专题06 双曲线与抛物线（期中真题汇编，陕晋青宁专用）高二数学上学期

专题06 双曲线与抛物线 2大高频考点概览 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（       ） A.  B. 2 C.  D. 1 【答案】A 【分析】 由题干得到双曲线方程可求出虚轴 【详解】 由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，所以，则的虚轴长为． 故选：A 2．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）（多选）已知曲线，则（     ） A. 若，则C是圆 B. 若，则C是椭圆 C. 若，则C是双曲线 D. 若，，则C是两条直线 【答案】CD 【分析】 结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项. 【详解】 因为曲线：. 当时，表示圆； 当，且时，表示椭圆； 当时，表示双曲线； 当 或 时，表示两条直线. 所以CD正确. 故选：CD 3．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 写出双曲线的标准方程，求得，即可求出渐近线方程. 【详解】 由题可得双曲线的标准方程为：，所以，，则双曲线的渐近线方程为：； 故选：C 4．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 化双曲线方程为标准方程即可求解. 【详解】 由题意得， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 5．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为(       ) A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据双曲线的定义及已知得，再应用余弦定理得到双曲线参数的齐次方程，进而求渐近线. 【详解】 由双曲线定义知，又，则，， 在中，，，则， 所以，可得，则， 所以的渐近线方程为. 故选：C. 6．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数n的值是（       ） A.  B.  C. 5 D. 9 【答案】B 【详解】根据椭圆和双曲线中的关系分别求出各自半焦距，再由半焦距相等列出方程即可解出． 【详解】 由椭圆得半焦距为， 双曲线的半焦距为∴，解得． 故选：B. 【点睛】 本题主要考查椭圆和双曲线简单几何性质的应用，属于容易题． 7．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由双曲线的定义结合，解得，又，可求的面积. 【详解】 因为双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点， 由，又有，所以． 由，为等腰三角形，则底边上的高， . 故选：B 8．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（       ） A. 可能表示圆 B. 可能表示焦点在轴上的双曲线 C. 若表示双曲线，则 D. 若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 【答案】ACD 【分析】 根据圆、双曲线、椭圆的标准方程的特点，依次判断即可. 【详解】 当时，，曲线的方程化为：，表示圆，故A正确. 由，得，所以不可能表示焦点在轴上的双曲线，故B错误. 若表示双曲线，因为，所以须使，得，故C正确. 若表示焦点在轴上的椭圆，则，得，得， 所以，， 所以的焦距为，故D正确. 故选：ACD. 9．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（       ） A. 9 B. 18 C.  D.  【答案】C 【分析】 由题意得到 ，求解即可. 【详解】 如图： 设的焦距为，由题意得 ， 又， 可得，得. 故选：C 10．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 设圆与线段，，分别相切于点,由，确定，进而确定直线的方程，得到，即可求解. 【详解】 由题意知，，. 如图，设圆与线段，，分别相切于点，则，，， 所以， 所以，从而可知内切圆的圆心C在直线上. 因为的斜率为，所以倾斜角为， 因为是的平分线， 所以直线的倾斜角为，方程为，将代入，得， 所以，即圆C的半径为，得圆C的面积为. 故选：C 11．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解. 【详解】 如下图所示：    在双曲线中，，，则，则、， 由双曲线的定义可得，所以， 所以的周长为 ， 当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立， 故周长的最小值为. 故选：C. 12．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，点是双曲线上的一点，且，则双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据双曲线的定义结合，求得，再在中，利用勾股定理求得之间的关系，从而得解. 【详解】 因为在双曲线中，因为，所以， 则，   在中，，， 所以，即，所以， 所以，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D 13．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（     ） A. 11 B. 9 C.  D. 5 【答案】B 【分析】 求出下焦点的坐标，由双曲线的定义可得，由图知，当三点共线（在线段上）时，的值最小，计算即得． 【详解】 由，得，，， 所以上焦点，则下焦点为，又， 由双曲线的定义得， 由图知，当三点共线（在线段上）时，取得最小值9．    故选：B． 14．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）（多选）如图，在等腰梯形中.为线段上的一点.以，为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（       ） A.  B.  C. 2 D.  【答案】BCD 【分析】 如图，建系，设，通过题中条件写出的坐标，得到的坐标，求出.设，则有，代入坐标得到用表示的的坐标，将的坐标代入，得到，利用在上单调递减，得到离心率的范围. 【详解】 如图，以的中点为原点，建立直角坐标系，如图所示，设，得，易得， 则. 设，则，得， 则，将， 代入的方程，得，得， 则. 因为函数在上单调递减， 所以，故. 故选：BCD. 15．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据等腰三角形三边关系可构造不等式求得的范围，根据双曲线和椭圆定义可利用表示出，从而得到，结合的范围可得结果. 【详解】 设椭圆与双曲线的半焦距为c，椭圆长半轴为，双曲线实半轴为，，， 是以为底边的等腰三角形，点在第一象限内， ， 即，，且，，，，解得：． 在双曲线中，，； 在椭圆中，，； ； ，，则，， 可得：， 的取值范围为. 故选：B. 16．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（       ） A.  B. 3 C. 6 D.  【答案】C 【分析】 利用椭圆和双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示，再利用均值不等式得到答案． 【详解】 设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，    又，， 两式相减，可得：，， ． ， ，当且仅当时取等号， 的最小值为6， 故选：C． 【点睛】 本题考查了椭圆双曲线的性质，用椭圆双曲线的焦距长轴长表示是解题的关键，意在考查学生的计算能力． 17．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. (1) 小问详解： 由题意，知 ，解得 ，故双曲线的方程为． (2) 小问详解： 设， 则 ，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 18．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据离心率求得，即可求得渐近线方程. 【详解】 因为双曲线的离心率为2，则，解得， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 19．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知双曲线的离心率是，则双曲线的实轴长为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据离心率的公式以及可求解出的值，则结果可知. 【详解】 因为 ，解得，所以实轴长为， 故答案为：. 20．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）若双曲线的离心率为，则　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据双曲线方程求得，然后利用离心率公式列式求解即可. 【详解】 由双曲线方程可得，则，所以， 又双曲线的离心率为，所以离心率，即，解得． 故答案为：2． 21．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 由焦点在轴上，得到 ，求解即可. 【详解】 由题意得 ， 解得. 故答案为： 22．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明是什么曲线？ （2）若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【答案】（1）曲线的方程为，曲线是除去左、右顶点的双曲线     （2）      【分析】 （1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程，并说明曲线类型即可． （2）先求直线的方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算即可． (1) 小问详解： 因为，所以直线，的斜率分别为，，则有，化简得， 即曲线的方程为，故曲线是除去左、右顶点的双曲线． (2) 小问详解： 根据已知作图如下．    由已知得直线，联立 ，消去y，整理得，． 设点，点，则，， 所以． 故的值为． 23．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）地震台是利用各种地震仪器进行地震观测的观测点，会先后接收到波、波、面波三种，有利于开展地震观测与地震科学研究.如图，两地震台相距100公里，在地发生轻微地震后，两地震台先后均接收到信息，时间差为10秒，已知波的传播速度约为6公里/秒，则震源的轨迹方程为　　　　　　. 【答案】 【分析】 建立平面直角坐标系，设震源坐标为，得到，结合双曲线的定义，即可求得其方程. 【详解】 以所在直线为轴，中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 设震源坐标为，则， 因为，可得， 所以点为双曲线的左支，可设方程为， 则，所以，可得， 所以震源的轨迹方程为. 故答案为：. 24．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 【答案】（1）     （2） 设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以.      【分析】 （1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. (1) 小问详解： 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 25．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知是等轴双曲线的右焦点，关于原点对称的点，均在上，且，则　　　　　. 【答案】 【分析】 设的左焦点为，得四边形是平行四边形，则，结合双曲线定义可求得，在中，利用余弦定理求得，进而得到求得答案. 【详解】 等轴双曲线，则，则. 设的左焦点为，根据对称性易得四边形是平行四边形， 则. 由 得 或 在中，，则， 得. 故答案为：. 26．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知双曲线的离心率是，焦距是6． （1）求的方程； （2）若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值. (1) 小问详解： 因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. (2) 小问详解： 如图， 设，， 联立方程 消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以 ，即且， 由韦达定理得， 又，， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 27．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意可得 ，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. (1) 小问详解： 由题意知， ， 解得，故双曲线的方程为. (2) 小问详解： ① 当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ② 当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以 ， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 28．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．定位参数是距离差，位置线是双曲线，定位时需由至少三个已知点的组合，在待定点到三个已知点的三个距离中，取其中两个距离差，此时形成两条位置双曲线，两者相交便可确定待定点的位置．例如图所示，，，为三个已知点，点M即为两条位置双曲线，确定的待定点．现海上有三个两两相距180公里的岸台A，B，C三个岸台同时发射电磁波，远离岸台A，B，C的船只S同时接收到了来自岸台A，B的电磁波信号，而接收到岸台的信号比接收到岸台A，B的信号早了微秒（已知1微秒等于秒，且电磁波在空气中1微秒传播距离为300米），则船只S与岸台C的距离为　　　　　　公里． 【答案】 【分析】 以CA所在直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，则船只S在以C，A为焦点的双曲线的左支上，结合双曲线的定义可求出其标准方程，船只S也在线段AB的垂直平分线上，联立方程组可点的坐标，进而求得船只S与岸台C的距离． 【详解】 以CA所在直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图， ,， 船只S距离岸台C比岸台A，B近米，即公里， 即船只S到岸台C比到岸台A的距离近公里，即， 则船只S在以C，A为焦点的双曲线的左支上，设双曲线的方程为，则，故， 则船只S的位置双曲线的方程为， 又因为船只S到岸台A，B距离相等，所以船只S也在线段AB的垂直平分线上， 设线段AB的中点D，则，， 则线段AB的垂直分线CD的方程为，即， 联立 ，解得 或 （舍），故， 所以船只S到岸台C的距离为公里． 故答案为：． 29．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率． （1）若命题q为真，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据双曲线方程的结构特征列不等式组求解可得； （2）分别记，为真时m的取值范围为集合，然后由和一真一假，利用集合运算求解即可. (1) 小问详解： 若双曲线的离心率，则 ，解得， 即命题q为真时实数m的取值范围为. (2) 小问详解： 若方程表示焦点在y轴上的椭圆， 则 ，解得， 记，则， 因为和一真一假， 则实数m的取值范围为. 30．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是　　　　　. 【答案】 【分析】 由题意及双曲线的渐近线的斜率可得，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别表示出来，求乘积的范围即可． 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则， 所以，， 所以，且， 则． 故答案为：. 31．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解即可. 【详解】 作出示意图如图所示： 根据双曲线的定义得， 在三角形中，由余弦定理可得， 又直线与圆相切，所以， 所以，解得， 所以，解得或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 32．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. （1）求C的方程. （2）若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 【答案】（1）     （2）（i）设l：，点，，. 由 可得， 因为l与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，， 直线DN：， 令，得， 又， 所以直线DN恒过点. （ii）15      【分析】 （1）由渐近线方程与右焦点建立方程，结合双曲线标准方程，可得答案. （2）（i）设出点的坐标以及直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意整理代数式，结合直线过定点，可得答案；（ii）由题意作图，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，根据函数单调性，可得答案. (1) 小问详解： 由题意知 解得 所以C的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）如图，设， 则. 设，则，在上单调递增， 所以当时，S取最小值，最小值为15. 33．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的下焦点为，若，求； （3）记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】（1）     （2）     （3）证明：由（1）可得，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，显然， 联立 ，消去有，， 则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 则 ， 由可得，即，故点在定直线上. 【分析】 （1）设出点，借助双曲线方程及两点间距离公式计算可得时，取最小值，从而可得双曲线方程； （2）结合双曲线定义计算即可得； （3）设出直线的方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出直线与直线的方程后，联立两直线方程计算即可得解. (1) 小问详解： 设双曲线的标准方程为，点， 则有，即，由，则， 则 ， 由，，故， 当且仅当时取等号，则，即， 则，故双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： 由双曲线的定义可得 ， 又，则有或， 由（1）得， 又，所以； (3) 小问详解： 略 34．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （3）直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 【答案】（1）     （2） 设，，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以 ， 两式相减得：， 整理得，， 则，得证.     （3） 设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为 ，， 联立： ，整理得：， 因为该方程有两个正根，则，解得：或（舍）， 设，，由韦达定理得：，， 直线的方程为：， 因为，所以，① 直线的方程为， 因为，所以，② 联立① ② 得，， 所以， 因为， 所以， ， 所以， 则都在直线上， 故共线.      【分析】 （1）根据题意，由双曲线的性质，列出关于的方程，计算即可求得方程； （2）设，，，利用点差法可证得结论； （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，，与双曲线方程联立方程组，结合韦达定理代入计算，即可表示出直线的方程，以及直线的方程，然后联立两直线方程，即可表示出的坐标，即可证明. (1) 小问详解： 由已知得 解得， 故双曲线C的标准方程为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 35．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数. （1）求动点的轨迹； （2）过且斜率为1的直线交动点的轨迹于，两点，求. 【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据动点到定点的距离和它到定直线距离之比为常数，建立距离比的等式，化简即可； （2）已知直线过定点和斜率，可得直线方程，与双曲线联立得出关于的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，代入弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合， 即. 将上式两边平方，并化简，得， 所以点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为2的双曲线. (2) 小问详解： 设点的坐标为，点的坐标为. 又直线过且斜率为1，联立 ， 得，此时， 由韦达定理可得 ， 因为， 所以. 36．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. （1）当时，求点的坐标； （2）求曲线的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线推广到双曲线，你能得到什么相应的结论?（只需写出推广的结论，不需要证明）. （3）设点，若过点的直线与曲线的右支交于、两点，证明：直线和直线的斜率乘积为定值． 【答案】（1）或     （2）；     （3） 证明：由题可知直线的斜率不为零，设，， ，， ，，， ， ，解得， ， ， 所以直线和直线的斜率乘积为定值． 【分析】 （1）联立得 ，再根据有唯一公共点，解得，再代入方程求点坐标即可； （2）根据直线与曲线由唯一公共点求出与的关系，再根据过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴求出点坐标及轨迹方程； （3）设，，联立得到，再计算即可判断． (1) 小问详解： 根据题意， 则 ，， ，， 解得， 当时，，， 解得，此时， 当时，，， 解得，此时， 当时，点的坐标为或； (2) 小问详解： ，， ，，即， 故，即，其中， 故过点且与直线垂直的直线为， 可得，， ，， 故点的轨迹方程为， 其轨迹为：双曲线（去掉两个顶点）， 如果推广到一般的等轴双曲线，点的轨迹方程为. (3) 小问详解： 略 考点02 抛物线 1．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【分析】 根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】 设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 2．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）抛物线的焦点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将抛物线的方程化为标准形式后可求其焦点坐标. 【详解】 抛物线的标准方程为：，故其焦点坐标为， 故选：D. 3．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点与焦点关于其外沿所在的平面对称.已知、两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（       ） A. 1.2米 B. 1.4米 C. 1.6米 D. 1.8米 【答案】B 【分析】 将抛物线置于一个坐标系中，使得抛物线顶点在原点，焦点在轴上，根据所给数据求得抛物线方程，带入中点横坐标即可得解. 【详解】 建立坐标系，使得抛物线顶点在原点，焦点在轴上， 由、两点间的距离为0.5米， 设抛物线方程为， 则，所以，所以， 由中点横坐标为，即， ，所以， 所以弦长， 最大口径就是的长， 故选：B 4．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为 A. 5 B. 4.5 C. 3.5 D. 不能确定 【答案】C 【分析】 过点作准线，垂足为，根据抛物线的定义可知，当且仅当、、三点共线时，的最小值为. 【详解】 如图所示，过点作准线，垂足为， 则， 当且仅当、、三点共线时， 取得最小值. 故选：C 【点睛】 本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题. 5．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（       ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则PB平分 D. 若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线 【答案】ACD 【分析】 运用数形结合的思想，将问题转化为解析几何问题，再结合抛物线的性质及几何图形特点逐项验证结果即可得出答案． 【详解】 对于选项，若，则抛物线,的焦点为, 由已知条件得，直线的方程为，可得，，选项正确； 对于选项,若，则抛物线,的焦点为, 由已知条件得，直线的方程为，可得， ，选项不正确； 对于选项,时，∵，∴， 又∵，∴平分，选项正确； 对于选项，若，则抛物线,的焦点为, 延长交直线于点，则，由选项可知，则M，B，Q三点共线，故正确；    故选：． 6．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A. 5 B. 6 C.  D. 4 【答案】A 【分析】 根据给定条件，求出抛物线的准线方程，再利用定义求解. 【详解】 抛物线的准线方程为，所以点A到抛物线焦点的距离为. 故选：A 7．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  【答案】A 【分析】 设，，由点差法即可求解. 【详解】 设，，则， 由 ：作差得， 得. 故选：A 8．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）抛物线的准线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由抛物线准线方程结构即可求解. 【详解】 抛物线开口向上，， 所以准线方程为：， 故选：D 9．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用圆的性质结合抛物线的定义求解即可． 【详解】 抛物线焦点，准线，设点到准线的距离为，点到准线的距离为 ． 故选：B 10．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）（多选）点为抛物线上一点，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且，则（       ） A.  B.  C. 直线AF的斜率为 D. 的面积为16 【答案】ABD 【分析】 首先求抛物线方程，再根据焦半径公式求点的坐标，即可判断选项. 【详解】 由题意可知，，则，则，焦点，故AB正确； 设点，则，则， ，则， 即或，所以直线的斜率为0，故C错误； 的面积为，故D正确. 故选：ABD 11．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先根据焦半径公式求得，再将点的坐标代入求解即可. 【详解】 ，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 12．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）抛物线的准线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 将方程转换成标准方程，即可求解. 【详解】 由得到， 所以准线方程为：， 故选：D 13．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（     ） A.  B. 3 C. 4 D.  【答案】D 【分析】 设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，写出韦达定理得到，进而得到，再利用焦半径公式得到，求解出 ，最后再利用焦半径公式求值即可. 【详解】 由题意可知，抛物线的焦点为，设直线的方程为， 将直线的方程与抛物线的方程联立，设，且， ，消去x得， 由韦达定理得，则， 由焦半径公式得，， 因为，所以， 联立方程组 ，解得 或 （舍去）， 则，故D正确. 故选：D 14．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（     ） A. 3 B.  C. 4 D.  【答案】C 【分析】 过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解. 【详解】 由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为. 如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为. 由抛物线的定义得， 所以，当三点共线时取等号， 故的最小值为. |    故选：C 15．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）（多选）探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（       ） A. 当时处两条反射光线所在直线的距离为 B. 当时的面积为2 C.  D.  【答案】ACD 【分析】 运用直曲联立，结合韦达定理，向量数量积公式，抛物线定义计算判断即可. 【详解】 在抛物线中，焦点的坐标为. 设点，，由抛物线光学性质可知，直线过焦点，设直线的方程为. 将其代入抛物线方程，可得，即. 根据韦达定理，，. 直线的斜率. 由，，两式相减得： ，则，即直线的斜率. 又，所以. 若， 因为从焦点射出的光线经抛物线反射后平行于对称轴，所以、处两条反射光线所在直线分别平行于轴，它们之间的距离为. . 由，即，得. 则，，所以、处两条反射光线所在直线的距离为，选项A正确. 的面积，，，则，选项B错误. ，，则. 由，，可得，. 所以，选项C正确. 根据抛物线的焦半径公式，，. 由，以及可得：. . 则， . 所以，选项D正确. 故选： 16．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（       ） A. 1350米 B. 758米 C. 725米 D. 558米 【答案】C 【分析】 根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解. 【详解】 以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系， 连接，，则， 设抛物线的方程为， 则，解得， 因此抛物线的焦点为， 准线方程为， 利用抛物线的定义得：. 故选：C 17．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ） A. 直线的斜率为 B.  C.  D.  【答案】ACD 【分析】 由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项. 【详解】 对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为， 代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确； 对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得， 设，则，则，代入抛物线得，解得，则， 则，B错误； 对于C，由抛物线定义知：，C正确； 对于D，，则为钝角， 又，则为钝角， 又，则，D正确. 故选：ACD. 18．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】ABD 【详解】是抛物线的准线，作于，作于，与轴交于点，则轴，抛物线的对称轴与准线的交点为，由平行线的性质，结合抛物线的定义可求得上各线段长，从而判断各选项． 【详解】 如图，是抛物线的准线，作于，作于，与轴交于点，则轴，抛物线的对称轴与准线的交点为， 由抛物线方程知，即， ∵，∴，，即，∴， 设，则，在直角梯形中，，即，解得， 又，∴，∴，又，∴， ∴． 故选：ABD． 【点睛】 关键点点睛：本题考查抛物线的定义，抛物线的焦点弦，涉及抛物线的焦点弦时，可作出在准线上的射影，得，，轴，利用平行线的性质可求解线段长． 19．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）（多选）当变化时，方程表示的曲线形状，下列说法中正确的是（       ） A. 时，方程表示一条直线 B. 或是方程表示双曲线的充要条件 C. 时，方程表示椭圆 D. 该方程不可能表示抛物线 【答案】ABD 【分析】 根据的不同取值分别判断曲线形状即可. 【详解】 对于A：当时方程为，所以此时曲线为直线，此时图像是一条直线，A正确； 对于B：方程可以化为， 当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线， 当时方程为，表示焦点在轴上的双曲线，所以是充分条件； 若方程表示双曲线，则 或 ，解得或者，所以是必要条件， 所以是充要条件，B正确； 对于C：方程可以化为，当时方程为，此时曲线为圆，C错误； 对于D：因为方程可以化为，所以不可能是抛物线，D正确， 故选：ABD 20．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（       ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 联立抛物线与直线方程得，利用根与系数的关系及垂直的向量表示，得到，即可求解. 【详解】 设，， 由 ，消得到， 则， 因为，则，又，， 所以， 所以，解得， 故选：D. 21．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）（多选）已知抛物线上三点为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（     ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 若三点共线，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 【答案】ABD 【分析】 将点的坐标代入抛物线方程即可求得，从而求出准线方程判断A；利用向量坐标运算得，进而利用焦半径公式即可判断B；由三点共线及斜率性质可得，再利用抛物线方程计算可判断C；利用及焦半径公式即可判断D. 【详解】 由在抛物线上，则有，即，故抛物线方程为； 对A：由抛物线方程为，则准线方程为，故A正确； 对B：由抛物线方程为，则， 则，，， 由，则 ，即 ， 又，，， 则，故B正确； 对C：若三点共线，则，即， 即有，故， 整理得，即，则或， 若，由，可得，故； 若，则； 综上可得：，故C错误； 对D：设的中点为，则， 又，则，故， 则，故，即的中点到轴距离的最小值为，故D正确.    故选：ABD. 22．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知点到抛物线的准线的距离为，则　　　　　. 【答案】 【分析】 由题知的准线为直线，再根据距离公式求解即可. 【详解】 由题意得的准线为直线， 所以点到抛物线的准线的距离为：，解得. 所以. 故答案为： 23．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知地物线，直线．当时，与有且仅有一个交点． （1）求的方程； （2）若与交于两个不同的点，设的中点为，过点平行于轴的直线与交于点，求． 【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）联立直线方程和抛物线方程，由交点个数得到判别式的等式，求出，即可得到抛物线方程； （2）利用韦达定理法，由弦长公式及中点坐标公式得到和，从而求得它们的比值. (1) 小问详解： 当时，联立 ，得． 因为与有且仅有一个交点，所以，解得． 所以的方程为． (2) 小问详解： 联立 ，得． 因为与交于不同的两点，所以，即． 设， ， 因为，所以． ． ，所以． 24．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 【答案】（1）；     （2）①；②.      【分析】 （1）根据抛物线的定义求抛物线方程即可； （2）① 设，，，联立抛物线并应用韦达定理求，纵坐标的乘积；② 利用三角形面积公式列方程求参数，即可得斜率. (1) 小问详解： 由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； (2) 小问详解： ① 易得的斜率不为0，设，，， 由 ，得，得 ，故，纵坐标的乘积为. ② 由， 所以，则，故的斜率为. 25．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为　　　　　　  . 【答案】14 【分析】 求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案． 【详解】 由抛物线方程得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以，，， 所以， 即该光线经过的路程为， 故答案为： 26．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知直线：与抛物线：相切于点. （1）求的方程以及点的坐标； （2）过点的直线与交于，两点，的中点为，当轴时，求的方程. 【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）联立方程，根据直线与曲线相切，利用一元二次方程根的判别式等于0，可得参数值，从而可得答案； （2）由题意设出直线方程，联立方程组，再根据一元二次方程根的判别式及韦达定理，可得答案. (1) 小问详解： 由 ，消去整理得（*）， 所以，解得或（舍）， 所以抛物线的方程为， 将代回（*）式，得，解得，所以，即. (2) 小问详解： 由题易知直线的斜率存在且不为0，直线不过点， 设，，， 联立 ，消去整理得， ，解得或， 又直线不过点，即，即， 所以或或， 则，， 当轴时，，即，满足题意， 所以直线的方程为，即. 27．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为　　　　　　；若，且平分，则　　　　　　. 【答案】① 0    ② 2 【分析】 ① 设直线的方程，与抛物线方程联立得出韦达定理，求出的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，得到直线的斜率； ② 由平分推导角的关系得出，即，根据弦长公式写出方程，求出结果. 【详解】 依题意直线过抛物线的焦点.设直线的方程为，，， 联立方程组 得，则，． 因为，所以，． 因为直线的方程为， 所以直线与抛物线的准线的交点为， 所以直线的斜率为0． ② 因为平分，所以，所以． 因为，所以，即 所以，得． 故答案为：①0；②2. 28．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知抛物线仅经过中的一点． （1）求抛物线的方程； （2）过原点作圆的两条切线，切点分别为，且恰在抛物线的准线上．求； （3）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段，的中点分别为，求证：直线过定点． 【答案】（1）     （2）     （3） 由（1）知，设，则， 易知直线的斜率均存在，故设直线的方程为， 由 消去整理得， 则， 用替换，得， 当时，， 则直线的方程为，即， 当时，． 当时，，此时直线过点． 故直线过定点． 【分析】 （1）先根据对称性判定和都不在抛物线上，然后将点代入抛物线的方程即可求解； （2）先由题意四点共圆，求出该圆的方程，与圆相减得直线的方程，利用该直线为准线列方程即可求解； （3）设，设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理得，进而得，当时，得直线的方程为，过点．当时，，也过定点，即可证明． (1) 小问详解： 根据抛物线的对称性，以及点关于轴对称， 可知点和要么都在上，要么都不在上， ∵抛物线只经过三个点中的一点，和都不在抛物线上． ∴点在上，将其坐标代入中，得， ∴抛物线的方程为． (2) 小问详解： 由知，四点共圆，且该圆是以为直径的圆， 该圆的方程为， 与圆的方程相减，得直线的方程为， 恰在抛物线的准线上，，解得． (3) 小问详解： 略 29．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为　　　　　. 【答案】或 【分析】 设切线方程，再联立令求解即可． 【详解】 由题知切线斜率存在，设， 联立，得到， ，解得或， 则切线方程为或． 30．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. （1）求拋物线的方程； （2）如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 【答案】（1）     （2）证明：因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由 且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点.      【分析】 （1）记准线与轴交于点，在中，求出焦准距，即可求解抛物线方程. （2）设，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得，即可得解. (1) 小问详解： 如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. (2) 小问详解： 略 31．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. （1）求C的方程； （2）若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； （3）若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】（1）     （2）0或     （3） 由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立 ，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值.      【分析】 （1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果； （3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. (2) 小问详解： 设直线l的斜率为k，则. 联立 ， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线与抛物线 2大高频考点概览 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知双曲线经过点，则的虚轴长为（       ） A.  B. 2 C.  D. 1 2．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）（多选）已知曲线，则（     ） A. 若，则C是圆 B. 若，则C是椭圆 C. 若，则C是双曲线 D. 若，，则C是两条直线 3．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知双曲线C：，则C的渐近线方程为（     ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知双曲线的左，右焦点分别为，，点P是C上一点，且，，则C的渐近线方程为(       ) A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数n的值是（       ） A.  B.  C. 5 D. 9 7．（25-26学年高二上·宁夏回族自治区石嘴山第一中学·期中）双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，且．则的面积为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）（多选）已知，曲线，则下列判断正确的是（       ） A. 可能表示圆 B. 可能表示焦点在轴上的双曲线 C. 若表示双曲线，则 D. 若表示焦点在轴上的椭圆，则的焦距的取值范围为 9．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（       ） A. 9 B. 18 C.  D.  10．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在双曲线的右支上且位于第一象限，若直线的斜率为，则的内切圆面积为（     ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知分别为双曲线的左､右焦点，点是双曲线上的一点，且，则双曲线的渐近线方程为（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知是双曲线的上焦点，点是双曲线下支上的动点，点，则的最小值为（     ） A. 11 B. 9 C.  D. 5 14．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）（多选）如图，在等腰梯形中.为线段上的一点.以，为顶点的双曲线经过点，且，则的离心率可能为（       ） A.  B.  C. 2 D.  15．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左右焦点分别为，且两条曲线在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（       ） A.  B. 3 C. 6 D.  17．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 18．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）已知双曲线(a＞0，b0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为　　　　　　　　　　． 19．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知双曲线的离心率是，则双曲线的实轴长为　　　　　　　　　　. 20．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）若双曲线的离心率为，则　　　　　　． 21．（25-26学年高二上·宁夏吴忠吴忠中学·期中）若表示焦点在y轴上的双曲线，则实数k的取值范围是　　　　　　. 22．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线． （1）求的方程，并说明是什么曲线？ （2）若过且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 23．（25-26学年高二上·陕西延安中学·期中）地震台是利用各种地震仪器进行地震观测的观测点，会先后接收到波、波、面波三种，有利于开展地震观测与地震科学研究.如图，两地震台相距100公里，在地发生轻微地震后，两地震台先后均接收到信息，时间差为10秒，已知波的传播速度约为6公里/秒，则震源的轨迹方程为　　　　　　. 24．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点． （1）求双曲线的方程； （2）若斜率为的直线过双曲线的左焦点，分别交双曲线于、两点，求证：. 25．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知是等轴双曲线的右焦点，关于原点对称的点，均在上，且，则　　　　　. 26．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知双曲线的离心率是，焦距是6． （1）求的方程； （2）若直线与相交于A，B两点，且（为坐标原点），求的值． 27．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为. （1）求双曲线的方程； （2）若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程. 28．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．定位参数是距离差，位置线是双曲线，定位时需由至少三个已知点的组合，在待定点到三个已知点的三个距离中，取其中两个距离差，此时形成两条位置双曲线，两者相交便可确定待定点的位置．例如图所示，，，为三个已知点，点M即为两条位置双曲线，确定的待定点．现海上有三个两两相距180公里的岸台A，B，C三个岸台同时发射电磁波，远离岸台A，B，C的船只S同时接收到了来自岸台A，B的电磁波信号，而接收到岸台的信号比接收到岸台A，B的信号早了微秒（已知1微秒等于秒，且电磁波在空气中1微秒传播距离为300米），则船只S与岸台C的距离为　　　　　　公里． 29．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率． （1）若命题q为真，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 30．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）设椭圆与双曲线的离心率分别为，，若双曲线渐近线的斜率均小于，则的取值范围是　　　　　. 31．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与圆相切且分别交双曲线的左、右两支于A、B两点，若|AB|=|BF2|，则双曲线的渐近线方程为　　　　　　． 32．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知双曲线C：的右焦点为，渐近线方程为. （1）求C的方程. （2）若动直线l过点F，且与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第四象限），过点M作直线的垂线，垂足为D. （i）证明：直线DN恒过点； （ii）设O为坐标原点，的面积为S，求S的最小值. 33．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）已知双曲线的中心在坐标原点，上焦点坐标为，点为双曲线上任意一点，． （1）求双曲线的标准方程； （2）双曲线的下焦点为，若，求； （3）记双曲线的上、下顶点分别为，经过的直线与双曲线的上支交于两点，且点在第一象限，直线与交于点，证明：点在定直线上． 34．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知双曲线C：的两条渐近线分别为：和：，右焦点坐标为，为坐标原点. （1）求双曲线C的标准方程； （2）设M，N是双曲线C上不同的两点，Q是的中点，直线，的斜率分别为，，证明：为定值； （3）直线与C的右支交于点，（A₁在的上方），过点，分别作，的平行线，交于点，过点且斜率为2的直线与C的右支交于点，（在的上方），再过点，分别作，的平行线，交于点，…，这样一直操作下去，可以得到一系列点，，，记的坐标为.证明：共线. 35．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线距离的比是常数. （1）求动点的轨迹； （2）过且斜率为1的直线交动点的轨迹于，两点，求. 36．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知双曲线与直线有唯一的公共点，过点且与直线垂直的直线分别交轴、轴于、两点.当点运动时，点的轨迹为曲线. （1）当时，求点的坐标； （2）求曲线的方程，并说明它是什么曲线；如果将双曲线推广到双曲线，你能得到什么相应的结论?（只需写出推广的结论，不需要证明）. （3）设点，若过点的直线与曲线的右支交于、两点，证明：直线和直线的斜率乘积为定值． 考点02 抛物线 1．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（       ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）抛物线的焦点坐标是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点与焦点关于其外沿所在的平面对称.已知、两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（       ） A. 1.2米 B. 1.4米 C. 1.6米 D. 1.8米 4．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知定点，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，则的最小值为 A. 5 B. 4.5 C. 3.5 D. 不能确定 5．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点射入，经过C上的点A反射后，再经C上另一点B反射后，沿直线射出，经过点Q．下列说法正确的是（       ）． A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则PB平分 D. 若，延长AO交直线于点M，则M，B，Q三点共线 6．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线上一点A的横坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为（　　） A. 5 B. 6 C.  D. 4 7．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知过点且斜率为的直线与抛物线交于，两点，且为线段的中点，则（       ） A. 2 B.  C. 4 D.  8．（25-26学年高二上·陕西渭南瑞泉中学·期中）抛物线的准线方程是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）已知抛物线上任意一点，定点，若点是圆上的动点，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）（多选）点为抛物线上一点，点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A为C上一点，且，则（       ） A.  B.  C. 直线AF的斜率为 D. 的面积为16 11．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）抛物线的准线方程是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，若，则（     ） A.  B. 3 C. 4 D.  14．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（     ） A. 3 B.  C. 4 D.  15．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）（多选）探照灯应用了抛物线的光学性质“从焦点处发出的光线经过抛物线反射后变成与抛物线的对称轴平行的光线射出”.已知一探照灯的轴截面是抛物线顶点在原点从焦点F射出两条互为反向的光线经C上的点反射，若直线PQ的倾斜角为则（       ） A. 当时处两条反射光线所在直线的距离为 B. 当时的面积为2 C.  D.  16．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（       ） A. 1350米 B. 758米 C. 725米 D. 558米 17．（25-26学年高二上·陕西咸阳实验中学·期中）（多选）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（       ） A. 直线的斜率为 B.  C.  D.  18．（25-26学年高二上·陕西西安铁一中学·期中）（多选）已知抛物线的焦点为F，过焦点的直线与抛物线分别交于A、B两点，与y轴的正半轴交于点S，与准线l交于点T，且，则（       ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）（多选）当变化时，方程表示的曲线形状，下列说法中正确的是（       ） A. 时，方程表示一条直线 B. 或是方程表示双曲线的充要条件 C. 时，方程表示椭圆 D. 该方程不可能表示抛物线 20．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）抛物线与直线交于两点，为坐标原点，且满足，则（       ） A.  B. 1 C.  D.  21．（25-26学年高二上·陕西西安陕西师范大学附属中学·期中）（多选）已知抛物线上三点为抛物线的焦点，则下列说法正确的是（     ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 若三点共线，则 D. 若，则的中点到轴距离的最小值为2 22．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知点到抛物线的准线的距离为，则　　　　　. 23．（25-26学年高二上·宁夏银川一中·期中）已知地物线，直线．当时，与有且仅有一个交点． （1）求的方程； （2）若与交于两个不同的点，设的中点为，过点平行于轴的直线与交于点，求． 24．（25-26学年高二上·山西三晋联盟·期中）已知点，动点在直线上，过且垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）已知经过点的直线与交于，两点. ①求，纵坐标的乘积； ②若的面积为，求的斜率. 25．（25-26学年高二上·陕西西安高新第一中学·期中）根据抛物线的光学性质可知，从抛物线的焦点发出的光线经该抛物线反射后与对称轴平行，一条平行于对称轴的光线经该抛物线反射后会经过抛物线的焦点.如图所示，从沿直线发出的光线经抛物线两次反射后，回到光源接收器，则该光线经过的路程为　　　　　　  . 26．（25-26学年高二上·陕西渭南杜桥中学·期中）已知直线：与抛物线：相切于点. （1）求的方程以及点的坐标； （2）过点的直线与交于，两点，的中点为，当轴时，求的方程. 27．（25-26学年高二上·山西晋中介休第一中学校·期中）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线：（）焦点为，准线为，为坐标原点，一束平行于轴的光线从点（点在抛物线内）射入，经过上的点反射后，再经过上另一点反射后，沿直线射出，且经过点，若直线与抛物线的准线交于点，则直线的斜率为　　　　　　；若，且平分，则　　　　　　. 28．（25-26学年高二上·陕西神木中学·期中）已知抛物线仅经过中的一点． （1）求抛物线的方程； （2）过原点作圆的两条切线，切点分别为，且恰在抛物线的准线上．求； （3）过抛物线的焦点作两条互相垂直的直线，分别交于点和点，设线段，的中点分别为，求证：直线过定点． 29．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）已知抛物线，过点作抛物线的切线，则切线方程为　　　　　. 30．（25-26学年高二上·陕西西安交通大学附属中学·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为.过抛物线上一点作，垂足为点.已知是边长为4的等边三角形. （1）求拋物线的方程； （2）如图， 抛物线上有两点位于轴同侧，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线恒过定点，并求出点的坐标. 31．（25-26学年高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点为F，点在C上，且，其中O为坐标原点，过点的直线l与C相交. （1）求C的方程； （2）若l与C仅有一个公共点且斜率存在，求l的斜率； （3）若l与C交于M，N两点，记直线OM与直线ON的斜率分别为，，证明：为定值，并求出该定值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 双曲线与抛物线 考点01 双曲线 考点02 抛物线 考点01 双曲线 1．A 2．CD 3．C 4．D 5．C 6．B 7．B 8．ACD 9．C 10．C 11．C 12．D 13．B 14．BCD 15．B 16．C 17．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. (1) 小问详解： 由题意，知 ，解得 ，故双曲线的方程为． (2) 小问详解： 设， 则 ，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 18．【答案】 【分析】 根据离心率求得，即可求得渐近线方程. 【详解】 因为双曲线的离心率为2，则，解得， 故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 19．【答案】 【分析】 根据离心率的公式以及可求解出的值，则结果可知. 【详解】 因为 ，解得，所以实轴长为， 故答案为：. 20．【答案】2 【分析】 根据双曲线方程求得，然后利用离心率公式列式求解即可. 【详解】 由双曲线方程可得，则，所以， 又双曲线的离心率为，所以离心率，即，解得． 故答案为：2． 21．【答案】 【分析】 由焦点在轴上，得到 ，求解即可. 【详解】 由题意得 ， 解得. 故答案为： 22．【答案】（1）曲线的方程为，曲线是除去左、右顶点的双曲线     （2）      【分析】 （1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程，并说明曲线类型即可． （2）先求直线的方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算即可． (1) 小问详解： 因为，所以直线，的斜率分别为，，则有，化简得， 即曲线的方程为，故曲线是除去左、右顶点的双曲线． (2) 小问详解： 根据已知作图如下．    由已知得直线，联立 ，消去y，整理得，． 设点，点，则，， 所以． 故的值为． 23．【答案】 【分析】 建立平面直角坐标系，设震源坐标为，得到，结合双曲线的定义，即可求得其方程. 【详解】 以所在直线为轴，中点为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 设震源坐标为，则， 因为，可得， 所以点为双曲线的左支，可设方程为， 则，所以，可得， 所以震源的轨迹方程为. 故答案为：. 24．【答案】（1）     （2） 设， 又 ，所以左焦点，则， ， ， ， 则， 所以.      【分析】 （1）根据题意可设：，再代点即可得到双曲线的方程； （2）设，联立可得，再通过计算即可证明垂直. (1) 小问详解： 因为双曲线与双曲线的渐近线相同， 所以可设：，又双曲线过， 所以，则，即， 所以双曲线的方程为. (2) 小问详解： 略 25．【答案】 【分析】 设的左焦点为，得四边形是平行四边形，则，结合双曲线定义可求得，在中，利用余弦定理求得，进而得到求得答案. 【详解】 等轴双曲线，则，则. 设的左焦点为，根据对称性易得四边形是平行四边形， 则. 由 得 或 在中，，则， 得. 故答案为：. 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）依题意求出、，即可求出，从而求出方程； （2）设，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，再根据数量积的坐标表示得到方程，代入，求出的值. (1) 小问详解： 因为双曲线：（，）的离心率是，焦距为6， 所以，，其中，解得，， 所以. 所以的方程为. (2) 小问详解： 如图， 设，， 联立方程 消去得， 因为直线：与相交于，两点， 所以 ，即且， 由韦达定理得， 又，， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式，得， 即，解得，满足且. 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意可得 ，进而求解即可； （2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可. (1) 小问详解： 由题意知， ， 解得，故双曲线的方程为. (2) 小问详解： ① 当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点， 则点必在轴上，这与矛盾； ② 当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为， 设，因为点为线段的中点， 所以， 因为在双曲线上，所以 ， 则， 所以， 则所求直线方程为，即. 经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意. 28．【答案】 【分析】 以CA所在直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由题意可得，则船只S在以C，A为焦点的双曲线的左支上，结合双曲线的定义可求出其标准方程，船只S也在线段AB的垂直平分线上，联立方程组可点的坐标，进而求得船只S与岸台C的距离． 【详解】 以CA所在直线为x轴，以线段CA的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图， ,， 船只S距离岸台C比岸台A，B近米，即公里， 即船只S到岸台C比到岸台A的距离近公里，即， 则船只S在以C，A为焦点的双曲线的左支上，设双曲线的方程为，则，故， 则船只S的位置双曲线的方程为， 又因为船只S到岸台A，B距离相等，所以船只S也在线段AB的垂直平分线上， 设线段AB的中点D，则，， 则线段AB的垂直分线CD的方程为，即， 联立 ，解得 或 （舍），故， 所以船只S到岸台C的距离为公里． 故答案为：． 29．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据双曲线方程的结构特征列不等式组求解可得； （2）分别记，为真时m的取值范围为集合，然后由和一真一假，利用集合运算求解即可. (1) 小问详解： 若双曲线的离心率，则 ，解得， 即命题q为真时实数m的取值范围为. (2) 小问详解： 若方程表示焦点在y轴上的椭圆， 则 ，解得， 记，则， 因为和一真一假， 则实数m的取值范围为. 30．【答案】 【分析】 由题意及双曲线的渐近线的斜率可得，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别表示出来，求乘积的范围即可． 【详解】 由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则， 所以，， 所以，且， 则． 故答案为：. 31．【答案】 【分析】 根据双曲线的定义结合几何性质，利用圆的切线形成的垂直关系和余弦定理构造齐次式求解即可. 【详解】 作出示意图如图所示： 根据双曲线的定义得， 在三角形中，由余弦定理可得， 又直线与圆相切，所以， 所以，解得， 所以，解得或（舍去）， 所以双曲线的渐近线方程为. 故答案为：. 32．【答案】（1）     （2）（i）设l：，点，，. 由 可得， 因为l与C在第一象限和第四象限各有一个交点，所以， 且，， 直线DN：， 令，得， 又， 所以直线DN恒过点. （ii）15      【分析】 （1）由渐近线方程与右焦点建立方程，结合双曲线标准方程，可得答案. （2）（i）设出点的坐标以及直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意整理代数式，结合直线过定点，可得答案；（ii）由题意作图，利用三角形面积公式，整理其函数解析式，根据函数单调性，可得答案. (1) 小问详解： 由题意知 解得 所以C的方程为. (2) 小问详解： （i）略 （ii）如图，设， 则. 设，则，在上单调递增， 所以当时，S取最小值，最小值为15. 33．【答案】（1）     （2）     （3）证明：由（1）可得，，设，， 显然直线的斜率存在，所以设直线的方程为，显然， 联立 ，消去有，， 则， 直线的方程为：，直线的方程为：， 则 ， 由可得，即，故点在定直线上. 【分析】 （1）设出点，借助双曲线方程及两点间距离公式计算可得时，取最小值，从而可得双曲线方程； （2）结合双曲线定义计算即可得； （3）设出直线的方程后联立曲线，可得与交点横坐标有关韦达定理，再表示出直线与直线的方程后，联立两直线方程计算即可得解. (1) 小问详解： 设双曲线的标准方程为，点， 则有，即，由，则， 则 ， 由，，故， 当且仅当时取等号，则，即， 则，故双曲线的标准方程为； (2) 小问详解： 由双曲线的定义可得 ， 又，则有或， 由（1）得， 又，所以； (3) 小问详解： 略 34．【答案】（1）     （2） 设，，， 因为M，N为双曲线C上的两点，所以 ， 两式相减得：， 整理得，， 则，得证.     （3） 设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为 ，， 联立： ，整理得：， 因为该方程有两个正根，则，解得：或（舍）， 设，，由韦达定理得：，， 直线的方程为：， 因为，所以，① 直线的方程为， 因为，所以，② 联立① ② 得，， 所以， 因为， 所以， ， 所以， 则都在直线上， 故共线.      【分析】 （1）根据题意，由双曲线的性质，列出关于的方程，计算即可求得方程； （2）设，，，利用点差法可证得结论； （3）设斜率为2且与双曲线右支相交于，两点的直线方程为，，与双曲线方程联立方程组，结合韦达定理代入计算，即可表示出直线的方程，以及直线的方程，然后联立两直线方程，即可表示出的坐标，即可证明. (1) 小问详解： 由已知得 解得， 故双曲线C的标准方程为：； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 略 35．【答案】（1）；     （2）.      【分析】 （1）根据动点到定点的距离和它到定直线距离之比为常数，建立距离比的等式，化简即可； （2）已知直线过定点和斜率，可得直线方程，与双曲线联立得出关于的一元二次方程，利用韦达定理求出两根之和，两根之积，代入弦长公式即可求解. (1) 小问详解： 设是点到直线的距离， 根据题意，动点的轨迹就是点的集合， 即. 将上式两边平方，并化简，得， 所以点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为2的双曲线. (2) 小问详解： 设点的坐标为，点的坐标为. 又直线过且斜率为1，联立 ， 得，此时， 由韦达定理可得 ， 因为， 所以. 36．【答案】（1）或     （2）；     （3） 证明：由题可知直线的斜率不为零，设，， ，， ，，， ， ，解得， ， ， 所以直线和直线的斜率乘积为定值． 【分析】 （1）联立得 ，再根据有唯一公共点，解得，再代入方程求点坐标即可； （2）根据直线与曲线由唯一公共点求出与的关系，再根据过点且与直线垂直的直线分别交轴，轴求出点坐标及轨迹方程； （3）设，，联立得到，再计算即可判断． (1) 小问详解： 根据题意， 则 ，， ，， 解得， 当时，，， 解得，此时， 当时，，， 解得，此时， 当时，点的坐标为或； (2) 小问详解： ，， ，，即， 故，即，其中， 故过点且与直线垂直的直线为， 可得，， ，， 故点的轨迹方程为， 其轨迹为：双曲线（去掉两个顶点）， 如果推广到一般的等轴双曲线，点的轨迹方程为. (3) 小问详解： 略 考点02 抛物线 1．B 2．D 3．B 4．C 5．ACD 6．A 7．A 8．D 9．B 10．ABD 11．A 12．D 13．D 14．C 15．ACD 16．C 17．ACD 18．ABD 19．ABD 20．D 21．ABD 22．【答案】 【分析】 由题知的准线为直线，再根据距离公式求解即可. 【详解】 由题意得的准线为直线， 所以点到抛物线的准线的距离为：，解得. 所以. 故答案为： 23．【答案】（1）     （2）．      【分析】 （1）联立直线方程和抛物线方程，由交点个数得到判别式的等式，求出，即可得到抛物线方程； （2）利用韦达定理法，由弦长公式及中点坐标公式得到和，从而求得它们的比值. (1) 小问详解： 当时，联立 ，得． 因为与有且仅有一个交点，所以，解得． 所以的方程为． (2) 小问详解： 联立 ，得． 因为与交于不同的两点，所以，即． 设， ， 因为，所以． ． ，所以． 24．【答案】（1）；     （2）①；②.      【分析】 （1）根据抛物线的定义求抛物线方程即可； （2）① 设，，，联立抛物线并应用韦达定理求，纵坐标的乘积；② 利用三角形面积公式列方程求参数，即可得斜率. (1) 小问详解： 由题意，得到的距离等于到直线的距离， 所以是以为焦点，直线为准线的抛物线，故的方程为； (2) 小问详解： ① 易得的斜率不为0，设，，， 由 ，得，得 ，故，纵坐标的乘积为. ② 由， 所以，则，故的斜率为. 25．【答案】14 【分析】 求出，利用抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离可得答案． 【详解】 由抛物线方程得， 设，， 由抛物线性质，与轴的交点即为抛物线的焦点， 所以，，， 所以， 即该光线经过的路程为， 故答案为： 26．【答案】（1），     （2）      【分析】 （1）联立方程，根据直线与曲线相切，利用一元二次方程根的判别式等于0，可得参数值，从而可得答案； （2）由题意设出直线方程，联立方程组，再根据一元二次方程根的判别式及韦达定理，可得答案. (1) 小问详解： 由 ，消去整理得（*）， 所以，解得或（舍）， 所以抛物线的方程为， 将代回（*）式，得，解得，所以，即. (2) 小问详解： 由题易知直线的斜率存在且不为0，直线不过点， 设，，， 联立 ，消去整理得， ，解得或， 又直线不过点，即，即， 所以或或， 则，， 当轴时，，即，满足题意， 所以直线的方程为，即. 27．【答案】① 0    ② 2 【分析】 ① 设直线的方程，与抛物线方程联立得出韦达定理，求出的坐标，写出直线的方程，求出点的坐标，得到直线的斜率； ② 由平分推导角的关系得出，即，根据弦长公式写出方程，求出结果. 【详解】 依题意直线过抛物线的焦点.设直线的方程为，，， 联立方程组 得，则，． 因为，所以，． 因为直线的方程为， 所以直线与抛物线的准线的交点为， 所以直线的斜率为0． ② 因为平分，所以，所以． 因为，所以，即 所以，得． 故答案为：①0；②2. 28．【答案】（1）     （2）     （3） 由（1）知，设，则， 易知直线的斜率均存在，故设直线的方程为， 由 消去整理得， 则， 用替换，得， 当时，， 则直线的方程为，即， 当时，． 当时，，此时直线过点． 故直线过定点． 【分析】 （1）先根据对称性判定和都不在抛物线上，然后将点代入抛物线的方程即可求解； （2）先由题意四点共圆，求出该圆的方程，与圆相减得直线的方程，利用该直线为准线列方程即可求解； （3）设，设直线的方程为，与抛物线方程联立，韦达定理得，进而得，当时，得直线的方程为，过点．当时，，也过定点，即可证明． (1) 小问详解： 根据抛物线的对称性，以及点关于轴对称， 可知点和要么都在上，要么都不在上， ∵抛物线只经过三个点中的一点，和都不在抛物线上． ∴点在上，将其坐标代入中，得， ∴抛物线的方程为． (2) 小问详解： 由知，四点共圆，且该圆是以为直径的圆， 该圆的方程为， 与圆的方程相减，得直线的方程为， 恰在抛物线的准线上，，解得． (3) 小问详解： 略 29．【答案】或 【分析】 设切线方程，再联立令求解即可． 【详解】 由题知切线斜率存在，设， 联立，得到， ，解得或， 则切线方程为或． 30．【答案】（1）     （2）证明：因为垂直于轴的直线与抛物线仅有一个公共点，所以必有斜率， 设， 由 且， 因为位于轴同侧，所以，则， 由得，所以， 又点，直线和的倾斜角互补，所以， 所以，所以， 即，解得， 所以直线恒过定点.      【分析】 （1）记准线与轴交于点，在中，求出焦准距，即可求解抛物线方程. （2）设，联立抛物线方程，韦达定理，根据倾斜角互补即斜率之和为0，化简求得，即可得解. (1) 小问详解： 如图，记准线与轴交于点，在中，， 所以. 故抛物线. (2) 小问详解： 略 31．【答案】（1）     （2）0或     （3） 由题得l的斜率存在且不为零. 设l的方程为.，， 联立 ，可得， .即. 可得，. 故，. 则， 所以为定值.      【分析】 （1）由抛物线的定义可得，再将点的坐标代入抛物线方程，即可得到结果； （2）联立直线与抛物线方程，分与讨论，即可得到结果； （3）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果. (1) 小问详解： 由抛物线的定义可知， 又，则. 即.所以. 又在抛物线上. 所以.且. 解得.则C的方程为. (2) 小问详解： 设直线l的斜率为k，则. 联立 ， 可得， 当时，，符合题意； 当时，则有，解得. 综上，直线l的斜率为0或. (3) 小问详解： 略 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $