精品解析：湖南永州市道县2026-2027学年八年级上学期期中数学

2026年下期初中期中质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共24个小题．如有缺页，考生须声明． 一、单选题（共10小题，每个小题3分，共30分，请将正确的答案填涂到答题卡上） 1. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果把中的x、y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 扩大为原来的9倍 3. 石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米数据用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A. B. C. D. 8. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. B. C. b D. 9. 一家冷饮店规定在本店购买汽水喝完后，每3个空瓶可以换原装汽水1瓶，渌口区五中篮球队共买了瓶汽水喝完后，又用空瓶换汽水喝，喝完又用新产生的空瓶换汽水喝，如此继续，最后没有一点浪费，那么他们一共喝了（ ）瓶汽水． A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填写在答题卡对横线上） 11. 计算：=_______． 12. 因式分解：_____． 13. 计算：若，，则的值是________． 14. 若分式有意义，则实数x的取值范围是____． 15. 已知x、y为实数，且．则的平方根______． 16. 数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，研究这三个数的倒数发现：，因此我们称这三个数为一组调和数．现有三个数：x，4，6，若要组成一组调和数，则x的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题要求写出证明步骤和解答过程） 17. 计算： （1） （2） 18. 解分式方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中． 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______（填序号）． ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 20. 已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 21. 已知关于的方程． （1）若，解这个分式方程； （2）若分式方程无解，求的值． 22. 为保障道县脐橙种植基地用水，需要修建灌溉水渠．计划修建灌溉水渠1600米，由甲、乙两个施工队合作完成．乙施工队每天比甲施工队多修建20米，甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完成修建任务所需天数的． （1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米； （2）已知甲施工队每天的修建费用为5万元，乙施工队每天的修建费用为7万元，若先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好19天完成修建任务，求共需修建费用多少万元． 23. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”．例如：，，则和都是“优美分式”． （1）下列式子中，属于“优美分式”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）将“优美分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）先化简，若该式的值为整数，求的整数值． 24. 学习完“二次根式”后，启智小组的同学们在数学拓展活动中，遇到一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： 解：， ， ， ， ， ． 请你根据以上解题过程，解答下列问题． （1）计算：________． （2）计算：． （3）已知，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下期初中期中质量监测 八年级数学（试题卷） 温馨提示： 1．本试卷包括试题卷和答题卡．考生作答时，选择题和非选择题均须作答在答题卡上，在本试卷上作答无效，考生在答题卡上按答题卡中注意事项的要求答题． 2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 3．本试卷满分120分，考试时间120分钟，共24个小题．如有缺页，考生须声明． 一、单选题（共10小题，每个小题3分，共30分，请将正确的答案填涂到答题卡上） 1. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，因式分解与整式的乘法是互为逆运算，要注意区分．根据因式分解的定义，因式分解是把多项式写成几个整式积的形式，对各选项分析判断后求解． 【详解】A. ，左边是乘积形式，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故A不符合题意； B. ，左边是多项式，右边是整式的乘积，符合平方差公式，属于因式分解，故B符合题意； C. ，右边通过加法拆分，未形成乘积形式，不属于因式分解，故C不符合题意； D. ，展开右边得，与左边不相等，分解错误，故D不符合题意． 故选：B． 2. 如果把中的x、y都扩大为原来的3倍，则这个代数式的值（ ） A. 扩大为原来的3倍 B. 缩小为原来的 C. 不变 D. 扩大为原来的9倍 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，即分式的分子和分母同乘或同除同一个不为零的数，分式的值不变． 根据分式的基本性质，分子和分母同时扩大相同的倍数，分式的值不变． 【详解】∵和都扩大为原来的 3 倍，即 ，， ∴， ∴代数式的值不变． 故选：C． 3. 石墨烯是目前世界上最稀薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性能最好的材料，其理论厚度仅米数据用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将原数转换为科学记数法，需确定其有效数字部分和指数，科学记数法的形式为，其中，为整数． 【详解】解：原数为，需将小数点向右移动至第一个非零数字后，原数中小数点后共有9个零，第10位为3，因此小数点需向右移动10位，得到（满足），移动方向为向右，故指数为负，即， 因此，原数的科学记数法表示为， 故选：B． 4. 下列各式中，是最简二次根式的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据根指数排除非二次根式，再结合被开方数的特征判断是否为最简二次根式． 【详解】解：∵的根指数为3，不是二次根式， ∴排除A． ∵与的被开方数均含有分母，不是最简二次根式， ∴排除B，C． ∵的被开方数是整数，且不含能开得尽方的因数， ∴是最简二次根式． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查指数运算的基本规则，包括同底数幂的乘法、除法、幂的乘方以及加减法的合并条件． 【详解】选项A：∵ 和不是同类项，不能合并， ∴，A错误； 选项B：∵ 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴ ，B正确。 选项C：∵ ， ∴ ，C错误； 选项D：∵ 幂的乘方，底数不变，指数相乘， ∴ ，D错误； 故选：B． 6. 解分式方程时，去分母正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得． 7. 下列多项式中，不能用完全平方公式分解因式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行因式分解．熟练掌握完全平方公式的特点是进行因式分解的关键．根据利用完全平方公式进行因式分解对各选项进行判断即可． 【详解】解：由题意知，，不能用完全平方公式分解因式，故A符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故B不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故C不符合要求； ，能用完全平方公式分解因式，故D不符合要求； 故选：A． 8. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A. B. C. b D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握其性质是解题的关键． 由数轴易得，则，利用二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得， 则， ， 故选：D． 9. 一家冷饮店规定在本店购买汽水喝完后，每3个空瓶可以换原装汽水1瓶，渌口区五中篮球队共买了瓶汽水喝完后，又用空瓶换汽水喝，喝完又用新产生的空瓶换汽水喝，如此继续，最后没有一点浪费，那么他们一共喝了（ ）瓶汽水． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，理解并掌握题干“3个空瓶换1瓶汽水”的规则，然后即可求解； 本题可逐步计算每次用空瓶换得的汽水数量，再将所有喝到的汽水数量相加，核心是利用“3个空瓶换1瓶汽水”的规则，逐步兑换直到无法再换为止，然后即可求解； 【详解】解：∵ 初始购买瓶汽水，喝完后有个空瓶， 又∵ 每3个空瓶换1瓶汽水， ∴ 个空瓶可换汽水：（瓶），此时共喝了（瓶），喝完7瓶后有7个空瓶， ∴ 7个空瓶可换汽水：（瓶）（个）空瓶，此时共喝了（瓶），喝完2瓶后有（个）空瓶， ∴ 3个空瓶可换汽水：（瓶），此时共喝了（瓶），喝完1瓶后剩1个空瓶，无法再兑换， ∴ 一共喝了31瓶汽水； 故选：D； 10. 如图，在矩形中无重叠地放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，化简二次根式．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出，的长，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解． 【详解】解：两张正方形纸片的面积分别为和 它们的边长分别为 ， 空白部分的面积 ． 故选：D． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填写在答题卡对横线上） 11. 计算：=_______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据算术平方根的概念求解即可．算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根，由此即可求出结果． 【详解】解：原式==4． 故答案为4． 【点睛】此题主要考查了算术平方根的定义，算术平方根的概念易与平方根的概念混淆而导致错误． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【详解】原式= 13. 计算：若，，则的值是________． 【答案】10 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 14. 若分式有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，根据此解答即可． 【详解】解：若分式有意义， 则， 则． 故答案为：． 15. 已知x、y为实数，且．则的平方根______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，平方根定义，解题关键是根据二次根式有意义的条件求出，． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 36的平方根为， 故答案为：． 16. 数学的美无处不在，数学家们研究发现：弹拨琴弦发出声音的音调高低取决于琴弦的长度，如三根琴弦长度之比为，把它们绷得一样紧，用同样的力度弹拨琴弦，它们就能发出很和谐的乐音，研究这三个数的倒数发现：，因此我们称这三个数为一组调和数．现有三个数：x，4，6，若要组成一组调和数，则x的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，根据调和数的定义，由题意，；即可求解； 【详解】解：由题意，； 解得：； 经检验， 是原方程的根，且满足； 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答题要求写出证明步骤和解答过程） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解分式方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程是解题的关键． （1）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解； （2）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程最后检验即可求解． 【小问1详解】 两边同时乘以得， 即， 移项， 解得，经检验是原方程的根， 所以原分式方程的解为； 【小问2详解】 两边同时乘以得， 即， 解得，经检验是原方程的增根， 所以原分式方程无解． 19. 先化简，再求值：，其中． 甲同学 解：原式 …… 乙同学 解：原式 …… （1）甲同学解法的依据是______，乙同学解法的依据是______（填序号）． ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③乘法分配律； ④乘法交换律． （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）②；③ （2） ，， 甲同学的解法： 原式 ， 当时，原式； 乙同学的解法： 原式 ， 当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的混合计算法则是解题的关键． （1）根据两名同学的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先把小括号内的式子的分子去括号，然后合并同类项化简，再约分化简，最后代值计算即可；乙同学的解法：先计算分式乘法，再去括号后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【小问1详解】 解：观察解题过程可知，甲同学的解法是先把括号内的式子通分，即利用分式的基本性质求解， 乙同学所利用乘法分配律去括号， 故答案为：②；③； 【小问2详解】 略 20. 已知是正整数，利用因式分解证明：能被整除． 【答案】证明： ， ∵是正整数， ∴能被整除，即能被整除． 【解析】 【分析】先利用平方差公式对原式进行因式分解，得到，由此证明分解后的式子含有因数，即可说明原式能被整除． 【详解】略 21. 已知关于的方程． （1）若，解这个分式方程； （2）若分式方程无解，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握解分式方程的方法，理解分式方程无解的含义是解题的关键． （1）把代入分式方程，将分式方程转换为整式方程计算即可求解，注意要检验根是否符合题意； （2）根据原分式方程无解“原分式方程的分母为零；原分式方程化成整式方程后，整式方程无解”由此即可求解． 【小问1详解】 解：， 把代入分式方程，得， 方程两边乘，得， 整理得，， 解得，， 检验：把代入， 是原分式方程的解． 【小问2详解】 解：， 当时，， 方程两边都乘最简公分母，得， 整理，得， 原分式方程无解， ， 解得，， 把代入， 当时，， 解得，； 当时， 解得，； 综上所述，． 22. 为保障道县脐橙种植基地用水，需要修建灌溉水渠．计划修建灌溉水渠1600米，由甲、乙两个施工队合作完成．乙施工队每天比甲施工队多修建20米，甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完成修建任务所需天数的． （1）求甲、乙两施工队每天各修建多少米； （2）已知甲施工队每天的修建费用为5万元，乙施工队每天的修建费用为7万元，若先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好19天完成修建任务，求共需修建费用多少万元． 【答案】（1）甲施工队每天修建40米，则乙施工队每天修60米 （2）共需修建费用193万元 【解析】 【分析】（1）设甲施工队每天修建x米，则乙施工队每天修米，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设先由甲施工队单独修建y天，再由甲、乙两个施工队合作修建天，根据题意列出一元一次方程求出y的值，继而求出甲乙合作施工的天数，即可解答． 【小问1详解】 解：设甲施工队每天修建米，则乙施工队每天修米，根据题意，得 ， 解得：（米）， 经检验，是原方程的根， （米）， 答：甲施工队每天修建40米，则乙施工队每天修60米； 【小问2详解】 解：设先由甲施工队单独修建天，再由甲、乙两个施工队合作修建天，根据题意，得 ， 解得（天）， （天）， 则甲、乙两个施工队合作修建14天． 则总计费用为：（万元）， 答：共需修建费用193万元． 23. 定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“优美分式”．例如：，，则和都是“优美分式”． （1）下列式子中，属于“优美分式”的是________；（填序号） ①；②；③． （2）将“优美分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； （3）先化简，若该式的值为整数，求的整数值． 【答案】（1）①③ （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）（2）根据新定义求解即可； （3）先进行分式的四则混合运算，然后分离常数变为“优美分式”，结合分式有意义的条件求解即可． 【小问1详解】 解：； 不能化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； ； 故属于“优美分式”的是①③； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解： ， 当或时，分式的值为整数， 此时或或或， 又分式有意义时、、、， ． 24. 学习完“二次根式”后，启智小组的同学们在数学拓展活动中，遇到一道题： 已知，求的值． 他们是这样解答的： 解：， ， ， ， ， ． 请你根据以上解题过程，解答下列问题． （1）计算：________． （2）计算：． （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2） （3）2026 【解析】 【分析】(1)仿照阅读资料中的化简解答即可． (2) 仿照阅读资料中的化简解答即可． (3) 仿照阅读资料中的化简解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， 故 ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $