精品解析：北京市通州区2026—2027学年第一学期九年级期中质量检测数学试卷

通州区2026—2027学年第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为（     ） A. B. 4 C. 6 D. 8 2. 将抛物线竖直向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. B. C. D. 4. 已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点在小正方形顶点位置，，与格线分别交于点，，连接，那么的长是( ) A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，将二次函数的图象竖直向上平移个单位长度后所得的图象与轴有两个交点，且这两个图象与轴的四个交点中，每相邻两点间的距离都相等，那么的值是( ) A. 18 B. 16 C. 2 D. 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，那么的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 9 D. 4 8. 如图，在矩形中，连接，过点作，垂足为，交于点，如果，有下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ① 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如果，那么________． 10. 写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 11. 如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．如果，，那么和的面积之比是________． 12. 抛物线，当时，随增大而减小，那么的取值范围是________． 13. 如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，，，也是小正方形的顶点，从点，，，中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是________． 14. 如图，二次函数的图象与二次函数的图象关于轴对称，一条平行于轴的直线与，的图象共有四个交点，从左到右依次记为、、、，当时，那么___________． 15. 如图，是的平分线上一定点，是线段的中点，于点．如果，点是射线上的一个动点．那么的最小值为_________． 16. 已知二次函数（为常数）的对称轴为直线，有下列结论：①顶点坐标为；②当时，随的增大而增大；③当时，函数的最大值为3；④该图象与轴没有交点．其中所有正确结论的序号是_______． 三、解答题（本题共68分，第17—24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知二次函数． （1）求该函数图像的顶点坐标； （2）在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； （3）结合函数图像，请直接写出时的取值范围． 18. 如图，在中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 19. 如图，在中，，为的中点，为的中点，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求的值； （2）如果，，求的长． 20. 已知二次函数的图象与轴交于点． （1）求该函数图象的对称轴及点的坐标； （2）若以点，为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点，求的取值范围． 21. 已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F. （1）如果，，，求DE的长. （2）如果，，，求BE的长. 22. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）作直线，P是直线上方抛物线上一点，其横坐标为m．过点P作平行于y轴，交直线于点E，连接交于点D．如果，求m的值． 23. 如图，在中，点在上，且，连接并延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）如果，，，求的面积． 24. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳，越过最高点后恰好落在人梯的顶端处，表演成功．如果将演员身体（可看成一点）运动的路线看作是抛物线的一部分． 设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米，现记录了某一次表演的几组数据如下： （米） （米） 根据上述函数模型和数据解决以下问题： （1）在下边的平面直角坐标系中，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度为_________米； （3）直接写出起跳点距离地面的高度是_________米； （4）在这次表演中，已知人梯的高度是米．问此次表演中人梯移动到距离起跳点的水平距离为_______米时，表演成功． 25. 如图，在中，为边上的一点，为边上的一点，且． （1）作交线段于点，求证：； （2）如果，，求的值． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，直接写出的取值范围． 27. 如图，点在的平分线上，过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点． （1）请用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （2）如果，求的值． 28. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）求代数式的值； （2）若抛物线经过点，将点水平向右平移个单位长度得到点，将点水平向左平移个单位长度得到点，如果点，恰好都落在抛物线上，求的值； （3）将抛物线在间的图象记为，如果图象与直线始终有个交点，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2026—2027学年第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 考 生 须 知 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为（     ） A. B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据成比例线段的定义，，代入已知值求解d． 本题考查了比例线段，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵线段 a、b、c、d 是成比例线段， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 2. 将抛物线竖直向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将竖直向下平移2个单位，所得新抛物线的表达式为 3. 小郑在做“小孔成像”实验时，蜡烛到挡板的距离与挡板到屏幕的距离之比是．若烛焰的高是，则实像的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据证明，然后利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图所示：相交于点O， ∵是烛焰的高，是实像的高， ∴， ∴， ∵蜡烛到挡板距离与挡板到屏幕距离之比是，， ∴，解得：． 故选：B． 4. 已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 5. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，的顶点在小正方形顶点位置，，与格线分别交于点，，连接，那么的长是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由格线判定，把与看成相似三角形的对应边；再用平行线分线段成比例，由竖直格线间的格数确定相似比，数出所占的格数即可求出． 【详解】解：由方格纸的格线可知，点、同在右侧的竖直格线上，点、同在中间的一条竖直格线上，点、分别距上边格、格． ∴． 由得． 左边框、所在竖直格线、右侧边框是三条平行线，它们把方格纸上边分成格、格两段． 由平行线分线段成比例得． ∴． ∴． ∴． ∴． 6. 如图，二次函数的图象与轴交于、两点，将二次函数的图象竖直向上平移个单位长度后所得的图象与轴有两个交点，且这两个图象与轴的四个交点中，每相邻两点间的距离都相等，那么的值是( ) A. 18 B. 16 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出原抛物线与轴交点坐标，根据平移性质及等距条件确定新交点坐标，代入平移后的解析式求解． 【详解】解：令，得， 解得，即， ． 图象竖直向上平移个单位长度 新图象与轴的交点在线段上 四个交点中，每相邻两点间的距离都相等 相邻两点间距离为 新图象与轴交点的横坐标为和 平移后的解析式为 当时，，即 解得． 7. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴只有一个交点，且经过点，，那么的值是（ ） A. 1 B. 0 C. 9 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由、两点纵坐标相同得抛物线对称轴，结合抛物线与轴仅有一个交点得顶点坐标，代入顶点式求解． 【详解】解：∵ 抛物线过点，， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∵ 抛物线与轴只有一个交点， ∴ 抛物线的顶点坐标为， 又∵ 二次项系数为1， ∴ 抛物线解析式为， 将代入解析式，得． 8. 如图，在矩形中，连接，过点作，垂足为，交于点，如果，有下列结论：①；②；③，其中所有正确的结论是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ① 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形性质和平行线性质证明三角形相似，结合线段比例关系推导各结论依次判断即可． 【详解】解： 四边形是矩形，   ， ，  ，  ∵，  ，  ，  ， ，故①正确； ∵， ，  ，即，故②错误；  ，  ，即，  ，  在中，，  ，  又，  ，  ，即，  ，  ，  ，故③正确； 综上所述，正确的结论是①③． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】求出，再把代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 10. 写出一条抛物线，，共有的性质：_____ 【答案】 对称轴为轴（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．三条抛物线的解析式均为的形式，因此它们都具有相同的对称轴和顶点，即可作答． 【详解】解：二次函数的对称轴为轴，顶点坐标为， 当取、、时，这一性质保持不变． 故答案为：对称轴为轴（答案不唯一）． 11. 如图，四边形是平行四边形，的平分线交于点，交的延长线于点．如果，，那么和的面积之比是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合角平分线定义推导等腰三角形，求出及的长；再根据平行线判定与相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求解 ． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ， ∴，， ， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵，即 ，  ， ∴． 12. 抛物线，当时，随增大而减小，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线顶点式确定开口方向与对称轴，结合开口向上时对称轴左侧随增大而减小的性质，需使的范围完全处于递减区间内，据此建立关于的不等式． 【详解】解：抛物线解析式为，属于顶点式的形式， 其中，抛物线开口向上， 抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵当时，随增大而减小， ∴区间需全部落在递减区间内， ∴． 13. 如图，在边长为1个单位的方格纸中，它们的顶点在小正方形顶点位置，点，，，也是小正方形的顶点，从点，，，中选取三个点所构成的三角形与相似，那么这个三角形是________． 【答案】 【解析】 【分析】计算的边长及夹角，再计算点构成的三角形的边长及夹角，利用两边成比例且夹角相等判定相似即可进行判断． 【详解】解：由勾股定理得，  观察网格可知，，  连接， 在中，，，，  ∵，，  ∴，  又∵，  ∴， 同理：从点，，，选取三个点构成的其他三角形与不相似， ∴这个三角形是． 14. 如图，二次函数的图象与二次函数的图象关于轴对称，一条平行于轴的直线与，的图象共有四个交点，从左到右依次记为、、、，当时，那么___________． 【答案】3 【解析】 【分析】设点的纵坐标为，分别表示出的长度，根据求出的值，进而求出的长． 【详解】解：设平行于轴的直线解析式为， 令，即，  解得，  点在轴左侧，且点在点左侧，  ，  ，  与关于轴对称，  点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，  ，   ， ，  ， 解得：， ∴． 15. 如图，是的平分线上一定点，是线段的中点，于点．如果，点是射线上的一个动点．那么的最小值为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】过点作，利用相似三角形性质求出的长，根据垂线段最短可知当时最小，此时的长度即为点到的距离，利用角平分线的性质可知点到的距离等于点到的距离即可． 【详解】解：过点作于点，如图： ，， ， ∴， ∴， 是线段的中点， ， ， ， 平分，在上，， 点到的距离等于的长，即为5， 是射线上的一个动点， 当时，的值最小， 的最小值为5． 16. 已知二次函数（为常数）的对称轴为直线，有下列结论：①顶点坐标为；②当时，随的增大而增大；③当时，函数的最大值为3；④该图象与轴没有交点．其中所有正确结论的序号是_______． 【答案】 ①②④ 【解析】 【分析】根据已知对称轴求出参数的取值，得到具体的二次函数解析式，再逐一验证各结论的正确性． 【详解】解：∵ 二次函数的对称轴为直线 ∴ 二次函数对称轴为 ∴ 函数解析式为 ① 将代入解析式，得 ∴ 顶点坐标为，故①正确； ② ∵ 二次项系数为，抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴ 当时，随的增大而增大，故②正确； ③ 当时，计算端点的函数值， 时，， 时，， ∵ 抛物线开口向上，离对称轴越远的点函数值越大， ∴ 该范围内函数的最大值为6，不是3，故③错误； ④ 判别式， ∴ 该图象与轴没有交点，故④正确； 综上，正确结论的序号为①②④． 三、解答题（本题共68分，第17—24题每小题5分，第25、26题每小题6分，第27、28题每小题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 已知二次函数． （1）求该函数图像的顶点坐标； （2）在给定的平面直角坐标系中描点画出这个函数的图象； （3）结合函数图像，请直接写出时的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用配方法将二次函数解析式化为顶点式，再根据二次函数的性质确定顶点即可； （2）按照列表、描点、连线的步骤即可完成作图； （3）根据函数图像与x轴的交点坐标，可确定时，x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴函数图像的顶点坐标． 【小问2详解】 解：列出表格如下： x … 0 1 2 3 4 … y … 0 1 0 … 描点、连线略． 【小问3详解】 解：由（2）可知：抛物线与x轴的交点坐标为，， 观察图像可得：当时x的取值范围为． 18. 如图，在中，点在边上，点在的延长线上，且． （1）求证：； （2）如果，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴ ， ∴ ． 在和中， ∴ ． （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形对边平行得到，结合已知，用两角分别相等证明两个三角形相似． （2）根据相似三角形对应边成比例，代入，，列方程，计算求出． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ． ∵ ，，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 答：的长为． 19. 如图，在中，，为的中点，为的中点，过点作交的延长线于点，连接交于点． （1）求的值； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，，证明，由相似三角形的性质即可得出结果； （2）连接，由等腰三角形的性质可得，，由三角形中位线定理可得，，证明，求出，由（1）可得，求出，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在中，，为的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵在中，，为的中点， ∴，， ∵为的中点，为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 已知二次函数的图象与轴交于点． （1）求该函数图象的对称轴及点的坐标； （2）若以点，为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，点的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）对于二次函数，对称轴公式为，据此求出对称轴即可；将代入函数得，可求出点的坐标； （2）根据抛物线开口向下，抛物线过点，对称轴为直线，画出草图，结合图象列式求解即可． 【小问1详解】 解：对称轴为直线． 将代入函数得， 因此A点坐标为． 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线过点，对称轴为直线． ∴抛物线草图如下． ∵以点，为端点的线段与二次函数图象只有一个公共点， ∴当时，抛物线上的点的纵坐标大于B点的纵坐标1，即： 解得， ∵， ∴． 21. 已知如图，，它们依次交直线a，b于点A、B、C和点D、E、F. （1）如果，，，求DE的长. （2）如果，，，求BE的长. 【答案】（1）DE的长为9；（2）BE的长为11； 【解析】 【分析】（1）由果，，可得AC=14，然后根据平行线等分线段定理得到，然后将已知条件代入即可求解； （2）过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H，说明四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得CH=BG=AD=9；进一步说明FH=CF-DH=5，然后再按照平行线等分线段定理得到，最后代入已知条件求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴AC=AB+BC=14 ∵ ∴ ∴ (2)过D作DH∥AC，分别交BE,CF于H. ∵ ∴四边形ABGD和四边形BCHG是平行四边形， ∴CH=BG=AD=9 ∴FH=CF-DH=5 ∵ ∴ ∴ ∴BE=BG+GE=9+2=11. 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例. 22. 如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的表达式； （2）作直线，P是直线上方抛物线上一点，其横坐标为m．过点P作平行于y轴，交直线于点E，连接交于点D．如果，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式，根据题意可知点P的坐标为，点E的坐标为，则，证明，得到，进而根据求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线与x轴交于，两点， ， ， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴抛物线与y轴交点C的坐标为， 设直线的表达式为， ∴， 解得：， 直线的表达式为， 点P是抛物线上一点，其横坐标为m， 点P的坐标为，点E的坐标为， ， 由题意可知， ， ， ， ， ． 23. 如图，在中，点在上，且，连接并延长到点，使，连接． （1）求证：； （2）如果，，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）4 【解析】 【分析】（1）先说明，再运用两组对应边成比例并且对应的夹角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）先求得，进而求得，再利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，相似比为， ∴，即． 24. 如图，杂技团进行杂技表演，演员要从跷跷板右端A处弹跳，越过最高点后恰好落在人梯的顶端处，表演成功．如果将演员身体（可看成一点）运动的路线看作是抛物线的一部分． 设演员身体距起跳点水平距离为米时，距地面的高度为米，现记录了某一次表演的几组数据如下： （米） （米） 根据上述函数模型和数据解决以下问题： （1）在下边的平面直角坐标系中，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接； （2）结合表中所给的数据或所画的图象，直接写出演员身体距离地面的最大高度为_________米； （3）直接写出起跳点距离地面的高度是_________米； （4）在这次表演中，已知人梯的高度是米．问此次表演中人梯移动到距离起跳点的水平距离为_______米时，表演成功． 【答案】（1） （2）； （3）； （4）1或4． 【解析】 【分析】（1）先描点，再用平滑的曲线连接即可； （2）根据表格数据和图象即可得出答案； （3）利用待定系数法求出函数解析式，令，求出即可； （4）令，代入解析式中求出即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由表格和图象可得，当时，取得最大值， ∴演员身体距离地面的最大高度为米； 【小问3详解】 解：设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴起跳点距离地面的高度是米； 【小问4详解】 解：令，代入解析式得：， 整理得：， 解得：， ∴此次表演中人梯移动到距离起跳点的水平距离为1或4米时，表演成功． 25. 如图，在中，为边上的一点，为边上的一点，且． （1）作交线段于点，求证：； （2）如果，，求的值． 【答案】（1）证明：如图所示， ∵点B、E、C在一条直线上， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据角度关系等量代换得到，结合已知条件证明和相似，根据“相似三角形对应边成比例”可得，变形可证结论． （2）通过构造辅助线（过点D作交的延长线于点M）将已知条件转化为，利用角度关系证明，从而利用相似比求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作交的延长线于点M，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴（两直线平行，同位角相等），， ∴． ∵（三角形外角定理），， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线． （1）求该抛物线的对称轴； （2）过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，求的长； ②已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①3；②或 【解析】 【分析】（1）利用对称轴公式求解即可； （2）①由条件得点、的横坐标与点相同，写出点、的表达式后代入，求出两点坐标后即可求的长； ②先表示出的长，后根据的正负分类讨论，的长是关于的长的二次函数，利用二次函数的增减性讨论的长何时随的长的增大而增大即可． 【小问1详解】 解：， ， 即该抛物线的对称轴是； 【小问2详解】 ①由题意得， 当，时， ， ， 则，， ； ②由题意得 ； 当时，，， ，， 令， ， 在时随的增大而增大， 均符合题意； 当时，， ，， 当时， ， 在时随的增大而增大，在时随的增大而减小， ， 则时符合题意； 综上，或． 27. 如图，点在的平分线上，过点作于点，过点作于点，交于点，过点作于点． （1）请用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （2）如果，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知平分，且存在多处垂直关系，所以可过作的垂线，将拆分为两部分，结合矩形对边相等、角平分线到两边距离相等推导数量关系； （2）因为、都垂直于，所以，可得，结合相似比与（1）的线段关系，推导​的比值，根据勾股定理及相似三角形的判定和性质作答即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则， 由（1）得，， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴，且， ∴， ∴． 28. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）求代数式的值； （2）若抛物线经过点，将点水平向右平移个单位长度得到点，将点水平向左平移个单位长度得到点，如果点，恰好都落在抛物线上，求的值； （3）将抛物线在间的图象记为，如果图象与直线始终有个交点，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由抛物线对称轴为直线得出、之间的关系，再整体代入求代数式的值； （2）先把点的坐标代入求出、，再由平移写出点、的坐标，利用两点都落在抛物线上列出关于的方程，求出后回代求； （3）把图象与直线的交点问题转化为方程在上解的问题，再把分离出来，用二次函数在上的一段图象与水平直线的公共点个数定出的范围，进而求出的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵抛物线经过点， ∴， ∴． 由（1）知， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． ∵将点水平向右平移个单位长度得到点，将点水平向左平移个单位长度得到点， ∴． ∵点在抛物线上， ∴， ∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：由（1）知， ∴抛物线的解析式为，图象是它在上的一段． ∵图象与直线的交点，就是方程在上的解， ∴由，得． ∵， ∴，故时方程无解，不合题意． 设，则，问题转化为：抛物线在上的一段图象与直线恰有2个公共点． ∵，这段图象的顶点为，两个端点分别为、， ∵对称轴在内， ∴它在上随的增大而减小，在上随的增大而增大，最小值为． 要使直线与这段图象恰有2个公共点，两个公共点必须分居对称轴两侧： ∵左侧一段的最高点为，右侧一段的最高点为，顶点是最低点， ∴当时，直线与对称轴两侧的图象各恰有1个公共点，共2个； 当时只剩右侧1个公共点，当时直线不在顶点的上方，都不满足要求， ∴，即， ∵， ∴由得，由得， ∴的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $