2.5.2 圆与圆的位置关系 同步讲义-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

 2.5.2　圆与圆的位置关系

 选择性必修第一册　第二章　直线和圆的方程

[学习目标]

1．通过观察两个圆公共点的个数，说出圆与圆的五种位置关系，会用圆心距与两圆半径的和、差判定位置关系。

2．会把两个圆的方程联成方程组，用方程组实数解的组数判定位置关系，并理解两圆方程相减所得直线的含义。

3．会求相交两圆的公共弦所在直线的方程与公共弦长，能由位置关系反求参数的值或取值范围，会处理两圆上动点距离的最值。

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 1．圆与圆的位置关系

两个圆都在同一平面内，把其中一个圆平移或改变半径，它们的公共点个数只可能是 2、1、0。例如圆 与圆 有 与 两个公共点；圆 与圆 只有 (2,0) 一个公共点；圆 与圆 没有公共点。图 1 给出两圆位置关系的全部五种情形。

图 1: 平面内两个圆的五种位置关系：上排为外离、外切、相交，下排为内切、内含

(1) 两个圆有公共点时，叫做这两个圆相交；两个圆有公共点时，叫做这两个圆相切；两个圆公共点时，叫做这两个圆相离。

(2) 两圆相切且除公共点外每个圆上的点都在另一个圆的，叫做外切；两圆相切且除公共点外一个圆上的点都在另一个圆的，叫做内切。两圆相离时，若两圆彼此分离则叫做外离，若一个圆在另一个圆内部则叫做内含；圆心重合（圆心距为 0）的内含叫做同心圆。

判断（先在括号内打“√”或“×”，再说清理由）

(1) 两个圆没有公共点，则这两个圆外离。（　　）

(2) 圆 与圆 有且只有一个公共点，所以这两个圆外切。（　　）

 2．用圆心距与半径判定位置关系

位置关系由三个长度决定：两圆半径 、 与圆心距 。取 、，则 、。让圆心距 依次取 9、8、5、2、1，对照图 1 可得： 时两圆外离， 时外切， 时相交， 时内切， 时内含。图 2 是其中 的外切情形。

图 2: 圆 （）与圆 （）：，两圆外切于点

(1) 设两圆的半径分别为 、，圆心距为 ，则外离⟺；外切⟺；相交⟺；内切⟺；内含⟺。

(2) 判定时先把两圆都化为标准方程，读出圆心坐标与半径（半径取正数），再用两点间距离公式算出 。 与 、 都是含根式的量，比较时把两边同时平方更稳妥。

 提醒： 相交要求 两个不等式同时成立，只验 会把内含误判为相交；「相切」包含外切与内切两类，即 或 。

判断

(1) 两圆的圆心距为 5，半径分别为 2 和 3，则这两个圆相交。（　　）

(2) 两圆的半径分别为 1 和 3，圆心距为 2，则这两个圆内切。（　　）

 3．用方程组判定位置关系

两圆的公共点坐标同时满足两个圆的方程，所以公共点的个数就是两圆方程联立所得方程组实数解的组数。以圆 与圆 为例：两式相减，二次项被消去，得 ；由 代入 得 ，即 ，其判别式 ，解得 或 ，对应公共点 (2,1) 与 (1,2)。方程组有两组实数解，两圆相交。

再看圆 与圆 ：相减得 ，代入第一个方程得 ，，方程组只有一组解 、，两圆相切，这与图 2 中 的外切结论一致。

(1) 联立两圆的方程组成方程组：方程组有组实数解时两圆相交，有组实数解时两圆相切，实数解时两圆相离。

(2) 两个圆的一般方程中 、 的系数都相同，两式相减后二次项被消去，所得方程是方程，它表示一条。

 提醒： 判别式 只能判定两圆没有公共点，外离与内含都对应 ；要分清这两类，还得回到圆心距 与 的比较。

判断

(1) 联立两圆方程消元后所得一元二次方程的判别式 ，则这两个圆外离。（　　）

(2) 两圆相切时联立消元所得一元二次方程有两个相等的实数根，所以这两个圆一定内切。（　　）

 4．相交两圆的公共弦

图 3 中圆 与圆 相交于 、 两点。把 展开得 ，与 相减得 ，即 ；而 、 的横坐标都是 1，所以直线 经过 、 两点。这条直线与连心线 （即 轴）垂直，且交点 (1,0) 恰是 的中点。弦长 ，它又等于 ，即 ，其中 是圆心 到直线 的距离。

图 3: 两圆相交给出两个公共点 、，两方程相减所得直线 就是公共弦 所在直线

(1) 两个相交圆的两个公共点所连的线段叫做这两个圆的。把两圆的一般方程相减，二次项被消去，所得的就是公共弦所在的直线。

(2) 公共弦所在直线被任一圆截得的弦就是这条公共弦。设该圆半径为 ，圆心到这条直线的距离为 ，由 2.5.1 的弦长公式，公共弦长 =。

 提醒： 用相减求公共弦之前，必须先用圆心距判定两圆相交；两圆相切、相离或内含时，相减所得的直线与两圆没有公共弦可求。

判断

(1) 两圆方程相减所得的直线，就是两圆公共弦所在的直线。（　　）