精品解析：福建省泉州第五中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

泉州五中2026-2027学年上学期初三年期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 一、选择题（共10题，每小题4分，共40分）在答题卡相应的答题区域内作答． 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解，即可得到答案． 【详解】解：由题意， ， 解得 ． 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，其一般形式为，其中，a、b、c为常数；根据一元二次方程的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、含有两个未知数，不符合题意； C、是一元二次方程，符合题意； D、是分式方程，不符合题意． 故选：C． 3. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵在中，，，， ∴． 4. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 钝角比直角大 C. 太阳从西边升起 D. 守株待兔 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、明天会下雨，是随机事件； B、钝角比直角大，是必然事件； C、太阳从西边升起，是不可能事件； D、守株待兔，是随机事件． 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； B、因为与的被开方数不同，不能合并，故本选项的计算错误； C、，故本选项的计算错误； D、，故本选项的计算正确． 故选：D． 6. 2026年8月25日11时21分，“八一04星哈尔滨号”卫星搭载长征六号丙遥一运载火箭成功发射．当火箭上升到处时，位于地平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则火箭距地平面的高度为（ ）千米 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在直角三角形中，利用正弦函数的定义表示出对边即可． 【详解】解：在中，，，， ， ． 7. 如图直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵直线， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 8. 如图，在的正方形网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、正弦的定义，连接，，，，得到，推出为直角三角形，，根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ， ，，， ， 为直角三角形，， ， 故选：A． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点A作轴于点E，过点D作轴于点F，由点A的坐标和三线合一定理得到的长，由旋转的性质得到的长和，据此求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作轴于点E，过点D作轴于点F， ∵顶点的坐标为，， ∴ ∴； 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 10. 将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（ ） A. B. C. 或5 D. 或5 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况求解即可． 【详解】解：∵纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点， ∴， 设， ∵， ∴， 当， ∴， ∴， 解得， ∴； 当， ∴， ∴， 解得， ∴； ∴的长是或5． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）在答题卡相应的答题区域内作答． 11. 两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的对应线段之比等于相似比进行解答即可． 【详解】解：两个相似三角形的相似比为， 它们的对应角的角平分线的比为． 故答案为：． 12. 某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题，利用坡度的定义及特殊锐角三角函数值可求出斜坡的坡角的度数，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴， 故答案为：． 13. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将根代入原方程，通过移项变形即可求出目标代数式的值． 【详解】解：∵ 是一元二次方程的一个根， ∴ 将代入方程可得， ∴ 移项整理得． 14. 如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是_______．（选填“甲地”或“乙地”） 【答案】甲地 【解析】 【分析】根据气温的波动大小判断即可．方差的意义，方差越小，代表这组数据越稳定，方差越大，代表这组数据越不稳定，据此即可求解． 【详解】解： 根据图形可知甲地的平均气温波动较大，故甲地的日平均气温的方差大． 15. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可求解，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点．若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动．当点从点运动到点时，点运动的路径长是___________． 【答案】 【解析】 【分析】确定点的运动轨迹为线段，设点在起点和终点时对应的点分别为、，通过证明，利用相似比求出线段的长度 ． 【详解】解：设点在点时，对应的点为；点在点时，对应的点为，  ，，  在中，，  当点在点时，，，  当点在点时，，，  ，  ，，  ，  ，  ，； 同理可证明， ∴， ∴， ∴点在线段上； 点横坐标为，轴于点，  ， 点在直线上，  ，   在中，，  ，  ，即点运动的路径长是． 三、解答题（共9小题，共86分）在答题卡相应的区域内作答． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】根据因式分解法求解即可． 【详解】解：， 或， 或， 所以方程的解为，． 19. 如图，在中，，为边的中点，，垂足为，若，，则： （1）求的长； （2）求的长． 【答案】（1） （2）5 【解析】 【分析】（1）在中，根据正切的定义求得，进而由为边的中点可求得； （2）在中，根据正切的定义可推出，进而由勾股定理即可求得答案． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴， ∵为边的中点， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，，，， ∴，即， ∴， ∴． 20. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； （3）与面积比为_________． 【答案】（1） （2）如图，即为所求； （3） 【解析】 【分析】（1）连接对应点并延长，交点就是点P，写出坐标即可得到答案； （2）连接点O与的三个顶点并反向延长，使，连接三个顶点即可得到； （3）利用相似三角形的性质求解． 【小问1详解】 解：如图，连接，，并延长交于点P， ∴点P的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵与相似比为， ∴与面积比为． 21. 定义：若关于的一元二次方程的两根，满足，则称这个方程为“和谐方程”． （1）已知关于的方程（为实数），求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若第（1）中的方程是“和谐方程”，求的值． 【答案】（1）证明：这个方程根的判别式 ， ∵，即， ∴无论取何值，该方程总有实数根． （2）的值为 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可得证； （2）先得出，，再根据“和谐方程”的定义解答即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：设关于的方程（为实数）的两根为，， ∴，， ∵关于的方程是“和谐方程”， ∴，即， 解得． 22. 安溪县是“中国乌龙茶之乡”，铁观音是泉州的烫金名片．某茶叶合作社计划采购一批秋茶铁观音．现从感德镇和西坪镇两个茶山的茶青（鲜叶）中，各随机抽取10批，测量每批的茶多酚含量（克/千克），茶多酚是茶叶中最重要的活性物质之一，是形成茶汤滋味（鲜爽、回甘）和茶叶保健价值（抗氧化）的主要成分．在同等条件下，茶青的茶多酚含量越高，一般品质越好．将测量数据整理成如下频数统计表：单批茶青茶多酚含量频数统计表（单位：克/千克） 含量 24 25 26 27 28 29 感德镇（批数） 2 4 3 1 0 0 西坪镇（批数） 5 2 1 0 1 1 统计量表 统计量 茶山 平均数 中位数 众数 感德镇 25.3 25 西坪镇 25.3 24 （1）填空：___________，___________； （2）若从两个茶山茶多酚含量不低于27克的共3个样品中任选2个送市级质量评比，用画树状图或列表方法，求这2个样品恰好来自不同茶山的概率； （3）你认为该合作社应采购哪个茶山的铁观音？请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）应采购感德镇的铁观音．理由：两个茶山的茶青茶多酚平均含量相同，感德镇的中位数和众数均高于西坪镇，说明感德镇的茶青整体品质更好． 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）画树状图或列表方法得到所有等可能的情况和满足要求的情况数，根据概率公式计算即可； （3）求出两个茶山茶多酚含量的平均数，根据平均数、中位数与众数进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵共有10个批次，西坪镇的数据中处于第5个和第6个数据分别是24，25， ∴中位数为，即． 在感德镇的数据中，含量为25克/千克的批次最多，故众数为25，即． 【小问2详解】 解：记来自感德镇的样品为A，来自西坪镇的样品为，，画树状图为： 所以，共有6种等可能结果，其中2个样品恰好来自不同茶山的结果有4种，因此2个样品恰好来自不同茶山的概率为． 【小问3详解】 解：应采购感德镇的铁观音，理由如下： 来自感德镇的茶多酚含量的平均数为， 来自西坪镇的茶多酚含量的平均数为， 两个茶山的茶青茶多酚平均含量相同，感德镇的中位数和众数均高于西坪镇，说明感德镇的茶青整体品质更好，所以应采购感德镇的铁观音． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 线段比例与高次方程研究 环节一：探索延伸发现问题 小伍在学习了“一元二次方程与黄金分割数”内容后，展开进一步思考：将线段比例关系复杂化(例如加减、平方关系)，是否会生成更复杂的方程？在线段上取一点，其中，现延长至点，使，且满足，这样的点是否存在？为简单起见，设，．小伍将复杂的比例关系转化为方程，由关系可列方程为___________； 环节二：收集资料分析问题 现有知识无法解决上述方程，因此小伍学习了一种新的因式分解法——试根法． ①以为例，观察发现，时，，说明是方程的一个解，由此推断分解后必有一个因式是； ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可设，展开后由对应项系数相等，可求出，． 环节三：学以致用解决问题 （1）环节一中所列方程为___________； （2）请仿照上述步骤，用试根法求解第（1）问所列方程； （3）如图1，，请利用无刻度直尺和圆规，作出以的长为底边，以的长为腰的等腰三角形．其中的长为第（2）问中的正根，且．(保留作图痕迹，不写作法) 【答案】（1） （2）或 （3）作图见答案处图形 【解析】 【分析】（1）用表示、，把题给的比例关系写成等式，整理即得方程； （2）先试出是解，得到因式，用待定系数法把三次多项式分解成一次式与二次式的积，再解二次方程； （3）先作点：作的垂直平分线，交于；过点作的垂线，以为圆心、为半径画弧交垂线于；连，由勾股定理；以为圆心、为半径画弧交于；则；再以为圆心、为半径画弧交于就是所求的点；最后以、为圆心、为半径画弧，两弧交于，连、即为所求． 【小问1详解】 解：设，则， ∵延长至点，使， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：当时，， ∴是方程的一个解，原多项式必有一个因式． 设， 展开得， 比较系数得， ∴， ∴或， ∴或． 【小问3详解】 略 24. 【材料阅读】如图1，在中，设，，的对边分别为，，，过点作，垂足为，会有，则，即，同理，．由以上三式可得：正弦定理：． 用以上的公式和定理解决问题： （1）【简单应用】在锐角中，设，的对边分别为，，已知，，，求的长； （2）【探究证明】如图2，在锐角中，设，，的对边分别为，，，请仿照材料中“作高”的方法，证明余弦定理； （3）【灵活应用】如图3，在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长． 【答案】（1）； （2）证明：过点作于，过点作于， 在中，，， ∴，； 在中，，， ∴ ， 在中，，，， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（1）直接代入材料中的正弦定理解答即可； （2）过点作于，过点作于，根据正弦和余弦的定义得到，，，然后在中表示出的正弦和余弦，结合勾股定理可求得，最后在中利用勾股定理即可证得结论； （3）先在中，运用正弦定理求得；然后延长到点，使得，过点作交的延长线于点，易证，推导出，；接着在中，运用勾股定理得到，从而可在中运用余弦定理求得a的值和利用完全平方公式求得的值，即可求得周长． 【小问1详解】 解：根据正弦定理可得：， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵在中，，的面积为， ∴， ∴； 如图，延长到点，使得，过点作交的延长线于点， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在直角中，，， ∴，即， ∴， ∴， ∴在中，， ∴（舍去负值）， ∵， ∴（舍去负值）， ∴的周长． 25. 如图，四边形中，延长，相交于点，，相交于点，是上一点，交于点，且，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，，求的周长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵，； ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）先由得到对应边成比例，结合公共角相等，利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证得结论； （2）先由两组相似三角形得到对应角相等，结合三角形外角的性质和角度的和差可推出，然后根据等边对等角通过等量代换得到，从而证明，即可证得结论； （3）先通过两组等边对等角和相似三角形的对应角相等，结合三角形外角的性质和角度的和差可推出，可知，从而把的周长转化为求的长度；然后证明，得到，设，则，，表示出，再结合的长度求得；接着过点作于点，根据，利用正切值可知，最后在中利用勾股定理求得，进而在中利用勾股定理求得的值，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（2）知，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长； 由（2）可知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，则，， ∴， 又∵， ∴， ∴； 如图，过点作于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，即， ∴（舍去负值）， ∴，， 在中，，即， ∴（舍去负值）， ∴， ∴的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州五中2026-2027学年上学期初三年期中考试 数学试题 （考试时间：120分钟，全卷满分：150分） 一、选择题（共10题，每小题4分，共40分）在答题卡相应的答题区域内作答． 1. 要使二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于的方程中，是一元二次方程的有（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，为必然事件的是（ ） A. 明天会下雨 B. 钝角比直角大 C. 太阳从西边升起 D. 守株待兔 5. 下列计算正确的是（） A. B. C. D. 6. 2026年8月25日11时21分，“八一04星哈尔滨号”卫星搭载长征六号丙遥一运载火箭成功发射．当火箭上升到处时，位于地平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则火箭距地平面的高度为（ ）千米 A. B. C. D. 7. 如图直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 8. 如图，在的正方形网格中，的顶点是正方形网格的格点，则的正弦值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，顶点在轴的负半轴上，顶点的坐标为，．将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 将纸片按如图的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，如果以点，F，C为顶点的三角形与相似，那么的长是（ ） A. B. C. 或5 D. 或5 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分）在答题卡相应的答题区域内作答． 11. 两个相似三角形的相似比为，则对应的角平分线之比为______． 12. 某水库大坝，其坡面的坡度 ，则斜坡的坡角的度数为_____． 13. 若是一元二次方程的一个根，则代数式的值为___________． 14. 如图是甲、乙两地在某一个月中日平均气温的箱线图，从中可以发现这个月的日平均气温方差较大的是_______．（选填“甲地”或“乙地”） 15. 若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是______． 16. 如图，已知点是第一象限内横坐标为的一个定点，轴于点，交直线于点．若点是线段上的一个动点，，，则点在线段上运动时，点不变，点随之运动．当点从点运动到点时，点运动的路径长是___________． 三、解答题（共9小题，共86分）在答题卡相应的区域内作答． 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 如图，在中，，为边的中点，，垂足为，若，，则： （1）求的长； （2）求的长． 20. 已知，在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为，，．与是以点P为位似中心的位似图形． （1）直接写出点P的坐标； （2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出的位似图形，使与相似比为； （3）与面积比为_________． 21. 定义：若关于的一元二次方程的两根，满足，则称这个方程为“和谐方程”． （1）已知关于的方程（为实数），求证：无论取何值，该方程总有实数根； （2）若第（1）中的方程是“和谐方程”，求的值． 22. 安溪县是“中国乌龙茶之乡”，铁观音是泉州的烫金名片．某茶叶合作社计划采购一批秋茶铁观音．现从感德镇和西坪镇两个茶山的茶青（鲜叶）中，各随机抽取10批，测量每批的茶多酚含量（克/千克），茶多酚是茶叶中最重要的活性物质之一，是形成茶汤滋味（鲜爽、回甘）和茶叶保健价值（抗氧化）的主要成分．在同等条件下，茶青的茶多酚含量越高，一般品质越好．将测量数据整理成如下频数统计表：单批茶青茶多酚含量频数统计表（单位：克/千克） 含量 24 25 26 27 28 29 感德镇（批数） 2 4 3 1 0 0 西坪镇（批数） 5 2 1 0 1 1 统计量表 统计量 茶山 平均数 中位数 众数 感德镇 25.3 25 西坪镇 25.3 24 （1）填空：___________，___________； （2）若从两个茶山茶多酚含量不低于27克的共3个样品中任选2个送市级质量评比，用画树状图或列表方法，求这2个样品恰好来自不同茶山的概率； （3）你认为该合作社应采购哪个茶山的铁观音？请说明理由． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 线段比例与高次方程研究 环节一：探索延伸发现问题 小伍在学习了“一元二次方程与黄金分割数”内容后，展开进一步思考：将线段比例关系复杂化(例如加减、平方关系)，是否会生成更复杂的方程？在线段上取一点，其中，现延长至点，使，且满足，这样的点是否存在？为简单起见，设，．小伍将复杂的比例关系转化为方程，由关系可列方程为___________； 环节二：收集资料分析问题 现有知识无法解决上述方程，因此小伍学习了一种新的因式分解法——试根法． ①以为例，观察发现，时，，说明是方程的一个解，由此推断分解后必有一个因式是； ②根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可设，展开后由对应项系数相等，可求出，． 环节三：学以致用解决问题 （1）环节一中所列方程为___________； （2）请仿照上述步骤，用试根法求解第（1）问所列方程； （3）如图1，，请利用无刻度直尺和圆规，作出以的长为底边，以的长为腰的等腰三角形．其中的长为第（2）问中的正根，且．(保留作图痕迹，不写作法) 24. 【材料阅读】如图1，在中，设，，的对边分别为，，，过点作，垂足为，会有，则，即，同理，．由以上三式可得：正弦定理：． 用以上的公式和定理解决问题： （1）【简单应用】在锐角中，设，的对边分别为，，已知，，，求的长； （2）【探究证明】如图2，在锐角中，设，，的对边分别为，，，请仿照材料中“作高”的方法，证明余弦定理； （3）【灵活应用】如图3，在中，角，，所对的边分别为，，，已知，的面积为，设为的中点，且，求的周长． 25. 如图，四边形中，延长，相交于点，，相交于点，是上一点，交于点，且，． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，，求的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $