2026年 广东实验中学集团中考 第三次学情自测数学试题

2026年06月26日广东实验中学集团定心卷 总分：120分时间：120分钟 一、单选题：共10小题，每题3分，总计30分 1.-3的倒数是() 1 A.3 B.3 C.3 D.-3 2.如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是() A 下列计算正确的 是() A.ata=a B.a.a3=a D.a8÷a2=a4 4.如图，AB∥DC,BC∥DE,∠B=145°，则∠D的度数为() B D A.250 B.35 C.45o D.550 5.不等式2(-1)≥6的解集是() A.x≤2 B.x≥2 C.x≤4 D.x≥4 6.某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、 30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是() 1 1 A.6 B.4 C.3 7.一个正比例函数的图象经过点A(2,m和点B(m,6),若点A与点B关于原点对称，则 这个正比例函数的表达式为() y=_x y= A.y=3x B.y=-3x 3 D. 3 8.如图，在ABC中，AB=AC,D是边AB上的点，将BCD沿直线CD折叠，点B 树应点E恰好落在边AC上.若∠A=34°，则∠ADE的大小是() 试卷第1页，共6页 B D A.35° B.37° C.39 D.41 9.如图，正方形CEFG的顶点G在正方形ABCD的边CD上，AF与DC交于点H,若 AB=6,CE=2,则DH的长为() D G E A.2 B.3 c.2 10.若点A(3,+),B(5,叫，C(1,),D(4,2),B(9,)均在抛物线 y=a2-bx(a≠0)上，且m>0,则，为的大小关系是（) Ay1<<RH<3<为 C3< D y2<< 二、填空题：共6小题，每题3分，总计18分 11.在平面共8小题，每题5分，总计40分直角坐标系中，将点P(3,-1)向左平移2个单位长 度到点M,则点M的坐标是 12.据相关部门统计，2026年春节假期中国高铁站客流量比往年有了较大增长，其中广州 南站达到7528000人次，将7528000用科学记数法表示为 3 .1 13.方程2x-2x-2的解为 14.某同学用一张半径为24m的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝 忽略不计)，如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm，,那么这张扇形纸板的面积 是 cm(结果保留). 24cm 试卷第2页，共6页 y=x(k>0) (xy)(x,r) 15.若直线 与双曲线x的交点为11， ??,则1221的值为 16.如图，在以AB为直径的半圆O中，C是半圆的三等分点，点P是弧BC上一动点，连 接CP,AP,作OM垂直CP交AP于N,连接BN,若AB=12,则NB的最小值是 A B 三、解答题：共9小题，总计72分 3(x-1)>7-2x s4+2r 17.解不等式组 3 18.如图，己知在ABC中，∠C=90°.点D在AB上，且AD=AC,过点A作AE⊥AB 于点A,DEAC,求证：DE=AB. 12-xx2+x 19.先化简，再求值：x+12-4x+4x-2,其中x=V5 20.为了让学生更加了解广州南沙湿地文化，某学校组织了湿地文化知识测评，从九年级 学生.中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为 四个等级(A:90≤x≤100，B:80≤x<90C:70≤x<80,D:60≤x<70),并绘制了如下不 完整的条形统计图和扇形统计图： 试卷第3页，共6页 湿地文化知识测评成绩条形统计图湿地文化知识测评成绩扇形统计图 人数 40-- 40 30 B 20 20 10H 04 20% A B D成绩 1)本次参加测评人数为人，并补全条形统计图： 2)现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加湿地文化宣讲活动， 从这四名同学中随机抽取两位参加演讲，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名 成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少？ 21.如图， ABC是O的内接三角形，AB是O的直径. 1)请用无刻度的直尺和圆规过点C作O的切线（保留作图痕迹，不写作法）· 2)若(I)中所作的切线交AB的延长线于点D,当AB=6CD=2BD时，求点C到直线 AB的距离。 h=(x>0) 22.如图，反比例函数x 与一次函数乃=t+a的图象交于点A,B,且B点坐 标为(6,1) -(>0) 1)求反比例函数 和一次函数乃=t+a的解析式： 2)点P为线段AB上的一点，过P作y轴的垂线，垂足为H,PH与反比例函数 (x>0) 的图象交于点C,当点C为PH中点时，求点C的坐标. 23.已知抛物线y=+bx+5经过点(4,5) 试卷第4页，共6页 (1)求该抛物线的对称轴. 2当a=1时，若点(m-2,)在抛物线上，求户的最小值. 3)若存在实数n,当n>0,且2-n≤x≤2+2时，y的取值范围是1≤y≤23，求a, n的值. 24. 【生活观察】 D B -555 B 图1 图2 图3 5m 3m P 2m9 图4 图5 (1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈.如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽 象为两个同心圆，车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2所示.若前后 轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心的距离）AB=1.5m,前轮转向角即∠CBD=30°，则 旋转半径OB=m. 【类比探究】 2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定 的转向角行驶.与自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽 象为四个同心圆弧，车轮行驶方向与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）， 如图3，某款家用汽车宽AB约为2m,轴心距BC约为3m.转弯时，若右前轮的转向角8 即∠ECF=20.6°，求此时左前轮的转向角∠GDH的度数. tan20.6°≈3 tam26.6°≈ (参考数据： 8, 2.sin20.6°≈9 tan33.6°≈2 tanl8.5°≈1 25, 3) 【综合实践】 3)如图4，汽车在直角处进行转弯.若（2)中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C, 试卷第5页，共6页 D与直角拐点口共线位置时，其俯视图如图5所示.若路宽均为5m,车辆左侧与实线 P吧的距离为1m.现右前轮欲以固定转向角啭弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮 均不压实线)，请直接写出sn的范围. 25.如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4,点E、F分别为线段CD、BD上的动 点，点G为边AB的中点，连接EF,FG. D F G B (1)求BD的长； 2)连接BE,若∠CEB=2∠DEF,求证：EB=CE+DF: B)若CE 3BF,试球EF+V2FG的最小值. 试卷第6页，共6页 《2026年06月26日广东实验中学集团定心卷》参考答案 题号 y 2 4 6 6 9 10 答案 C C B 1.C 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解. 1） -3× =1 【详解】解： .-3的倒数是3 故选C 2.C 【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题.根据旋转体的特征判断即可. 【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球， 故选：C. 3.C 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方等运算，解题的 关键是熟练掌握各运算法则， 根据以上运算法则逐项进行判断即可. 【详解】解：A.a+,两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符 合题意； B.d·d,同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为a2·a2=a,故该选项错误，不符合 题意； C.(-a)= ,幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符 合题意； D.d÷d,同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为a÷a2=a,故该选项错误，不符 合题意； 故选：C. 4.B 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.先根据“两直线 平行，同旁内角互补”，得到∠C=35°，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答 案 【详解】AB∥DC, .∠B+∠C=180°， 答案第1页，共18页 ∠B=145° ∠C=180°-∠B=35°， BC∥DE, .∠D=∠C= 35°，故选B. 5.D 【分析】按照一元一次不等式的解法步骤逐步化简，即可得到解集 【详解】解：·2(x-1)≥6 不等式两边同时除以2，得x-1≥3， 移项得x≥3+1， .x≥4， 即原不等式的解集为x之4 6.C 【分析】本题考查简单的概率计算.需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根 概率=符合条件的结果数 据 总结果数 ，再求概率。 【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30 元.随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种： 1.10元和20元，和为30元： 2.10元和30元，和为40元： 3.20元和30元，和为50元. 其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元). 1 因此，所求概率为： 3,故选：C. 7.A 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横 纵坐标均互为相反数，求出A,B的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可. 【详解】解：，点A与点B关于原点对称， .m=6,n=-2 A2,6),B(-2,-6) 设正比例函数的解析式为：y=(k≠0)，把A(2,6)代入，得：k=3, 答案第2页，共18页 .y=3x; 故选 A.8.C 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识.根据三角形内 角和定理求出∠ABC,由折叠得到∠ABC=∠CED,根据三角形外角的性质即可得到答 案 【详解】解：，AB=AC,∠A=34°， ∠ABC=∠ACB=1(180°-∠A)=1(180°-349)=730 ,将BCD沿直线CD折叠，点B的对应点E恰好落在边AC上 .∠ABC=∠CED=73°， ∴.∠ADE=∠CED-∠A=39 故选：C 9.B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质.证明△ADH∽△FGH,利 用相似三角形的性质列式计算即可求解. 【详解】解：正方形ABCD,AB=6, .AB=AD=CD=6, .正方形CEFG,CE=2, .'CE=GF=CG=2, .'DG=CD-CG=4, 由题意得AD∥GF, ∴.△ADH∽△FGH, AD DH 6 DH .GFGH,即24-DH, 解得DH=3, 故选：B. 10.C ,1 b=8a+ =4+ 1 【分析】先把点A和点B坐标代入得出 2,再求出 4a,求出该抛物线与x (00,f .0 A5,m+1)B(⊙，) 轴的两个交点坐标 ”),结合 在抛物线上，得出a<0,点 答案第3页，共18页 (b D,5 12-3 J在点B的左边，a,a<0,即可得出2a ,进而得出对称轴的取值范围 5<4+1<4 :,最后根据该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，即可比较函数值 的大小 【详解】解：把 3,m+1).B,)f代入9 y=ax2-bx()0 得： [m+1=9a-3b 7=25a-5b m=9g-3b,1① m=25a-5b2) 整理得： ①-②得：-16a+2b-1=0, 1 b=&a+ 整理得： b 81 =2=4+ 1 ∴.该抛物线的对称轴为直线2a 2a 4a, 当y=0时，0=ar2-bx, 解得：0。色 a, (0,0) b 0 a 即该抛物线与x轴的交点坐标为： A3,L+1),B(5,四在抛物线上， ,当3≤x≤5时，y随x的增大而减小，该抛物线开口向下； (b。 ,0 点( J在点B的左边， 1 8a+ =2=8 b 175 ->-3 ..a<0,aa 2a,整理得：2a -31<05< 1 <4+1<4 .24a,则24a, 5 7 +1<1<4+1 <l<5 ∴点C离对称轴的距离：21 ,即21 4-4<1<4-30<h< 点D离对称轴的距离： 22,即 2 答案第4页，共18页 9-4<1<9-5 5<1<13 3 点E离对称轴的距离3： ,即32， ·该抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，马<<马 为<h<2, 故选：C, 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是根据题意得出对称轴的取 值范围，掌握当开口向下时，离对称轴越远，函数值越小：反之，越大， 11.(1,-1) 【分析】平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减：纵坐标上移加，下移减.根据 向左平移横坐标减求解即可， 【详解】解：：将点P(3,-1)向左平移2个单位长度到点M, ∴点M的横坐标为3-2=1，纵坐标不变， ·M的坐标为1，-1) 12.7.528×105 【详解】解： 7528000=7.528×105 13.x=4 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，再检验得到原分式方程 的解 3 1 【详解】解：原方程整理为2(x-1)x-2 方程两边同乘最简公分母2(x-1(x-2),得：3(x-2)=2(x-1) 去括号，得：3x-6=2x-2. 移项，合并同类项，得：x=4. 检验：当x=4时，2(x-1)(x-2)=2×3x2=12≠0. 因此x=4是原分式方程的解 14.240元 【分析】求出圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求解即可· 【详解】解：圆锥形小丑帽子的底面半径为10cm, :∴.圆锥的底面周长为2×10π=20mc, 扇形木纸板的半径为24cm, 答案第5页，共18页 1×24×20m=240P ∴.扇形木纸板的面积为2 15.-4 【分析】根据正比例函数与反比例函数的图象中心对称性，可得两交点关于原点对称，得 到两交点坐标的关系，再利用反比例函数图象上点的横纵坐标乘积为定值，代入所求代数 式计算即可. 【详解】解：：直线y=x(k>0)过原点，且正比例函数和反比例函数 x的图象都关于 原点中心对称， ·两交点(，)，（)关于原点对称。 .为==X1,y2=, :点()在双曲线 x上， 7=2 将=x,少=y代入x1少+x21得： x1y2+x2y1=x1(-y1)+(-x1）y1=-x1y1-x1y1=-2x1y1=-4 16.2W21-25/-26+2V21 【分析】如图，连接AC,OC.证明点N在⊙T上，运动轨迹是OC,过点T作TH LAB 于H.求出BT,N,可得结论. 【详解】解：如图，连接AC,OC H B ,C是半圆的三等分点， ∴.∠AOC=60°， .OA=OC, ∴.△AOC是等边三角形， 作△AOC的外接圆⊙T,连接TA=TC,IN,TB. OM⊥PC, 答案第6页，共18页 ∴.CM=PM, ∴.WC=NP, .∠NPC=∠NCP=2∠AOC=30°， ∴.∠C☑M=60°， ∴.∠CN0=120° .CNO+∠OAC=180°， ∴点N在⊙T上，运动轨迹是OG 过点T作HLAB于H. 在Rt△AH中，AH=OH=3,∠TAH=30°， ∴IH=Aan30°=V3, AT=TN=2HN=23, 在Rt△BHT中，BT- VTHP+BIP =g+9=2 .BN2BT-TN, B22W21-2W5 ∴BN的最小值为221-2√3 故答案为： 2W21-2W5 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轨迹等 知识，解题的关键是正确寻找点N的运动轨迹，属于中考填空题中的压轴题. 17.2<x≤4 【详解】解：解不等式3(x-1)>7-2,得：x>2, s4+2x 解不等式 3,得：x≤4， 不等式组的解集为2<x≤4. 18 证明： DE AC, .∠BAC=∠ADE, ∠C=90°，AE⊥AB, .∠C=∠DAE=90°， 在ABC和DAE中 答案第7页，共18页 「∠BAC=∠ADE AC=AD ∠C=∠DAE ·.ABC≌DEA(A,S,A). .DE=AB 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明ABC≌DEA后，利用全等三角形的 性质即可得到DE=AB. 【详解】略 1V3 19.x,3 【分析】本题考查分式的化简求值.先对题目中的式子进行化简，然后将x的值代入化简 后的式子即可解答本题， 1-2-xx2+x 【详解】解：x+1x2-4x+4x-2 =1+x-2×x-2 x+1（x-2)2x(x+1) =1+ 1 x+1x(x+1) +1 x(x+1)xx+1) x+1 =x(x+1) =1 1-5 当x=5时，原式33 湿地文化知识测评成绩条形统计图 个人数 40 40 35 30 20 20 20.(1)100: B D成绩 (2)3 答案第8页，共18页 【分析】(1)因为C等级的人数和对应扇形占比已知，所以用C等级人数除以其占比即 可得到总人数；再根据D等级占比求出D等级人数，用总人数减去A、C、D等级人数得 到B等级人数，补全条形统计图； (2)先列出所有等可能的抽取结果，再找出恰好抽到1名A等级和1名B等级的结果 数，根据概率公式计算对应概率. 【详解】(1)解：C等级有20人，占总人数的20%， .总人数为：20÷20%=100（人)， .D等级人数：100x5%=5人：B等级人数：100-40-20-5=35 (人)，补全条形图略 (2)记2名A等级同学为A1,A,2名B等级同学为B,B, 列表得所有等可能的 抽取结果： A B1 B2 A (A,A) (B1,A1) (B2,A1) A (A,A2) (B1,A) (B2,A) B1 (A,B) (A,B) (B2,B1) B2 （A,B) (A,B) (B1,B) 共12种等可能的结果，其中恰好1名A等级、1名B等级的结果有8种， P=82 ∴恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率为 123 21.(1)见解析 12 (2)5 【分析】(1)连接OC并延长，过点C作OC的垂线即可： (2)作CE⊥AB交AB于E,设BD=x,则CD=2BD=2x,OD=3+x,根据切线的 性质得到∠OCD=90°，根据勾股定理求出x=2,根据等面积法计算即可. 【详解】(1)解：如图， 答案第9页，共18页 (2)解：如图，作CE1AB交AB于E, AB=6, ..OB=OC=3, 设BD=x,则CD=2BD=2x,OD=3+x, CD是O的切线， ∴.∠OCD=90°， :32+(2x=6+x. 即x2-2x=0, 解得：=0（舍去），七=2， .CD=4,OD=5 1 1 二xOCxCD=xODX CE 2 2 .Cg=12 c8=5, 即点C到直线AB的距离为5， 6 为=二(x>0) 22.(1)反比例函数的解析式为： ，一次函数的解析式为：乃=x+7 c(2,3)度 (2) 或( 【分析】(1)运用待定系数法，将B(6,1)分别代入反比例函数解析式以及一次函数解析式 中，即可求出它们的函数解析式： (2)设点P的纵坐标为m,由点P为线段A8上的一点，则有P(7-m,m）,由已知可得， H(U,m) ql 7-m ,m ,根据点C为PH中点，可得 最后由点C在反比例函数图象上，将 点C坐标代入反比例函数解析式中，求出m的值，即可求得点C的坐标. 【详解】（1)解：，反比例函数 与一次函数为=t+a的图象交于点A,B, 答案第10页，共18页 B点坐标为(6,1) B(6,1) y=(>0) …将 代入反比例函数 中， 1 得： 6, 解得：k=6, 6 h=二(x>0) 反比例函数的解析式为： 同理，将B(61)代入一次函数行a 中， 得：1=6+a. 解得：a=7, ·一次函数的解析式为：马=x+7 (2)解：设点P的纵坐标为， :点P为线段AB上的一点，一次函数的解析式为：少=x+7, :P(7-m） 过P作y轴的垂线，垂足为H, H(0,m) ,点C为PH中点， ,点C在反比例函数图象上， 整理得：m2-7m+12=0, 解得：m=3或=4， c(2,3)34 或 23.(1)直线x=2 (2)1 「3 /s、9 a22 n=23 )=2或3 答案第11页，共18页 【分析】(1)先将已知点4,5)代入抛物线解析式，得到b=4a,再利用抛物线对称轴 公式直接计算得到对称轴 (2)代入α=1得到抛物线解析式，配方得顶点坐标，根据开口方向得到y的最小值，即h 的最小值 (3)将抛物线化为顶点式，对称轴x=2在给定区间内，分a>0和a<0两种情况，根据 开口方向判断区间内最值位置，列方程求解得到a和n 【详解】(1)解：将点4,5)代入y=2+bx+5得：16a+4b+5=5 整理得b=4a, x=- b-402 抛物线对称轴为 2a 2a ∴.该抛物线的对称轴为直线x=2 (2)解：当a=1时，b=-4, 抛物线解析式为：y=x2-4x+5=(x-2)2+1 抛物线开口向上， .y≥1 点m-2,)在抛物线上， .h≥1 .h的最小值为l; (3)将抛物线化为顶点式得y=x-2}+5-4a,对称轴x=2 n>0,且2-n≤x≤2+2n, 对称轴x=2在2-n≤x≤2+2n内， 分两种情况讨论：情况1：a>0,抛物线开口向上，顶点为最小值点， .ym=5-4a=-1 3 a= 解得2， 左端点到对称轴的距离为n,右端点到对称轴的距离为2n,2n>n, ∴.最大值在x=2+2n处， 代入得ax=a(2nP+5-4a=23 as3 把2代入得6m2-1=23, 解得n2=4 >0, 答案第12页，共18页 .n=2; 情况2：a<0,抛物线开口向下，顶点为最大值点 9 a=- mx=5-4a=23,解得 2, ·抛物线的右端点到对称轴距离更远， 最小值在x=2+21处.代入得品=a(2my+5-4a=-1, 、9 把2代入得-18n2+23=-1, 2=4 解得3 n>0, n=2 3, 9 a=- 「3 2 a2 n=25 综上，=2或3 24.(1)3 (2)此时左前轮的转向角∠GDH的度数约为26.6° ssin3 (3)8 58 【分析】(1)根据题求得∠AOB=30°，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解： (2)先求得OB≈8m,进而解Ri OAD得出∠AOD≈26.6，根据等角的余角相等得出 ∠GDH=∠AOD≈26.6°，即可求解； (3)分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解. 【详解】(1)解：依题意，OB⊥BD,∠CBD=30 .∠AB0=90°-∠CBD=90°-30°=60° ,OA⊥AB ∴.∠AOB=90°-∠AB0=90°-60°=30 .AB=1.5m ∴.OB=3 (2)解：由题意得OC⊥CF,OB⊥BC,OA⊥AD,OD⊥DH .∠ECF+∠OCB=90°，∠COB+∠OCB=90° .∠COB=∠ECF=20.6°. 答案第13页，共18页 tam∠coB=CB 在Rt OCB中， OB tam20.6°= 3 OB 33 8 OB 解得：OB≈8 ∴.OA=OB-AB≈8-2=6I tan∠AOD=AD 在Rt OAD中 OA tam∠AOD=3-1 62 .∠A0D≈26.6° ∠AOD+∠AD0=90°，∠GDH+∠ADO=90°， .∠GDH=∠AOD≈26.6° 答：此时左前轮的转向角∠GDH的度数约为26.6°. (3)解：如图，连接OQ,设OA,P9交于点M, 当嘬大时，A点经过P点，此时DQ=AM=1 FE 图3 依题意，∠ECF=∠COB=O, 设OA=r,则OM=r-1,MQ=AD=3 在Rt OQM中，OQ2=OM2+0M2 2=(-1)2+3 解得：r=5 .OB=OA+AB=5+2=7,BC=3, 在Rt0BC中，0C=VBC4OB=V32+7P=√58 sine-sinLECF=sinLCoB=CB=3 oc 58 答案第14页，共18页 当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点O作ON垂直于道路右侧 ∠k4A4 LzIIiiiile4. 图3 设道路宽为1，依题意，1=5 ∴.OC=ON=1+AD=5+3=8 sim&sim∠ECF=sim∠CoB=CB_3 OC 8 <sine 3 3 综上所述，8 58 25.(1)4 (2)见解析 3)52-V6 【分析】(1)证明ABD是等边三角形，即可求解； (2)延长BD至N,使得DW=EC,在CB上取CM=EC,连接EB,DM,证明 DCM≌BCE,可得∠CDM=∠EBC,DM=EB,证明四边形EMDW是平行四边形，可 得DM=E,即可得出E=EB,进而证明E=F,即可得证： (3)将EFG绕点G逆时针旋转90°得到QPC,连接PF,则PFf2FG,当O,P,F三 点共线时，EF+V2FG=QP+FP=QF,此时EF+5FG取得最小值，G为AB的中点， 当F为DB的中点时（或者设其他点为中点，再证明F为中点），过点F作FH⊥CD于点 H,勾股定理解直角三角形，即可求解. 【详解】(1)解：，菱形ABCD中，∠A=60°， .'AB AD, .∠A=60°， ∴.ABD是等边三角形， 又.AB=4, .BD AB=4; 答案第15页，共18页 (2)解：如图所示，延长BD至N,使得DN=EC,在CB上取CM=EC,连接 EB,DM 6 在DCM与BCE中， DC=BC ∠C=∠C CM=CE ∴.DCM≌BCE ∴.∠CDM=∠EBC,DM=EB ADB,BCD是等边三角形， ∴.EM=ND=EC,∠ECM=∠CDB=60°， .DW∥EM, ∴，四边形EMDN是平行四边形， .E∥DM,DM=NE, .'EB=EN. .∠CEB=2∠DEF, 设∠CEB=2∠DEF=2&,则∠DEF=a 在CEB中，∠EBC=180°-20k-60°=120°-2， ,∠EBD=60°-∠EBC=2a660°， ∴.∠MDC=∠EBC=120°-2 .E∥DM ∴.∠EF=∠EDM=120°-2C, ∴.∠NEF=∠NED+∠DEF=120°-2HoE120°-C 在BF中，NWrB=180-∠N-∠BF=180°-(2x60°）(12r-吵120-a ∴.∠NEF=∠NFE, .NE=NF, .'ND+DF EC+DF EB 答案第16页，共18页 (3)如图所示，连接BG,FC,过点F作FH⊥DC于点H, C G B 将EFG绕点G逆时针旋转90°得到2PG,连接PF, 则PF=V√2FG. 当O,R,F三点共线时，EF2FG=OP+FP=OF,此时EF+V2FG取得最小值， ,PFG是等腰直角三角形， .∠GPF=45°， 只，P,F三点共线 ∠0PG=135° .∠EFG=135°， ,G为AB的中点，当F为DB的中点时， .GF∥AD,FB=DB,则CF⊥DB, .'FG=FB,CF=3FB, .CE=3BF .CF=CE, .∠DCF=30° ∠DFE=∠CFD-∠CE=90°-180°-30°」 =15° 又GF∥AD,∠ADB=60° ∴.∠GFD=120°， .∠GFE=135°， ∴当F是BD的中点时，2，P,F三点共线， 过点F作FH⊥CD于点H, -or-gc-Rc-c-2 H-Rc-3 2 2 2 .EH EC-HC=2 3-3. 在REFH中， EF=VEP+HF网 =V(23)+(√2=V24-123=32-6 答案第17页，共18页 RG=1AD=2 2 .FO=EF+V2G=3V2-V6+2W2=5V2-V6 即EF+V2G的最小值为5-V6 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定， 勾股定理，旋转的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键. 答案第18页，共18页