精品解析：福建省建瓯市2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

建瓯市2025-2026学年第一学期九年级期中质量监测 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 建瓯的文旅活动、新业态和惠民政策举措，以其独特的文化魅力与创新体验吸引游客纷至沓来．据统计，10月1日至8日，全市累计接待游客约人次，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的半径，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 小华将筷子倾斜插入清澈的液体中，即，观察液体中部分向上折弯到处，若测得，则弯折角的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知点，为抛物线上两点，且，则下列判断正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则正方形的边长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置． 11. 不等式的解集是________． 12. 将抛物线y=2x2向上平移1个单位得到的抛物线是________. 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 14. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 15. 如图，是的直径，，垂足为，交于点．若，则________． 16. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数1-10时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则壬烷分子结构式中“H”的个数为________． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，点在边，，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图表所示．根据图表中数据解决下列问题： 平均数 中位数 众数 九（1）班 九（2）班 （1） ， ， ； （2）九（1）班复赛成绩的方差为，九（2）班复赛成绩的方差为．请你计算方差，；并结合图表数据对比分析两个班级的复赛成绩哪个较好? 21. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点恰好落在线段上，若，．求的长． 22. 已知是等边三角形，点在边上． （1）如图1，在上求作点，使得（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）如图2，点是边的中点，在（1）的条件下，若，求的边长． 23. 已知，，是实数，． （1）求证：是正数； （2）已知，求与的值． 24. 如图，在中，，直径，垂足为．，垂足为，交于点，交于点，，交于点，交于点． （1）若，求（用含的代数式表示）； （2）求证：； （3）若，求的长． 25. 阅读材料，解决问题 主题 矩形分割的面积问题探究 素材 已知矩形中，，． 分析探究1 （1）如图，点在边上，点在边上，且． ①若，，，求的长； 拓展延伸1 ②如图，若小华要在①中五边形中裁剪出一个面积最大的矩形，请你建立适当的平面直角坐标系，设计裁剪方案，并求出最大矩形的面积； 拓展延伸2 如图，小华将矩形作如下分割：作两个全等的小矩形，分别是矩形、矩形和两个全等的正方形、正方形，其中矩形的周长和正方形的周长相等，设阴影部分的面积为． 证明：． （1）解决问题①； （2）解决问题②； （3）写出的证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 建瓯市2025-2026学年第一学期九年级期中质量监测 数学试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2024年6月5日，是二十四节气的芒种，二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“芒种”、“白露”、“立夏”、“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．本题主要考查了中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故A选项不合题意； B．不是中心对称图形，故B选项不合题意； C．不是中心对称图形，故C选项不合题意； D．是中心对称图形，故D选项合题意； 故选：D． 2. 建瓯的文旅活动、新业态和惠民政策举措，以其独特的文化魅力与创新体验吸引游客纷至沓来．据统计，10月1日至8日，全市累计接待游客约人次，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的要求，将变为，分别确定a和n的值即可． 本题考查了科学记数法，其表示形式为，正确确定a和n的值是解答本题的关键．n是整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解： ， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题综合考查了整式运算的多个考点，包括合并同类项、同底数幂的乘法和除法、积的乘方，需熟练掌握并区分清楚，才不容易出错. 按照合并同类项、同底数幂的乘除法运算、积的乘方的性质进行计算判断即可. 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意． 故选D． 4. 二次函数的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，根据二次函数的顶点坐标为进行求解即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为． 故选：B 5. 如图，是的半径，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故选：C． 6. 小华将筷子倾斜插入清澈的液体中，即，观察液体中部分向上折弯到处，若测得，则弯折角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质可得，再根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 7. 甲机器人做360个零件与乙机器人做480个零件所用的时间相同，已知这两种机器人每天共做140个零件，若设甲机器人每天做个零件，则符合题意的正确方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式方程的应用，根据题意，甲做360个零件的时间等于乙做480个零件的时间，且甲、乙每天共做140个零件．设甲每天做x个零件，则乙每天做个零件．利用时间相等关系列方程． 【详解】解：∵ 甲做360个零件的时间为 ， 乙做480个零件的时间为 ， ∵时间相等， ∴ ， 即选项B正确． 故选：B 8. 如图，矩形的对角线，相交于点，且，．下列推断错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，矩形的性质；根据矩形的性质结合已知条件，证明四边形是菱形，即可判断A，C和D，没有条件得出B选项． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故A正确， ∴，，故C，D正确， 没有条件得出B选项． 故选：B． 9. 已知点，为抛物线上两点，且，则下列判断正确的是（） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质．由得到抛物线开口向上，对称轴为直线．比较和的大小取决于点和相对于对称轴的位置，即中点横坐标与对称轴的关系：若，则；若，则；若，则．由此判断各选项． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为，且开口向上， ∴设的中点横坐标， 若，即，则，故； 若，即，则，故； 若，即，则，故． 选项A、B、C均与上述结论不符，选项D正确． 故选∶D． 10. 如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，若，，则正方形的边长为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定等，构造全等三角形是解题的关键．先证明得到，由旋转的性质可得，则，由三线合一定理得到，则可利用勾股定理得到，据此可得答案． 【详解】解：如图，作于 由正方形的性质可得， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．将答案填入答题卡的相应位置． 11. 不等式的解集是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，通过移项和系数化为1求解不等式． 【详解】解：∵， 移项，得 ， 即 ， 两边同除以2，得 ． 故答案为： 12. 将抛物线y=2x2向上平移1个单位得到的抛物线是________. 【答案】y=2x2+1 【解析】 【分析】直接利用二次函数图象平移规律得出平移后解析式． 【详解】解： 将抛物线y=2x2向上平移1个单位得到的抛物线是 ： y=2x2+1 . 故答案为： y=2x2+1 . 【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案． 【详解】解：点 关于原点的对称点 的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 14. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的个数与根的判别式的关系．根据题意得，进行计算即可得． 【详解】解：若关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 故答案为：． 15. 如图，是的直径，，垂足为，交于点．若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，中位线的性质，根据垂径定理可得，结合，即可得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 又∵，， ∴， 故答案为：． 16. 化学中直链烷烃的名称用“碳原子数+烷”来表示，当碳原子数1-10时，依次用天干甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子结构式如图所示，则壬烷分子结构式中“H”的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形规律探究，解题的关键是总结归纳出图形变化规律．根据题意，得到氢原子的数目与碳原子数的规律，即可解答． 【详解】解：观察，发现规律： 甲烷：碳原子的数目，氢原子的数目，； 乙烷：碳原子的数目，氢原子的数目，； 丙烷：碳原子的数目，氢原子的数目，； ……， 则壬烷分子结构式中“”的个数：， 故答案为：． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，在答题卡的相应位置作答． 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，选择合适解一元二次方程的方法是解题的关键． 运用因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，， 解得，． 18. 如图，在中，点在边，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在与中， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，根据平行线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算的法则． 先将括号内的式子进行通分，然后将除法统一为乘法运算，再约分、化简，最后把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式． 20. 某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图表所示．根据图表中数据解决下列问题： 平均数 中位数 众数 九（1）班 九（2）班 （1） ， ， ； （2）九（1）班复赛成绩的方差为，九（2）班复赛成绩的方差为．请你计算方差，；并结合图表数据对比分析两个班级的复赛成绩哪个较好? 【答案】（1） （2）九（1）班复赛成绩好 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，从条形图中有效地获取信息，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，求解即可； （2）根据方差的计算公式进行计算，并利用方差作决策即可． 【小问1详解】 解：， 九（2）班的五位成绩排序后，； 九（1）班成绩中出现次数最多的是，故； 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 两个年级的平均数相同，（1）班的方差小于（2）班的方差，成绩较为稳定，故（1）班的复赛成绩较好． 21. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点，的对应点分别为点，，点恰好落在线段上，若，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，连接，根据旋转的性质推出，再根据勾股定理求出的长，最后在等腰直角三角形中解直角三角形求出的长即可． 【详解】解：如图，连接， ∵将绕点A顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，连接，点D恰好落在线段上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 22. 已知是等边三角形，点在边上． （1）如图1，在上求作点，使得（要求：尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）； （2）如图2，点是边的中点，在（1）的条件下，若，求的边长． 【答案】（1） 如图，点即为所求， （2） 【解析】 【分析】此题考查了作一个角等于已知角，等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，准确作图是关键． （1）作，交于点即可； （2）根据等边三角形的性质得到，再由点是边的中点得到，，求出，则，得到，由勾股定理可得，则，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵是等边三角形， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴ 由勾股定理可得， ∴， ∴ 即的边长为． 23. 已知，，是实数，． （1）求证：是正数； （2）已知，求与的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是正数． （2）， 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，平方的非负性，掌握完全平方公式是解题的关键． （1）由得到，因此，即可证明； （2）由得到，再由得到，整理得到，根据非负性得到，，进而可求出a的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，直径，垂足为．，垂足为，交于点，交于点，，交于点，交于点． （1）若，求（用含的代数式表示）； （2）求证：； （3）若，求的长． 【答案】（1） （2） 证明：∵是的直径， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据，直径，得出，进而根据等角的余角相等，即可得证； （2）根据是的直径，得出，结合，即可得证； （3）连接，根据弧与圆周角的关系，证明，进而证明四边形是菱形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵，直径， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，连接， 设， ∵，直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， 又同（1）可得， ∴， ∴， 由（2）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆周角与弧之间的关系，平行线的性质与判定，菱形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 25. 阅读材料，解决问题 主题 矩形分割的面积问题探究 素材 已知矩形中，，． 分析探究1 （1）如图，点在边上，点在边上，且． ①若，，，求的长； 拓展延伸1 ②如图，若小华要在①中五边形中裁剪出一个面积最大的矩形，请你建立适当的平面直角坐标系，设计裁剪方案，并求出最大矩形的面积； 拓展延伸2 如图，小华将矩形作如下分割：作两个全等的小矩形，分别是矩形、矩形和两个全等的正方形、正方形，其中矩形的周长和正方形的周长相等，设阴影部分的面积为． 证明：． （1）解决问题①； （2）解决问题②； （3）写出的证明过程． 【答案】（1） （2）方案如下； 解：情形一：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 依题意，，，，， 设，则， 在中， 即 解得：， ∴， 设直线的解析式为，代入得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 如图，当五边形内的矩形一边在上时，设，，矩形的面积为， ∴， ∵对称轴为直线， ∴当时，取得最大值为； 情形二：如图，当矩形的一边在上时，过点作于点，过点作轴，分别交于点， ∵， ∴ ∴ ∴即， 解得： ∴ ∴ 同理可得直线的解析式为: 设（） 同理可得 ∴ ∴ 解得： ∴即 ∵，设直线的直线解析式为， 当直线经过点时， ∴直线的直线解析式为 当时，， 当经过点时， 解得： ∴； ∵，， 设， ∴ 解得：， ∴， 如图，过点分别作轴的垂线，垂足分别为， ∴，， ∴ ∴对称轴为直线，抛物线开口向下 ∴当时，取得最大值，最大值为， 情形三，矩形的四个点分别在五边形的任意四边上，此时面积显然小于前两种，故不予计算讨论； 综上所述，最大矩形的面积最大为； （3） 证明：如图，延长，交分别于点，则四边形是矩形， ∵矩形、矩形和两个全等的正方形、正方形，矩形的周长和正方形的周长相等，矩形中，， 设正方形的边长为，则，, ∵矩形的周长和正方形的周长相等 ∴， 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，同理， ∴ ∴． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，矩形的性质，一次函数与几何图形综合，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质； （1）连接，根据勾股定理即可求解； （2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，分三种情况讨论，当矩形的边在上和上，根据相似三角形的性质，二次函数的性质，求得最值，即可求解； （3）设正方形的边长为，则，,根据图形的特点得出，进而根据矩形正方形的性质结合图形得出，进而根据整式混合运算进行计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 依题意，，， 在中， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $