福建省南平市2026-2027学年九年级数学上册期中模拟卷
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内容正文：
2026到2027学年九年级上册。南平市期中模拟卷。
（适用范围：福建省南平市 · 教师卷）
资料属性：期中模拟练习卷：依据人教版九年级上册期中教学进度自主命制，非任何地区教育部门或学校组织的官方统一考试原卷
适用范围：福建省南平市九年级（按当地教学进度命制，不代表该地区统考命题）
考试科目：数学 适用年级：九年级（初中） 学期范围：2026—2027 学年第一学期（九年级上册）· 期中
满分：150 分 考试时间：120 分钟 教材版本：人教版（2024 年审定）
考查范围：人教版（2024 年审定）九年级上册期中教学进度：一元二次方程、二次函数、反比例函数、图形的旋转与中心对称
注意事项
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本卷共 25 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。所有解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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本卷每题均附标准答案、完整解析、考查知识点与来源标注；命题说明与双向细目表见文末附录。
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1．（4 分）下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是
A．ax² + bx + c = 0
B．x² + 1/x = 3
C．(x − 1)(x + 2) = x²
D．(m² + 1)x² − 2x − 3 = 0
【答案】D
【解析】
A 未限定 a ≠ 0，当 a = 0 时不是一元二次方程；B 含分式，不是整式方程；C 展开得 x² + x − 2 = x²，即 x − 2 = 0，是一次方程。
D 中 m² + 1 ≥ 1 > 0 恒成立，二次项系数恒不为零，且为整式方程、只含一个未知数、最高次数为 2，故一定是一元二次方程。
【考查知识点】一元二次方程的定义（整式、一元、二次且二次项系数非零） 【难度】基础 【来源】参考 2025—2026 学年福建漳州龙文区第一中学九上期中试题
2．（4 分）若抛物线 y = x² − 4x + 1 与直线 y = m 有且只有一个公共点，则 m 的值为
A．−3
B．−5
C．1
D．3
【答案】A
【解析】
配方得 y = (x − 2)² − 3，抛物线开口向上，顶点为 (2, −3)，最小值为 −3。
水平直线 y = m 与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当直线经过顶点，故 m = −3。
【考查知识点】配方法求顶点、抛物线与水平线的交点个数 【难度】基础 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（顶点式）
3．（4 分）抛物线 C₁ 的解析式为 y = 3(x − 2)² + 1．把 C₁ 平移后得到抛物线 C₂，C₂ 的解析式为 y = 3(x + 1)² − 2，则平移方式是
A．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度
B．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度
C．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度
D．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度
【答案】A
【解析】
C₁ 的顶点为 (2, 1)，C₂ 的顶点为 (−1, −2)；两条抛物线的二次项系数都是 3，平移不改变二次项系数。
顶点横坐标由 2 变为 −1，即向左平移 3 个单位长度；顶点纵坐标由 1 变为 −2，即向下平移 3 个单位长度。回代核验：y = 3(x + 3 − 2)² + 1 − 3 = 3(x + 1)² − 2，与 C₂ 一致，故选 A。
【考查知识点】二次函数图象的平移（由顶点坐标差确定方向与距离） 【难度】基础 【来源】原创（依据题库专题「01 二次函数（含几何综合与压轴）」的图象平移考点结构命制）
4．（4 分）用长为 40 m 的篱笆靠一面足够长的墙围成矩形菜园（墙作为一边，篱笆围其余三边）．设与墙垂直的边长为 x m，菜园面积为 y m²，则 y 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围是
第 4 题图
A．y = −2x² + 40x（0 < x < 20）
B．y = −x² + 40x（0 < x < 40）
C．y = −2x² + 40x（0 < x < 40）
D．y = x(40 − x)（0 < x < 20）
【答案】A
【解析】
设与墙平行的边长为 L m，则 2x + L = 40，得 L = 40 − 2x。由 L > 0 且 x > 0，得 0 < x < 20。
y = x·L = x(40 − 2x) = −2x² + 40x，故选 A。B、C 的取值范围或系数错误，D 误把篱笆总长当成了长与宽之和。
【考查知识点】二次函数建模（矩形面积）与自变量取值范围 【难度】中档 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平政和县九上期中试题（围墙栏杆围地）
5．（4 分）若关于 x 的方程 (k − 1)x² − 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A．k < 2
B．k < 2 且 k ≠ 1
C．k > 2
D．k ≤ 2 且 k ≠ 1
【答案】B
【解析】
有两个不相等的实数根，首先要求方程为一元二次方程，即 k − 1 ≠ 0，得 k ≠ 1。
再由 Δ = (−2)² − 4(k − 1) = 8 − 4k > 0，得 k < 2。综上 k < 2 且 k ≠ 1。
【考查知识点】根的判别式与含参方程的二次项系数限制 【难度】基础 【来源】参考 2025—2026 学年福建福州连江县、厦门松柏中学九上期中试题
6．（4 分）在平面直角坐标系中，将点 A(−2, 1) 绕原点 O 顺时针旋转 90° 得到点 A₁，则 A₁ 的坐标是
A．(1, 2)
B．(2, −1)
C．(−1, −2)
D．(1, −2)
【答案】A
【解析】
点 (x, y) 绕原点顺时针旋转 90° 后变为 (y, −x)。
把 x = −2，y = 1 代入，得 A₁(1, 2)。B 是逆时针旋转 90° 的结果，属最常见的方向性错误。
【考查知识点】平面直角坐标系中绕原点顺时针旋转 90° 的坐标变换 【难度】基础 【来源】参考 2025—2026 学年福建师范大学附属中学九上期中试题
7．（4 分）下列关于二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的说法中，正确的是
A．当 a > 0 时，抛物线一定与 x 轴有两个交点
B．当 c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点一定在 x 轴上方
C．当 ab > 0 时，抛物线的对称轴一定在 y 轴右侧
D．当 b² − 4ac > 0 时，抛物线的顶点一定在 x 轴下方
【答案】B
【解析】
A 错误：a > 0 只判定开口向上。取 y = x² + 1，Δ = −4 < 0，抛物线与 x 轴没有交点。
B 正确：令 x = 0 得抛物线与 y 轴的交点为 (0, c)，c > 0 时该点在 x 轴上方。
C 错误：对称轴为 x = −b/(2a)。由 ab > 0 知 a、b 同号，b/(2a) > 0，故 −b/(2a) < 0，对称轴在 y 轴左侧。
D 错误：取 y = −x² + 4，Δ = 16 > 0，而顶点 (0, 4) 在 x 轴上方。四个选项中只有 B 成立。
【考查知识点】二次函数系数 a、b、c 与图象要素的对应关系、概念命题真假辨析 【难度】基础 【来源】原创（依据题库专题「01 二次函数（含几何综合与压轴）」的系数与图象关系辨析考点结构命制）
8．（4 分）已知二次函数 y = −x² + 2x + 3，若关于 x 的方程 −x² + 2x + 3 = m 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是
A．m < 4
B．m ≤ 4
C．m > 4
D．m < 3
【答案】A
【解析】
配方得 y = −(x − 1)² + 4，抛物线开口向下，顶点为 (1, 4)，最大值为 4。
方程的实根个数等于抛物线 y = −x² + 2x + 3 与水平直线 y = m 的交点个数。要有两个不同交点，须 m < 4；m = 4 时只有一个交点（两个相等实根）。
【考查知识点】二次函数图象与一元二次方程根的对应关系 【难度】中档 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（含参方程有实根）
9．（4 分）等腰三角形的一边长为 6，另外两边的长恰好是关于 x 的方程 x² − 9x + m = 0 的两个根，则 m 的值为
A．18
B．81/4
C．18 或 81/4
D．18 或 20
【答案】C
【解析】
设方程两根为 x₁、x₂，则 x₁ + x₂ = 9，x₁x₂ = m。要使三边 6、x₁、x₂ 构成等腰三角形，分两种情形。
情形一：已知边 6 为腰，则另一腰也为 6，即 6 是方程的一个根。代入得 36 − 54 + m = 0，m = 18，另一根为 9 − 6 = 3。三边为 6、6、3，满足 3 + 6 > 6，成立。
情形二：已知边 6 为底，则两腰相等，即方程有两个相等的实数根。由 x₁ = x₂ = 9/2 得 m = 81/4。三边为 6、9/2、9/2，满足 9/2 + 9/2 = 9 > 6，成立。
故 m = 18 或 m = 81/4。两种情形均通过三角形三边关系检验，无增根。
【考查知识点】一元二次方程根与等腰三角形存在性的分类讨论 【难度】中档 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（等腰三角形与方程根）
10．（4 分）已知二次函数 y = a(x − 1)² + k（a > 0）的图象经过点 (3, 0) 与点 (0, −3)．给出下列结论：① 3a + k = 0；② 该函数的最小值为 −4a；③ 若关于 x 的方程 a(x − 1)² + k = n 有两个不相等的实数根，则 n > −4a；④ 抛物线上有两点 (m, y₁)、(m + 2, y₂)，当 m > 1 时 y₁ < y₂．其中正确结论的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【解析】
把 (3, 0)、(0, −3) 代入得 4a + k = 0 与 a + k = −3，两式相减得 3a = 3，即 a = 1，k = −4，解析式为 y = (x − 1)² − 4。
① 3a + k = 3 − 4 = −1 ≠ 0，错误（该式误把 x = 3 时的系数当作 3a + k）。② 最小值 k = −4 = −4a，正确。
③ 方程化为 (x − 1)² = n + 4，有两个不相等实根等价于 n + 4 > 0，即 n > −4 = −4a，正确。
④ 对称轴为 x = 1，当 m > 1 时两点都在对称轴右侧，开口向上时 y 随 x 增大而增大，由 m < m + 2 得 y₁ < y₂，正确。
正确结论为 ②③④，共 3 个。
【考查知识点】二次函数多结论判断（待定系数、最值、方程根、增减性） 【难度】拔高 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（二次函数图象多结论压轴）
二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置。）
11．（4 分）若关于 x 的一元二次方程 x² − 4x + k = 0 的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁² + x₂² = 10，则 k = ______．
【答案】3
【解析】
由根与系数的关系，x₁ + x₂ = 4，x₁x₂ = k，故 x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 16 − 2k = 10，解得 k = 3。
检验：Δ = 16 − 4k = 4 > 0，方程确有两个实数根，k = 3 有效。
【考查知识点】根与系数的关系及判别式检验 【难度】基础 【来源】参考题库专题「08 一元二次方程（含解法与韦达定理）」及福建三明永安九上期中试题
12．（4 分）「大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符．」设周瑜去世时年龄的个位数字为 x（十位数字比个位数字小 3，且个位数字的平方恰好等于他的年龄），则可列出的方程为 ______．
【答案】x² = 10(x − 3) + x，即 x² − 11x + 30 = 0
【解析】
十位数字为 x − 3，故年龄可表示为 10(x − 3) + x；又个位数字的平方 x² 等于年龄，故方程为 x² = 10(x − 3) + x，整理得 x² − 11x + 30 = 0。
顺带可解：x = 5 或 x = 6，对应年龄 25 或 36；结合「而立之年督东吴」取 36。本题只要求列出方程。
【考查知识点】数学文化情境下由等量关系列一元二次方程 【难度】中档 【来源】参考 2025—2026 学年福建厦门思明区第五中学九上期中试题（读诗词列方程）
13．（4 分）在平面直角坐标系中，点 P 在反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）的图象上．过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 A．点 B 在 x 轴上，AB = 2OA，连接 PB．若 △PAB 的面积为 12，则 k = ______．
【答案】12 或 −12
【解析】
设 P(x, y)。由 k ≠ 0 得 x ≠ 0、y ≠ 0，且 xy = k。由 PA ⊥ x 轴得 A(x, 0)，故 OA = |x|，PA = |y|；由 AB = 2OA 得 AB = 2|x|。
点 B 可在点 A 的左侧或右侧，但 △PAB 以 AB 为底、PA 为高，两种位置的面积相同。S = ½·AB·PA = ½·2|x|·|y| = |xy| = |k|。
由 S = 12 得 |k| = 12。题面未限定点 P 所在象限：P 在第一、三象限时 xy > 0，在第二、四象限时 xy < 0，故 k = 12 或 k = −12。
验算：k = 12 取 P(3, 4)，A(3, 0)，OA = 3，AB = 6，PA = 4，S = ½ × 6 × 4 = 12；k = −12 取 P(3, −4)，同样 S = 12。两解均成立，无增解。
【考查知识点】反比例函数系数 k 的几何意义（面积）与所在象限决定的两解讨论 【难度】中档 【来源】原创（依据题库专题「02 反比例函数」的 k 的几何意义考点结构命制）
14．（4 分）已知点 A(−2, y₁)、B(1, y₂)、C(3, y₃) 都在反比例函数 y = −6/x 的图象上，则用「<」把 y₁、y₂、y₃ 连接起来为 ______．
【答案】y₂ < y₃ < y₁
【解析】
分别代入：y₁ = −6/(−2) = 3，y₂ = −6/1 = −6，y₃ = −6/3 = −2，故 y₂ < y₃ < y₁。
注意 A 在第二象限（x < 0 时 y > 0），B、C 在第四象限；「k < 0 时在每个象限内 y 随 x 增大而增大」不能跨象限直接使用，这是本题的主要易错点。
【考查知识点】反比例函数图象上点的坐标特征与跨象限函数值比较 【难度】基础 【来源】参考题库专题「02 反比例函数」及 2025—2026 学年福建福州第一中学九上期中试题
15．（4 分）在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6 cm，BC = 8 cm．点 P 从点 A 出发沿 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，两点同时出发，当点 Q 到达点 C 时两点同时停止．设运动时间为 t s，则 △PBQ 面积的最大值为 ______ cm²．
第 15 题图
【答案】9
【解析】
点 Q 到达 C 需 8 ÷ 2 = 4 s，点 P 到达 B 需 6 s，故 0 ≤ t ≤ 4。此时 PB = 6 − t，BQ = 2t。
S = ½·PB·BQ = ½(6 − t)·2t = −t² + 6t = −(t − 3)² + 9。
因 t = 3 在 [0, 4] 内，故当 t = 3 时面积取得最大值 9 cm²。
【考查知识点】动点背景下的二次函数最值与自变量实际范围 【难度】中档 【来源】参考题库专题「01 二次函数」及 2025—2026 学年福建九上期中动点面积试题
16．（4 分）在平面直角坐标系中，点 A(0, 3)，点 B 在 x 轴上运动．将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到线段 AC（点 B 的对应点为点 C），则线段 OC 的最小值为 ______．
第 16 题图
【答案】3
【解析】
设 B(t, 0)，则向量 AB = (t, −3)。把向量 (x, y) 顺时针旋转 90° 得 (y, −x)，故旋转后 AC = (−3, −t)。
于是 C = A + AC = (−3, 3 − t)，即点 C 始终在直线 x = −3 上运动。
OC² = (−3)² + (3 − t)² = 9 + (3 − t)² ≥ 9，当 t = 3 时取等号，故 OC 的最小值为 3。
【考查知识点】旋转变换的坐标表示与动点线段最小值 【难度】拔高 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（旋转 + 线段最小值）
三、解答题（共 9 小题，共 86 分。其中 17—21 题每题 8 分，22—23 题每题 10 分，24 题 12 分，25 题 14 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（8 分）用适当的方法解下列方程：
（1）x² − 4x − 1 = 0；（4 分）
（2）2(x − 3)² = x(x − 3)．（4 分）
【答案】（1）x₁ = 2 + √5，x₂ = 2 − √5；（2）x₁ = 3，x₂ = 6。
【解析】
（1）移项得 x² − 4x = 1，两边加 4 得 (x − 2)² = 5，故 x − 2 = ±√5，即 x₁ = 2 + √5，x₂ = 2 − √5。（4 分）
（2）移项得 2(x − 3)² − x(x − 3) = 0，提取公因式 (x − 3)[2(x − 3) − x] = 0，即 (x − 3)(x − 6) = 0，故 x₁ = 3，x₂ = 6。（4 分）
易错提示：两边直接约去 (x − 3) 会丢掉根 x = 3。
【考查知识点】配方法与因式分解法解一元二次方程 【难度】基础 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（解方程）
18．（8 分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A(−2, 1)、B(−1, 3)、C(0, −1)．
第 18 题图
（1）将 △ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90° 得到 △A₁B₁C₁，直接写出 A₁、B₁、C₁ 的坐标；（3 分）
（2）作 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △A₂B₂C₂，直接写出 A₂、B₂、C₂ 的坐标；（3 分）
（3）求 △ABC 的面积．（2 分）
【答案】（1）A₁(1, 2)，B₁(3, 1)，C₁(−1, 0)；（2）A₂(2, −1)，B₂(1, −3)，C₂(0, 1)；（3）3。
【解析】
（1）绕原点顺时针旋转 90°：(x, y) → (y, −x)，故 A₁(1, 2)、B₁(3, 1)、C₁(−1, 0)。（3 分）
（2）关于原点中心对称：(x, y) → (−x, −y)，故 A₂(2, −1)、B₂(1, −3)、C₂(0, 1)。（3 分）
（3）用坐标法：AB = (1, 2)，AC = (2, −2)，S = ½|1×(−2) − 2×2| = ½|−6| = 3。（2 分）也可把 △ABC 补成 3×4 的矩形后割补求解。
【考查知识点】旋转 90° 与中心对称的坐标变换、坐标法求三角形面积 【难度】基础 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（网格作图）与福建师大附中九上期中试题
19．（8 分）如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90°．点 D 在边 BC 上（不与端点重合）．将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到线段 AE，点 D 的对应点为点 E，连接 BE、DE．
第 19 题图
（1）求证：△ACD ≌ △ABE；（4 分）
（2）若 BD = 3，CD = 4，求 DE 的长．（4 分）
【答案】（1）见解析；（2）DE = 5。
【解析】
（1）由旋转得 AD = AE，∠DAE = 90°。由 ∠BAC = 90° 得 ∠CAD + ∠DAB = 90°；又 ∠DAE = 90° 且射线 AB 落在 ∠DAE 内部，得 ∠DAB + ∠BAE = 90°，故 ∠CAD = ∠BAE。（2 分）
又 AC = AB、AD = AE，由边角边（SAS）得 △ACD ≌ △ABE，对应顶点为 A→A、C→B、D→E。（2 分）
（2）由全等得 BE = CD = 4，∠ABE = ∠ACD。由 AB = AC、∠BAC = 90° 得 ∠ABC = ∠ACB = 45°，故 ∠ACD = ∠DBA = 45°，从而 ∠ABE = 45°。（2 分）
点 E 与点 D 分别在直线 AB 两侧，故 ∠DBE = ∠DBA + ∠ABE = 90°。在 Rt△DBE 中，DE = √(BD² + BE²) = √(3² + 4²) = 5。（2 分）
【考查知识点】旋转 90° 构造全等（SAS）、等腰直角三角形底角与勾股定理求线段 【难度】中档 【来源】原创（依据题库专题「03 图形的旋转」的旋转构造全等考点结构命制）
20．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x² − (2k + 1)x + k² + k = 0．
（1）求证：无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（3 分）
（2）若方程的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁² + x₂² = 13，求 k 的值．（5 分）
【答案】（1）Δ ≡ 1 > 0；（2）k = 2 或 k = −3。
【解析】
（1）Δ = [−(2k + 1)]² − 4(k² + k) = 4k² + 4k + 1 − 4k² − 4k = 1。因为 Δ = 1 > 0 与 k 无关，故对任意实数 k 方程总有两个不相等的实数根。（3 分）
（2）由根与系数的关系，x₁ + x₂ = 2k + 1，x₁x₂ = k² + k。（2 分）
于是 x₁² + x₂² = (2k + 1)² − 2(k² + k) = 2k² + 2k + 1 = 13，得 k² + k − 6 = 0，解得 k = 2 或 k = −3。（3 分）
验证：k = 2 时方程为 x² − 5x + 6 = 0，两根 2、3，平方和 13；k = −3 时方程为 x² + 5x + 6 = 0，两根 −2、−3，平方和 13。由（1）知 Δ > 0 恒成立，无需再验根。
【考查知识点】判别式恒正证明、根与系数关系求参数 【难度】基础 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（含参方程与根的关系）
21．（8 分）闽北某合作社 2025 年 9 月线上销售锥栗 256 件，10 月、11 月销量持续增长且月平均增长率相同，11 月销量达到 400 件．
（1）求 10 月、11 月这两个月的月平均增长率；（4 分）
（2）若 12 月按此增长率继续增长，且每件锥栗进价 40 元、原售价 60 元；试销发现，12 月每件降价 1 元，月销量可在上述增长后的基础上再增加 20 件．问每件降价多少元时，12 月销售锥栗的总利润恰好为 9000 元？（4 分）
【答案】（1）25%；（2）每件降价 5 元。
【解析】
（1）设月平均增长率为 x，则 256(1 + x)² = 400，(1 + x)² = 25/16。因 x > 0，得 1 + x = 5/4，x = 25%。（4 分）
（2）按原增长率，12 月基础销量为 400 × 1.25 = 500 件。设每件降价 m 元（0 ≤ m < 20），则单件利润为 60 − m − 40 = 20 − m 元，月销量为 500 + 20m 件。（1 分）
由题意 (20 − m)(500 + 20m) = 9000，整理得 m² + 5m − 50 = 0，即 (m + 10)(m − 5) = 0，解得 m = 5 或 m = −10。（2 分）
降价额不能为负，舍去 m = −10，故每件降价 5 元。此时单件利润 15 元、销量 600 件，总利润 9000 元，符合题意。（1 分）
【考查知识点】一元二次方程增长率模型与利润问题中的根的取舍 【难度】中档 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（降价盈利）及题库「07 期中期末综合模拟卷」增长率题
22．（10 分）已知抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交于 A(−1, 0)、B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点 C．
第 22 题图
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（4 分）
（2）点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 E，求线段 PE 的最大值；（3 分）
（3）点 M 是抛物线上异于点 C 的一点，若 △MAB 与 △CAB 的面积相等，求点 M 的坐标．（3 分）
【答案】（1）y = x² − 2x − 3，顶点 (1, −4)；（2）PE 最大值为 9/4；（3）M(2, −3)、M(1 + √7, 3)、M(1 − √7, 3)。
【解析】
（1）由交点式 y = (x + 1)(x − 3) = x² − 2x − 3，故 b = −2，c = −3；配方 y = (x − 1)² − 4，顶点为 (1, −4)。（4 分）
（2）C(0, −3)，由 B(3, 0)、C(0, −3) 得直线 BC：y = x − 3。设 P(t, t² − 2t − 3)（0 < t < 3），则 E(t, t − 3)。（1 分）
PE = (t − 3) − (t² − 2t − 3) = −t² + 3t = −(t − 3/2)² + 9/4，故当 t = 3/2 时 PE 取得最大值 9/4。（2 分）
（3）AB = 4，C 到 x 轴的距离为 3，故 S△CAB = ½ × 4 × 3 = 6。设 M 的纵坐标为 y₀，则 S△MAB = ½ × 4 × |y₀| = 2|y₀| = 6，得 |y₀| = 3。（1 分）
当 y₀ = −3 时，x² − 2x − 3 = −3，解得 x = 0（即点 C，舍去）或 x = 2，得 M(2, −3)。当 y₀ = 3 时，x² − 2x − 6 = 0，解得 x = 1 ± √7，得 M(1 + √7, 3)、M(1 − √7, 3)。共三个点。（2 分）
【考查知识点】待定系数法、铅垂线段最值、等面积条件下的点坐标分类 【难度】中档 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（抛物线解析式与面积条件求点）
23．（10 分）在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，∠EAF = 45°．将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 △ADG（点 B 与点 D 重合，点 E 的对应点为点 G）．
第 23 题图
（1）求证：△AEF ≌ △AGF；（4 分）
（2）若 BE = 2，DF = 3，求 EF 的长；（3 分）
（3）若正方形的边长为 6，求 △CEF 的周长．（3 分）
【答案】（1）见解析；（2）EF = 5；（3）12。
【解析】
（1）由旋转得 AG = AE，DG = BE，∠DAG = ∠BAE，∠ADG = ∠ABE = 90°。因 AD ⊥ DC 且 AD ⊥ DG，故 G、D、C 三点共线，点 G 在 CD 的延长线上。（2 分）
∠GAF = ∠GAD + ∠DAF = ∠BAE + ∠DAF = 90° − ∠EAF = 45° = ∠EAF，又 AF 为公共边，由 SAS 得 △AEF ≌ △AGF。（2 分）
（2）由全等得 EF = GF = GD + DF = BE + DF = 2 + 3 = 5。（3 分）
（3）△CEF 的周长 = CE + CF + EF = (6 − BE) + (6 − DF) + (BE + DF) = 12，与 E、F 的具体位置无关。（3 分）
【考查知识点】正方形旋转（半角模型）、全等证明与线段转化 【难度】中档 【来源】参考 2025—2026 学年福建南平延平实验、南平三中九上期中试题（正方形旋转模型迁移）
24．（12 分）已知二次函数 y = x² − 2mx + m² + m − 3（m 为常数）．
（1）用含 m 的式子表示该抛物线顶点的坐标；（3 分）
（2）当 −1 ≤ x ≤ 2 时，该函数的最小值为 −4，求 m 的值；（5 分）
（3）当 m = −1 时，若关于 x 的方程 x² − 2mx + m² + m − 3 = n 在 −2 ≤ x ≤ 2 范围内有两个不相等的实数根，求 n 的取值范围．（4 分）
【答案】（1）顶点 (m, m − 3)；（2）m = −2 或 m = −1；（3）−4 < n ≤ −3。
【解析】
（1）配方得 y = (x − m)² + m − 3，故顶点坐标为 (m, m − 3)。（3 分）
（2）抛物线开口向上，对称轴为 x = m，需按对称轴与区间 [−1, 2] 的位置分三类：（1 分）
① m < −1：最小值在 x = −1 处，y(−1) = 1 + 2m + m² + m − 3 = m² + 3m − 2。令 m² + 3m − 2 = −4，得 m² + 3m + 2 = 0，m = −1 或 m = −2；结合 m < −1 取 m = −2。（2 分）
② −1 ≤ m ≤ 2：最小值即顶点纵坐标 m − 3。令 m − 3 = −4，得 m = −1，在范围内，成立。（1 分）
③ m > 2：最小值在 x = 2 处，y(2) = 4 − 4m + m² + m − 3 = m² − 3m + 1。令 m² − 3m + 1 = −4 得 m² − 3m + 5 = 0，Δ = 9 − 20 < 0，无解。（1 分）
综上 m = −2 或 m = −1。验证：m = −2 时 y = x² + 4x − 1，区间内最小值 y(−1) = −4；m = −1 时 y = (x + 1)² − 4，顶点在区间内，最小值 −4。
（3）m = −1 时方程为 (x + 1)² − 4 = n，即 (x + 1)² = n + 4。设 u = √(n + 4)，要有两个不相等实根须 u > 0，此时两根为 x = −1 ± u。（2 分）
两根都落在 [−2, 2] 内，须 −2 ≤ −1 − u 且 −1 + u ≤ 2，即 u ≤ 1 且 u ≤ 3，取 u ≤ 1。故 0 < u ≤ 1，即 0 < n + 4 ≤ 1，得 −4 < n ≤ −3。（2 分）
【考查知识点】含参二次函数顶点、动对称轴区间最值分类讨论、方程根的分布 【难度】拔高 【来源】原创（依据题库专题「01 二次函数」含参最值题型命制，参考福建福州一中、厦门松柏中学压轴风格）
25．（14 分）已知抛物线 y = −x² + bx + c 经过点 A(−1, −5) 与点 B(4, 0)，其顶点记为 D．
第 25 题图
（1）求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标；（3 分）
（2）点 O 为坐标原点，点 M 是线段 OB 的中点．将线段 MD 绕点 M 旋转 180° 得到线段 ME，点 D 的对应点为点 E．求点 E 的坐标，并证明四边形 ODBE 是平行四边形；（5 分）
（3）点 P 是该抛物线上异于点 O、点 B 的一点，点 Q 在该抛物线的对称轴上．以 O、B、P、Q 四点为顶点能否构成平行四边形？若能，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不能，请说明理由．（6 分）
【答案】（1）y = −x² + 4x，顶点 D(2, 4)；（2）E(2, −4)，四边形 ODBE 是平行四边形；（3）能，P(2, 4)、P(6, −12)、P(−2, −12)。
【解析】
（1）把 A(−1, −5)、B(4, 0) 代入得 −1 − b + c = −5 与 −16 + 4b + c = 0，解得 b = 4，c = 0。故 y = −x² + 4x = −(x − 2)² + 4，顶点 D(2, 4)。（3 分）
（2）令 y = 0 得 x = 0 或 4，故 O(0, 0)、B(4, 0) 是抛物线与 x 轴的两个交点，M 为 OB 中点即 M(2, 0)。线段 MD 绕 M 旋转 180° 后点 D 与点 E 关于 M 中心对称，故 E = 2M − D = (2, −4)。（3 分）
OB 的中点为 (2, 0)，DE 的中点也为 (2, 0)，即四边形 ODBE 的两条对角线互相平分，故 ODBE 是平行四边形。（2 分）
（3）由（1）知对称轴为 x = 2。设 P(p, −p² + 4p)，Q(2, q)。四点构成平行四边形等价于两条对角线的中点重合，按互为对角线的配对分三类。（1 分）
① 以 OB、PQ 为对角线：p + 2 = 0 + 4 且 (−p² + 4p) + q = 0，解得 p = 2、q = −4，得 P(2, 4)。（2 分）
② 以 OP、BQ 为对角线：p + 0 = 4 + 2 且 (−p² + 4p) + 0 = 0 + q，解得 p = 6、q = −12，得 P(6, −12)。（1 分）
③ 以 OQ、BP 为对角线：0 + 2 = 4 + p 且 0 + q = 0 + (−p² + 4p)，解得 p = −2、q = −12，得 P(−2, −12)。（1 分）
检验：把 p = 2、6、−2 分别代入 −p² + 4p 得 4、−12、−12，三点均在抛物线上且异于 O、B；三种情形下四点均不共线，分类完备无退化解。（1 分）
【考查知识点】待定系数法与顶点、中心对称坐标表示、平行四边形判定、对角线配对分类的存在性探究 【难度】拔高 【来源】原创（依据题库专题「01 二次函数（含几何综合与压轴）」与「03 图形的旋转」的中心对称、特殊图形存在性考点结构命制）
附录 命题说明与双向细目表
一、题型分布与分值配置
题型
题量 / 题号
分值配置
小计
一、选择题
10 题（1—10）
每小题 4 分
40 分
二、填空题
6 题（11—16）
每小题 4 分
24 分
三、解答题
9 题（17—25）
17—21 各 8 分；22—23 各 10 分；24 题 12 分；25 题 14 分
86 分
合计
25 题
—
150 分
二、难度配置（整体偏大）：基础 56 分（约 37%）、中档 60 分（约 40%）、拔高 34 分（约 23%）。
三、知识板块配比：数与代数 102 分、图形与几何 48 分、统计与概率 0 分（九下内容，不超纲）。
四、双向细目表
题号
分值
难度
板块
主要考查知识点
1
4
基础
数与代数
一元二次方程的定义
2
4
基础
数与代数
配方法与顶点、水平线交点
3
4
基础
数与代数
二次函数图象的平移
4
4
中档
数与代数
二次函数建模与自变量范围
5
4
基础
数与代数
判别式与含参方程系数限制
6
4
基础
图形与几何
绕原点旋转 90° 的坐标变换
7
4
基础
数与代数
二次函数系数与图象关系辨析
8
4
中档
数与代数
函数图象与方程根的个数
9
4
中档
数与代数
方程根与等腰三角形分类讨论
10
4
拔高
数与代数
二次函数多结论判断
11
4
基础
数与代数
根与系数的关系、判别式检验
12
4
中档
数与代数
数学文化情境列方程
13
4
中档
数与代数
反比例函数 k 的几何意义、两解讨论
14
4
基础
数与代数
反比例函数图象上点、跨象限比较
15
4
中档
数与代数
动点面积二次函数最值
16
4
拔高
图形与几何
旋转坐标表示与线段最小值
17
8
基础
数与代数
配方法、因式分解法解方程
18
8
基础
图形与几何
旋转与中心对称坐标、坐标法求面积
19
8
中档
图形与几何
旋转构造全等、勾股求线段
20
8
基础
数与代数
判别式恒正证明、根与系数求参
21
8
中档
数与代数
增长率与利润模型、根的取舍
22
10
中档
数与代数
解析式、铅垂线段最值、等面积点
23
10
中档
图形与几何
正方形旋转半角模型、全等与转化
24
12
拔高
数与代数
含参二次函数区间最值、根的分布
25
14
拔高
图形与几何
二次函数与平行四边形存在性综合压轴
五、配图：全卷共 8 幅题图（第 4、15、16、18、19、22、23、25 题），由题目方程与几何约束确定性绘制，双版本同图同位；图中不标待求数值、不画待证结论的直角标记、不出现答案图形。
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2026到2027学年九年级上册。南平市期中模拟卷。
（适用范围：福建省南平市 · 学生卷）
资料属性：期中模拟练习卷：依据人教版九年级上册期中教学进度自主命制，非任何地区教育部门或学校组织的官方统一考试原卷
适用范围：福建省南平市九年级（按当地教学进度命制，不代表该地区统考命题）
考试科目：数学 适用年级：九年级（初中） 学期范围：2026—2027 学年第一学期（九年级上册）· 期中
满分：150 分 考试时间：120 分钟 教材版本：人教版（2024 年审定）
考查范围：人教版（2024 年审定）九年级上册期中教学进度：一元二次方程、二次函数、反比例函数、图形的旋转与中心对称
注意事项
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本卷共 25 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。所有解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）
1．（4 分）下列关于 x 的方程中，一定是一元二次方程的是
A．ax² + bx + c = 0
B．x² + 1/x = 3
C．(x − 1)(x + 2) = x²
D．(m² + 1)x² − 2x − 3 = 0
2．（4 分）若抛物线 y = x² − 4x + 1 与直线 y = m 有且只有一个公共点，则 m 的值为
A．−3
B．−5
C．1
D．3
3．（4 分）抛物线 C₁ 的解析式为 y = 3(x − 2)² + 1．把 C₁ 平移后得到抛物线 C₂，C₂ 的解析式为 y = 3(x + 1)² − 2，则平移方式是
A．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度
B．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 3 个单位长度
C．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度
D．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度
4．（4 分）用长为 40 m 的篱笆靠一面足够长的墙围成矩形菜园（墙作为一边，篱笆围其余三边）．设与墙垂直的边长为 x m，菜园面积为 y m²，则 y 关于 x 的函数解析式及 x 的取值范围是
第 4 题图
A．y = −2x² + 40x（0 < x < 20）
B．y = −x² + 40x（0 < x < 40）
C．y = −2x² + 40x（0 < x < 40）
D．y = x(40 − x)（0 < x < 20）
5．（4 分）若关于 x 的方程 (k − 1)x² − 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A．k < 2
B．k < 2 且 k ≠ 1
C．k > 2
D．k ≤ 2 且 k ≠ 1
6．（4 分）在平面直角坐标系中，将点 A(−2, 1) 绕原点 O 顺时针旋转 90° 得到点 A₁，则 A₁ 的坐标是
A．(1, 2)
B．(2, −1)
C．(−1, −2)
D．(1, −2)
7．（4 分）下列关于二次函数 y = ax² + bx + c（a ≠ 0）的说法中，正确的是
A．当 a > 0 时，抛物线一定与 x 轴有两个交点
B．当 c > 0 时，抛物线与 y 轴的交点一定在 x 轴上方
C．当 ab > 0 时，抛物线的对称轴一定在 y 轴右侧
D．当 b² − 4ac > 0 时，抛物线的顶点一定在 x 轴下方
8．（4 分）已知二次函数 y = −x² + 2x + 3，若关于 x 的方程 −x² + 2x + 3 = m 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是
A．m < 4
B．m ≤ 4
C．m > 4
D．m < 3
9．（4 分）等腰三角形的一边长为 6，另外两边的长恰好是关于 x 的方程 x² − 9x + m = 0 的两个根，则 m 的值为
A．18
B．81/4
C．18 或 81/4
D．18 或 20
10．（4 分）已知二次函数 y = a(x − 1)² + k（a > 0）的图象经过点 (3, 0) 与点 (0, −3)．给出下列结论：① 3a + k = 0；② 该函数的最小值为 −4a；③ 若关于 x 的方程 a(x − 1)² + k = n 有两个不相等的实数根，则 n > −4a；④ 抛物线上有两点 (m, y₁)、(m + 2, y₂)，当 m > 1 时 y₁ < y₂．其中正确结论的个数是
A．1
B．2
C．3
D．4
二、填空题（共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。请把答案直接填写在答题卡相应位置。）
11．（4 分）若关于 x 的一元二次方程 x² − 4x + k = 0 的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁² + x₂² = 10，则 k = ______．
12．（4 分）「大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符．」设周瑜去世时年龄的个位数字为 x（十位数字比个位数字小 3，且个位数字的平方恰好等于他的年龄），则可列出的方程为 ______．
13．（4 分）在平面直角坐标系中，点 P 在反比例函数 y = k/x（k ≠ 0）的图象上．过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为点 A．点 B 在 x 轴上，AB = 2OA，连接 PB．若 △PAB 的面积为 12，则 k = ______．
14．（4 分）已知点 A(−2, y₁)、B(1, y₂)、C(3, y₃) 都在反比例函数 y = −6/x 的图象上，则用「<」把 y₁、y₂、y₃ 连接起来为 ______．
15．（4 分）在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = 6 cm，BC = 8 cm．点 P 从点 A 出发沿 AB 向点 B 以 1 cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B 出发沿 BC 向点 C 以 2 cm/s 的速度移动，两点同时出发，当点 Q 到达点 C 时两点同时停止．设运动时间为 t s，则 △PBQ 面积的最大值为 ______ cm²．
第 15 题图
16．（4 分）在平面直角坐标系中，点 A(0, 3)，点 B 在 x 轴上运动．将线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 90° 得到线段 AC（点 B 的对应点为点 C），则线段 OC 的最小值为 ______．
第 16 题图
三、解答题（共 9 小题，共 86 分。其中 17—21 题每题 8 分，22—23 题每题 10 分，24 题 12 分，25 题 14 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．（8 分）用适当的方法解下列方程：
（1）x² − 4x − 1 = 0；（4 分）
（2）2(x − 3)² = x(x − 3)．（4 分）
18．（8 分）在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A(−2, 1)、B(−1, 3)、C(0, −1)．
第 18 题图
（1）将 △ABC 绕原点 O 顺时针旋转 90° 得到 △A₁B₁C₁，直接写出 A₁、B₁、C₁ 的坐标；（3 分）
（2）作 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △A₂B₂C₂，直接写出 A₂、B₂、C₂ 的坐标；（3 分）
（3）求 △ABC 的面积．（2 分）
19．（8 分）如图，在 △ABC 中，AB = AC，∠BAC = 90°．点 D 在边 BC 上（不与端点重合）．将线段 AD 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到线段 AE，点 D 的对应点为点 E，连接 BE、DE．
第 19 题图
（1）求证：△ACD ≌ △ABE；（4 分）
（2）若 BD = 3，CD = 4，求 DE 的长．（4 分）
20．（8 分）已知关于 x 的一元二次方程 x² − (2k + 1)x + k² + k = 0．
（1）求证：无论 k 取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（3 分）
（2）若方程的两个实数根 x₁、x₂ 满足 x₁² + x₂² = 13，求 k 的值．（5 分）
21．（8 分）闽北某合作社 2025 年 9 月线上销售锥栗 256 件，10 月、11 月销量持续增长且月平均增长率相同，11 月销量达到 400 件．
（1）求 10 月、11 月这两个月的月平均增长率；（4 分）
（2）若 12 月按此增长率继续增长，且每件锥栗进价 40 元、原售价 60 元；试销发现，12 月每件降价 1 元，月销量可在上述增长后的基础上再增加 20 件．问每件降价多少元时，12 月销售锥栗的总利润恰好为 9000 元？（4 分）
22．（10 分）已知抛物线 y = x² + bx + c 与 x 轴交于 A(−1, 0)、B(3, 0) 两点，与 y 轴交于点 C．
第 22 题图
（1）求抛物线的解析式及顶点坐标；（4 分）
（2）点 P 是直线 BC 下方的抛物线上一点，过点 P 作 x 轴的垂线交直线 BC 于点 E，求线段 PE 的最大值；（3 分）
（3）点 M 是抛物线上异于点 C 的一点，若 △MAB 与 △CAB 的面积相等，求点 M 的坐标．（3 分）
23．（10 分）在正方形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 BC、CD 上，∠EAF = 45°．将 △ABE 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到 △ADG（点 B 与点 D 重合，点 E 的对应点为点 G）．
第 23 题图
（1）求证：△AEF ≌ △AGF；（4 分）
（2）若 BE = 2，DF = 3，求 EF 的长；（3 分）
（3）若正方形的边长为 6，求 △CEF 的周长．（3 分）
24．（12 分）已知二次函数 y = x² − 2mx + m² + m − 3（m 为常数）．
（1）用含 m 的式子表示该抛物线顶点的坐标；（3 分）
（2）当 −1 ≤ x ≤ 2 时，该函数的最小值为 −4，求 m 的值；（5 分）
（3）当 m = −1 时，若关于 x 的方程 x² − 2mx + m² + m − 3 = n 在 −2 ≤ x ≤ 2 范围内有两个不相等的实数根，求 n 的取值范围．（4 分）
25．（14 分）已知抛物线 y = −x² + bx + c 经过点 A(−1, −5) 与点 B(4, 0)，其顶点记为 D．
第 25 题图
（1）求该抛物线的解析式与顶点 D 的坐标；（3 分）
（2）点 O 为坐标原点，点 M 是线段 OB 的中点．将线段 MD 绕点 M 旋转 180° 得到线段 ME，点 D 的对应点为点 E．求点 E 的坐标，并证明四边形 ODBE 是平行四边形；（5 分）
（3）点 P 是该抛物线上异于点 O、点 B 的一点，点 Q 在该抛物线的对称轴上．以 O、B、P、Q 四点为顶点能否构成平行四边形？若能，求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不能，请说明理由．（6 分）
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