精品解析：北京市通州区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

通州区2025-2026学年第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．由已知比例式，利用比例的基本性质，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项符合题意； B、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； C、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； D、∵，∴，原选项不一定成立，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的顶点坐标，直接应用顶点式的顶点坐标求解. 【详解】解：∵二次函数 是顶点形式，其中 , ， ∴顶点坐标为 . 故选：B 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理，是解题的关键．先根据平行线分线段成比例定理得出，再将数据代入得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴， 解得：． 故选：B． 4. 若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；因此此题根据“两个三角形相似，那么这两个三角形的面积比等于相似比的平方”进行求解即可． 【详解】解：若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为； 故选C． 5. 下列关于抛物线的说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 有最高点 D. 随的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，解题的关键是：熟练掌握二次函数的图象及性质． 由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案． 【详解】解：抛物线的开口向上，有最低点，对称轴为y轴， 当时，函数值随x的增大而减小， ∴四个选项中只有B选项的说法正确， 故选：B． 6. 根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程的近似解．观察表，根据x的取值变化范围进行分析． 【详解】解：∵ 当 时，； 当时，， ∴ 方程的一个解在之间． 故选：C． 7. 函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象与系数的关系：常数项决定抛物线与y轴交点位置，二次项系数与一次项系数决定对称轴位置，具体是左同右异. 【详解】当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误； 当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确； 故选C． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系, 二次函数图象上点的坐标特征, 抛物线与x轴的交点，解答关键是熟练掌握以上内容. 8. 如图，正方形的边长是3．点是延长线上一点，延长至点，使，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明得到，进而可判断①；证明得到，进而可判断②；根据全等三角形的性质得到，，于是得到，即；故③正确；根据相似三角形的性质得到，求得，进而可求出的值，故④正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴ ∴． 在与中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴=， 即． 故②正确； 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， 即，故③正确； ∵， ∴． ∵， ∴==， ∴， ∴． ∴，故④正确． 故选D． 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，根据二次函数图象平移的规律，向右平移时自变量x减去平移单位，向上平移时函数值加上平移单位. 【详解】解：原抛物线为，向右平移1个单位，得； 再向上平移3个单位，得. 故答案为：. 10. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点（），已知哪吒在剧中的身高设定为，则长为______（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， ∵点B为的黄金分割点， ∴． ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 12. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的最大高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标，利用配方法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案． 【详解】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线， ∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线的顶点坐标的纵坐标， ∴， ∴顶点坐标为：， ∴喷水的最大高度为4米， 故答案为：． 13. （墨经）中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是．则蜡烛火焰的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质的应用，“相似三角形对应高线的比等于相似比”，据此即可求解． 【详解】解：设蜡烛火焰的高度是， 由相似三角形的性质得， 解得． 即蜡烛火焰的高度是． 故答案为： 14. 抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的单调性和对称轴的应用． 先求出抛物线的对称轴，再根据抛物线的开口方向，比较三点到对称轴的距离，从而得出函数值的大小关系；也可直接代入计算函数值进行比较． 【详解】解：对于抛物线，其对称轴为直线， 且抛物线开口向下（因为）， 点到对称轴的距离越远，函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ，且抛物线开口向下， ． 15. 如图，在矩形中，若，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质．根据勾股定理求出，再利用相似三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：在矩形中， ，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 16. 已知某函数的图象过．两点，下面有四个推断，所有合理推断的序号是______． ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过； ②若此函数的图象为抛物线、且经过，则该抛物线开口向下； ③若此函数的表达式为（），且图象经过，则； ④若此函数的表达式为，抛物线开口向下，且，则的取值范围是． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解析式，二次函数的性质，理解题意建立方程或不等式组模型解题是关键． 对于①②③都利用待定系数法先求解函数的解析式，再利用一次函数与二次函数的性质可判断，对于④先利用函数过，可得函数解析式为再结合题意建立不等式组模型即可解决问题． 【详解】解：设过，两点的直线为， ∴ 解得： ∴直线为： 当时， ∴函数经过 故①符合题意； 此函数的图象为抛物线 且经过，，， 则 解得： ∴抛物线为： ∴抛物线的开口向上，故②不符合题意； 当函数的解析式为，且经过，，， 同理设抛物线 则解得： ∴抛物线为： ∴对称轴为直线 而 故③符合题意， 二次函数过，，则 解得： 所以抛物线为： ∴开口向下，且，而 ∴，而 即 ∴ 即 故④符合题意； 故答案为：①③④ 三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18题7分；第19题4分；第20-22题每题5分；第23、24题每题6分；第25题4分；第26、27题每题7分；第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 如图，在中，点是边上一点，点为外一点，，连接，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据平行线的性质得出，再根据两个角对应相等的两个三角形相似，得出答案即可． 【详解】略 18. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是______． 【答案】（1）函数图象的顶点坐标为，与坐标轴的交点坐标为，，； （2） 如图， （3）或． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，画函数图象，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把二次函数配成顶点式即可求出该函数图象的顶点坐标，然后当时，；当时，解得，，从而求出与坐标轴的交点坐标； （）根据列表、描点、连线即可画出图象； （）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：， ∴该函数图象的顶点坐标为， 由得，当时，； 当时，，解得，， ∴函数图象的顶点坐标为，与坐标轴的交点坐标为，，； 【小问2详解】 解：列表： 描点： 连线： 【小问3详解】 解：根据图象可得，当时，的取值范围是或， 故答案为：或． 19. 如图，在中，点在边上，，，，求的长．     【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，由已知可证明，进而利用相似三角形的性质可得的长． 【详解】解：，， ， ，即， 解得：． 20. 在数学探究活动中，小辰同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 【答案】旗杆的高是． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，难点在于作辅助线．过点D作交于H，根据同时同地物高与影长成正比求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，过点D作交于H， 则四边形是矩形，     所以，，， 由同一时刻物高与影长成比例可得： ∴， ∴， ∴． 答：旗杆的高是． 21. 如图，正方形中，点在上，且，点是的中点．求证：． 【答案】 证明：∵正方形， ∴； ∵， 设，则， 则， ∵Q是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，相似三角形的判定与性质，设，则，再结合正方形的性质证明，再进一步求解即可. 【详解】略 22. 已知二次函数． （1）将化成的形式：___________； （2）补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … （3）若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 【答案】（1） （2）1，3， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，画出函数图象，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． （1）利用配方法将函数解析式进行转换即可； （2）令，即可求得，，然后根据表格中数据描点、连线即可； （3）由题意可知要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可，由图可知，符合题意． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：令，，解得：，， ∴，； 则，在坐标系中描点、连线： 故答案为：1，3； 【小问3详解】 ∵， ∴， 即：方程的解可看作函数与交点的横坐标， 要使得方程在的范围内有解，只需函数与有交点即可， 由图可得：当时，则，当时，则， 关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围， 故答案为：． 23. 某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系． （1）当时，每件的利润是______，总利润为______． （2）若设总利润为元，则与的函数表达式是__________________．自变量的取值范围是__________________； （3）销售单价定为多少元时，总利润最大，最大总利润是多少？ 【答案】（1）10元，4000元 （2）， （3）销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的销售利润，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，根据利润等于售价减去进价，总利润等于单件利润乘数量，进行计算，即可作答． （2）总利润等于单件利润乘数量，进行化简，得，又因为销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，故； （3）先得，再运用二次函数的图象性质进行分析，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，（元）， 则， ∴（元）， 即当时，每件的利润是10元，总利润为4000元． 【小问2详解】 解：依题意，， 整理得， ∵规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）得设总利润为元，则与的函数表达式是， ∵， ∴抛物线开口方向向下， 在时，有最大值，越靠近对称轴时，函数值越大， ∵， ∴把代入， 得， 即销售单价定为70元时，总利润最大，最大总利润是6000元． 24. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 【答案】（1） 证明：由作法得， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 而， ； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）先判定为等边三角形，根据等边三角形的性质得到，则根据等角的补角相等得到，再证明，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （2）先根据等边三角形的性质得到，由于，则根据相似三角形的性质得到，即，从而可求出的长，解得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为等边三角形， ， ， ， 即， 解得． 25. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，投球后，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）． （1）小雷同学想要研究自己的投篮情况：第一次投篮时，记录了篮球的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 0.4 0.8 1.5 2.0 2.4 3.2 4.1 …… 竖直高度 （保留两位小数） 2.10 2.83 3.43 4.16 4.43 4.50 4.23 3.30 …… 第一次的投篮轨迹近似满足函数关系，投篮的出手点高度为______，当篮球的水平距离为时，竖直高度为______； （2）已知篮筐中心位置在水平距离，竖直高度处．当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐．若小雷第二次的投篮轨迹近似满足函数关系，已知两次投篮只有一次投中，则______投中．（填写“第一次”或“第二次”）（参考数据如下：，） 【答案】（1）， （2）第一次 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． （1）令，求出y的值；令，计算出y的值，即可得到答案； （2）分别令，计算出x的值，进行估算，并进行比较即可得到答案． 【小问1详解】 解∶根据题意得∶ 当时，， 当时，． 小明同学第一次投篮的出手点高度为，竖直高度为． 故答案为∶；． 【小问2详解】 解：在中， 令，则， 解得∶， 在中， 令，则， 解得∶，． ，，且当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐，篮筐中心位置在水平距离， 第一次投中． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上的一动点，且在直线上方．过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求长的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为：，． 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法求解二次函数的解析式即可． （2）求解，可得，证明，可得，求解直线为，设，则，可得，进一步利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：将，两点坐标代入抛物线解析式，可得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：． 【小问2详解】 解：∵， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴时，的最大值为：， ∴． 【点睛】本题考查的是待定系数法求解二次函数的解析式，平行线的性质，锐角三角函数的应用，二次函数的性质，熟练的建立二次函数模型是解本题的关键． 27. 在中，，，为边上的中线．在中，，，．连接，，分别为线段，的中点，连接． （1）如图，当点在内时，依题意补全图，求证：； （2）如图，当点在外时，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并加以证明． 【答案】（1） 证明：如图， ∵，为边上的中线， ∴， ∵，分别为线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； （2） 证明：，，如图， 同（）理可得， ∵，分别为线段，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， ∵，分别为线段，的中点，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，为线段的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，中位线定理，三角形内角和定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先根据题意画出图形，通过直角三角形的性质得，通过中位线定理可得，从而求证； （）同（）理可得，又，分别为线段，的中点，是的中位线，则，，，同理可得，则有，， 从而得，然后证明，可得，，最后通过三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 28. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． （1）①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； （2）若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． （3）将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 【答案】（1）①，②，． （2）且 （3）或． 【解析】 【分析】（1）①根据罩域特征点的定义，结合线段上点的坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可解答；②根据罩域特征点的含义，结合图形即可判断． （2）先找罩域特征点的界点，将特征点的坐标代入函数，求出m的值，结合图象即可求出范围； （3）结合，，，确定为罩域特征点的边界点，当时，可得，，可得，，在直线的右侧y随x的增大而增大，总存在的点，即存在罩域特征点． 【小问1详解】 解：①如图， ∴线段罩域的一个特征点． ②如图， ∴在，，中，是的罩域特征点的为：，． 【小问2详解】 解：设点为的罩域特征点．依题意得：， 当时，如图， 结合函数图象可知，在一次函数的图象上存在的罩域特征点，故符合题意． 当时，如图，点为的罩域特征点． 又∵点在一次函数的图象上， 当直线过点时，即： 解得：． ∴结合函数图象可知． 综上所述：且． 【小问3详解】 解：将向上平移两个单位得到，点，，． ∴，，， 如图，当时， 抛物线（）上总存在的罩域的特征点． 当时，如图，， ∵的对称轴为直线， ∴关于直线对称， 当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时， ∴当时，， ∴， 解得：． 综上：当抛物线（）上总存在的罩域的特征点时，或． 【点睛】本题考查二次函数综合问题和新定义问题，掌握新定义含量义，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值的点是罩域的特征点，抓住特征点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通州区2025-2026学年第一学期九年级期中质量检测 数学试卷 考生须知： 1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟． 2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 已知，那么下列式子中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数图象的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比为（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 下列关于抛物线的说法正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 对称轴是轴 C. 有最高点 D. 随的增大而增大 6. 根据下列表格中的对应值，判断关于的方程（）的一个解的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数y=ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的边长是3．点是延长线上一点，延长至点，使，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，，正确结论的个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分） 9. 抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线表达式为______． 10. 《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点为的黄金分割点（），已知哪吒在剧中的身高设定为，则长为______（结果保留根号）． 11. 如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 12. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线的一部分，则水喷出的最大高度是______． 13. （墨经）中有：“景到，在午有端，与景长，说在端”．大约在两千四百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成像的实验．如图所示的实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是．则蜡烛火焰的高度是______． 14. 抛物线上有三点，，，则，，的大小关系是______．（用“＜”连接） 15. 如图，在矩形中，若，，，则的长为______． 16. 已知某函数的图象过．两点，下面有四个推断，所有合理推断的序号是______． ①若此函数的图象为直线，则此函数的图象经过； ②若此函数的图象为抛物线、且经过，则该抛物线开口向下； ③若此函数的表达式为（），且图象经过，则； ④若此函数的表达式为，抛物线开口向下，且，则的取值范围是． 三、解答题（本题共68分，第17题4分；第18题7分；第19题4分；第20-22题每题5分；第23、24题每题6分；第25题4分；第26、27题每题7分；第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 如图，在中，点是边上一点，点为外一点，，连接，．求证：． 18. 已知二次函数． （1）求该函数图象的顶点坐标和与坐标轴的交点坐标； （2）在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象； （3）当时，的取值范围是______． 19. 如图，在中，点在边上，，，，求的长．     20. 在数学探究活动中，小辰同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高． 21. 如图，正方形中，点在上，且，点是的中点．求证：． 22. 已知二次函数． （1）将化成的形式：___________； （2）补全表格，则___________，___________； x … 0 m 2 n 4 … y … 0 k 0 … （3）若关于x的方程在的范围内有解，则t的取值范围是___________． 23. 某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，且不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系． （1）当时，每件的利润是______，总利润为______． （2）若设总利润为元，则与的函数表达式是__________________．自变量的取值范围是__________________； （3）销售单价定为多少元时，总利润最大，最大总利润是多少？ 24. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点．，，连接，．若， （1）求证：． （2）若，，求线段的长． 25. 篮球是大家平时接触非常多的运动之一，投篮时，球出手后篮球飞行的轨迹可以近似的看作一条抛物线的一部分，建立如图所示平面直角坐标系，投球后，篮球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）． （1）小雷同学想要研究自己的投篮情况：第一次投篮时，记录了篮球的水平距离（单位：）与竖直高度（单位：）的几组数据如下： 水平距离 0 0.4 0.8 1.5 2.0 2.4 3.2 4.1 …… 竖直高度 （保留两位小数） 2.10 2.83 3.43 4.16 4.43 4.50 4.23 3.30 …… 第一次的投篮轨迹近似满足函数关系，投篮的出手点高度为______，当篮球的水平距离为时，竖直高度为______； （2）已知篮筐中心位置在水平距离，竖直高度处．当篮球的竖直高度为时对应的水平距离与篮筐中心位置的水平距离相差以内，篮球可以进入篮筐．若小雷第二次的投篮轨迹近似满足函数关系，已知两次投篮只有一次投中，则______投中．（填写“第一次”或“第二次”）（参考数据如下：，） 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）交轴于点，两点，交轴于点． （1）求抛物线的表达式； （2）点是抛物线上的一动点，且在直线上方．过点作于点，过点作轴的平行线交直线于点，求长的最大值及此时点的坐标． 27. 在中，，，为边上的中线．在中，，，．连接，，分别为线段，的中点，连接． （1）如图，当点在内时，依题意补全图，求证：； （2）如图，当点在外时，连接，，判断与的数量关系与位置关系，并加以证明． 28. 对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个罩域，点为这个罩域的一个特征点．如图1，点，，． （1）①请写出线段罩域的一个特征点______； ②在，，中，是的罩域特征点的为______； （2）若在一次函数（）的图象上存在的罩域的特征点，求的取值范围． （3）将向上平移两个单位得到，在抛物线（）上存在的罩域的特征点，直接写出的取值范围______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $