精品解析：广东广州中学2025－2026学年第二学期九年级6月份阶段性练习数学试卷

广州中学2025学年第二学期6月阶段性练习 九年级数学试卷 满分：120分，考试时间：120分钟 注意事项：1．答卷前按要求用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、座位号等； 2．选择题用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，只答在试卷上的无效； 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定的区域内的相应位置上，不准使用涂改液和修正带，违反要求的答案无效； 4．本次考试禁止使用计算器． 一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、 分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若， ，则 D. 若， ，则 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 正五边形 6. 若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为 A. B. －2 C. D. 2 7. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边钢架的立柱于点D， 长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点： ，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）． 11. 在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是________． 12. 分解因式：______． 13. 如图，菱形中，对角线与相交于点 ，若， ，则的长为_________cm． 14. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 15. 将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心 重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于 、 两点．若厘米，则的长度为_____厘米．（结果保留） 16. 如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线 上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是________． 三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解方程组： 18. 如图，点A、B、D、E在同一条直线上，．求证： ． 19. 某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数． 20. 已知． （1）化简 ； （2）若， 是方程 的两个根，求 的值． 21. 如图，在中，，以 为直径的⊙ 与交于点，连接． （1）求证： ； （2）若⊙ 与相切，求的度数； （3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 22. 综合与实践：在老师的指导下，同学们利用课余时间进行测量活动． 【活动主题】篮球架的结构； 【测量工具】皮尺、测角仪、计算器等； 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点B、C、D在同一条垂直于地面的直线上． 【测绘过程与数据信息】 ①用测角仪在 处测得后拉杆 与水平面的夹角，在 处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆 的长为，伸臂的长为，底部箱体的高度（）为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 【解决问题】请根据提供的信息，解决下列问题（结果精确到） （1）求立柱的高度； （2）已知小强站立时手臂向上伸直，指尖距地面高度为2.5米，若他想摸到篮筐（），则他至少需要跳起多高？ 23. 某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 （1）求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． （2）已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． （3）若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点 ，与轴交于点，点 在轴右侧的轴上，抛物线经过 ， ，三点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及点 ，的坐标； （2）点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标； （3）探究在内部能否截出面积最大的矩形 （顶点，，，在各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在 边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 25. 中，， （ ），点 为线段 上一动点，点为射线上一点， （为常数），且 ． （1）如图1， 时，若 ，请求出的值． （2）如图2，线段 上是否只存在唯一的点 ，使 ，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）如图3，若 ， ，作 ， 与线段交于点，当点 从点 运动到点时，请求出点的运动路径长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广州中学2025学年第二学期6月阶段性练习 九年级数学试卷 满分：120分，考试时间：120分钟 注意事项：1．答卷前按要求用黑色字迹的钢笔或签字笔填写自己的考生号、姓名、座位号等； 2．选择题用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑，只答在试卷上的无效； 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定的区域内的相应位置上，不准使用涂改液和修正带，违反要求的答案无效； 4．本次考试禁止使用计算器． 一、细心选一选（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 如图，是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．找到从左面看所得到的图形即可． 【详解】解：从左面看得第一层有2个正方形，第二层最左边有一个正方形． ∴它的左视图是： 故选：C． 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、 分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若， ，则 D. 若， ，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断． 【详解】A. 不能合并，所以A选项错误； B. ，所以B选项正确； C. ，所以C选项错误； D. ，所以D选项错误． 故选：B． 4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故选A． 【点睛】本题主要考查分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键． 5. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 正五边形 【答案】B 【解析】 【详解】解：等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； 平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 6. 若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则k的值为 A. B. －2 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】∵正比例函数y=kx的图象经过点（1，2）， ∴把点（1，2）代入已知函数解析式， 得k=2． 故选：D． 7. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差（单位：环）如下表所示： 甲 乙 丙 丁 9 8 9 9 1.6 0.8 3 0.8 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】结合表中数据，先找出平均数最大的运动员；再根据方差的意义，找出方差最小的运动员即可． 【详解】解：选择一名成绩好的运动员，从平均数最大的运动员中选取， 由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是9， ∴从甲，丙，丁中选取， ∵甲的方差是1.6，丙的方差是3，丁的方差是0.8， ∴S 2丁＜S 2甲＜S 2乙， ∴发挥最稳定的运动员是丁， ∴从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择丁． 故选：D． 【点睛】本题重点考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定. 8. 如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地．设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可. 【详解】解：设矩形的宽为，则矩形的宽为， ∴ 故选：A. 9. 如图，等边钢架的立柱于点D， 长．现将钢架立柱缩短成，．则新钢架减少用钢（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形的应用．利用三角函数的定义分别求得，，，利用新钢架减少用钢，代入数据计算即可求解． 【详解】解：∵等边，于点D， 长， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴新钢架减少用钢 ， 故选：D． 10. 如图，在“探索二次函数（）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点： ，，，．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当取得最大值时，图象经过这四个点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识；数形结合是解题的关键． 首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，根据图象得出当时，y的值最大，即可得出结果． 【详解】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点， ∴抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 如图所示三条抛物线分别经过A、D、C， B、D、C，A、B、D， 当经过A、D、C三点时，由图像得：当时，y的值最大，即取得最大值， 故选：C 二、耐心填一填（本题有6个小题，每小题3分，满分18分）． 11. 在单词（班级）中随机选择一个字母，则选中字母“”的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率． 利用简单事件的概率计算公式即可得． 【详解】解：单词中字母“”有2个，单词中总共有5个字母， ∴选中字母“”的概率， 故答案为：． 12. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法因式分解即可求解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，菱形中，对角线与相交于点，若， ，则的长为_________cm． 【答案】8 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质结合勾股定理得出答案即可． 【详解】解： 菱形中，对角线，相交于点，AC=4cm， ，，AO=OC=AC=2cm cm， cm， cm， 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质，运用勾股定理解直角三角形，是解题关键． 14. 已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， 可得判别式， ∴， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的含义是解题的关键． 15. 将等腰直角三角板与量角器按如图所示的方式摆放，使三角板的直角顶点与量角器的中心重合，且两条直角边分别与量角器边缘所在的弧交于、两点．若厘米，则的长度为_____厘米．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】直接根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，，， ∴的长度为：． 16. 如图，正方形的边长为4，点E在边上运动（不与点A、D重合），，点F在射线 上，且，连接，交于点G，连接．下列结论：①；②；③的面积最大值是2；④若，则点G是线段的中点．其中正确结论的序号是________． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】过作，交的延长线于点，证明为等腰直角三角形，推出，进而得到 ，证明，推出为等腰直角三角形，进而得到，进而得到，判断①；延长至点，使，连接，证明，再证明，得到，判断②；设，则：，，将的面积转化为二次函数求最值，判断③；设 ，得到，在中，由勾股定理，求出的值，判断④即可． 【详解】解：过作，交的延长线于点，则：， ∵正方形，边长为4， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴，即： ， ∴， ∴，故①正确； 延长至点，使，连接， ∵ ，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴；故②错误； 设，则：，， ∴的面积， ∴当时，的面积最大为2；故③正确； ∵， ∴， 设 ，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得： ， ∴， ∴点G是线段的中点；故④正确； 故答案为：①③④ 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 三、用心答一答（本大题有9个小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组即可解答. 【详解】解：，②－①可得y=2， 将y的值代入①中解得x=3，故二元一次方程组的解是. 【点睛】本题考查了用消元法解二元一次方程组，准确计算是解题的关键. 18. 如图，点A、B、D、E在同一条直线上，．求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据，可以得到，然后根据题目中的条件，利用ASA证明△ABC≌△DEF即可． 【详解】证明：点A，B，C，D，E在一条直线上 ∵ ∴ 在与中 ∴ 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目． 19. 某校计划成立学生体育社团，为了解学生对不同体育项目的喜爱情况，学校随机抽取了部分学生进行“我最喜爱的一个体育项目”问卷调查，规定每人必须并且只能在“篮球”“足球”“乒乓球”“健美操”“跑步”五个项目中选择一项，并根据统计结果绘制了两幅不完整的统计图． 请解答下列问题： （1）在这次调查中，该校一共抽样调查了______名学生，扇形统计图中“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是______°； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的人数． 【答案】（1）200，72 （2） 补全的条形统计图如图所示： （3）估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名 【解析】 【分析】（1）利用选择乒乓球的人数÷所占百分比得到总人数，再利用选择跑步的人数÷总人数得到跑步所占的百分比，利用 百分比即可得到圆心角度数； （2）先求出选择足球的人数，再补全条形图即可； （3）用总体数量×喜爱篮球项目的人所占的百分比即可得解． 【小问1详解】 （名）， 在扇形统计图中，“跑步”项目所对应的扇形圆心角的度数是 ， 故答案为：200，72； 【小问2详解】 选择足球的学生有： （人）； 【小问3详解】 （名）， 答：估计该校学生中最喜爱“篮球”项目的有180名． 【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用．从条形图和扇形图中有效的获取信息，熟练掌握相关计算公式是解题的关键． 20. 已知． （1）化简 ； （2）若， 是方程 的两个根，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的化简求值，一元二次方程根与系数的关系； （1）原式根据完全平方公式，单项式乘以单项式进行计算，然后合并同类项，即可得到结果； （2）利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， 是方程 的两个根， ∴ ∴ 21. 如图，在中，，以为直径的⊙与交于点，连接． （1）求证： ； （2）若⊙与相切，求的度数； （3）用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1） 证明：∵是的直径， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ． （2） （3） 如下图，点就是所要作的的中点． 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明； （2）根据切线的性质可以得到，然后在等腰直角三角形中即可求解； （3）根据等弧所对的圆周角相等，可知可以作出AD的垂直平分线， 的角平分线，的角平分线等方法均可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵与相切， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、切线的性质、以及尺规作图、等弧所对的圆周角相等，理解圆的相关知识并掌握基本的尺规作图方法是解题的关键． 22. 综合与实践：在老师的指导下，同学们利用课余时间进行测量活动． 【活动主题】篮球架的结构； 【测量工具】皮尺、测角仪、计算器等； 篮球架（如实物图所示）的结构示意图如下：立柱垂直地面，横梁平行地面，篮筐与横梁在同一直线上，点B、C、D在同一条垂直于地面的直线上． 【测绘过程与数据信息】 ①用测角仪在处测得后拉杆与水平面的夹角，在处测得伸臂与水平面的夹角； ②用皮尺测得后拉杆的长为，伸臂的长为，底部箱体的高度（）为； ③用计算器计算得到：，，，，，． 【解决问题】请根据提供的信息，解决下列问题（结果精确到） （1）求立柱的高度； （2）已知小强站立时手臂向上伸直，指尖距地面高度为2.5米，若他想摸到篮筐（），则他至少需要跳起多高？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据三角函数计算即可； （2）过作交于点K，根据三角函数求出，可知篮筐距离地面的高度，即可求出至少需要跳起的高度． 【小问1详解】 解：由题意，， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：过作交于点K， 则， ∵，． ∴， ∵在水平横梁上， ∴篮筐距离地面的高度为：， ∵小强站立指尖高， ∴至少需要跳起的高度：． 23. 某天 ，小芳在家通过某打车软件打车前往火车站搭乘当天 的动车．记汽车的行驶时间为 （单位： ），行驶的平均速度为 （单位： ）， ．根据经验， ， 的对应值如表： … 20 30 40 50 60 … 0.6 0.4 0.3 0.24 0.2 （1）求平均速度 关于行驶时间 的函数解析式． （2）已知小芳从开始打车到上车用了 ，并且她想在动车出发前半小时到达火车站，若汽车的平均速度为 ，小芳能否在预定的时间内到达火车站？请说明理由． （3）若汽车到达火车站的行驶时间 满足 ，求平均速度 的范围． 【答案】（1）； （2）不能， ∵从 到 总时间为 ， ，提前到达需要的半小时为 ， ∴可用于行驶的时间为 ， 当 时，所需行驶时间 ，  ，  小芳不能在预定的时间内到达火车站； （3） 【解析】 【分析】（1）根据表格数据判断 与 满足反比例关系，用待定系数法求出函数解析式，再结合 的限制得到自变量 的取值范围； （2）先计算出小芳可用于行驶的总时间，再求出平均速度为 时所需的行驶时间，比较后判断是否能按时到达； （3）利用反比例函数的性质，当 在给定范围内时，计算得到对应 的取值范围． 【小问1详解】 观察表格数据可知 与 的乘积为定值， ∴设， 将 ， 代入得 ， 由题知 ， ∴ ， 解得 ， ∴平均速度 关于行驶时间 的函数解析式为 ； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 ， ∴当 时， 随 的增大而减小， ∵ ，  ， 即 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过，，三点，顶点为． （1）求抛物线的解析式及点，的坐标； （2）点在直线上运动，当的周长最小时，求点的坐标； （3）探究在内部能否截出面积最大的矩形 （顶点，，，在各边上）？若能，请画出图形并直接写出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1），．； （2） （3）如图， 边上的顶点的坐标为，或 【解析】 【分析】（1）求得点，坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点在横坐标；利用配方法即可求得点的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到 ，延长至点，使，连接 ，交直线于点，利用轴对称的性质可得，关于直线对称，此时 的周长最小，过点作轴于点，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线 的解析式为，再与直线联立即可求得点坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与 交于点，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形 的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点，，，在各边上，与点重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形 的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【小问1详解】 解：中， 令 ，则 ， ∴， 令，则， ∴ ， ∴， ∵抛物线 经过点A，C， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴ ，或 ， ∴． ∵ ∴顶点； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴ ， ∴ ， 延长至点，使，连接 ，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时 的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴ 为的中位线， ∴， ∴， 设直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴直线 的解析式为， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 在内部能截出面积最大的矩形 （顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与 交于点K， 设， ∵四边形 为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形 的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为 的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形 为矩形， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形 的面积 ∵， ∴当时，矩形 的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵ ， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形 (顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 25. 中，， （ ），点 为线段 上一动点，点为射线上一点， （为常数），且 ． （1）如图1， 时，若 ，请求出的值． （2）如图2，线段 上是否只存在唯一的点 ，使 ，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； （3）如图3，若 ， ，作 ， 与线段交于点，当点 从点运动到点时，请求出点的运动路径长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可求解； （2）设 ，根据相似三角形的性质列出比例式，进而得出关于的一元二次方程，根据题意得出判别式为，即可求解； （3）作 ，延长 交于点，设 ，则 ，证明 得出，过点作于点，证明，设，得出，进而得出的运动轨迹是从出发，再回到点，总路径长为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ， ，， 设 ，则 ， ， ∵ ， ∴， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：设 ，则 ，， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， ∵线段 上是否只存在唯一的点 ，使 ∴关于的一元二次方程，有两个相等的实数解， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作 ，延长 交于点， 设 ，则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，即 ， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 整理得：， 当 时，， 当时，， ∴的运动轨迹是从出发，再回到点，总路径长为， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即时，， ∴点的运动路径长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $