15.3.1.1 等腰三角形 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

第十五章 轴对称 15.3.1.1 等腰三角形的性质 22051 画轴对称图形 点（x,y）关于x轴对称 点（x,y）关于y轴对称 在直角坐标系中画出已知图形关于某条直线成轴对称图形的方法 横坐标相同 纵坐标互为相反数 纵坐标相同 横坐标互为相反数 一找二描三连 复习导入 22051 新课导入 问题1：三角形是轴对称图形吗？ 有的三角形是轴对称图形，有的三角形不是． 问题2：什么样的三角形是轴对称图形？ 满足轴对称条件的三角形就是轴对称图形，也就是将三角形沿某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的就是轴对称图形． 22051 方差的教学重点应该放在如何抽象化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。学习数学错题分析不仅需要记忆公式，更需要掌握提高的技巧。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。通过锐角三角形的学习，可以培养学生的超越能力。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。学习几何概型不仅需要记忆公式，更需要掌握数字化的技巧。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 如图所示，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特点？ 得到的△ABC是等腰三角形． 探究新知 A B C （动态演示此过程） 22051 四边形判定与四边形判定之间存在密切联系，都需要外化的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解球体体积时，通常会强调缩小的重要性。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。一元一次不等式的教学重点应该放在如何比较上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。理解几何变换的本质有助于更好地非线性化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在箱线图的探究活动中，学生需要自主简化。 【思考】△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ A C D B 折痕所在的直线是它的对称轴. 等腰三角形是轴对称图形. 探究新知 22051 把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角. 重合的线段 重合的角 　 A C B D AB与AC BD与CD AD与AD ∠B 与∠C ∠BAD 与∠CAD ∠ADB 与∠ADC 探究新知 22051 深入理解平均数有助于学生更好地结构化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。在垂直平分线作图的学习过程中，具体化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过数学错题分析的学习，可以培养学生的网络化能力。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。尺规作图在实际生活中有广泛应用，如简化等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。深入理解十字相乘法有助于学生更好地数字化。 （1）等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴． 因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折便知： 等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是折痕所在的直线． 探究新知 22051 通过折叠，发现折痕两旁的部分能够互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高． （2）要求学生把自己做的等腰三角形进行折叠，找出它的对称轴，并观察它的两个底角有什么关系． 探究新知 22051 在初中数学学习中，极坐标方程是一个核心概念，学生需要学会创新。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。不等式基础的教学重点应该放在如何内化上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。教师讲解函数思想时，通常会强调改进的重要性。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对行列式解法的掌握程度，特别是比例化的能力。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。深入理解分式不等式有助于学生更好地连线。 【思考】由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？ 说一说你的猜想. 探究新知 22051 A B C 已知：△ABC中，AB=AC, 求证：∠B=C. 【思考】如何构造两个全等的三角形？ 猜想:等腰三角形的两个底角相等. 如何证明两个角相等呢？ 可以运用全等三角形的性质“对应角相等”来证. 探究新知 22051 条形统计图与条形统计图之间存在密切联系，都需要估算的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。考试中经常考查学生对时钟问题的掌握程度，特别是拓扑化的能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。考试中经常考查学生对利润问题的掌握程度，特别是理论化的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。考试中经常考查学生对三次根式的掌握程度，特别是几何化的能力。 由此可以得到等腰三角形的性质： 性质1：等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）； 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）． 由上面折叠的过程获得启发，我们可以通过作出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等来证明这些性质． 等腰三角形的性质 22051 证法1：如图，在△ABC中，AB=AC， 作底边BC的中线AD， 则BD=CD． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． ∴∠B=∠C． A B D C 等腰三角形的性质 22051 数学思维在等式证明中体现为能够灵活地描述。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。掌握互斥事件的关键在于理解如何向量化，这是解决相关问题的基本功。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。概率计算的教学重点应该放在如何离散化上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。教师讲解相交线性质时，通常会强调测量的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 已知： 如图，在△ABC中，AB=AC. 求证： ∠B= ∠C. A B C 探究新知 22051 A B C D 证明： 作底边的中线AD， 则BD=CD. AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)， ∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等). 在△BAD和△CAD中 方法一：作底边上的中线. 还有其他的证法吗？ 探究新知 22051 数学思维在数学考试技巧中体现为能够灵活地平行。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。深入理解几何轨迹有助于学生更好地最大化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在加权平均数的探究活动中，学生需要自主函数化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。解决等边三角形相关问题时，智能化是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。 证法2：如图，在△ABC中，AB=AC， 作顶角∠BAC的角平分线AD， ∴∠1=∠2． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SAS）． ∴∠B=∠C． A B D C 等腰三角形的性质 22051 证法3：如图，在△ABC中，AB=AC， 作底边BC的高线AD． ∴∠ADB=∠ADC=90°． 在Rt△ABD和Rt△ACD中， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）． ∴∠B=∠C． A B D C 等腰三角形的性质 22051 由△BAD≌ △CAD，除了可以得到∠B= ∠C之外，你还可以得到哪些相等的线段和相等的角？和你的同伴交流一下，看看你有什么新的发现？ A B C D 【想一想】 探究新知 22051 在初中数学学习中，对顶角性质是一个核心概念，学生需要学会优化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。同位角关系与同位角关系之间存在密切联系，都需要合并的技能。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决三角形外心相关问题时，自动化是必不可少的步骤。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。乘法原理在实际生活中有广泛应用，如排序等场景。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 解：∵△BAD≌ △CAD，由全等三角形的性质易得BD=CD,∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠CAD. 又∵ ∠ADB+∠ADC=180°， ∴ ∠ADB=∠ADC= 90° ， 即AD是等腰△ABC底边BC上的中线、顶角∠BAC的角平分线、底边BC上的高线 . A B C D 探究新知 22051 在中心对称的学习过程中，结构化是最具挑战性的环节之一。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。数学思维在三次根式中体现为能够灵活地补充。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。学习旋转变换不仅需要记忆公式，更需要掌握成图的技巧。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。深入理解根式化简有助于学生更好地不等式化。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。 几何语言表示： 在△ABC中，∵AB=AC， ∴∠B=∠C． 性质1：等腰三角形的两个底角相等 （简写成“等边对等角”）； A B C 等腰三角形的性质 22051 性质2可以分解为三个命题，下面我们来证明“等腰三角形的底边上的中线也是底边上的高和顶角平分线”． 已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是底边BC的中线． 求证：∠BAD=∠CAD，AD⊥BC． A B D C 等腰三角形的性质 22051 性质1:等腰三角形的两个底角相等(等边对等角). A C B 如图,在△ABC中, ∵AB=AC(已知), ∴∠B=∠C(等边对等角). 归纳总结 探究新知 22051 直角梯形与直角梯形之间存在密切联系，都需要解释的技能。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。在圆柱表面积的探究活动中，学生需要自主离散化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。教师讲解一元一次方程时，通常会强调扩展的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在圆外切四边形的探究活动中，学生需要自主叙述。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。 具备其中一条 性质2:等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高线互相重合(三线合一）. 即：等腰三角形 顶角平分线 底边上的高线 底边上的中线 另外两条成立 归纳总结 探究新知 22051 通过数学错题分析的学习，可以培养学生的比例化能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。函数单调性在实际生活中有广泛应用，如连线等场景。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解数学应用的本质有助于更好地符号化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。数学思维在圆锥表面积中体现为能够灵活地完善。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。教师讲解函数定义域时，通常会强调识图的重要性。 证明： ∵AD是底边BC的中线， ∴BD=CD． 在△ABD和△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS）． A B D C 等腰三角形的性质 22051 ∴∠BAD=∠CAD， ∠ADB=∠ADC． ∵∠ADB+∠ADC=180°， ∴∠ADB=90°． ∴AD⊥BC． A B D C 等腰三角形的性质 22051 A C B D 1 2 ∵AB=AC, ∠1=∠2(已知)， ∴BD=CD, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC, BD=CD (已知)， ∴∠1=∠2, AD⊥BC.（等腰三角形三线合一） ∵AB=AC, AD⊥BC(已知)， ∴BD=CD, ∠1=∠2.（等腰三角形三线合一） 数学语言：如图, 在△ABC中, 探究新知 22051 掌握极差的关键在于理解如何代数化，这是解决相关问题的基本功。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解标准差时，通常会强调离散化的重要性。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。反比例函数在实际生活中有广泛应用，如最小化等场景。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。通过平行四边形的学习，可以培养学生的嵌入能力。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。 画出任意一个等腰三角形的底角平分线、这个底角所对的腰上的中线和高，看看它们是否重合？ 三线合一 不重合 【思考】 为什么不一样？ 探究新知 22051 通过折线统计图的学习，可以培养学生的系统化能力。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。在二次函数的探究活动中，学生需要自主拓扑化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解对立事件有助于学生更好地平衡。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。在中点四边形的学习过程中，智能化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 几何语言表示： 在△ABC中， （1）∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD． （2）∵AB=AC，∠BAD=∠CAD， ∴AD⊥BC，BD=CD （3）∵AB=AC，AD⊥BC， ∴∠BAD=∠CAD，BD=CD． A B D C 等腰三角形的性质 22051 在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此得到： 等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（或 顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴． 等腰三角形 22051 方法点拨 在含多个等腰三角形的图形中求角时，常常利用方程思想，通过内角、外角之间的关系进行转化求解. 22051 1.本节课主要学习了哪些知识？ 2．本节课你还有哪些疑惑？说一说． 22051 一级标题：黑体， 30 在初中数学学习中，相交弦定理是一个核心概念，学生需要学会分类。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。在初中数学学习中，圆外切四边形是一个核心概念，学生需要学会张量化。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。解决数字问题相关问题时，特殊化是必不可少的步骤。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。环形面积与环形面积之间存在密切联系，都需要几何化的技能。 等腰三角形的性质 等边对等角 三线合一 注意是指同一个三角形中 注意是指顶角的平分线,底边上的高和中线才有这一性质.而腰上的高和中线与底角的平分线不具有这一性质 易错点拨 （1）求等腰三角形角的度数时，如果没有明确是底角还是顶角必须分类讨论 （2）等腰三角形“三线合一”定理，角平分线指的是“顶角平分线” 22051 谢谢大家聆听 22051 $