精品解析：宁夏银川市唐徕中学2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

银川市唐徕中学 2025~2026学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 2. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 在等差数列中，已知，，则（ ） A 12 B. 14 C. 16 D. 18 5. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 7. 已知等比数列的前项积为，若，则（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 8. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. 为中的最小项 B. C. 数列是等差数列 D. 10. 如图，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点P（点P在第一象限）作准线l的垂线，垂足为H，为边长为8的等边三角形．则（ ） A. B. C. 点P的坐标为 D. 点P的坐标为 11. 已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（    ） A. 双曲线的方程为 B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线斜率的取值范围为 C. D. 过点作垂直于的延长线于H，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列中为的前n项和，若，则_______. 13. 圆上的点到直线的距离最小为______. 14. 已知椭圆，双曲线．若双曲线N两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，其中，． （1）求数列的通项公式，并画出它的图象． （2）数列从哪一项开始小于0． （3）求数列前n项和的最大值，并求出对应n的值． 16. 已知椭圆的离心率为，焦距为2. （1）求椭圆方程； （2）求椭圆中以为中点的弦所在的直线方程. 17. 已知圆C：（，）与y轴交于A，B两点，，且. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线和直线将圆C的周长四等分，求的值. 18. 设数列的前项和为，且． （1）证明：为等比数列； （2）求数列的前项和． 19. 已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切. （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点， （i）证明：直线与圆相切； （ii）求面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市唐徕中学 2025~2026学年度第一学期期中考试 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 椭圆的焦点为，，为椭圆上一点，若，则（ ） A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义表达式，代入计算即可. 【详解】由方程可知：，根据题意， 又，则. 故选：B. 2. 圆心为且过原点的圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆上一点到圆心的距离即为半径，即可写出圆的方程. 【详解】圆心为的圆的方程为， 又因为原点在圆上，则， 所以. 故选：D. 3. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点到坐标原点的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用抛物线性质得出焦点，再根据坐标求两点之间的距离即可. 【详解】在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为， 点到坐标原点的距离为. 故选：B. 4. 在等差数列中，已知，，则（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质即可求解. 【详解】在等差数列中，已知，，则， 所以. 故选：D. 5. 经过点且与直线垂直的直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线垂直的性质设出直线方程，再代入点求解参数即可. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 将点代入，可得，解得， 可得所求直线方程为，故B正确. 故选：B. 6. 已知数列满足，则（ ） A B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目所给条件，分析数列的周期性，通过周期性得到答案． 【详解】由题知，，，，， 所以3是数列的一个周期，所以． 故选：B． 7. 已知等比数列的前项积为，若，则（ ） A. 16 B. 4 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】首先结合的意义，由条件得到，再根据等比数列的性质求. 【详解】因为，所以， 则. 故选：A 8. 设F为双曲线C：（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点．若|PQ|=|OF|，则C的离心率为 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P点坐标，代入圆的方程得到c与a关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设与轴交于点，由对称性可知轴， 又，为以为直径的圆的半径， 为圆心． ，又点在圆上， ，即． ，故选A． 【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知数列的前项和，则（ ） A. 为中的最小项 B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据可判断A选项；根据即可求出数列的通项，再根据等差数列的定义和前项和公式即可判断BCD. 【详解】选项A ，已知，这是一个二次函数，开口向上，对称轴为， 由于是正整数，计算前几项： 当时，； 当时，；  当​时，； 当​时，；  可见，当时，取得最小值，即是数列中的最小项，故A正确； 由题意得，当时， ， 当时，， 当时，上式也成立，所以，故B正确； 选项C，由题意得， 因为，所以数列是等差数列，故C正确； 选项D，令，则解得， 所以当时，，当时，， 故，故D错误. 故选：ABC. 10. 如图，抛物线C：的焦点为F，过抛物线C上一点P（点P在第一象限）作准线l的垂线，垂足为H，为边长为8的等边三角形．则（ ） A. B. C. 点P的坐标为 D. 点P的坐标为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意结合抛物线的定义运算求解. 【详解】由题意可得：抛物线C焦点为，准线为， 设抛物线C的准线与x轴的交点为Q， 在中，则，， 可得，解得，故A错误，B正确； ∵，则点P的横坐标为，且点P在第一象限， 故点P的坐标为，故C错误，D正确． 故选：BD. 11. 已知左、右焦点为的双曲线C的离心率为，并且过点，坐标原点O为双曲线C的对称中心，点M的坐标为，则下列结论正确的是（    ） A. 双曲线的方程为 B. 若从射出一道光线，经双曲线反射，其反射光线所在直线的斜率的取值范围为 C. D. 过点作垂直于的延长线于H，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，根据离心率得到关系，代入点的坐标求解方程即可判断；对于B，可由双曲线渐近线的斜率得到反射光线的斜率的范围判断；对于C，求得点到直线和的距离可判断；对于D，联立两条直线方程求出点的坐标，求出可判断. 【详解】对于A选项：设焦点在轴上的双曲线方程为 .由离心率，可得，于是方程为. 代入点，解得. 所以双曲线方程为，故A正确. 对于B选项: 根据双曲线的光学性质可知光线从双曲线的一个焦点发出，通过双曲线的反射，反射光线的反向延长线经过其另一个焦点． 所以反射光线所在直线的斜率介于两条渐近线的斜率之间. 又焦点在轴上的双曲线渐近线的斜率， 所以反射光线所在直线的斜率的取值范围为，故B错误. 对于C选项： 易知，所以， 所以直线的方程为，即，直线的方程为，如下图所示： 点到的距离为，点到的距离为， 所以，所以点在的平分线上，所以，.故C正确. 对于D选项：由C选项的计算结果，因为直线垂直于直线，所以. 因为，可求得直线方程为， 将两方程联立得，解得，因此，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列中为的前n项和，若，则_______. 【答案】6 【解析】 【详解】试题分析：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得． 考点：等比数列的概念及等比数列求和． 13. 圆上的点到直线的距离最小为______. 【答案】 【解析】 【分析】结合圆心到直线的距离以及半径求得最小距离. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离等于， 故圆上的点到直线的距离最小为． 故答案为： 14. 已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为__________；双曲线N的离心率为__________． 【答案】 ①. ②. 2 【解析】 【分析】方法一：由正六边形性质得渐近线的倾斜角，解得双曲线中关系，即得双曲线N的离心率；由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，解得椭圆M的离心率. 【详解】［方法一］：【最优解】数形结合＋定义法 由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆M的离心率为 双曲线N的渐近线方程为，由题意得双曲线N的一条渐近线的倾斜角为， 故答案为：；． ［方法二］： 数形结合＋齐次式求离心率 设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为．由题可知，为正六边形相邻的两个顶点，所以（O为坐标原点）． 所以．因此双曲线的离心率． 由与联立解得． 因为是正三角形，所以，因此，可得． 将代入上式，化简、整理得，即，解得，（舍去）． 所以，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为2． 故答案为：；． ［方法三］：数形结合＋椭圆定义＋解焦点三角形 由条件知双曲线N在第一、三象限的渐近线方程为，于是双曲线N的离心率为． 设双曲线的一条渐近线与椭圆在第一象限的交点为A，椭圆的左、右焦点分别为．在中，． 由正弦定理得． 于是． 即椭圆的离心率． 故答案为：；． 【整体点评】方法一：直接根据椭圆的定义以及正六边形性质求解，是该题的最优解； 方法二：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，根据平面几何条件创建齐次式求出椭圆的离心率，运算较为复杂； 方法三：利用正六边形性质求出双曲线的离心率，再根据通过解焦点三角形求椭圆离心率． 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列是等差数列，其中，． （1）求数列的通项公式，并画出它的图象． （2）数列从哪一项开始小于0． （3）求数列前n项和的最大值，并求出对应n的值． 【答案】（1），图象见解析 （2）5 （3）76，4 【解析】 【分析】（1）由等差数列定义即可写出通项公式，并直接作出其图象即可. （2）令，解不等式即可，注意. （3）由等差数列前项和公式结合二次函数性质即可解决. 【小问1详解】 由题意数列的通项公式为， 其函数图象如图所示： 【小问2详解】 由（1）可知，令，解得， 所以数列从第5项开始小于0． 【小问3详解】 由（1）可知， 所以其前项和为， 而二次函数的对称轴为，和它最接近的整数为4， 因此当时，数列前n项和有最大值. 16. 已知椭圆的离心率为，焦距为2. （1）求椭圆的方程； （2）求椭圆中以为中点的弦所在的直线方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用离心率和焦距概念即可求解椭圆方程； （2）利用点差法来求中点弦方程. 【小问1详解】 由题意，解得， 由，所以椭圆方程为； 【小问2详解】 设椭圆中以为中点的弦为，且， 由点在椭圆上得，两式相减得， 整理得，又， 所以上式可化为， 所以中点弦的斜率为, 则中点弦的方程为，整理得. 17. 已知圆C：（，）与y轴交于A，B两点，，且. （1）求圆C的标准方程； （2）若直线和直线将圆C的周长四等分，求的值. 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】（1）由可知，，结合，可知，再联立求解即可； （2）根据分成四等分，可得圆心到直线的距离，进而得到两平行线的距离即可求解． 【小问1详解】 圆C：（，）， 则圆心，半径，如图：过作轴， ，，则， 又，则， 即， 解得， 所以圆C的标准方程为． 【小问2详解】 设直线和圆C交于点E，F，直线与圆C交于点M，N. 因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间， 连接CE，CF，CM，CN，则， 所以△ECF为等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离为， 同理可得圆心C到直线的距离为， 故直线和直线间的距离为， 所以，即． 18. 设数列的前项和为，且． （1）证明：为等比数列； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由与间关系结合题意可得，，据此可完成证明； （2）由（1）结合错位相减法，分组求和法可得答案. 【小问1详解】 由题，， 当时，， ，又， 所以， 所以是以为首项，公比为3等比数列； 【小问2详解】 由（1），， 则. 设数列，且，其前n项和为， 则， ， 两式相减可得， ， 则； 再设数列，且，其前n项和为， 则， 从而. 19. 已知椭圆：的右顶点为，上顶点为，离心率为，点在椭圆上，以原点为圆心的圆与直线相切. （1）求椭圆的方程； （2）过作两条互相垂直的射线交椭圆于，两点， （i）证明：直线与圆相切； （ii）求面积的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据条件列出的方程组，求解出的值，即可得到椭圆方程； （2）（i）当斜率不存在时，直接根据坐标分析即可；当斜率存在时，根据进行化简计算，由此可完成证明；（ii）当斜率不存在时，直接计算出；当斜率存在时，先根据弦长公式计算出的范围，然后根据可求解出结果. 【小问1详解】 由条件可知，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）因为，所以，即， 设圆，因为与圆相切，所以，所以圆. 不妨设点在点的上方， 当斜率不存在时，因为，所以轴平分， 所以，所以， 所以或， 此时圆心到的距离为，所以直线与圆相切； 当斜率存在时，设， 联立，可得， 且，即， 所以，， 因为，所以 ， 化简可得， 所以圆心到的距离，所以直线与圆相切， 综上所述，直线与圆相切. （ii）当的斜率不存在时，由（i）可知； 当的斜率存在时，， ， 若时，， 若时，， 当且仅当，即时取等号， 因为， 由上可知，，所以，即， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $