为向量的伴随函数， ， ，或， 即或（舍）， 又，由正弦定理得，，即，， 所以，即， 由余弦定理得，即， 即. 【小问3详解】 函数为向量的伴随函数，， 又关于的方程为， ，即 记 ∴ 作出函数的图像，如图所示， 方程在上有且仅有四个不相等的实数根， 图象与直线有四个交点， ，即. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $